全國(guó)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：放縮法證明數(shù)列不等式

1、放縮法證明數(shù)列不等式一、基礎(chǔ)知識(shí)：在前面的章節(jié)中，也介紹了有關(guān)數(shù)列不等式的內(nèi)容，在有些數(shù)列的題目中，要根據(jù)不等 式的性質(zhì)通過(guò)放縮，將問(wèn)題化歸為我們熟悉的內(nèi)容進(jìn)行求解。本節(jié)通過(guò)一些例子來(lái)介紹利用 放縮法證明不等式的技巧1、放縮法證明數(shù)列不等式的理論依據(jù)一一不等式的性質(zhì)：（1）傳遞性：若a > b,b > c，則a > c （此性質(zhì)為放縮法的基礎(chǔ)，即若要證明a > c，但 無(wú)法直接證明，則可尋找一個(gè)中間量b，使得a >b，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證明b>c即 可）（2）若a > b,c > d，則a + c > b + d，此性質(zhì)可推廣到多項(xiàng)求和：

2、若a > f,a > f（2）,.,a > f （n），則：a + a + + a > f （1）+ f （2）+.+ f （n）12n12n（3）若需要用到乘法，則對(duì)應(yīng)性質(zhì)為：若a > b > 0,c > d > 0，則ac > bd，此性質(zhì)也可推廣到多項(xiàng)連乘，但要求涉及的不等式兩側(cè)均為正數(shù) 注：這兩條性質(zhì)均要注意條件與結(jié)論的不等號(hào)方向均相同 2、放縮的技巧與方法:（1）常見(jiàn)的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn): 等差數(shù)列求和公式：Sn等比數(shù)列求和公式：sna1 + an n，a = kn + m （關(guān)于n的一次函數(shù)或常值函數(shù)） 2n=ai (q

3、n -1)(q 豐 1)， q -1an= k - qn （關(guān)于n的指數(shù)類函數(shù)） 錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差*等比”的形式 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng) （2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧： 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng) 與所證的不等號(hào)同方向） 在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見(jiàn)的是向等比數(shù)列與 可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)” 了，即與所證矛盾，通常有兩條道

4、路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等 式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧： 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)） 等比數(shù)列：所面對(duì)的問(wèn)題通常為"S<常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿 足回e（0,1），如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常 數(shù)可視為一的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的

5、通項(xiàng)1 q12 2公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號(hào)的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)w=T，3 1 -411即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為“1 M即通項(xiàng)公式為2 -14 J注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問(wèn)題：此類問(wèn)題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問(wèn)題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即 -a < f （n）或a < f（）（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè) n + 1 nan均為正

6、數(shù)），然后通過(guò)“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為a，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成 n證明（1）111-<1 < < -T1，n (n +1) n 2 n (n -1)，3、常見(jiàn)的放縮變形：其中n > 2,n e N :可稱為“進(jìn)可攻，退可守”，可依 n 2照所證不等式不等號(hào)的方向進(jìn)行選擇。注：對(duì)于，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個(gè)常數(shù)，即可放縮為符合裂項(xiàng)相消 n 21特征的數(shù)列，例如：< n 2n 2 1 (n 1)(n +1) 2 1 n 1，這種放縮的尺度要小于（1）中的式子。此外還可以構(gòu)造放縮程度更小的，如:11<1n21n 2 4z5 -4 n 2

7、1(2 n 1)(2 n +1) 2（2）一尸=尸，從而有:nn nn + nn2(/nrrI J< -= < 產(chǎn)nn + <n +1 nn nn + <n - 1< 2n 1)注：對(duì)于工 還可放縮為： 工 < nn n'n 2, n > 2,n e N* nnvn. b b + mb b + m(3)分子分母同加常數(shù)：一>(b > a > 0,m > 0)， >(a > b > 0,m > 0)a a + ma a + m此結(jié)論容易記混，通常在解題時(shí)，這種方法作為一種思考的方向，到了具體問(wèn)題時(shí)不

