第四章 插值法

1、 4.1.5 Hermite插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式4.1.4 均差和均差和Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式4.1.3 逐次線性插值逐次線性插值4.1.2 Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式4.1.1 問題的提出問題的提出問題：問題：基于未知函數(shù)或復(fù)雜函數(shù)的某些已知信息，基于未知函數(shù)或復(fù)雜函數(shù)的某些已知信息，如何構(gòu)造這些函數(shù)的近似表達(dá)式如何構(gòu)造這些函數(shù)的近似表達(dá)式?情形情形函數(shù)函數(shù)f(x)在x點(diǎn)的點(diǎn)的Taylor展開式展開式( )(1)2100000000( )( )( )( )( )( )()()() (),1!2! nnnnf xfxfxff xf xx xx xx xx xnn0 ( x

2、x界于 與 之間)( )20000000( )( )( )( )( )()()() 1!2!nnf xfxfxf xf xx xx xx xn稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)的的Taylor插值插值115y解解: : 設(shè)設(shè)1 11510(115 100).2 10即例如：例如：利用利用TaylorTaylor插值求插值求0,100yxx取000000( )1( )()( )() 1!2f xxf xx xf xx xx利用利用TylorTylor插值，有插值，有y=f(x)x0p(x)TylorTylor插值的缺陷：插值的缺陷： TylorTylor插值中有導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，而插值中有導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，而計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)求

3、導(dǎo)運(yùn)算存在困難；近似區(qū)間小計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)求導(dǎo)運(yùn)算存在困難；近似區(qū)間小, ,在大在大的區(qū)間上不可行的區(qū)間上不可行情形情形在區(qū)間a,b上考慮函數(shù)函數(shù)f(x)的近似y=f(x)a b 求解：求解：y = f (x) 在在 a , b 上的近似曲線？上的近似曲線？利用函數(shù)利用函數(shù)f(x)在區(qū)間區(qū)間a, b上一系列點(diǎn)的值一系列點(diǎn)的值 yi= f(xi)（可通過觀察、測量、試驗(yàn)等方法得到）（可通過觀察、測量、試驗(yàn)等方法得到）y=f(x)xx0 x1x2xnyy0y1y2yn插插值值法法解決思路解決思路 根據(jù)根據(jù) f (x)在在n+1個(gè)已知點(diǎn)的值，求一個(gè)足夠光個(gè)已知點(diǎn)的值，求一個(gè)足夠光滑又比較簡單的函數(shù)滑又比較

4、簡單的函數(shù)p(x)，作為，作為 f (x)的近似表達(dá)式，的近似表達(dá)式，x0 x1x2x3x4 xf(x)p(x)曲線曲線 P ( x) 近似近似 f ( x) 從代數(shù)上看，看從代數(shù)上看，看p(x)滿足以下代數(shù)條件滿足以下代數(shù)條件p(xi) = yi i = 0, 1, 2, , n這就是所謂的插值這就是所謂的插值然后計(jì)算然后計(jì)算 p(x)在在a,b 上其它點(diǎn)上其它點(diǎn)x 處的函數(shù)值作為處的函數(shù)值作為原來函數(shù)原來函數(shù) f (x)在此點(diǎn)函數(shù)值的近似值。在此點(diǎn)函數(shù)值的近似值。代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式、有理函數(shù)或樣條函數(shù)代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式、有理函數(shù)或樣條函數(shù) 插值函數(shù)插值函數(shù)p( (x) )在在n+1

5、個(gè)互異插值節(jié)點(diǎn)個(gè)互異插值節(jié)點(diǎn)xi ( (i=0,1,n ) ) 處與處與f( (xi) )相等相等, ,在其它點(diǎn)在其它點(diǎn) x 就用就用p( (x) )的值作為的值作為f( (x) ) 的近似值。這一過程稱為的近似值。這一過程稱為插值插值，點(diǎn)，點(diǎn)xi稱為插值點(diǎn)。稱為插值點(diǎn)。 換句話說換句話說, , 插值插值就是根據(jù)被插函數(shù)給出的就是根據(jù)被插函數(shù)給出的函數(shù)表函數(shù)表“插出插出”所要點(diǎn)的函數(shù)值。用所要點(diǎn)的函數(shù)值。用p( (x) )的值的值作為作為 f( (x) )的近似值的近似值, ,不僅希望不僅希望 p( (x) )能較好地能較好地逼近逼近f( (x) ), ,而且還希望它計(jì)算簡單而且還希望它計(jì)算簡

6、單 。 (4.1)式稱為式稱為插值條件插值條件，x2 xn b 點(diǎn)上的值點(diǎn)上的值 y0, y1, , yn . 若存在一簡單若存在一簡單 函數(shù)函數(shù) p(x), 使得使得 p(xi) = yi i = 0, 1, 2, , n (4.1) 定義定義4.1f ( x ) 稱為稱為被插函數(shù)被插函數(shù)，a , b 稱為稱為插值區(qū)間插值區(qū)間， 稱為稱為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn) ， 求求 p ( x ) 的方法就是的方法就是插值法插值法。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在a , b上有定義，且已知在上有定義，且已知在 a x0 x1成立成立, ,則稱則稱 p( x ) 為為 f (x) 的的插值函數(shù)插值函數(shù)。nxxx,

7、10 近似計(jì)算近似計(jì)算 f (x) 的值、零點(diǎn)、極的值、零點(diǎn)、極值點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)、積分，值點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)、積分，插值點(diǎn)在插值區(qū)間內(nèi)的稱為插值點(diǎn)在插值區(qū)間內(nèi)的稱為內(nèi)插內(nèi)插, 否則稱否則稱外插外插. 最常用的插值函數(shù)是最常用的插值函數(shù)是 ?代數(shù)多項(xiàng)式代數(shù)多項(xiàng)式用代數(shù)多項(xiàng)式作插值函數(shù)的插值稱為用代數(shù)多項(xiàng)式作插值函數(shù)的插值稱為多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式插值本章主要討論的內(nèi)本章主要討論的內(nèi)容容插值函數(shù)的類型有很多種插值函數(shù)的類型有很多種插值問題插值問題插值法插值法插值函數(shù)插值函數(shù)分段函數(shù)分段函數(shù)三角多項(xiàng)式三角多項(xiàng)式 本章先討論插值問題，然后再討論數(shù)據(jù)擬本章先討論插值問題，然后再討論數(shù)據(jù)擬合的有關(guān)問題。合的有關(guān)問題。),(ii

