第4章第3節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例

1、20092013年高考真題備選題庫第4章平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入第3節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例1. (2013湖南，5分)已知a,b是單位向量，ab=0若向量c滿足|cab|=1，則|c|的最大值為()A.、21B/.2C.,2+1D.2+2解析：本題主要考查向量的坐標(biāo)運算、向量模的幾何含義與向量模的最值求解，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合思想的運用能力.建立平面直角坐標(biāo)系，令向量a,b的坐標(biāo)a=(1,0),b=(0,1)，令向量c=(x,y),則有x12+y12=1,|c|的最大值為圓(x1)2+(y1)2=1上的動點到原點的距離的最大值，即圓心(1,1)到原點的距離加圓

2、的半徑，即.2+1.答案：CTI2. (2013湖北，5分)已知點A(1,1)、B(1,2)、C(2,1)、D(3,4),則向量AB在CD方向上的投影為()A.3,22B.23、2OA=a,OB=匕，則厶OAB的D.p/|a|2|b|2+(ab3.''152解析：本題考查向量的坐標(biāo)運算及向量投影的概念，意在考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握情TTTTTTT況.AB=(2,1),CD=(5,5),向量AB=(2,1)在CD=(5,5)上的投影為|AB|cosAB,CD>=忌匸爲(wèi)=2LCD=15=,故選A.|AB|CD|CD|522答案：A3. (2010遼寧，5分)平面上O,A,B三

3、點不共線，設(shè)面積等于()A. |a|2|b|2ab2B. .|af|b|2+ab2解析：因為cosa,b>所以sin/AOB=sina,b>=j1|a|b|,11則Saaob=2|a|x|b|xsin/AOB=qXaI2bl2-ab2.答案：C4.（2010湖南，5分）若非零向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)b=0,則a與b的夾角為()A.30°B.60°C.120°D.150°1解析：(2a+b)b=2ab+b2=2|afcosa,b+a2=0?cosa,b>=-，所以夾角為120°答案：C5. （2009福建，5分

4、）設(shè)a,b,c為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足a與b不共線，a丄c,|a|=|c|,則|bc|的值一定等于（）A以a,b為兩邊的三角形的面積B以b,c為兩邊的三角形的面積C以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積D以b,c為鄰邊的平行四邊形的面積解析：/|bc|=|b|c|cos0|,如圖，a丄c,.|bcos0|就是以a、b為鄰邊的平行四邊形的高，而|a|=|c|,-|bc|=|a|（|b|cos0|）,|bc|表示以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積.答案：C6. （2012新課標(biāo)全國，5分）已知向量a,b夾角為45°且|a|=1,|2a-b|=“i0，則|b|解析：依題意

5、，可知|2a-b|2=4|a|2-4ab+|b|2=4-4|a|b|cos45°+|b|2=4-2.2|b|+|b|2=10,即|b|2-2,2|b|-6=0,|b|=2l2+32=3,2(負(fù)值舍去).答案：3.27. （2013新課標(biāo)全國I,5分）已知兩個單位向量a,b的夾角為60°c=ta+（1-1）b,若bc=0，貝Vt=.解析：本題考查平面向量的數(shù)量積運算，意在考查考生的運算求解能力.根據(jù)數(shù)量積be=0，把已知兩向量的夾角轉(zhuǎn)化到兩向量數(shù)量積的運算中.因為向量a,b為單位向量，所以21b2=1，又向量a,b的夾角為60°所以ab=，由bc=0得bta+(1t

6、)b=0，即tab+(1-1)b2=0,所以*t+(1-1)=0，所以t=2.答案：28. （2013安徽，5分）若非零向量a,b滿足|a|=3|b|=|a+2b|,貝Ua與b夾角的余弦值為.解析：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算和夾角等基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)運算.對向量的模同時平方可得，|a|2=9|b|2=|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4ab,所以有4ab=-4|b|2,即cosa,b>=艸=-111x0,1.若C是線段AB的中點，則，代入一+"=2得，；=0,此等式不可能成立，故|a|3'9. （2013浙江，4分）設(shè)e1,e2為單位向量，非零向量b=x®

7、;+ye?,x,yR.若,e?的夾角為n，則|最大值等于22=飛兩=已冗“4'所以；BF的值是解析：以A為坐標(biāo)原點，AB,所以F(1,2),解析：本題考查向量的概念、運算、函數(shù)的最值等知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、函數(shù)與方程思想以及靈活利用知識分析問題、解決問題的能力.當(dāng)x=0時，#|=0,當(dāng)xm0時，開|的最大值是2，當(dāng)且僅當(dāng)y=申時取到最大值.答案：210. （2012江蘇，5分）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上，若AB-AF=2，則AEx,y軸建立直角坐標(biāo)系，則B(2,0),E(.2,1),D(0,2),C(.2,2).設(shè)F(x,2)(0&