8、妨先構(gòu) 造出形式再驗(yàn)證不等關(guān)系。2n(4)Qn j Qn 1)(2n 1) < (2n 1)(2n 2) Qn 1)(2n1 1)可推廣為:n 1kn-Qn 1)Qn 1) <(kn nkn1l) " (kn 1)(kn 1 1)kn 1 1 kn 1> 2,k > 2, k, n e N*)> 2, n e N*)、典型例題:例1：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S”,若4S -(2n 1)a +1，且a - 1（1）求證：數(shù)列a 是等差數(shù)列，并求出a 的通項(xiàng)公式1(2)設(shè) b,n ' n數(shù)列右 的前n項(xiàng)和為T(mén)333，求證：Tn < 2解：(1)

9、4 Sn=(2n 1)an 討 +1. 4S-(2n 3)a + 1(n > 2)即(2 n +1) a (2 n -1) ann+1an-an -1anan -1a' n1 an - 22 n -12 n - 32 n-5由 4S (2n -1)a +1 令 n 1 可得:2 n-1(n >2)，驗(yàn)證a11符合上式(2)由(1)得：b nrx +V(2n -1)%；n2 n(2n -1)可知當(dāng)n > 2時(shí)，b - nn<V < T T(2 n -1) n (2 n - 2 ) 2 n (n -1) 2：.T b + b + b < b + 不等式得

10、證例2：設(shè)數(shù)列an滿足：a1設(shè)S為數(shù)列b 的前n項(xiàng)和，已知(1)求數(shù)列aj bn的通項(xiàng)公式(2)求證：對(duì)任意的n e N*且n > 2,有-+- +-a - b a - b a - b解：(1) a 3an+1n，a 為公比是3的等比數(shù)列 n在b 中，令n -1 n2 b1 b1 - S12 bn-1 - 1 - Sn-1n-1=b (n > 2 )n b-2 bn -1，b 是公比為2的等比數(shù)列 n-b 2 n-1 - 2 n-1(2)證明:1+a - b例3：已知正項(xiàng)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為S ,1且a + n an（1）求證：數(shù)列S 2是等差數(shù)列n(2)記數(shù)列 b = 2 S 3,

11、 T11nn證明：1解：(1) a + 2 Snan1S - Snn -1-2 S (n > 2 ):,1- S + SS - S n n-1 n n -1.h2 為等差數(shù)列 nS 2 - S 2 -1nn-1（2）思路：先利用（1）可求出S的公式進(jìn)而求出b - 2n<n11，則廠-=b2 njn考慮進(jìn)行放縮求和，結(jié)合不等號(hào)的方向向裂項(xiàng)相消的形式進(jìn)行放縮。解：令n = 1代入a + = 2S可得: n a nna + = 2a n a = 1 即 S = 11 a nn +1 nn > nn +1 n 1nn(n +1)7 n111由s2為等差數(shù)歹ij可得：S2 = S2 +

12、 (n-1) = n nn 1/. S =弋n:. b = 2n nnb2 n<n燈31考慮先證T < - n2nnn .2' ''n n(n -1 +n- - Jn -1 < n- - Jn -11T <-+ 1 -/-3(n > 2 )Jn (n -1)n- -1 nn131nn2 <n111再證T > 1 -= nnn +1n n +1 +1nn +1(11 (11 3)J+V而一時(shí)J、I 1 T 31綜上所述：1 -< T <-；=7n +1n 2 nn小煉有話說(shuō)：本題在證明中用到一個(gè)常見(jiàn)的根式放縮:111+

13、< < 7 n +1 + <n 2 nn vn + <n 一 1例4：已知數(shù)列a J滿足a1 - 2,an討（1）求證：數(shù)列卜是等比數(shù)列,并求出數(shù)列a的通項(xiàng)公式n .(2)設(shè)c - 一，求證：cn a1n+ c+. + c < 17n 24解：（1）a -n+1aaI. -7n 門(mén) - 2 -n-(n +1)2n2 、a12 2 n-1 = 2 n二. an（2）思路：cn(n +1)an2nam是公比為2的等比數(shù)列n1-，無(wú)法直接求和，所以考慮放縮成為可求和的通項(xiàng)公式（不等 a n 2 n號(hào)： < ）,若要放縮為裂項(xiàng)相消的形式，那么需要構(gòu)造出“順序同構(gòu)”的