8、yx)( xyii ix)(x 擬合法擬合法就是考慮到數(shù)據(jù)不一定準(zhǔn)確，不要求近似表就是考慮到數(shù)據(jù)不一定準(zhǔn)確，不要求近似表達(dá)式達(dá)式 經(jīng)過所有的點(diǎn)經(jīng)過所有的點(diǎn) ，而只要求在給定的，而只要求在給定的 上誤差上誤差 （i=0，1, , n）按某種標(biāo)準(zhǔn)最小。）按某種標(biāo)準(zhǔn)最小。若記若記 =( 1, 2 ,n )T ，就是要求向量就是要求向量的范數(shù)的范數(shù)| 最最小小。 問題問題2 2插值多項(xiàng)式的構(gòu)造插值多項(xiàng)式的構(gòu)造 可設(shè)可設(shè)p ( x ) = a0 + a1 x + + an x n 確定多項(xiàng)式確定多項(xiàng)式 p ( x )的次數(shù)的次數(shù)方法：待定系數(shù)法方法：待定系數(shù)法要求插值多項(xiàng)式要求插值多項(xiàng)式 p(x)，可以

9、通過求，可以通過求n+1個(gè)方程的解個(gè)方程的解:naaa10得到。但這樣做不但計(jì)算復(fù)雜，得到。但這樣做不但計(jì)算復(fù)雜，而且難于得到而且難于得到pn(x)的簡單表達(dá)式。的簡單表達(dá)式。結(jié)論：結(jié)論：n+1n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的插值多項(xiàng)式至多是個(gè)插值節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的插值多項(xiàng)式至多是n n次的次的問題插值多項(xiàng)式的存在唯一性問題插值多項(xiàng)式的存在唯一性 設(shè)設(shè) pn( x )是是 f (x) 的插值多項(xiàng)式，的插值多項(xiàng)式， Hn表示次數(shù)不超過表示次數(shù)不超過n 的所有多項(xiàng)的所有多項(xiàng)且且 pn( x ) Hn . 稱插值多項(xiàng)式存在且唯一，就是指在稱插值多項(xiàng)式存在且唯一，就是指在由由(4.1)可得可得 nnnnnnnnnyxa

10、xaayxaxaayxaxaa101111000010(4.2) 方程組方程組(4.2)有唯一解有唯一解插值多項(xiàng)式的唯一性插值多項(xiàng)式的唯一性nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxV21211020010111),( nijjixx0)(0 (xixj)定理定理4.1 滿足條件滿足條件 (4.1)的插值多項(xiàng)式存在且唯一。的插值多項(xiàng)式存在且唯一。范德蒙行列式范德蒙行列式a0, a1, a2, , an存在唯一存在唯一p(xi) = yi i = 0, 1, 2, , nHn 中有且僅有一個(gè)中有且僅有一個(gè) pn( x ) 滿足插值條件滿足插值條件(4.1)式。式。式的集合。式的集合。n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)互

11、異為求得便于使用的簡單插值多項(xiàng)式為求得便于使用的簡單插值多項(xiàng)式 p(x)，我們先討論，我們先討論n=1的情形。的情形。 當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，要構(gòu)造通過兩點(diǎn)時(shí)，要構(gòu)造通過兩點(diǎn) ( (x0 , y0 ) )和和( (x1, y1 )的不超過的不超過1 1次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式p1(x)( (后面記作后面記作L1(x) ) )，使得，使得100111(),()L xy L xyy 0 x y = f (x)y = L1(x)x0 x1 稱為線性（一次）插值稱為線性（一次）插值1111( ),),)kkkkyL xxyxyL x的幾何意義就是通過兩點(diǎn)（與（的直線，如圖所示， （ ）的表達(dá)式可由幾何意義直

12、接給出：（點(diǎn)斜式）（兩點(diǎn)式）101001011011010( )()( )kkyyL xyxxxxxxxxL xyyxxxx010110101)(xxxxyxxxxyxL 1010010( )()yyyLxxxxx或或10100110( ),( )xxxxl xl xxxxxL1(x)是兩個(gè)線性函數(shù)是兩個(gè)線性函數(shù)的線性組合的線性組合稱為節(jié)點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)x0 0, ,x1 1上上線性插值基函數(shù)線性插值基函數(shù)11 10 0( )( )( )yyL xl xl x- 線性線性Lagrange插值多項(xiàng)式形式插值多項(xiàng)式形式 y10 x0 x1 x l0(x) l1(x) 節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)上的線性線性 插值基函數(shù)

13、：插值基函數(shù)：滿足滿足 y10 x0 x1 x11 100( )( )( )yyL xl xl x10100110( ),( )xxxxl xl xxxxx(4.3)(4.4)x0 x1l0(x)10l1(x)01例例4.14.1 已知已知 , , ,10100 11121 115y解解: : 這里這里x0 0=100=100，y0 0=10=10，x1 1=121=121，y1 1=11, =11, 利用線利用線性插值性插值 1121100( )1011100121121100 xxL x1115(115)10.714yL利用線性插值求利用線性插值求1011(121)(100)2121xx

