線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1線段線段(xindun)的垂直平分線的性質(zhì)與的垂直平分線的性質(zhì)與判定判定第一頁，共26頁。（一）線段（一）線段(xindun)(xindun)的垂直平分線的性質(zhì)的垂直平分線的性質(zhì) 如圖，直線 l 垂直平分線段AB，P1，P2，P3，是 l 上的點(diǎn)，分別量一量點(diǎn)P1，P2，P3，到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離，你有什么(shn me)發(fā)現(xiàn)？小結(jié)小結(jié)(xioji)：線段垂直平分線上的點(diǎn)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等相等.探究新知第2頁/共26頁第二頁，共26頁。線段線段(xindun)垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段(xindun)兩個(gè)端點(diǎn)

2、的距離相等兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.思考思考(sko)：上述問題用數(shù)學(xué)語言可以如何表示？：上述問題用數(shù)學(xué)語言可以如何表示？如右圖，設(shè)直線如右圖，設(shè)直線MN是線段是線段AB的的垂直平分線，點(diǎn)垂直平分線，點(diǎn)C是垂足，點(diǎn)是垂足，點(diǎn)P是直線是直線MN上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)(y din)，連接，連接PA，PB，我們要證明的是，我們要證明的是PA=PB.如何證明呢？探究新知第3頁/共26頁第三頁，共26頁。寫出已知，求證(qizhng).思路思路(sl)分析：圖中有兩個(gè)直角三角形，分析：圖中有兩個(gè)直角三角形，APC和和BPC，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可得只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可得PA=PB.已知：已知：

3、MN AB，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)C，AC=BC，點(diǎn)，點(diǎn)P是直線是直線MN上任意上任意(rny)一點(diǎn)一點(diǎn). 求證：求證：PA=PB.探究新知線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等等.第4頁/共26頁第四頁，共26頁。已知：已知：MN AB，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)C，AC=BC，點(diǎn)，點(diǎn)P是直線是直線MN上任意上任意(rny)一點(diǎn)一點(diǎn). 求證：求證：PA=PB.證明：在證明：在APC和和BPC中，中， PCPC（公共邊）（公共邊） PCB=PCA（垂直（垂直(chuzh)定義）定義） ACBC（已知）（已知） APC BPC (SAS)PAPB (全

4、等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 探究(tnji)新知 第5頁/共26頁第五頁，共26頁。線段線段(xindun)的垂直平分線的性質(zhì)的垂直平分線的性質(zhì)線段線段(xindun)垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段(xindun)兩兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等個(gè)端點(diǎn)的距離相等.幾何語言：幾何語言：PCAB且且AC=BC PA=PB 思考(sko)：你能寫出該命題的逆命題嗎？它是真命題嗎？探究新知第6頁/共26頁第六頁，共26頁。（二）線段（二）線段(xindun)的垂直平分線的判定的垂直平分線的判定 逆命題：如果有一個(gè)點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等逆命題：如果有一個(gè)點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距

5、離相等(xingdng)，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.探究(tnji)新知線段的垂直平分線的性質(zhì)這一命題條件是：“有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)”，結(jié)論是：“這個(gè)點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”.第7頁/共26頁第七頁，共26頁。 逆命題：如果有一個(gè)點(diǎn)與線段兩個(gè)逆命題：如果有一個(gè)點(diǎn)與線段兩個(gè)(lin )端點(diǎn)的距離相端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.真命題？假命題?已知已知:如圖，線段如圖，線段(xindun)AB，點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且是平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA=PB.求證：求證：P點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂

6、直平分線上的垂直平分線上.畫出圖形畫出圖形,寫出已寫出已知，求證知，求證.探究(tnji)新知（二）線段的垂直平分線的判定（二）線段的垂直平分線的判定第8頁/共26頁第八頁，共26頁。已知已知:如圖，線段如圖，線段(xindun)AB，點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且且PA=PB.求證：求證：P點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂直平分線上的垂直平分線上.證法一過點(diǎn)證法一過點(diǎn)P作已知線段作已知線段(xindun)AB的垂線的垂線PC.C在在RtPAC和和RtPBC中中PA=PBPC=PCRtPAC RtPBC （HL）AC=BC即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上.探究(tnji)新知第9頁/共26頁第九頁，共26頁

7、。證法二取證法二取AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)(zhn din)C，過，過PC作直線作直線.在在APC和和BPC中中APC BPC （SSS） PCA=PCB(全等三角形對(duì)應(yīng)(duyng)角相等）P點(diǎn)在AB的垂直平分線上.PA=PBPC=PCPA=PBAC=BCPCA+PCB=180PCA=PCB=90PCABC已知已知:如圖，線段如圖，線段AB，點(diǎn)，點(diǎn)P是平面是平面(pngmin)內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，且且PA=PB.求證：求證：P點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂直平分線上的垂直平分線上.第10頁/共26頁第十頁，共26頁。已知已知:如圖，線段如圖，線段(xindun)AB，點(diǎn)，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，且是內(nèi)一點(diǎn)，且PA=PB.求證：

8、求證：P點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂直平分線上的垂直平分線上.證法證法(zhn f)三過三過P作作APB的平分的平分線線.在在APC和和BPC中中APC BPC （SAS） AC=BC, PCA=PCB (全等三角形對(duì)應(yīng)(duyng)邊相等，對(duì)應(yīng)(duyng)角相等）P點(diǎn)在AB的垂直平分線上.PA=PBPC=PCPA=PB1= 2又PCA+PCB=180C12 PCA=PCB =90第11頁/共26頁第十一頁，共26頁。已知已知:如圖，線段如圖，線段(xindun)AB，點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且是平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA=PB.求證：求證：P點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂直平分線上的垂直平分線上.證法證法(zhn f)四過四