8、lt;x<.2),由AB-AF=.2?,2x=.2?x=1,AE-BF=(2,1)(12,2)=2.答案：.211. (2012湖北，5分)已知向量a=(1,0),b=(1,1)，則與2a+b同向的單位向量的坐標(biāo)表示為;(2)向量b3a與向量a夾角的余弦值為.解析：(1)因為2a+b=(3,1)，所以與它同向的單位向量的坐標(biāo)是(將，裁);(2)b3a=(2,1)，所以(b3a)a=2,|b3a|=,5，所以b3a與a夾角的余弦為(b3a)a_1cdd選項A的說法不正確；同理選項B的說法也不正確；若C,D同時在線段AB上,則11110<c<1,0<d<1,此時1，匚

9、1，一+匚2，若等號成立，則只能c=d=1,根據(jù)定義，C,cdcdD是兩個不同的點，故矛盾，故選項C的說法也不正確；若C,D同時在線段AB的延長線上，若c>1,d>1,則1+<2，與1+=2矛盾，若c<0,d<0,則+1是負(fù)值，與+=2矛cdcdcdcd_2需|b3a|a|,5一一5答案：(鶴°，錯)；(2)等12. (2011新課標(biāo)全國，5分)已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a+b與向量kab垂直，則k=.解析：/a+b與kab垂直，(a+b)(kab)=0,化簡得(k1)(ab+1)=0，根據(jù)a、b向量不共線，且均為單位向量得ab+

10、1豐0，得k1=0,即k=1.答案：1考點二平面向量的應(yīng)用1.(2011山東，5分)設(shè)A1,A2,A3,A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若XA!=入AA2(入R),AA=MA1A2(讓R),且如話2,則稱A3,A4調(diào)和分割A(yù)1,A2已知點C(c,0),D(d,0)(c,dR)調(diào)和分割點A(0,0),B(1,0)，則下面說法正確的是()A.C可能是線段AB的中點B.D可能是線段AB的中點C.C,D可能同時在線段AB上D.C,D不可能同時在線段AB的延長線上解析：根據(jù)已知得(c,0)(0,0)=4(1,0)(0,0),即(C,0)=X1,0),從而得C=人(d,0)(0,0)1111=p(1

11、,0)(0,0),即(d,0)=心,0),得d=e根據(jù)1+1=2，得1+1=2線段AB的方程是y=0,人卩cd111111盾，若c>1,d<0,貝-<1,<0，此時I<1，與I=2矛盾；故選項D的說法是正確的.cdcdcd答案：D2. (2013遼寧，12分)設(shè)向量a=(西sinx，sinx),b=(cosx,sinx)，x0，中.(1) 若|a|=|b|,求x的值；(2) 設(shè)函數(shù)f(x)=ab,求f(x)的最大值.解：本題考查向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查三角函數(shù)的性質(zhì).(1)由|a|2=(,3sinx)2+(sinx)2=4sin2x,222|b|=(co

12、sx)+(sinx)=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1.一n1又x0,2，從而sinx=2，所以x=n6(2)f(x)=ab=.3sinxcosx+sin2x=in2x-geos2x+*=sin當(dāng)x=0，n時，sinjxn取最大值1.3所以f(x)的最大值為33. (2013江蘇，15分)已知向量a=(cosa,sina,b=(cosB,sin3),0<仟a<n(1) 若|ab|=2,求證：a丄b;(2) 設(shè)c=(0,1)，若a+b=c,求a,3的值.解：本題考查平面向量的加法、減法、數(shù)量積運算，三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的運算求解和推理論證能力.(1) 證

13、明：由題意得|ab|2=2，即(ab)2=a22ab+b2=2.又因為a2=b2=|a|2=|b|2=1，所以22ab=2,即卩ab=0，故a丄b.rcosa+cos3=0,(2) 因為a+b=(cosa+cos3,sina+sin®=(0,1)，所以sina+sin3=1.由此得，cosa=cos(n3),由0<3<n,得0<n3<n又0<a<n,故a=n3代入sina+15nnsin3=1得，sina=sin3=，而3所以a=,3=x2v2血4. (2013天津，13分)設(shè)橢圓孑+孑=1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為左，過點F

14、且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為寧.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點若AC-DB+AD-CB=8，求k的值.解：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的運算等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.(1)設(shè)F(c,0)，由C=F，知，a=3c.過點F且與x軸垂直的直線為x=c,代入橢圓a3方程有一c+y2=1,解得y=4b=2，又a2c2=b2，從而aab33322=,3,c=1,所以橢圓的方程為扌+2=1.(2)設(shè)點C(X1,y1),D(X2,y2),

15、由F(1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1).y=kx+1消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k26=0.由方程組x2y2仝十=13十26k2則x1+x2=2Z333k26x1x2=2+3k2.TTTT因為A(3,0),B(,3,0)，所以AC-DB+ADCB=X+3,%)(,3X2,2)+(X2+,y2)3X1,y"=62x1X22y1y2=62乂恢2k2(x1+1)仕2+1)=6(2+22-.22-2k+122k)x1x22k(X1+X2)2k=6+2.2十3k2k2+12由已知得6+2+3k2=8,解得k=±2.5. (2010江蘇，14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1,2),B(2,3),C(2,1