14、1111111111,(),() ( ), ( ) 4.5 ( )( )( ), (4.6) kkkkkkkkkkkkkkk kkkxxyf xyf xxxxxlxlxxxxxL xy lxylx一般地 取區(qū)間為及端點(diǎn)函數(shù)值令（）則類似地有線性插值多項(xiàng)式lk , lk+1稱為節(jié)點(diǎn)上稱為節(jié)點(diǎn)上滿足滿足 y10 xk xk+1 x y10 xk xk+1 x lk(x) lk+1(x)(4.7)xkxk+1lk(x)10lk+1(x)01111( )( )( ),k kkkL xy lxylxlk , lk+1的線性組合，相應(yīng)的組合系數(shù)是該點(diǎn)的函的線性組合，相應(yīng)的組合系數(shù)是該點(diǎn)的函數(shù)值數(shù)值 yk

15、, yk+1 y y=L2(x) y0 y1 y1 y=f(x) O x0 x1 x2 x 11222111122,( ),) (1, ,1),( ),).(,),(,)( ).kkkiikkkkkxnxxxL xL xyikk kyL xxyxyxyL x下面討論的情形。假定插值節(jié)點(diǎn)為要求二次插值多項(xiàng)式它滿足（幾何上就是通過三點(diǎn)（的拋物線。為了求出的表達(dá)式，可采用基函數(shù)方法 先求先求 插值基函數(shù)插值基函數(shù) l k- -1(x), l k (x), l k+1(x) ,它們滿足它們滿足 (1) 都是二次函數(shù)；都是二次函數(shù)； (2) 在節(jié)點(diǎn)滿足在節(jié)點(diǎn)滿足(4.8)xk-1xkxk+1lk-1(x

16、)100lk(x)010lk+1(x)001y 1 0 xy 1 0 xy 1 0 xxk- -1 xk xk+1 先求先求 lk-1(x):11( )()(),kkklxA x xx x則可令待定系數(shù)待定系數(shù)xk- -1 xk xk+1 xk- -1 xk xk+1 )( )()( )()(11111 kkkkkkkxxxxxxxxxl)( )()( )()(1111 kkkkkkkxxxxxxxxxl)( )()( )()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl 111()()0kkkklxlx由由lk-1(x)滿足的兩個(gè)條件滿足的兩個(gè)條件類似地類似地,可得可得知知lk-1(x)中含

17、有兩個(gè)因子中含有兩個(gè)因子(x-xk )( x-xk+1)，且是二次的，且是二次的11()1,kklx再由再由lk-1(x)滿足的條件滿足的條件1111()()kkkkAxxxx可得即得即得)( )()( )()( )()( )()( )()( )()(111111111111112kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL L2( x j ) = y j , j = k- -1, k, k+1 . L2(x) = yk - -1 lk 1(x) + yk lk (x) + yk +1 lk +1(x)值件值件插條插條再構(gòu)造再構(gòu)造插值插值

18、多項(xiàng)式多項(xiàng)式L2(x)是三個(gè)二次插值多項(xiàng)式的線是三個(gè)二次插值多項(xiàng)式的線性組合，且也滿足插值條件性組合，且也滿足插值條件(4.9)- 過三點(diǎn)過三點(diǎn)(xk- -1, yk- -1), (xk , yk) 與與(xk+1, yk+1)的拋的拋物線物線Y= L2(x)的幾何意義的幾何意義例例4 4.1* 已知已知 , , ,10100 11121 115y解解: : 這里這里x0 0=100=100，y0 0=10=10，x1 1=121=121，y1 1=11, =11, x2 2=144=144，y2 2=12=12，利用拋物線插值公式，利用拋物線插值公式 利用拋物線插值求利用拋物線插值求1441

19、22115(121)(144)(100)(144)(115)1011(100 121)(100 144)(121 100)(121 144)(100)(121)1210.72275(144 100)(144 121)xxxxxLxx這種用插值基函數(shù)表示的方法容易推廣到一般情形。這種用插值基函數(shù)表示的方法容易推廣到一般情形。3、Lagrange 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式(n次次)求通過求通過n +1個(gè)節(jié)點(diǎn)的個(gè)節(jié)點(diǎn)的n 次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式Ln(x)：先求插值基函數(shù)先求插值基函數(shù)然后構(gòu)造插值多項(xiàng)式然后構(gòu)造插值多項(xiàng)式設(shè)設(shè)Ln(x)=滿足插值條件：滿足插值條件：L n ( xj ) = y j , j

20、 = 0, 1, , n定義定義4.3 若若n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 lk ( x ) (k = 0,1, ,n ) 在各節(jié)點(diǎn)在各節(jié)點(diǎn) ,0;,1)(jkjkxljkj , k = 0, 1 , , n10 nxxx上滿足條件上滿足條件 則稱這則稱這n +1個(gè)個(gè)n 次多項(xiàng)式為這次多項(xiàng)式為這n +1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的個(gè)節(jié)點(diǎn)上的n 次次插值基函數(shù)插值基函數(shù)。0 01 1( )( )( )n ny lxy l xy lx先求先求 )()( )()()()( )()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl ， k = 0, 1 , n ., )()( )()()(110nkkk

21、xxxxxxxxAxl 令令k = 0, 1 , , n .)()( )()(1110nkkkkkkxxxxxxxxA 得得, 1)( kkxl由由11 100( )( )( )yyL xl xl xL2(x) = yk - -1 lk 1(x) + yk lk (x) + yk +1 lk +1(x)（類似于前面討論（類似于前面討論n n =1, 2 =1, 2 時(shí)的情形）時(shí)的情形）(4.10)再構(gòu)造再構(gòu)造插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 （Ln(x)是是n+1個(gè)插值基函數(shù)的線性組合）個(gè)插值基函數(shù)的線性組合） nkkknxlxfxL0)()( ）定理定理4.2（Lagrange）插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式,

