第一節(jié)數(shù)量值函數(shù)的曲線(xiàn)積分ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)量值函數(shù)的曲線(xiàn)積分?jǐn)?shù)量值函數(shù)的曲線(xiàn)積分 ( (第一類(lèi)曲線(xiàn)積分第一類(lèi)曲線(xiàn)積分) )一、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念和性質(zhì)一、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念和性質(zhì)二、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算二、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算三、幾何與物理意義三、幾何與物理意義一、第一類(lèi)的曲線(xiàn)積分的概念一、第一類(lèi)的曲線(xiàn)積分的概念1、問(wèn)題的提出、問(wèn)題的提出實(shí)例實(shí)例1 1柱面的面積柱面的面積（2 2曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取極限取極限.),(lim10 niiiisM

2、 近似值近似值精確值精確值2、定義、定義,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL 并作和并作和作乘積作乘積點(diǎn)點(diǎn)個(gè)小段上任意取定的一個(gè)小段上任意取定的一為第為第又又個(gè)小段的長(zhǎng)度為個(gè)小段的長(zhǎng)度為設(shè)第設(shè)第個(gè)小段個(gè)小段分成分成把把上的點(diǎn)上的點(diǎn)用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)面內(nèi)一條光滑曲線(xiàn)弧面內(nèi)一條光滑曲線(xiàn)弧為為設(shè)設(shè)oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.),(limd),(,d),(,),(,010 niiiiLLsfsyxfsyxfLyxf 即即記作記作線(xiàn)積分線(xiàn)積分第一類(lèi)曲第一類(lèi)曲上的曲線(xiàn)積分或上的曲線(xiàn)積分或在曲

3、線(xiàn)弧在曲線(xiàn)弧數(shù)數(shù)則稱(chēng)此極限為數(shù)量值函則稱(chēng)此極限為數(shù)量值函這和的極限存在這和的極限存在時(shí)時(shí)長(zhǎng)度的最大值長(zhǎng)度的最大值如果當(dāng)各小弧段的如果當(dāng)各小弧段的被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量.),( LdsyxM 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分第一類(lèi)曲線(xiàn)積分也稱(chēng)為第一類(lèi)曲線(xiàn)積分也稱(chēng)為若在若在 L L 上上 f (x, y)1, f (x, y)1, Lsd定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分的特例定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分的特例 ? ? 否否! ! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分要求對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分要求 ds 0 ,但定積分中但定積分中dx 可能為負(fù)可能為

4、負(fù).d),(),( LsyxfLyxf記為記為上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分在閉曲線(xiàn)在閉曲線(xiàn)函數(shù)函數(shù)= L的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度. 思考題思考題3 . 第一類(lèi)曲線(xiàn)積分存在的條件：第一類(lèi)曲線(xiàn)積分存在的條件：1) 假設(shè)假設(shè) f (x , y)在光滑曲線(xiàn)在光滑曲線(xiàn) L上連續(xù)，那么上連續(xù)，那么 一定存在一定存在. Lsyxfd),(2) f (x,y)在在L上有界且在上有界且在L上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)時(shí)，上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)時(shí)， 存在存在. Lsyxfd),(4. 第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的性質(zhì)第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的性質(zhì) (1)( , )( , )d( , )d( , )d .LLLf x yg x ysf x ysg x y

5、s).,(為常數(shù)為常數(shù) .d),(d),(d),()2(21 LLLsyxfsyxfsyxf).(21LLL 定理定理且：且：存在存在則則且且上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在在其中其中的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線(xiàn)弧在曲線(xiàn)弧設(shè)設(shè),d),(,0)()(,)(),()(),(),(,),(22 LsyxftytxtytxttyytxxLLyxf ttytxtytxfsyxfLd)()()(),(d),(22 )( 二、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算二、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算xdydsdxyo3. 注意到注意到 22)(d)(ddyxs tttd)()(22 x因此上述計(jì)算公式

