第6講 高斯光束的傳輸變換

1、激光原理與技術(shù)激光原理與技術(shù)第六講第六講高斯光束的傳輸變換高斯光束的傳輸變換26.1 高斯光束的特征參數(shù)高斯光束的特征參數(shù)高高斯斯光光束束的的特特征征參參數(shù)數(shù) 222220022022200220020011 111 2arctgarctg 3 ozzzzzR zzzzzzzzzz 4 021(1) ( ) 由由、 式式可可知知，只只要要 確確定定了了束束腰腰的的位位置置和和半半 徑徑，就就可可以以確確定定任任何何 位位置置的的光光束束半半徑徑和和等等相相 位位面面、半半徑徑等等參參數(shù)數(shù)；( )( ) 2(21()zzR z 、當(dāng)當(dāng)確確定定了了某某一一確確定定位位置置 處處的的和和后后，也也

2、可可以以通通過過、 式式求求出出 束束腰腰位位置置及及大大小??； 122122011R zzR zzzzR z 20 (1) (2)zzR zz 由由、 式式可可求求出出，36.1高斯光束的特征參數(shù)高斯光束的特征參數(shù)3q、用用 參參數(shù)數(shù)表表示示 222expe22xpikrq zirrq zRkR 高高斯斯光光束束中中和和有有關(guān)關(guān)的的部部分分為為，對對比比球球面面波波對對應(yīng)應(yīng)的的表表達(dá)達(dá)式式，可可以以看看出出，地地位位與與 相相似似，則則可可以以被被復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)光光稱稱為為束束半半徑徑。 2( )( )11-qiqR zzq zR zz 由由 參參數(shù)數(shù)的的定定義義：可可知知 參參數(shù)數(shù)將將和和聯(lián)聯(lián)系

3、系在在一一起起了了，可可以以求求得得： 211Re11ImR zq zq zz 46.1高斯光束的特征參數(shù)高斯光束的特征參數(shù) 020( )11000qqiRq 令令，則則： 0R 00 200qiif q通通過過這這些些公公式式，我我們們可可以以用用高高斯斯光光束束的的 參參數(shù)數(shù)來來描描述述高高斯斯光光束束。以以上上三三組組參參數(shù)數(shù)都都可可以以用用來來確確定定高高斯斯光光束束的的具具體體結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)，需需要要根根據(jù)據(jù)實(shí)實(shí)際際問問題題來來靈靈活活選選擇擇使使用用哪哪種種參參數(shù)數(shù)。56.2 高斯光束通過薄透鏡的傳輸高斯光束通過薄透鏡的傳輸普普通通球球面面波波波波前前在在曲曲率率半半徑徑自自由由空空間間

4、中中的的傳傳播播規(guī)規(guī)律律 11221211RzzRzzzzzRzL 101L將將上上面面兩兩式式與與光光線線矩矩陣陣相相比比較較可可以以得得到到球球面面波波的的傳傳播播規(guī)規(guī)律律：F當(dāng)當(dāng)球球面面波波通通過過焦焦距距為為 的的薄薄透透鏡鏡時時，其其波波前前曲曲率率半半徑徑滿滿足足： 21111FRzRz 121/1RRzRF1011F 121ARzBRzCRzD 66.2 高斯光束通過薄透鏡的傳輸高斯光束通過薄透鏡的傳輸也也可可以以用用另另一一種種方方式式推推導(dǎo)導(dǎo)出出來來上上述述公公式式00iiiirArBrrCrDr 00iiiirArBrrCrDr 00iiiirABrrrrCDr 121AR

5、zBRzCRzD iiirRr 76.2 高斯光束通過薄透鏡的傳輸高斯光束通過薄透鏡的傳輸q高高斯斯光光束束 參參數(shù)數(shù)的的變變換換規(guī)規(guī)律律Rq高高斯斯光光束束在在近近軸軸部部分分可可以以看看作作一一系系列列非非均均勻勻、曲曲率率中中心心不不斷斷改改變變的的球球面面波波，也也具具有有類類似似于于普普通通球球面面波波的的曲曲率率半半徑徑 的的參參數(shù)數(shù)，即即 參參數(shù)數(shù)： 211iq zR zz 22022202011R zzzzz 其其中中q通通過過整整理理 的的表表達(dá)達(dá)式式可可以以得得到到： 0221112()()q zqzqzzzzqqqq ，在在均均勻勻介介分分別別為為 和和 面面質(zhì)質(zhì)中中處處