22、),(),., 1, 0( ) )(,()(jixxnixfxxfyjiii 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)表表設(shè)設(shè)的插值多項(xiàng)式為的插值多項(xiàng)式為，則滿足插值條件則滿足插值條件).1 , 0()()(nixfxLiin ),.1, 0()(0nkxxxxxlnkjjjkjk 其中其中通常次數(shù)通常次數(shù)=n , 但特殊情形次數(shù)可但特殊情形次數(shù)可 n時(shí)差商為零時(shí)差商為零這個(gè)性質(zhì)與這個(gè)性質(zhì)與n n次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)相似次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)相似性質(zhì)性質(zhì) n n階差商階差商 和和n n階導(dǎo)數(shù)之間有下階導(dǎo)數(shù)之間有下 列關(guān)系列關(guān)系這個(gè)性質(zhì)可直接用羅爾（這個(gè)性質(zhì)可直接用羅爾（Rolle）定理證明。）定理證明。01,nfxxx( )0

23、100( ),(min,max) (2.23)!nniii ni nff x xxxxn 證明：余項(xiàng)證明：余項(xiàng)R(x) =f(x)- N(x)R(xi) =f(xi)- N(xi)=0 i=0,1, ,n Rn(n)(x) =f (n)(x)- Nn(n)(x)=f (n)(x)- f(x0)+(x-x0) fx0, x1+(x-x0)(x-x1) fx0, x1 , x2+(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)fx0,x1,xn(n)=f (n)(x)- n! fx0,x1,xnRn(xi)=0 (i=0,1,.,n)Rn( i)=0 (i=0,1,.,n-1)Rn(n)( )=0 (x0

24、,x1,xn)Rn(n)( )=0=f (n)( )- n! fx0,x1,xn( )01( ) , ,.,( )!nnff x xxn即即R( (x) )在在 x0,xn 有有n+1個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)羅爾定理個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)羅爾定理R(n)(x)在在 x0, ,xn 有有1 1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為 ，即有，即有 Rn(n)( )=0(4)性質(zhì) 證畢01020101101,( )()()() ()()() ,nnnnNxaaxxaxxxxaxxxxxxa aa下面由引進(jìn)的差商定義 可依此遞推得到牛頓插值多項(xiàng)式 中待定系數(shù)的一般表達(dá)式.( ), (0,1, )niiNxyin由插值條件 0000,()

25、.nxxNxaf當(dāng)時(shí)11010110110,( )() nxxNxaa xxfffaxx當(dāng)時(shí)，推得01,f x x3 牛頓插值公式的形式推導(dǎo)牛頓插值公式的形式推導(dǎo)22012022021220012022021,()()()(),() ()()nxxNxaa xxaxxxxffff xxxxaxxxx當(dāng)時(shí)，推得211001202021()(),()()()fffff x xxxxxxx21011001202021(),(),()()()fff x xxxf x xxxxxxx21012101220(),(),()fff x xxxf x x xxx301230101, , ,kknnaf x x

26、 xxaf x xxaf x xx類似地 有00100120101011( )(),(),()(),()()()nnnNxf xf xxxxf xx xxxxxf xxxxxxxxx稱按上述方法構(gòu)造的插值多項(xiàng)式的方法叫做牛頓插值多項(xiàng)式,即: 可以看出，牛頓插值公式計(jì)算方便，增加一可以看出，牛頓插值公式計(jì)算方便，增加一個(gè)插值點(diǎn)，只要多計(jì)算一項(xiàng)，而個(gè)插值點(diǎn)，只要多計(jì)算一項(xiàng)，而Nn( (x) )的各項(xiàng)系數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)恰好是各階差商值，恰好是各階差商值，很有規(guī)律很有規(guī)律. . xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2x0f(x0)x1f(x1)fx0,x1x2f(x

27、2)fx1,x2fx0,x1,x2x3f(x3)fx2,x3fx1,x2,x3fx0,x1,x2 ,x300010101201101,( )()() ,()() , .()().() ,.,nnnnNxf xxxf xxxxxxf xx xxxxxxxf xxx已知已知)(xfy 函數(shù)表函數(shù)表, 由差商定義及對稱性，得由差商定義及對稱性，得 000)()(,xxxfxfxxf )()(,)()(000axxxxfxfxf 110010,xxxxfxxfxxxf )()(,110100bxxxxxfxxfxxf 221010210,xxxxxfxxxfxxxxf )()(,221021010cx

28、xxxxxfxxxfxxxf nnnnxxxxxfxxxfxxxf ,10100 )()(,01010dxxxxxfxxxfxxxfnnnn 牛頓插值多項(xiàng)式的另一種推導(dǎo)牛頓插值多項(xiàng)式的另一種推導(dǎo)，)()()()(1010nnxfxfxfxfxxxx),(jixxji 當(dāng)當(dāng)將將(b)式兩邊同乘以式兩邊同乘以,)(0 xx )()(,)()(000axxxxfxfxf )()(,110100bxxxxxfxxfxxf )()(,221021010cxxxxxxfxxxfxxxf )()(,01010dxxxxxfxxxfxxxfnnnn )()(,11010 nnxxxxxxxxxf)()(,11

29、00nnnxxxxxxxxxxxf )(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf )(0 xx ,0 xxf )(,00 xxxxf 抵消抵消)(10 xxxx 10,xxxf )(,110 xxxxxf 抵消抵消)()(110 nxxxxxx)(,2210 xxxxxxf 10, nxxxf抵消抵消)()(0 xfxf ,10 xxf)(0 xx )(10 xxxx 210,xxxf)(0 xx )(,010nnnxxxxxfxxxf )()(110 nxxxxxx)()(110 nxxxxxx(d)(d)式兩邊同乘以式兩邊同乘以, ,把所有式子相加把所有式子相

30、加, ,得得，)(10 xxxx ,(c),(c)式兩邊同乘以式兩邊同乘以 )()(,)()(,)(,)(,)()(110011010102100100nnnnnxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxf 記記 00100120101011( )(),(),()(),()()()nnnNxf xf xxxxf xx xxxxxf xxxxxxxxx)()(,)(1100nnnnxxxxxxxxxxxfxR )()(,1100nnnxxxxxxxxxxxf )()(,)(,)(,)(11010102100100 nnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxx

