高考數(shù)學總復習專題4.6 導數(shù)（解析版）新課標試卷

1、專題4.6 導數(shù)題組一、利用導數(shù)研究切線問題-試卷1-1、【2022·廣東省陽春市第一中學10月月考】已知函數(shù).（1）若，求的極大值（2）曲線若在處的切線與曲線相切，求a的值.【解析】（1），所以，當，為增函數(shù)；當，為減函數(shù)；當，為增函數(shù)；所以當時，的極大值為；（2）由，得，.所以曲線在處的切線方程為，設直線與曲線相切于點，所以，得，所以，所以.1-2、(2022·泰州中學期初考試-)(12分)已知函數(shù)(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值【解析】(1)因為，所以.又因為，所以曲線在點處的切線方程為.(2)設，則.當時，所以在區(qū)間上單調遞減.所以

2、對任意有，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.題組二、利用導數(shù)解證不等式 2-1、(2022·青島期初考試-)(12分)已知函數(shù)f(x)(x1)lnxa(x1)，aR(1)若a0，求證：f(x)0；2)若f(x)有且只有兩個零點x1，x2(i)求a的取值范圍；(ii)求證：0【解析】解：(1)當a0時，f(x)(x1)lnx，若x(0，1)，則x10，lnx0，f(x)0；若x1，f(1)0；若x(1，)，則x10，lnx0，f(x)0；所以當a0時，f(x)0，當a0時，f(x)(x1)lnx0，所以當a0時，f(x)0，(2)(i)由(1)知a0不合題

3、意；當a0時，f(x)，令h(x)f(x)，所以h(x)0，所以h(x)在(0，)上單調遞增，且h(1)0，h(ea)0，所以存在x0(1，ea)使得h(x0)f(x0)0，所以當x(0，x0)時，f(x)0，f(x)在(0，x0)上單調遞減；當x(x0，¥)時，f(x)0，f(x)在(x0，¥)上單調遞增；因為f(x0)f(1)0，f()3a(1)a(1)2a(2)0，f()(3a1)(1)a(1)2a(12)0，所以，f(x)在和各恰有一個零點，所以a的取值范圍是(0，¥)；(ii)因為，所以若f(x)0，則，所以，即，又因為，所以，所以11x1x222所以0

4、2-2、(2022·江蘇泰州中學高三10月月考)定義：函數(shù)，的定義域的交集為，若對任意的，都存在，使得，成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，那么我們稱，為一對“函數(shù)”，已知函數(shù)，（）求函數(shù)的單調區(qū)間；（）求證：；（）若，對任意的，為一對“函數(shù)”，求證：（為自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】（）在上遞減，在上遞增；（）證明見解析；（）證明見解析.【解析】【分析】（）求出，討論其符號后可得函數(shù)的單調區(qū)間.（）根據(jù)（）中的結果可將原不等式的證明轉化為證明，構建新函數(shù)后利用導數(shù)可證后者成立.（）因為對任意，存在，使得且 ，化簡后利用（）中的不等式結合特值法可得，利用導數(shù)可估計該不等式的解對應的區(qū)間的長度，從而可證

5、明.【詳解】解：（），當時，；當時，在上遞減，在上遞增（）由（）得，要證，即證，設函數(shù)，當時，當時，故在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，即恒成立，所以，綜上，（）由題設，對任意，存在，使得，且，而，故.法一：由（）得，令，則，令，在上遞增，在上遞減，又，由零點存在性定理得存在（），使得，故不等式的解為故，證畢法二：由均值不等式得故，令，則，同法一，有不等式的解為故，證畢2-3、【2022·廣東省深圳實驗學校10月月考】已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）當時，函數(shù)在其定義域內有兩個不同的極值點，記作、，且，若，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出

6、函數(shù)的定義域，求得，對實數(shù)的取值進行分類討論，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）利用分析法得出所證不等式等價于，令，構造函數(shù)，其中，利用導數(shù)證明出對任意的恒成立，由此可證得原不等式成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，方程的判別式.當時，在為增函數(shù)；當時，方程的兩根為，（i）當時，對任意的，在為增函數(shù)；（ii）當時，令，可得，令，可得.所以，在為增函數(shù)，在為減函數(shù).綜上所述：當時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間；（2）證明：，所以，因為有兩極值點、，所以，欲證等價于要證：，即，所以，因為，所以原不等式等價于要證明.又，作差得，所以原不等式等價于要證

