第11章平面光彈應(yīng)力計(jì)算

1、 第一節(jié)第一節(jié) 釘壓法和邊界應(yīng)力釘壓法和邊界應(yīng)力 一、釘壓法一、釘壓法 釘壓法釘壓法就是在垂直于模型的邊界上，對(duì)研究的某點(diǎn)施加一個(gè)微小的法向壓力，同時(shí)觀察該點(diǎn)條紋級(jí)數(shù)的變化。如條紋級(jí)數(shù)增加，則該點(diǎn)的邊界應(yīng)力為第一主應(yīng)力，反之，則為第二主應(yīng)力。 釘壓法釘壓法可判定邊界切線應(yīng)力是拉應(yīng)力或壓應(yīng)力，也就是判定邊界等傾線是代表第一主應(yīng)力還是代表第二主應(yīng)力方向的角度。 二、邊界應(yīng)力二、邊界應(yīng)力 模型自由邊界上任一點(diǎn)都處于單向應(yīng)力狀態(tài)，即只有一個(gè)與邊界切線同向的主應(yīng)力，其切向主應(yīng)力只有兩種可能： 0 （為拉應(yīng)力） （a） 1hfN/ 0 （為壓應(yīng)力） （b） 2hfN/于是，可統(tǒng)一表示為 21hfN=例如，

2、在模型邊界上的B點(diǎn)受有法向壓力q，則該點(diǎn)的切向主應(yīng)力為 q 21hfN=（111 ）22 邊界應(yīng)力符號(hào)確定邊界應(yīng)力符號(hào)確定11邊界應(yīng)力為邊界應(yīng)力為拉應(yīng)力拉應(yīng)力時(shí)，等時(shí)，等色線向級(jí)數(shù)色線向級(jí)數(shù)低低的方向的方向移動(dòng)移動(dòng)邊界應(yīng)力為邊界應(yīng)力為壓應(yīng)力壓應(yīng)力時(shí)，等時(shí)，等色線向級(jí)數(shù)色線向級(jí)數(shù)高高的方向的方向移動(dòng)移動(dòng)邊界應(yīng)力為拉應(yīng)力：邊界應(yīng)力為拉應(yīng)力：邊界應(yīng)力為壓應(yīng)力：邊界應(yīng)力為壓應(yīng)力：上述兩種情況是在加載的過(guò)程中觀察到的二、邊界應(yīng)力二、邊界應(yīng)力 純彎曲梁（不同載荷）純彎曲梁（不同載荷）邊界邊界拉拉應(yīng)力時(shí)，等色線向級(jí)數(shù)應(yīng)力時(shí)，等色線向級(jí)數(shù)低低的方向移動(dòng)的方向移動(dòng)邊界為邊界為壓壓應(yīng)力時(shí)，等色線向級(jí)數(shù)應(yīng)力時(shí)，等色

3、線向級(jí)數(shù)高高的方向移動(dòng)的方向移動(dòng)xyBA平面受力模型平面受力模型xy單元體應(yīng)力狀態(tài)單元體應(yīng)力狀態(tài)A x,i x,i-1 y,j-1 y,j xy,j xy,i xy,i-1 xy,j-1xyiixyxix10,第二節(jié)第二節(jié) 剪應(yīng)力差法計(jì)算截面上的應(yīng)力剪應(yīng)力差法計(jì)算截面上的應(yīng)力 為求得邊界以內(nèi)其它點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，除光彈性實(shí)驗(yàn)所得的等差線和等傾線之外，還需輔以其他方法，這統(tǒng)稱為應(yīng)力分離法應(yīng)力分離法。 （一）基本原理 1： x,0 1,0B 22cos1coscos02020, 10,nnx2sin)(2121xy1,jxyjxyxy其中其中: ( 1- 2)由由等色線等色線得到，得到， 由由等傾線等

4、傾線得到得到 xy 的指向與上下面外法線轉(zhuǎn)向的指向與上下面外法線轉(zhuǎn)向 1相符相符22214)(xyxy其中：當(dāng)其中：當(dāng) x與與 1夾角夾角小于小于正負(fù)正負(fù) 45o時(shí)取時(shí)取負(fù)負(fù)，反之取正，反之取正第二節(jié)第二節(jié) 剪應(yīng)力差法計(jì)算截面上的應(yīng)力剪應(yīng)力差法計(jì)算截面上的應(yīng)力 （一）基本原理 單元體應(yīng)力狀單元體應(yīng)力狀態(tài)態(tài)A x,i x,i-1 y,j-1 y,j xy,j xy,i xy,i-1 xy,j-12：3：2sin)(2121xy其中其中: ( 1- 2)由由等色線等色線得到，得到， 由由等傾線等傾線得到得到 xy 的指向與上下面外法線轉(zhuǎn)向的指向與上下面外法線轉(zhuǎn)向 1相符相符第二節(jié)第二節(jié) 剪應(yīng)力差法