31、fxf- - 牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式- - 牛頓插值余項(xiàng)牛頓插值余項(xiàng))(,10jnjnxxxxxf 可以驗(yàn)證可以驗(yàn)證 ( )( )(0,1, )inif xN x in，即，即 滿足插值條件滿足插值條件, 因此因此( )nNx可得以下結(jié)論?？傻靡韵陆Y(jié)論。 )(xf( )nNx)(xRn 定理定理3.4),();, 1 , 0)(,(jixxnixfxjiii 當(dāng)當(dāng)則滿足插值條件則滿足插值條件( )( ),(0,1, )inif xN xin的插值多項(xiàng)式為：的插值多項(xiàng)式為：( )( )( )nnf xNxR x（牛頓插值多項(xiàng)式）（牛頓插值多項(xiàng)式）其中，其中，0010( )( ) , ()n

32、N xf xf x x x x)()(,11010 nnxxxxxxxxxf- - 牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式010( ) ,()nnniiR xf x x xxxx- - 牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式均差型余項(xiàng)均差型余項(xiàng)已知已知 函數(shù)表函數(shù)表)(xfy ,10 xxf,10nxxxf)(0 xf牛頓插值多牛頓插值多項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)式系數(shù)牛頓插值多牛頓插值多項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)式系數(shù)牛頓插值多牛頓插值多項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)式系數(shù)（3.2）(1)03.4( ) ( )() (1)!nnniifR xx xn 下面可利用定理及性質(zhì)4可證得( )01010(1)0( ): , ,.,( )!( ) , , ()( )( )

33、().(1)!nnnnniinnniiff x xxnR xf x x xxx xfR xx xn證明 因?yàn)榍依?2.24)得: 即即證明了證明了用牛頓插值多項(xiàng)式近似函數(shù)值，其用牛頓插值多項(xiàng)式近似函數(shù)值，其截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差與拉格朗日插值法相同，即與拉格朗日插值法相同，即(1)0( )( )() (1)!nnniifR xx xn 根據(jù)插值多項(xiàng)式的唯一性知，牛頓插值多根據(jù)插值多項(xiàng)式的唯一性知，牛頓插值多項(xiàng)式本質(zhì)上就是拉格朗日插值多項(xiàng)式，只是構(gòu)項(xiàng)式本質(zhì)上就是拉格朗日插值多項(xiàng)式，只是構(gòu)造不同造不同: 1,2,3,4,5, ()1,4,7,8,6. .iixf x練習(xí)設(shè)當(dāng)時(shí)求三,四次牛頓插值多項(xiàng)式k

34、xkf(xk) 一階差商 二階差商 三階差商 四階差商012341234514786 3 3 0 1 -1 -1/3 -2 -3/2 -1/6 1/2414324( )( )() (1)(2)(3)(4)NxNxxxxx112332248331294241xxxx133( )13 (1)0 (1)(2)() (1)(2)(3)13(1)Nxxxxxxxx 例例3.5小結(jié)：拉格朗日型插值與牛頓型插值的比較小結(jié)：拉格朗日型插值與牛頓型插值的比較0001001011(1)( )( ), ( )(),() ,()()()(),()nnk kknnnnkknkkL xy lxNxf xf x xxxf

35、x xxxxxxxxnL xyNxy都是 次插值多項(xiàng)式,且均滿足插值條件(1)0( )( )() (1)!nnniifR xx xn插值余項(xiàng)均為:(2)-1,.nnn當(dāng)插值多項(xiàng)式從次增加到 次時(shí) 拉格朗日型插值多項(xiàng)式必須重新計(jì)算所有的基本的插值多項(xiàng)式 而對于牛頓型插值 只需用表格再計(jì)算一個(gè) 階均差 然后加上一項(xiàng)即可例例2.6 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)的如下值的如下值:求不超過求不超過3次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式P3(x)，使得滿足插值條件：，使得滿足插值條件：3333( 1)( 1),(0)(0),(1)(1),(0)(0).PfPfPfPf( 1)2(0)1(1)0(0)0.ffff 利用利用Ne

36、wton插值公式，還可以方便地導(dǎo)出某些帶導(dǎo)數(shù)的插值公式，如下例。插值公式，還可以方便地導(dǎo)出某些帶導(dǎo)數(shù)的插值公式，如下例。 解解 記記 構(gòu)造不超過構(gòu)造不超過3次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式, 1, 0, 1210 xxx),)()()(,)(,)()(2101021001003xxxxxxxxxxxxxfxxxxfxfxP a a其中，前三項(xiàng)是通過三個(gè)插值點(diǎn)的其中，前三項(xiàng)是通過三個(gè)插值點(diǎn)的2次次Newton插值插值N2(x),從而從而P3(x)滿足三個(gè)函數(shù)的插值條件。滿足三個(gè)函數(shù)的插值條件。是待定常數(shù)，由是待定常數(shù)，由x1 =0處的導(dǎo)數(shù)值條件確定。處的導(dǎo)數(shù)值條件確定。 23( )2(1)(1).P xxx

37、 xa 從而從而由由 ，得，得 ，所以問題的解是，所以問題的解是 。0)0(3 P1 a a33( )1P xx0,1,2102110 xxxfxxfxxf易知，其中的均差易知，其中的均差例例3.7 已知已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求求 f 20, 21, 27 及及 f 20, 21, 27, 28 分析：本題分析：本題 f(x)是一個(gè)多項(xiàng)式是一個(gè)多項(xiàng)式, 故應(yīng)利用差商的性質(zhì)故應(yīng)利用差商的性質(zhì)解解: 由差商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系由差商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 ()01(7 )(8 )(7 )017(8 )01781,()!( )7 !,( )0()7 !2 , 2 , 217 !7 !