14、特點(diǎn)。觀察分母中有n，故分子分母通乘以（n-1），再進(jìn)行放縮調(diào)整為裂項(xiàng)相消形式。解：cnn 2 n 一 n (n-1)2nn -1 所以y EK < n-f(n -1)2 n(n -1)2 n-1n 2 nc + c HF c < c + c + c +4 244 245 25+F11712 8 24 24 n 2 n24 n 2 n16 17. c < c + c < c + c + c - < 112123242417< 24(n> 3)小煉有話說(shuō)：（1）本題先確定放縮的類型，向裂項(xiàng)相消放縮，從而按“依序同構(gòu)”的目標(biāo)進(jìn)行構(gòu)造，在構(gòu)造的過(guò)程中注意不等

15、號(hào)的方向要與所證一致。（2）在求和過(guò)程中需要若干項(xiàng)不動(dòng)，其余進(jìn)行放縮，從而對(duì)求和的項(xiàng)數(shù)會(huì)有所要求（比如本題中n > 3才會(huì)有放縮的情況），對(duì)于較少項(xiàng)數(shù)要進(jìn)行驗(yàn)證。例：已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和S = na 一 3n（n 1）,n e N*，且a3 = 17(1)求 a 1(2)求數(shù)列a 的前n項(xiàng)和S nn(3)設(shè)數(shù)列江的前n項(xiàng)和T ,且滿足b =：；，求證：T < <3n + 22<3n + 2<3n + 2 + v3n -1 T b + b + + b < <3n + 2nnn S Sn 3n解：(1)在 S = na - 3n (n 一 1), n e

16、N* 中，令 n = 2, n = 3 可得： nna + a = 2 a - 6 I a 一 a = 6122n21a + a + a = 3 a -181 a + a = 16a = 5,a = 11(2)S = aa 一3n(n一1)S=( n 1)a 3( n 1)(n 2)n-1n-1-可得:a = na-(n - 1)a- 6(n - 1)n (n -1)a = (n - 1)a+ 6(n -1) (n > 2)n -1n-1 a = a + 6 a 是公差為6的等差數(shù)列 n a = a + 6 (n -1)= 6 n -1-3n(n -1) = n(6n -1)-3n(n

17、-1) = 3n2 + 2n（3）由（2）可得:3n 2 + 2 n<3 n + 2:.b =n例6：已知數(shù)列a 滿足a =7jn-t(n > 2, n e N )(-1a 1 - 2（1）試判斷數(shù)列,1+ （-1>,是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由 n（2）設(shè)b = a(2 n -1)冗 sin數(shù)列b 的前nE 4n項(xiàng)和為T(mén)，求證：對(duì)任意的n e N*,T <-n 7解：(1) a = 7n (-1)an 1nan-1(-1> a- 22n-1 = (-1)n aan -1n -1二. + (-1> = 2 (-1> -2-aa1n/十a(chǎn)n3 = (-2

18、). (-12-1 +一 a n -1+（T> 為公比是-2的等比數(shù)列 a Jn（2）思路：首先由（1）可求出an的通項(xiàng)公式a = _ / _ 7 Vn3 ,(-2 )n T-(-1)n(2 n -1)冗 sin可發(fā)現(xiàn)n為奇數(shù)時(shí)，sinn為偶數(shù)時(shí)，(2 n -1)冗 sin結(jié)合a 通項(xiàng)公式可將其寫(xiě)成sin= （-1）n -1 n2從而求出c13 2n-1 + 1，無(wú)法直接求和，所以考慮對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行放縮，可聯(lián)想到等比數(shù)列，進(jìn)而cn3 2 n-1 + 1 < 3 2 n-1，求和后與所證不等式右端常數(shù)比較后再進(jìn)行調(diào)整（需前兩項(xiàng)不動(dòng)）即可。解：+ （-1） = 3，由（1）可得: a1

19、+ (-1> = an1十a(chǎn)1(-1).(-2>T= 3 .(-2>T3 ,(-2 )n-1 (-1)n.(2n 一1)兀(2n -1)冗(-1Q3 (-2 )n-1 - (-1)n3 - 2 n-1 +1而 sin2= (-1)-1.= b = a - sin2n 3 , 2-i +1 3 , 2-1當(dāng)時(shí)，T =b +b H-b <(/?+/? )+J + JHb-1 J1V-212 "UJn 12n 123 223 233 2-l1 1 1 47 4< + + 4 7 6 84 7因?yàn)轶緸檎?xiàng)數(shù)列：,T <T <T <. .<