6、相當(dāng)于因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法換元法”. . 注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定積積分分的的下下限限.,),(. 2而是相互有關(guān)的而是相互有關(guān)的不彼此獨(dú)立不彼此獨(dú)立中中yxyxf第一類(lèi)曲線(xiàn)積分在一定條件下化為定積分計(jì)算，第一類(lèi)曲線(xiàn)積分在一定條件下化為定積分計(jì)算，但要注意但要注意 ：1) f (x , y) 定義在曲線(xiàn)定義在曲線(xiàn)L上，上， 2) ds是弧長(zhǎng)微分是弧長(zhǎng)微分 .ttytxsd)()(d22 .20, )cos1(, )sin(:,d1 ttayttaxLsyL其其中中、求求例例解解 Lsyd 202222dsin)cos1()cos1(ttatata 20

7、3d)cos1(2tta 203sin2tta .223a 特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyyL .d)(1)(,d),(2xxyxyxfsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxxL .d)(1),(d),(2yyxyyxfsyxfdcL )(dc 22( , )dcos ,sin ( ) ( ) d()Lf x ysf .)()3( 為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程：L例例2.)2 , 1()0 , 0(,4:)1(:,d2一段一段到到從從其中其中求求xyLsyIL 解解yyyId)2(1)1(220 xy42 .)2, 1()2 , 1(,4:)2(2一一段段到到從從 xyLyy

8、yd421220 20232)4(3121 y.619 . 0 yyyId)2(1)2(222 .曲線(xiàn)積分曲線(xiàn)積分函數(shù)奇偶性計(jì)算第一類(lèi)函數(shù)奇偶性計(jì)算第一類(lèi)注：可以利用對(duì)稱(chēng)性與注：可以利用對(duì)稱(chēng)性與.曲線(xiàn)積分曲線(xiàn)積分函數(shù)奇偶性計(jì)算第一類(lèi)函數(shù)奇偶性計(jì)算第一類(lèi)注：可以利用對(duì)稱(chēng)性與注：可以利用對(duì)稱(chēng)性與(1)(, )( , ),( , )0Lfx yf x y Lyf x y ds 若關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)，則1(2)(, )( , ),( , )2( , )LLfx yf x y Lyf x y dsf x y ds若關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)，則例例3.,134,d)432(2222ayxLsyxxyIL并設(shè)其周長(zhǎng)為并設(shè)其周

9、長(zhǎng)為為橢圓為橢圓其中其中求求 解解sxyILd )122( LLssxyd12d2.12a 例例4.:,)d(22222ayxLsyxIL 其中其中求求解解, )20(sincos ttaytaxL的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為 Lsyxd)(22 20222d)cos()sin(ttataa.23a 例例4.:,)d(22222ayxLsyxIL 其中其中求求.23a d2202aaI ).20( aL的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為法二：法二：例例5.2:,d2222yyxLsyxIL 其其中中求求解解, )20(sin1cos ttytxL的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為 Lsyxd22 20d)sin1

10、(2tt 20d|2sin2cos|2ttt 223230d)2sin2(cosd)2sin2(cos2tttttt)21(2)12(22 .8 例例5.2:,d2222yyxLsyxIL 其其中中求求解解, )0(sin2 tL的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程為為 Lsyxd22 02222d)sin2()cos2()sin()cos( 0d2 0dsin4.8 例例5.2:,d2222yyxLsyxIL 其其中中求求解解, )0(sin2sincos22 ttyttxL的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為 Lsyxd22 0222d)2sin2()2cos2(sin4tttt 0d2|sin2|tt 0dsi

11、n4tt 0cos4t .8 例例6.)1 , 0(, )0 , 2(, )0 , 0(,)d(22為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三角角形形是是以以其其中中求求BAOLsyxIL 解解其其中中：,321LLLL ,)10(01 yxL ：,)20(02 xyL ：,)10(223 yyxL ： Lsyx)d(22syxLLL)d(22321 xyyxxyyd5)22(dd1022202102 1032354453831 yyy.3553 對(duì)空間曲線(xiàn)有類(lèi)似的定義和計(jì)算公式對(duì)空間曲線(xiàn)有類(lèi)似的定義和計(jì)算公式.),(limd),(10iniiiisfszyxf 曲曲線(xiàn)線(xiàn)積積分分為為上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的在在空空間間