38、()02 , 2 , 2 , 208!8!nnfxxxfnfxfxffff 及知 在實(shí)際計(jì)算中，經(jīng)常遇到插值節(jié)點(diǎn)等距分布的情形。在實(shí)際計(jì)算中，經(jīng)常遇到插值節(jié)點(diǎn)等距分布的情形。引入差分作為工具，可使引入差分作為工具，可使Newton插值公式得到簡化。插值公式得到簡化。給定給定)(xfy 的函數(shù)表的函數(shù)表)()()()(1010nnxfxfxfxfxxxx并記并記。), 1 , 0( ,)(nkfxfkk ,10bxxxan 且且, ), 2 , 1( , 01nkhxxkk ,nabh 即即0,(0,1, ),ixxih in記1 1、差分的定義、差分的定義稱稱 h為步長常數(shù)為步長常數(shù).稱稱x0

39、 , x1 , , xn-1 , xn 為為等距節(jié)點(diǎn)等距節(jié)點(diǎn), 二、二、 差分和等距節(jié)點(diǎn)牛頓插值公式差分和等距節(jié)點(diǎn)牛頓插值公式)(kkxff 記號(hào)記號(hào) 向前差分算子；向前差分算子； ,)()(1 kkkkkffhxfxff,)2()2(2121 kkkkkffhxfhxff kxx )(xf 中心差分算子中心差分算子. 定義定義3.5 向后差分算子；向后差分算子； )()(kkxfhxf ,1kkff 分別分別稱為稱為 在在 點(diǎn)的步長為點(diǎn)的步長為h的的一階一階向前向前差分差分、向向后后、中心中心差分差分. .一階差分一階差分 二階向前差分；二階向前差分；2()kkff 二階向后差分；二階向后差

40、分；)(2kkff kkff 1kkkfff 1221 kkff212 kkkfff利用一階差分，可定義二階差分為利用一階差分，可定義二階差分為一般地，可定義一般地，可定義m 階差分為階差分為kmkmkmkmkmfffff11111)( m 階向前差分階向前差分；11111)( kmkmkmkmkmfffff m階向后差分階向后差分；二階差分二階差分m階差分階差分21 kf 若一階中心差分若一階中心差分,121 kkkfff kf2 ,1kkff 2121 kkff 112 kkkfff則二階中心差分為則二階中心差分為2 2、差分的性質(zhì)、差分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 n 階差分是階差分是n+1個(gè)函

41、數(shù)值線性組合個(gè)函數(shù)值線性組合12120 ( 1)( 1) ( 1)nkk nnk nnk niinnk n ikniink n iiyyC yC yC yyC y 一般地，可用數(shù)學(xué)歸納法證明此公式，下面僅進(jìn)一般地，可用數(shù)學(xué)歸納法證明此公式，下面僅進(jìn)行驗(yàn)證。行驗(yàn)證。y0= y1 y0y1= y2 y1y2= y3 y2= y2 2y1 +y0 2y0= y1 - y0 3y0= 2y1 - 2y0= y3 2y2 +y1 (y2 2y1 +y0)= y3 3y2 +3y1 y0 2y1= y2 - y1= y3 2y2 +y1(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3(a-b)2=a2-2ab

42、+b2 4y0= 3y1 - 3y0= y4 3y3 +3y2 y1 -(y3 3y2 +3y1 y0 )= y4 4y2 +6y2 4 y1 +y0 (a-b)4=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b3結(jié)論：各階差分中函數(shù)值的系數(shù)正好等于結(jié)論：各階差分中函數(shù)值的系數(shù)正好等于(a-b)r 展開式中的系數(shù)展開式中的系數(shù)驗(yàn)證：驗(yàn)證：對于后差也有類似的公式，例如對于后差也有類似的公式，例如312333kkkkkyyyyy性質(zhì)性質(zhì)2 2 在等距插值的情況下，在等距插值的情況下，差分與均差有以下差分與均差有以下的關(guān)系的關(guān)系1 , (2.26)!kiiii kkff x xxk h等距節(jié)點(diǎn)情況下等距節(jié)

43、點(diǎn)情況下xi= x0+ih ，用差分表示差商：用差分表示差商：010110,xxxfxfxxf =y1 y0 y0fx1 , x2=y2 y1h= y11!hfx0,x1,x2=fx1,x2- fx0,x1x2 x0= y11!h y01!h2h= y1- y02h2= 2y02!h2fx1,x2,x3=fx3,x2- fx2,x1x3 x1= y21!h y11!h2h= y2- y12!h2= 2y12!h2fx0,x1,x2 ,x3= 2y12!h2 2y02!h23h= 2y1 - 2y02*3h3= 3y03!h3,.,10nxxxf ny0n!hn驗(yàn)證：驗(yàn)證：即有以下差分與差商的關(guān)

44、系：即有以下差分與差商的關(guān)系：11: , (2 .2 6 )!: , (2 .2 7 )!kiiiikkkiiiikkffxxxkhffxxxkh( 1 ) 均 差 與 向 前 差 分 的 關(guān) 系類 似 地 也 可 推 出( 2 ) 均 差 與 向 后 差 分 的 關(guān) 系計(jì)算各階差分可按如下計(jì)算各階差分可按如下差分表差分表進(jìn)行進(jìn)行.2300110222102333210231230niiiiiinnnnnnxfffffxfxffxfffxffffxfffff例例3.8 計(jì)算計(jì)算 f (x) = x3在等距節(jié)點(diǎn)在等距節(jié)點(diǎn)0，1，2，3, 4上的各階差分值上的各階差分值3 3、等距節(jié)點(diǎn)的牛頓插值公