9、過P作線段作線段AB的垂直平的垂直平分線分線PC.P點(diǎn)在AB的垂直平分線上.AC=CBC1 12 2PCA=PCB =90這種證法正確嗎？第12頁/共26頁第十二頁，共26頁。已知已知:如圖，線段如圖，線段AB，點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)(y din)，且，且PA=PB.求證：求證：P點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂直平分線上的垂直平分線上.分析：如圖（1），PD AB，D是垂足(chu z)，但D不平分AB； 如圖（2），PD平分AB，但PD不垂直于AB. 這說明一般情況下，“過P作AB的垂直平分線”是不可能實(shí)現(xiàn)的，所以第四個(gè)同學(xué)的證法是錯(cuò)誤的.探究(tnji)新知第13頁/共26頁第十三頁，共26頁

10、。線段線段(xindun)(xindun)的垂直平分線的判定的垂直平分線的判定 與線段兩個(gè)端點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)(dun din)距離相等的點(diǎn)在這條線距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上段的垂直平分線上.P點(diǎn)在AB的垂直平分線上.PA=PB幾何幾何(j h)語言語言:探究新知第14頁/共26頁第十四頁，共26頁。 我們?cè)谜奂埖姆椒ㄕ鄢鲞^線段的垂直平分線，學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，你能用尺規(guī)作圖的方法作 出已知線段的垂直平分線嗎？要作線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定，只需找到兩個(gè)與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離(jl)相等的點(diǎn)，就能確定已知線段的垂直平分線.第15頁/共26頁第十五頁，共26頁。

11、寫出已知，求作.例例1尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)(y din)作這條直作這條直線的垂線線的垂線.已知：直線已知：直線AB和和AB外一點(diǎn)外一點(diǎn)C（如下圖）（如下圖）.求作：求作：AB的垂線的垂線(chu xin)，使它經(jīng)過點(diǎn)，使它經(jīng)過點(diǎn)C. 探究(tnji)新知第16頁/共26頁第十六頁，共26頁。已知：直線已知：直線AB和和AB外一點(diǎn)外一點(diǎn)C.求作：求作：AB的垂線的垂線(chu xin)，使它經(jīng)過點(diǎn)，使它經(jīng)過點(diǎn)C. 作法(zu f)演示：（超鏈接）第17頁/共26頁第十七頁，共26頁。證明：證明： CD=CE CD=CE，DF=EFDF=EFCC，F(xiàn) F都在都在

12、ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上 （線段垂直平分線的判定）（線段垂直平分線的判定）CFCF就是就是(jish)(jish)線段線段ABAB的垂直平分線的垂直平分線 （兩點(diǎn)確定一條直線）（兩點(diǎn)確定一條直線） 思考:為什么直線CF 就是所求作的垂線？思考：我們除了用刻度尺找線段的中點(diǎn)外，還有其他的方法嗎？探究(tnji)新知第18頁/共26頁第十八頁，共26頁。解：ABACCE ADBC ADBC，BD=DCBD=DC AB=AC AB=AC（垂直平分線的性質(zhì)）（垂直平分線的性質(zhì)）點(diǎn)點(diǎn)C C在在AEAE的垂直平分線上的垂直平分線上AC=CEAC=CE（垂直平分線的性質(zhì)）（垂直平分線的性質(zhì)）AB

13、=AC=CEAB=AC=CE（等量（等量(dn lin)(dn lin)代換）代換）理由(lyu)如下：教材(jioci)P62 練習(xí)： 1.如圖，ADBC，BD=DC,點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系?ABBD與DE有什么關(guān)系？第19頁/共26頁第十九頁，共26頁。解：AB+BDDE AB=CE（已證）BD=DC（已知） AB+BD=CE+DC（等式(dngsh)的性質(zhì)1）AB+BD=DE理由(lyu)如下： 1.如圖，ADBC，BD=DC,點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度(chngd)有什么關(guān)系?ABBD與DE有什么關(guān)系？第20頁/共26頁第二十頁

14、，共26頁。解：AM是線段(xindun)BC的垂直平分線.理由理由(lyu)如下如下:ABAC（已知）（已知）點(diǎn)點(diǎn)A在線段在線段(xindun)BC的垂直平分線上（垂直平分線的的垂直平分線上（垂直平分線的判定）判定）同理可得：同理可得： 點(diǎn)點(diǎn)M在線段在線段(xindun)BC的垂直平分線上的垂直平分線上直線直線AM是線段是線段(xindun)BC的垂直平分線的垂直平分線 （兩點(diǎn)確定（兩點(diǎn)確定一條直線）一條直線） 2.如圖，AB=AC，MB=MC.直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？第21頁/共26頁第二十一頁，共26頁。第22頁/共26頁第二十二頁，共26頁。1.線段線段(xindun)的垂直平分線的性質(zhì)的垂直平分線的性質(zhì).2.線段線段(xindun)的垂直平分線的判定的垂直平分線的判定.3.用尺規(guī)作線段用尺規(guī)作線段(xindun)的垂直平分線的垂直平分線.第23頁/共26頁第二十三頁，共26頁。2022年4月14日【課后