7、明，令，上式等價于要證，令，所以，當時，則，所以在上單調遞增，因此，在上恒成立，所以原不等式成立.2-4、【2022·廣東省陽春市第一中學10月月考】已知函數(shù)（a為常數(shù)）（1）當時，討論函數(shù)的單調性；（2）若存在兩個極值點，且，證明【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（2）求出，求出的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調性證明結論成立即可【詳解】解：（1），設，當時，成立，則有，所以函數(shù)在的單調遞增當時，由，得或，由得，所以函數(shù)在，單調遞增，在單調遞減（2）由（1）知函數(shù)的兩個極值點滿足，不妨設，則在上是減函數(shù)，故，令，則，又，即，解得，故，設，則，在上為

8、增函數(shù)，所以2-5、(2022·江蘇揚州中學高三10月月考)已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).（1）若關于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（2）已知正數(shù)a滿足：，試比較與的大小，并證明你的結論.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）參變分離，可轉化為在（0，+）上恒成立，令，即，求的最小值即可，利用均值不等式即得解；（2）構造函數(shù)，分析單調性可知在上的最小值為，且，分三種情況討論，即得解【詳解】（1）若關于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，即在（0，+）上恒成立，設，則在上恒成立.當且僅當，即時上式等號成立.（2）由已知，令，由，解得.當時，此時函數(shù)單調

9、遞減；當時，此時函數(shù)單調遞增.在上的最小值為.注意到， 時，即，從而； 時，； 時，即，從而.綜上可知：當時，；當時，；當時，.題組三、利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題-試卷3-1、(2022·湖北華中師大附中等六校開學考試-聯(lián)考)設.（1）討論在上的單調性；（2）令，試證明在上有且僅有三個零點.【答案】（1）的單調遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）首先求導得到，再根據(jù)導函數(shù)的正負性即可得到函數(shù)的單調區(qū)間.（2）首先根據(jù)，得到是的一個零點，再根據(jù)是偶函數(shù)得到在上的零點個數(shù)，只需確定時，的零點個數(shù)即可，再求出在時的單調性和最值，確定其零點個數(shù)即可.【詳解】，令，則

10、或.時，單調遞增，時，單調遞減，時，單調遞增，時，單調遞減.單調遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.（2），因為，所以是的一個零點. 所以是偶函數(shù)，即要確定在上的零點個數(shù)，需確定時，的零點個數(shù)即可.當時，令，即或.時，單調遞減，且，時，單調遞增，且在有唯一零點 當時，由于，.而在單調遞增，所以恒成立，故在無零點，所以在有一個零點，由于是偶函數(shù)，所以在有一個零點，而，綜上在有且僅有三個零點.3-2、(2022·江蘇淮安市六校第一次聯(lián)考)(本小題滿分12分)已知函數(shù)(1)若不等式f(x)m在區(qū)間1，3上有解，求實數(shù)m的取值范圍；(2)已知函數(shù)F(x)f(x)ax，aR，若x0是F(x)的極大值點，求

11、的取值范圍【解析】(1)若不等式f(x)m在x1，3上有解，則f(x)minm，因為，所以f(x)，令g(x)x2x5(x)2，x1，3，則易知g(x)在1，3上單調遞減，且g(1)50，g(3)10故存在x1(1，3)，使得f(x)在區(qū)間1，x1)上單調遞增，在連區(qū)間(x1，3上單調遞減所以當x1，3時，f(x)minminf(1)，f(3)，故實數(shù)m的取值范圍為，¥) 5分(2)由題意知ax，所以F(x)，記G(x)，則G(x)(x1)(x4)e，所以G(x)在(，1)上單調遞增，在(1，4)上單調遞減，在(4，)上單調遞增8分因為x0是F(x)的極大值點，所以1x04，且(x0