45、式、等距節(jié)點(diǎn)的牛頓插值公式000 (1),(), ,0,kkknxxkhyf xxx xxxthtn 考慮向前情形設(shè)等距節(jié)點(diǎn)記當(dāng)令例如(下圖)x0 x1 x2 x x3 xn將牛頓插值公式中的均差用差分代替，將牛頓插值公式中的均差用差分代替，fx0 , x1= y01!hfx0,x1,x2= 2y02!h2fx0,x1,x2 ,x3= 3y03!h3而而()(0,1, )kxxtk hkn從而牛頓插值公式從而牛頓插值公式在等距節(jié)點(diǎn)的情形下在等距節(jié)點(diǎn)的情形下為為Nn(x) =y0+(x-x0) y01!h+(x-x0)(x-x1) 2y02!h2+(x-x0)(x-x1) (x-xn-1) ny

46、0n!hn2300000(1)(1)(2)1!2!3!(1).(1).!ntt tt ttyyyyt ttnynNewton向前差分插值公式的向前差分插值公式的余項(xiàng)為余項(xiàng)為(1)11(1)00( )( )( ),(1)!(1)()( )()( )(1)! (,)nnnnnnnnfR xxnt ttnR xR xthhfnx x由可得 牛頓向前插值公式牛頓向前插值公式適合于計(jì)算函數(shù)適合于計(jì)算函數(shù)表表頭處附近的函數(shù)值。表表頭處附近的函數(shù)值。11110( )() () ,()()() ,nnnnnnnnnN xf xxxf x xxxxxxxf x xx令令x=xn-th, 則當(dāng)則當(dāng)x0 xxn時(shí)時(shí)

47、,0tn.利用差商與向后差利用差商與向后差分的關(guān)系分的關(guān)系, , 上式可簡化為上式可簡化為（2 2）考慮向后情形）考慮向后情形如果將如果將Newton插值公式插值公式改為按節(jié)點(diǎn)改為按節(jié)點(diǎn)xn,xn-1,x0的次的次序排列的序排列的NewtonNewton插值公式插值公式, ,即即(1)110( )( )()( 1)(1)()(1)!nnnnnnnfRxRxthht ttnnxx其余項(xiàng)為其余項(xiàng)為22()()(1)(1)2!(1)(1)(1)!nnnnnnnnnNxNxtht tftfft ttnfn 稱上式為稱上式為NewtonNewton向后差分插值公式向后差分插值公式NewtonNewton

48、后差插值公式的另一種形式后差插值公式的另一種形式: : 設(shè)設(shè) ，在，在Newton插值公式中用插值公式中用xN代代替替x0，用，用xN-1代替代替x1，用，用xN-k代替代替xk k，這樣可以得到，這樣可以得到(0)Nxxth nt NNNNnfttftfthxN2)1(!21)(。fntttnNn )1()1(!1(3.30)稱為稱為Newton向后插值公式向后插值公式。把二項(xiàng)式系數(shù)擴(kuò)大到包含負(fù)數(shù)的情形，記。把二項(xiàng)式系數(shù)擴(kuò)大到包含負(fù)數(shù)的情形，記,!) 1() 1(kktttkt 則有則有.!) 1() 1() 1(kktttktk 其余項(xiàng)為其余項(xiàng)為).,(),()!1()()1()()1(1

49、NkNnnnxxfhnntttxR (3.1.28)(3.30)式可表示為式可表示為.)1()(0NknkkNNfktthxN 即即(3.29)式式 例例3.4 給定給定f(x)= 在等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表如下在等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表如下: xi fi 1.00 1.00000 1.05 1.02470 1.10 1.04881 1.15 1.07238 1.20 1.09544 1.25 1.11803 1.30 1.14017分別用三次分別用三次Newton向前向前/向后差分插值公式求向后差分插值公式求f(1.01)及及f(1.28)的近似值的近似值.x0.024700.024110.0235

50、7-0.00059-0.00005-0.00054解解 取取x0=1.0, h=0.5, x3=1.15. 先構(gòu)造三次向前差分表如下先構(gòu)造三次向前差分表如下:fi 2 2fi 3 3fi 用用Newton向前差分表中對角線上的值向前差分表中對角線上的值, 得得Newton向前向前差分插值公式如下差分插值公式如下:3(1)( )1.000000.02470( 0.00059)2(1)(2) ( 0.00005) (1)3!t tNxtt tt 當(dāng) x=1.01時(shí),用公式(1),這時(shí)t=(x-x0)/h=0.2. 將t=0.2代入(1),得 f (1.01)N3(1.01)=1.00499再再 取

51、取x3=1.30 , x0=1.15, h=0.5, 構(gòu)造三次向后差分表如下構(gòu)造三次向后差分表如下:xi fi 1.00 1.00000 1.05 1.02470 1.10 1.04881 1.15 1.07238 1.20 1.09544 1.25 1.11803 1.30 1.14017 fi 2 2fi 3 3fi 0.023070.022590.02214-0.00048-0.00003-0.00045用用Newton向后差分表中副對角線上的值向后差分表中副對角線上的值, 得得Newton向向后差分插值公式如下后差分插值公式如下:3(1)( )1.140170.02214( 0.000

52、45)2(1)(2) ( 0.00003) (2)3!t tNxtt tt 當(dāng) x=1.28時(shí),用公式(2),這時(shí)t=(x-xN)/h=-0.4. 將t=-0.4代入(2),得 f (1.28)N3(1.28)=1.3137注：注：一般當(dāng)一般當(dāng) x 靠近靠近 x0 時(shí)用前插，靠近時(shí)用前插，靠近 xn 時(shí)用后插，時(shí)用后插，故兩種公式亦稱為故兩種公式亦稱為表初公式表初公式和和表末公式表末公式。例例3.9 給定給定f(x)在等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表如下在等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表如下: xi 0.4 0.6 0.8 1.0 f(xi) 1.5 1.8 2.2 2.8分別用分別用Newton向前向前/向后差分插