6、的的，參參數(shù)數(shù)21-Lzzq 通通過過長長度度為為的的則則均均勻勻介介質(zhì)質(zhì)后后的的 參參數(shù)數(shù)變變化化為為： 202101qzqzqzqz 20201211=qzqzqzzzqzL86.2 高斯光束通過薄透鏡的傳輸高斯光束通過薄透鏡的傳輸q透透過過薄薄透透鏡鏡傳傳播播的的高高斯斯光光束束 參參數(shù)數(shù)變變換換12MM由由薄薄透透鏡鏡性性質(zhì)質(zhì)可可知知，在在緊緊靠靠薄薄透透鏡鏡的的和和兩兩個個面面上上的的光光斑斑大大小小和和強(qiáng)強(qiáng)度度分分布布是是一一樣樣的的，即即： 12 1 可可以以證證明明經(jīng)經(jīng)過過薄薄透透鏡鏡變變換換后后在在像像方方繼繼續(xù)續(xù)傳傳輸輸?shù)牡墓夤馐匀詾闉楦吒咚顾构夤馐?1q從從 參參

7、數(shù)數(shù)表表達(dá)達(dá)式式以以及及式式可可以以得得到到： 2222221111qzRRii2R 為為等等相相位位面面曲曲率率半半徑徑，由由球球面面波波球球率率曲曲率率半半徑徑的的變變換換公公式式可可得得： 121111=11iFFRqz 96.2 高斯光束通過薄透鏡的傳輸高斯光束通過薄透鏡的傳輸( )q z前前面面得得到到了了類類透透鏡鏡介介質(zhì)質(zhì)中中高高斯斯光光束束參參數(shù)數(shù)的的表表達(dá)達(dá)形形式式： 22022220cossinsincoskkkqzzkkkq zkkkqzzkkk 022020222000cossinsincoskkkzzkkkABCDkkkzzkkk 將將上上式式同同前前面面得得到到的的

8、光光線線矩矩陣陣比比較較： 00AqBq zCqD 106.3 ABCD法則法則我我們們比比較較一一下下下下面面兩兩個個公公式式：12111qqF12111RRF( )( )q zR zqRq由由這這兩兩個個公公式式我我們們可可以以看看出出高高斯斯光光束束參參數(shù)數(shù)與與球球面面波波曲曲率率半半徑徑之之間間的的相相似似性性。通通過過將將上上面面推推出出的的公公式式同同球球面面波波的的傳傳播播特特性性公公式式相相比比較較，可可以以看看到到無無論論是是在在對對自自參參數(shù)數(shù)曲曲率率半半由由空空間間的的傳傳播播或或?qū)νㄍㄟ^過光光學(xué)學(xué)系系統(tǒng)統(tǒng)的的變變換換，高高斯斯光光束束的的都都起起著著和和普普通通球球面

9、面波波的的相相高高斯斯光光同同的的作作束束的的復(fù)復(fù)用用，因因此此有有時時曲曲率率半半將將 參參數(shù)數(shù)稱稱作作，徑徑徑徑其其表表達(dá)達(dá)式式為為：2011iqR qR 當(dāng)當(dāng)時時，上上式式可可以以得得出出而而此此時時我我們們討討論論的的對對象象已已經(jīng)經(jīng)從從波波動動光光學(xué)學(xué)過過渡渡到到了了0 0幾幾何何光光學(xué)學(xué)。116.3 ABCD法則法則121AqBqCqD q高高斯斯光光束束通通過過光光學(xué)學(xué)元元件件時時 參參數(shù)數(shù)的的變變換換規(guī)規(guī)律律可可以以類類似似的的用用光光線線矩矩陣陣表表示示出出來來：AqBCD該該式式表表示示了了通通過過空空間間、薄薄透透鏡鏡變變換換以以及及在在類類透透鏡鏡介介質(zhì)質(zhì)中中傳傳播播的

10、的高高斯斯光光束束的的傳傳輸輸變變換換規(guī)規(guī)則則，可可以以證證明明，高高斯斯光光束束在在其其他他光光學(xué)學(xué)元元件件上上透透射射或或反反射射都都遵遵循循這這一一規(guī)規(guī)則則，則則以以規(guī)規(guī)則則稱稱為為高高斯斯光光束束 參參數(shù)數(shù)變變換換法法則則，簡簡稱稱法法則則。高高斯斯光光束束經(jīng)經(jīng)過過變變換換之之后后仍仍然然為為高高斯斯光光束束ABCD矩矩陣陣元元構(gòu)構(gòu)成成的的光光線線矩矩陣陣是是表表示示輸輸出出平平面面上上和和輸輸入入平平面面上上光光線線參參數(shù)數(shù)之之間間的的關(guān)關(guān)系系。qqABCDq由由前前面面的的討討論論我我們們知知道道可可以以用用 參參數(shù)數(shù)描描述述一一個個高高斯斯光光束束的的具具體體特特征征，而而且且可