12、2，所以，記h(x)，則4)exe(x1)(x4)， 10分-所以函數(shù)h(x)在(1，0)上單調遞減，在(0，4)上單調遞增，易知h(0)4，所以當x(1，4)時，4h(x)，所以4F(x0)，即F(x0)的取值范圍為4，) 12分3-3、(2022·江蘇蘇州市八校聯(lián)盟第一次適應性檢測)(本題滿分12分)已知函數(shù)在x0處的切線與y軸垂直(1)求a的值；(2)判斷f(x)在(0，)上零點的個數(shù)，并說明理由【解析】(1)f(x， 2分所以kf(0)a0，所以a0； 4分(2)由，可得，令，)，所以， 6分當時，sinxcosx1，ex1，所以g(x)0，聽以g(x)在上單調遞增，又因為g

13、(0)0，所以g(x)在上無零點； 8分當時，令，所以h(x)2cosx× ex0，即h(x)在上單調遞減，又因為h()e10，h()e10，所以存在， 10分-所以g(x)在上單調遞增，在上單調遞減，因為g()e0，g()0，所以g(x)在上且只有一個零點；3-4、【2022·廣東省深圳市外國語學校第一次月考10月】已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）是否存在正數(shù)，使得對任意恒成立？證明你的結論.（3）求在上零點的個數(shù).【解析】【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義直接求解可得結果；（2）令，利用導數(shù)可證得，得到；可證得，由此確定存在使得不等式恒成立；（3）當時，可證

14、得，知此時無零點；當時，利用導數(shù)可求得當時，單調遞減；當時，單調遞增，結合零點存在定理可確定此時存在兩個不同的零點；當時，結合零點存在定理可確定在上單調遞增，在上單調遞減，結合零點存在定理可知此時無零點；綜合三種情況可得結果.【詳解】（1），又，在處的切線方程為：，即；（2）令，則，當時，在上恒成立，在上單調遞增，即在上恒成立；若，即，只需，又，則當時，成立；存在正數(shù)，使得對任意恒成立；（3）當時，在上無零點；當時，在上單調遞增，使得，當時，單調遞減；當時，單調遞增；又，在和上各有一個零點；當時，在上單調遞增，使得，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增；，使得，當時，；當時，；在上單調遞

15、增，在上單調遞減， ，在上無零點；綜上所述：在上的零點個數(shù)為個.3-5、(2022·江蘇省第一次大聯(lián)考)(12分)已知函數(shù)f(x)axlnx其導函數(shù)為f(x)(1)當a2時，求f(x)的最大值；(2)若f(x)有兩個極值點，求a的取值范圍【解析】(1)因為f(x)axlnxx2ax，所以f(x)alnxx，設g(x)f(x)alnxx當a2時，g(x)2lnxx，g(x) 2分當x(0，2)時，g(x)0，g(x)單調遞增；當x(2，)時，g(x)0，g(x)單調遞減，所以g(x)maxf(x)maxg(2)2ln22 4分(2)因為g(x)f(x)alnxx，所以g(x)當a0時，

16、g(x)0，則g(x)在(0，)上單調遞減，此時g(x)至多1個零點，f(x)至多1個極值點，不合題意 5分當a0時，當x(0，a)時，g(x)0，g(x)單調遞增；當x(a，)時，g(x)0，g(x)單調遞減，所以g(x)g(a)a(lna1)， 7分當0ae，則g(x)g(a)0，g(x)至多1個零點，f(x)至多1個極值點，不合題意 8分當ae時，因為g(1)10，g(a)a(lna1)0，且g(x)在(1，a)上單調遞增，所以存在唯一x1(1，a)，使得g(x1)0 9分由(1)可知，g(x)2lnxx在(e，)單調遞減，所以g(x)g(e)2e0，所以g(a2)a(2lnaa)0，又

17、因為g(a)0，且g(x)在(a，a2)上單調遞減，所以存在唯一x2(a，a2)使得g(x2)0列表如下：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，¥)f(x)00f(x)減極小增極大減此時滿足題意綜上可知，ae 12分題組四、利用導數(shù)解決不等式恒（能）成立與探索性問題-試卷4-1、(2022·湖南省雅禮中學開學考試-)(12分)已知函數(shù)f(x)xlnxx3a，g(x)xx3x(aR，e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若函數(shù)f(x)在上有零點，求a的取值范圍；(2)當x1時，不等式f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【解析】(1)f(x)lnx1x2，設(x)f(x)，則(