12、曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧函函數(shù)數(shù) ),(zyxf計(jì)算方法計(jì)算方法:)().(),(),(: ttzztyytxx)(d)()()()(),(),(d),(222 ttztytxtztytxfszyxf例例1)20(.,sin,cos:, 的的一一段段其其中中求求kzayaxxyzdsI解解 dkaka222sincos 20I.21222kaka =2222229,()d .xyzxyxyzs設(shè)為與的交線(xiàn)求例例2 2例例3 . 0,d22222zyxazyxsxI為為圓圓周周其其中中求求 解解 由對(duì)稱(chēng)性由對(duì)稱(chēng)性, 知知.ddd222 szsysx szyxId)(31222故故 sad32.323a ),

13、2(球面大圓周長(zhǎng)球面大圓周長(zhǎng) dsa三、幾何與物理意義三、幾何與物理意義,),()1(的的線(xiàn)線(xiàn)密密度度時(shí)時(shí)表表示示當(dāng)當(dāng)Lyx ;d),( LsyxM (3)( , )1,d ;Lf x yLs弧長(zhǎng)當(dāng)時(shí)(2)( , )( , ),f x yLx y當(dāng)表示立于 上的柱面在點(diǎn)處的高時(shí).d),( LsyxfS柱柱面面面面積積sL),(yxfz ,)4(軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量軸軸及及曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧對(duì)對(duì)yx.d,d22 LyLxsxIsyI 曲線(xiàn)弧的重心坐標(biāo)曲線(xiàn)弧的重心坐標(biāo))5(.dd,dd LLLLssyyssxx 例例4 設(shè)螺旋線(xiàn)的方程為設(shè)螺旋線(xiàn)的方程為 x =acos t，y = a sin t，z

14、 =k t (0 t 2)，其線(xiàn)密度為，其線(xiàn)密度為 x2+ y2+ z2，求其質(zhì)量，對(duì)求其質(zhì)量，對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及質(zhì)心.解解 szyxMd)()1(222 20222222d)cos()sin(tktatatkattkakad2022222 02322223 tktaka)43(3222222kaka szyxyxIzd)()2(22222ttkakaad20222222 )43(32222222kakaa szyxMd)()3(222 szyxxMxd)(1222 szyxyMyd)(1222 szyxzMzd)(1222=故重心坐標(biāo)為故重心坐標(biāo)為 2222222222

15、222243)2(3,436,436kakakkaakkaak 四、小結(jié)四、小結(jié)1 1、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念2 2、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算3 3、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的應(yīng)用、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的應(yīng)用一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲線(xiàn)形構(gòu)件已知曲線(xiàn)形構(gòu)件L的線(xiàn)密度為的線(xiàn)密度為),(yx , ,則則L的質(zhì)量的質(zhì)量M= =_；2 2、 Lds= =_；3 3、 對(duì)對(duì)_的曲線(xiàn)積分與曲線(xiàn)的方向無(wú)關(guān)；的曲線(xiàn)積分與曲線(xiàn)的方向無(wú)關(guān)；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二二、 計(jì)計(jì)算算下下列列求求弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的

16、曲曲線(xiàn)線(xiàn)積積分分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其其中中L為為圓圓周周222ayx , ,直直線(xiàn)線(xiàn)xy 及及x軸軸在在第第一一象象限限內(nèi)內(nèi)所所圍圍成成的的扇扇形形的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界；練習(xí)題練習(xí)題 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L為折線(xiàn)為折線(xiàn)ABCD, ,這里這里DCBA, 依次為點(diǎn)依次為點(diǎn)(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其中其中L為曲線(xiàn)為曲線(xiàn) )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、計(jì)算、計(jì)算 Ldsy, ,其中其中L為雙紐線(xiàn)為雙紐線(xiàn) )0()()(222222 ayxayx . .三、設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為三、設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其中其中 20t, ,它的線(xiàn)密度它的線(xiàn)密度222),(zy