53、值公式求向后差分插值公式求f(0.5)及及f(0.9)的近的近似值似值. 解解 先構(gòu)造向前差分表如下先構(gòu)造向前差分表如下: xi fi fi 2 2fi 3 3fi 0.4 1.5 0.6 1.8 0.3 0.8 2.2 0.4 0.1 1.0 2.8 0.6 0.2 0.1 x0=0.4, h=0.2, x3=1.0. 用用Newton向前差分表中對角線上向前差分表中對角線上的值的值, 得得Newton向前如下向前如下:0.53(1)(1)(2)(0.40.2 )1.50.30.10.123!t tt ttNtt(1)當(dāng) x=0.5時(shí),用公式(1),這時(shí)t=(x-x0)/h=0.5. 將t=

54、0.5代入(1),得 f (0.5)N3(0.5)=1.64375.用用Newton向前差分表中對角線上的值向前差分表中對角線上的值, 得得Newton向前向前插值如下插值如下:再構(gòu)造向后差分表如下再構(gòu)造向后差分表如下: xi fi fi 2 2fi 3 3fi 0.4 1.5 0.3 0.1 0.1 0.6 1.8 0.4 0.2 0.8 2.2 0.6 1.0 2.8用用Newton向后差分表中副對角線上的值向后差分表中副對角線上的值, 得得Newton向后插值如下向后插值如下:3(1)(1)(2)(1 0.2 )2.80.60.20.123!t tt ttNtt (2)0.9當(dāng)x=0.9

55、時(shí), 用向后插值公式向后插值公式(2), 這時(shí)t=(x-x3)/h=0.5. 將t= - 0.5代入(2), 得 f (0.9)N3(0.9)=2.46875.說明：當(dāng)構(gòu)造向后牛頓差分的表達(dá)式時(shí)，如果采用的說明：當(dāng)構(gòu)造向后牛頓差分的表達(dá)式時(shí)，如果采用的節(jié)點(diǎn)與向前差分的相同或是其中的一部分，則可以利節(jié)點(diǎn)與向前差分的相同或是其中的一部分，則可以利用向前差分表用向前差分表求求向后牛頓差分的表達(dá)式，例如向后牛頓差分的表達(dá)式，例如xy y 2y 3y 4yx0y0 x1y1 y0 x2y2 y1 2y0 x3y3 y2 2y1 3y0 x4y4 y3 2y2 3y1 4y0Newton向后插值公式向后插

56、值公式44423444444()()(1)(1)(2)2!3!(1)(2)(3)4!NxNxtht tt ttftffft tttf 所以可以用向前差分表中最后一行的數(shù)據(jù)計(jì)算所以可以用向前差分表中最后一行的數(shù)據(jù)計(jì)算Newton向后插值。向后插值。443322443432233414440,2,fyyyfffyyyyfyfy 其 中()即前差表的第四行的數(shù)據(jù) 例例 3.10 已知已知f(x)=sinx的數(shù)值如表的數(shù)值如表2-11的第的第2列，分列，分別用二次別用二次Newton向前、向后插值公式求向前、向后插值公式求sin0.57891的近的近似值。似值。0.4 0.38942 0.5 0.47

57、943 0.09001 0.6 0.56464 0.08521 0.00480 0.7 0.64422 0.07958 -0.00563 -0.00083 x sinx 2 2 3表2-110.57891向向前前向向后后（只需構(gòu)造向前差分表）（只需構(gòu)造向前差分表）0.4 0.38942 0.5 0.47943 0.09001 0.6 0.56464 0.08521 0.00480 0.7 0.64422 0.07958 -0.00563 -0.00083 x sinx 2 2 3表2-6 解解 作向前差分表如表作向前差分表如表2-6，使用，使用Newton向前向前差分公式差分公式x0=0.5,

58、 x1=0.6 , x2=0.7 , x=0.57891, h=0.1,則則 t =(x-x0)/h =0.7891,220001( )(1)2Nxft ft tf ,54714. 0)00563. 0()1(2108521. 047934. 0 ttt即即sin0.578910.54714。誤差為。誤差為向向前前.1095. 25 . 0cos1036. 3)(, 7 . 05 . 0),cos)(2)(1(!3)(55232 xRttthxR 2(0.57891)N0.4 0.38942 0.5 0.47943 0.09001 0.6 0.56464 0.08521 0.00480 0.7

59、 0.64422 0.07958 -0.00563 -0.00083 x sinx 2 2 3表2-6向向后后若用若用Newton向后向后插值公式（插值公式（2.30），則可?。瑒t可取x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, x=0.57891,h=0.1, t =(x-x2)/h=- 0.2109。于是。于是222221( )(1)2Nxftft tf ,54707. 000480. 0)1(2108521. 056464. 0 ttt即即sin0.578910.54707。誤差為。誤差為3252( )(1)(2)( cos ),0.40.6,3!( )4.57 10 .hRxt t

60、tRx2(0.57891)N 最后，我們指出，在帶有差商的差商型的插值公式中，在帶有差商的差商型的插值公式中，為了計(jì)算差商需要進(jìn)行多次除法，因此當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距時(shí)，應(yīng)為了計(jì)算差商需要進(jìn)行多次除法，因此當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距時(shí)，應(yīng)當(dāng)用差分代替差商，若節(jié)點(diǎn)是可以隨意取的，則自然應(yīng)當(dāng)當(dāng)用差分代替差商，若節(jié)點(diǎn)是可以隨意取的，則自然應(yīng)當(dāng)選為等距的。此外，利用差分作插值多項(xiàng)式，也要合理選為等距的。此外，利用差分作插值多項(xiàng)式，也要合理地決定差分的階數(shù)，以避免高階差分的誤差積累，而這種地決定差分的階數(shù)，以避免高階差分的誤差積累，而這種積累有時(shí)是很嚴(yán)重的積累有時(shí)是很嚴(yán)重的。請看下例。例：求序列0，0，0，0，0，0的差分表 表中