11、可以以通通過過 參參數(shù)數(shù)和和法法則則很很方方便便的的描描述述一一個個高高斯斯光光束束在在通通過過光光學(xué)學(xué)元元件件時時的的傳傳輸輸規(guī)規(guī)律律，因因此此我我們們將將主主要要采采用用 參參數(shù)數(shù)來來分分析析薄薄透透鏡鏡高高斯斯光光束束傳傳輸輸問問題題。ABCDABCD需需要要注注意意的的是是法法則則同同光光線線傳傳播播規(guī)規(guī)則則雖雖然然都都是是用用光光線線矩矩陣陣來來描描述述，但但是是高高斯斯光光束束的的法法則則不不同同于于光光線線傳傳輸輸?shù)牡木鼐仃囮嚦顺朔ǚā?26.3 ABCD法則法則F例例：以以焦焦距距為為 的的薄薄透透鏡鏡為為例例1011ABCDF 薄薄透透鏡鏡的的光光線線矩矩陣陣為為: : AB

12、CD則則由由法法則則可可以以得得到到1211qqqF 21111 1Fqq 211iq zR zz 考考慮慮到到： 2111222211 211iqRiqR 121q ABqq CD 136.3 ABCD法則法則 (2)1把把式式代代入入到到式式中中，并并且且比比較較實(shí)實(shí)部部與與虛虛部部得得到到：2121111FRR 上上面面的的第第一一個個公公式式表表明明薄薄透透鏡鏡兩兩面面的的高高斯斯光光束束光光斑斑半半徑徑相相同同，這這與與薄薄透透鏡鏡的的特特性性是是一一致致的的；第第二二個個公公式式表表明明薄薄透透鏡鏡兩兩面面等等相相位位面面的的曲曲率率半半徑徑滿滿足足成成像像公公式式，即即球球面面中

13、中心心是是關(guān)關(guān)于于該該透透鏡鏡的的共共軛軛像像點(diǎn)點(diǎn)，這這與與薄薄透透鏡鏡對對球球面面波波成成像像的的規(guī)規(guī)律律是是一一致致的的。146.4 高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播經(jīng)經(jīng)過過兩兩個個光光學(xué)學(xué)元元件件的的高高斯斯光光束束112211221 ABABCDCDq設(shè)設(shè)兩兩個個光光學(xué)學(xué)元元件件的的光光線線矩矩陣陣為為，入入射射高高斯斯光光束束參參數(shù)數(shù)為為，經(jīng)經(jīng)過過第第一一個個光光學(xué)學(xué)元元件件后后有有：1112111q ABqq CD 經(jīng)經(jīng)過過第第二二個個光光學(xué)學(xué)元元件件后后： 121211212222132221121211212TTTTA AC BqB AD Bq ABq AB

14、qq CDq CDA CC DqB CD D121212121212122112211221 TTTTA AC BB AD BA CC DBABABABCDCDDCDCD 其其中中：其其規(guī)規(guī)律律同同光光線線傳傳輸輸規(guī)規(guī)律律相相同同，可可以以推推廣廣到到任任意意個個光光學(xué)學(xué)元元件件的的傳傳輸輸情情況況。156.4 高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播 11ABCDSS光光線線通通過過雙雙周周期期透透鏡鏡波波導(dǎo)導(dǎo)單單元元的的光光線線矩矩陣陣為為，那那么么經(jīng)經(jīng)過過 個個周周期期后后，聯(lián)聯(lián)系系 面面和和第第 面面的的光光線線矩矩陣陣是是：StTTTABABCDCD 1112122121

15、 2 11 11dAfdBdfdCfff fdddDfff 用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法可可以以證證明明 sinsin1sinsin sinsin sinsinsin1sinTTTTAnABBCCDnD 166.4 高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播高高斯斯光光束束通通過過透透鏡鏡波波導(dǎo)導(dǎo)的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性條條件件由由光光束束參參數(shù)數(shù)變變換換法法則則： 11111sinsin1sinsinsinsin1TTsTTA qBqC qDAnqBCqDn 121212cos10112sdddqFFF F 要要使使得得上上式式中中為為有有限限值值，即即光光束束約約束束在在透透鏡鏡波波導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)傳傳播播，就就要要求求 為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，即即，此此可可得得到到光光束束穩(wěn)穩(wěn)定定性性條條件件： 11sin2sssi seiSeiq 如如果果 為為虛虛數(shù)數(shù)，不不妨妨設(shè)設(shè)，則則會會隨隨著著 的的增增加加而而增