20、T n123n4:.VneNT <- 7例7：已知數(shù)列。卜茜足:n且n3na n-i 2a +zz-ln-(1)求數(shù)列L 的通項(xiàng)公式 n(2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)72,均有.Qa <2加 12n3na角翠：(1) a 1- 2a +zz-ln-l1 2a +n n 2a +n- n 2 n-l - rr=i - rr=i -1a 3na a 3aa 3 3ann-lnn-lnn-l7n 721 7n-l設(shè) 6 =Bp b =- + -/?n a “33,1 1-b -l = -(b -1)./ 1為公比是:的等比數(shù)列n J n-lnJ7 F 八 Ml W 7121 b 1 1)一

21、而 b =n i 1<3 J 1 a 3n n-3n/. a =二n b 3 一 1(2)思路：所證不等式可化簡(jiǎn)為:313231 32-1-7<2,由于是連乘形式，所以考3 一1慮放縮為分子分母可相消的特點(diǎn),觀察分母的形式為Gn-1)所以結(jié)合不等號(hào)方向?qū)⒎肿酉蛟撔问睫D(zhuǎn)化:3n 3n 2戶2 13"1 3« 3 3 3«-i 1G>2)再根據(jù)右邊的值對(duì)左邊放縮的程度進(jìn)行調(diào)整即可。,31323 八,證明：所證不等式為：加.<2加等價(jià)于證明:313231-1 32-13"。< 23n-l<：.C -c C12n3n設(shè)。二n

22、3n-l言H看含嗡<2（4）3個(gè)c = <2,c -c121 227 。=<28 16即不等式得證小煉有話說(shuō)：（1）對(duì)于一側(cè)是連乘形式的表達(dá)式，在放縮時(shí)可考慮通過(guò)分子分母相消達(dá)到化簡(jiǎn)式子的目的。與裂項(xiàng)相消相似按照“依序同構(gòu)”的原則構(gòu)造。（2）本題中用到了分式放縮的常用方法：通過(guò)分子分母加上相同的數(shù)達(dá)到放縮目的，但要 b b + c注意不等號(hào)的方向（建議驗(yàn)證），常用的放縮公式為：a>b>0,c>0-< （分子a a + c7 八 八 Q+c小與分母），a>b>0,c>0->-（分子大于分母） b b + c例 8：已知函數(shù)/（x）

23、=ox 221nx,/（l）=0（1）若函數(shù)/G）在x = l處切線斜率為0 , an+17a -n + l? n"2+1,已知 q =4,1求證：a > 2n + 2n（2）在（1）的條件下，求證:+ +< -1 + a 1 + a 1 + a 512nI?： (1) f,(x)=a + X2f(1)= 0% 一 b = 0，a = 1f' (1)= 0 a + b - 2 = 0 b = 1:.an+1=1 + (an- n +1)2 - 2 (an1)-n 2 +1整理后可得：a 1 =(a n)2 n+ +1 + a +1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：a, 2n

24、+ 2當(dāng)n = 1時(shí)，q = 4 > 2n + 2成立假設(shè) n = k (k g N*，則 n = k +1 時(shí)ak+1=a (a 一 2k)+1a > 2k + 2，ak+1>(2k + 2) 2 +1 = 4k + 5 > 2(k +1)+ 2n = k +1時(shí)，不等式成立(2) ,.,a= a 2 - 2 na +1 = a (a - 2 n)+1n+1 n由(1)可知a > 2n + 21<2 n-111<-2 a 111< 22 a -1已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正值，對(duì) Vn g N *，a 2n+1-1 = 4a (a +1), b =

25、 log (a +1),2n且 a1=* 1（1）求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式(2)當(dāng)k > 7且k g N*時(shí)，證明對(duì)Vn g N*，都有3 +/+ %+1 bn+2戶> 3成立bnk -12解：(1) a2 1 = 4 a (a +1)n+1. a2n +1nnn+1=(2 a +1)2n由a > 0可得:n. an+1.a +1為公比是2的等比數(shù)列 n（2）思路：所證不等式為:a +1 = (a1 +1) 2 n1 = 2 n二+n+2+n > 2左邊含有兩個(gè)變量,考慮通1過(guò)消元簡(jiǎn)化所證不等式。設(shè)T = +k n+ , , , +n +1 nk 13，則只需證明：（