18、x)3x 當x(0，)時，(x)0，(x)遞增；當x(，¥)時，(x)0，(x)遞減所以(x)的最大值即(x)的極大值位()f()0，所以f(x)在(0，)上遞減，即在(，1)上遞減， 若函數(shù)f(x)在(，1)上有零點，則f()·f(1)0，則a(2)f(x)g(x)，即xlnxx3axx3x，化簡lnxax210，設，F(xiàn)(1)0，F(xiàn)(x)，F(xiàn)(1)3a2(i)3a20，即a時，令h(x)F(x)，h(x)lnx2a(1)0，所以F(x)在區(qū)間1，)上單調遞增，所以F(x)F(1)3a20，所以F(x)在區(qū)間1，)上單調遞增，F(xiàn)(x)F(1)0恒成立，即f(x)g(x)恒成

19、立(ii) 3a20，即a時，若F(x)在1，)上無零點，則F(x)0恒成立，所以F(x)在區(qū)間1，)上單調遞減，所以F(x)F(1)0恒成立，即f(x)g(x)不成立；若F(x)有零點，設第1個零點為x0，當x(1，x0)時F(x)0，所以F(x)在區(qū)間(1，x0)上單調遞減，所以F(x)F(1)0，即f(x)g(x)在區(qū)間(1，x0)上不成立綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為4-2、(2022·湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高三起點考試-)已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的導數(shù)的單調性（2）當時，不等式對恒成立，求實數(shù)m的取值范圍【答案】（1）上單調遞減，在上單調遞增；（2）【解析】【分析】（1）求導

20、可得，再求導分析單調性即可；（2）化簡構造可得對恒成立，再根據(jù)，再求導分析分析的正負，結合隱零電腦問題-試卷，分析函數(shù)的最值判斷即可詳解】（1），令，由，當時，；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增；（2）當時，不等式對恒成立，等價于對恒成立，令，則，令，則對恒成立，從而有上單增，當時，在上單增，即對恒成立，當時，使得，當時，在上遞減，當時，故不成立，綜上，m的取值范圍是4-3、(2022·江蘇南京市中華中學高三10月月考)(本小題滿分12分)設函數(shù)f(x)excosxax，(aR)(1)當a0時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，上的最小值；(2)若，f(x)1恒成立，求a的取值范圍【解析】

21、(1)當a0時，f(x)excosx，則f(x)ex(cosxsinx)，令f(x)0，解得x，且當x0，時，f(x)0，即函數(shù)f(x)在0，上單調遞增；當x，時，f(x)0，即函數(shù)f(x)在，上單調遞減；且f(0)1，f()e1，故函數(shù)f(x)在區(qū)間0，上的最小值為e；(2)由題意f(x)ex(cosxsinx)a，令g(x)f(x)ex(cosxsinx)a，則g(x)2exsinx，當x0，時，sinx0，則g(x)0，即函數(shù)g(x)在0，上單調遞減；當x，時，sinx0，則g(x)0，即函數(shù)g(x)在0，上單調遞增；則g(x)在x處取得極小值，也是最小值又g(0)1a，g()ae，g(

22、)a，所以g(0)g()g()，若g()ae0，解得ae，¥)，此時g(x)f(x)0，故f(x)在0，上單調遞增，則f(x)maxf()a1，與a的范圍矛盾，故舍去；若g(0)0，g()0，g()0，解得a(0，e)，此時f(x)在0，上單調遞減，在，上單調遞增，所以f(x)maxf(0)1a1，解得a0，與a的范圍矛盾，故舍去；若g(0)0，解得a(¥，1，此時g(x)f(x)0，故f(x)在0，上單調遞減，則f(x)maxf(0)1a1，滿足題意，則a1，綜上，a的取值范圍為(¥，14-4、【2022·廣東省梅江市梅州中學10月月考】已知函數(shù)為的導函數(shù)（1）當時，求的極值；（2）當時，恒成立，求的取值范圍【答案】（1）極小值，無極大值；（2）.、【解析】【分析】（1）先求出，再次求導，利用導