26、T ） >（，易知Tk min 2k7 c 1113r3為遞增數(shù)列。所以只需證明k = 8，即一+- + - + ->-，左邊共7 n項(xiàng)，結(jié)合式的 n n +18 n 1 22r11特點(diǎn)可考慮將7n項(xiàng)分為3組：一+ +n n +111+1+ , , , +4 n4 n +18 n 1'V'4 n個(gè)2 n 2 n +1解：所證不等式-1 +bn1bn+11+1+bn+21bnk-13 t ，、一> 由（1）可得:只需證:min+ + , , +> 一n +1 n + 2nk 1 2+n +1 n + 2 nk -1)設(shè) T =- +k n- , , +n

27、+1 nk -1:.T - T k+1k1nknk +1H>nk + n -1也為遞增數(shù)列: k > 8：.(T ) = T =1 +k min 8 nH13>8 n -1 2+ +=n +18 n -1 1(4 n1而一十nH11一 - 2 n 2 n +1+ -''V' n個(gè)1111> + . . . +1/. +nV*-4 n個(gè)18n -1 8n/ 4 n個(gè)1113- +> + + n +18 n -1 2 2 2 2例10：數(shù)列a 是公差不為零的等差數(shù)列，n數(shù)列b滿足:n(1)當(dāng)n > 2時(shí)，求證:(2)當(dāng)a > 1且a

28、 g N*時(shí)，a ,a ,a ,a，,a，為等比數(shù)列求a 3當(dāng)a取最小值時(shí)，求證：- + - 3% b21+a 1k 2解：(1)由 bn+1 bb2 bn +1 可得:，b -1 = bb b1 2 n-1(n > 2,n g N*)兩式相除可得：*2;1 = bb - 1 nn(2 )思路：本題的突破口在于a既在等差數(shù)列a 中，又在等比數(shù)列a ,a ,a ,a ,a，中，從而在兩個(gè)不同風(fēng)格的數(shù)列中a均能夠用a進(jìn)行表示，然后12nn便得到k與a的關(guān)系式，抓住k ,a e N*的特點(diǎn)即可求出a的值a 為等差數(shù)列 d na - a +(k - 3). d - a +na a 6 a工2_

29、: 53 22(k 3). In 2另一方面，a ,a ,a ,a，,a，為等比數(shù)列12na：.q = ta3n+1a3 a3. k nn+11I a J36 a322a3+ 3 3 + n+11(a / 36 a3n+11I a 3J1 1 a3Ia J3 3 791 a3.61 + + , , +a35 + 2 + +-3.Vn e N* ,26( 6 丫 十 + a a J33eN. a3能夠被6整除經(jīng)檢驗(yàn)：a 3 2或a 3 - 3均符合題意n+11可視為以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列前(n +1)項(xiàng)和 a3思路：所證不等式兩側(cè)均為數(shù)列求和的形式，所以先觀察兩側(cè)是否有能直接求和的式子,從

30、而化簡(jiǎn)一側(cè)的表達(dá)式，由（1）和（2）可知，b+ 1 - 1b 1。k-2 x 3n+1，所以對(duì)于右側(cè)，- - -1 顯然無(wú)法直接找到求和方法。a 12 3 n+1 1n1而對(duì)于丁，雖然沒(méi)有通項(xiàng)公式,bnb 11但可對(duì)+ + 1- b向可求和的方式進(jìn)行變形，得到二 -b 1 nbnn1bn+1 - 1（n > 2），從而可111想到利用裂項(xiàng)相消的方式進(jìn)行求和，得至4- + + + -bbb1, + bn1bbb。對(duì)于右側(cè)11+a 1a 1+ 1只能考慮進(jìn)行放縮, a 1n針對(duì)一 a k n2 3 n+1 1的特點(diǎn)可向等結(jié)合不等號(hào)方向可得：1a 1n<。所以 2 3 n+1 13 n+11+a 111+ , , +< a 1 6n3 b,2 b3 3 n+1于是所證的不等式就變?yōu)橹恍枳C明1,考慮對(duì)江寸進(jìn)行放縮，抓住夕-3這個(gè)特點(diǎn)，