5、計(jì)算截面上的應(yīng)力剪應(yīng)力差法計(jì)算截面上的應(yīng)力 （一）基本原理 單元體應(yīng)力狀單元體應(yīng)力狀態(tài)態(tài)A x,i x,i-1 y,j-1 y,j xy,j xy,i xy,i-1 xy,j-1至于切應(yīng)力的指向至于切應(yīng)力的指向 (代表正、負(fù)符號(hào)代表正、負(fù)符號(hào))以觀察以觀察主應(yīng)力主應(yīng)力的方位的方位確定確定。如圖所示。如圖所示。由由切應(yīng)力切應(yīng)力作用面的作用面的法線法線N開(kāi)始，按首先與開(kāi)始，按首先與第一主應(yīng)力第一主應(yīng)力相遇的原則轉(zhuǎn)向，則切相遇的原則轉(zhuǎn)向，則切應(yīng)力的指問(wèn)應(yīng)與此轉(zhuǎn)向相遇。這個(gè)指向著與取平衡條件時(shí)應(yīng)力的指問(wèn)應(yīng)與此轉(zhuǎn)向相遇。這個(gè)指向著與取平衡條件時(shí)單元體單元體A上上切應(yīng)力切應(yīng)力納指向納指向一致一致時(shí)、則為時(shí)

6、、則為正正；反反之，為之，為負(fù)負(fù)。切應(yīng)力正負(fù)指向如圖所示。切應(yīng)力正負(fù)指向如圖所示。第二節(jié)第二節(jié) 剪應(yīng)力差法計(jì)算截面上的應(yīng)力剪應(yīng)力差法計(jì)算截面上的應(yīng)力 （一）基本原理 1、確定模型自由邊界上O點(diǎn)的應(yīng)力分量 0)(x若O點(diǎn)的切向主應(yīng)力為 ，則 12cos22)(110 x若O點(diǎn)的切向主應(yīng)力為 ，則 22cos22)(220 x（112 ）（113 ）2、確定OA線段上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力分量 ixy)(iiiiixyhfN2sin212sin2)()(213、確定OA線段上任一點(diǎn)的正應(yīng)力分量 ix)(xxixxixd)()(00yxxyxxyixyxixd)()(00ixyxixxy00)()(（114

7、 ）（115 ）（116 ）（117 ）（118 ）4、確定點(diǎn)的應(yīng)力分量 iy)(iiixiy2cos)()()(21（119 ）1x yx22y 2 1 （二）計(jì)算步驟和方法 1、把等差線圖和等傾線圖放大成同一比例并在圖上畫(huà)出對(duì)應(yīng)的直線。 F=800N f/h=196.510-2MPa2a47.5mm h=6.47mm 2、將直線分為若干等分 3、描出等差線和等傾線4 4、量出量出 11、22、 33、44、5 5 ； 1”1”、 2”2”、 3”3”、4”4”、 5”5”點(diǎn)的等點(diǎn)的等差線級(jí)數(shù)值和等傾線值，分別填入表差線級(jí)數(shù)值和等傾線值，分別填入表11111 1中，并計(jì)算有關(guān)點(diǎn)的剪應(yīng)力數(shù)值。

8、中，并計(jì)算有關(guān)點(diǎn)的剪應(yīng)力數(shù)值。1” 0.90 -45.0 -1 -0.45 1 1.10 -23.4 -0.7290 -0.401 2” 1.72 -28.0 -0.8290 -0.713 2 2.03 -19.2 -0.6211 -0.630 3” 2.82 -20.7 -0.6613 -0.932 3 2.92 -13.8 -0.4633 -0.676 4” 4.20 -13.6 -0.4571 -0.959 4 3.80 -8.2 -0.2823 -0.536 5” 4.86 -5.0 -0.1736 -0.422 5 4.15 -2.8 -0.0976 -0.203表111 各點(diǎn)的剪應(yīng)

9、力值2sinxy2sinxyN點(diǎn)N點(diǎn)5、用公式用公式（114 ）算出各有關(guān)點(diǎn)的剪應(yīng)力差算出各有關(guān)點(diǎn)的剪應(yīng)力差 ，填入表，填入表112中。中。 表112 各點(diǎn)的剪應(yīng)力差值 0 0.5 -45.0 -1 0 -0.250 -0.25 0 -0.250 1 1.4 -26.0 -0.6639 0.6157 -0.552 -0.049 -0.201 0.862 -1.063 2 2.4 -20.8 -0.6639 0.7501 -0.797 -0.083 -0.118 1.800 -1.918 3 3.4 -14.0 -0.4690 0.8829 -0.801 -0.256 0.138 3.011 -

10、2.873 4 4.3 -6.0 -0.2249 0.9703 -0.524 -0.416 0.554 4.201 -3.647 5 4.8 0 0 1 0 -0.219 0.773 4.800 -4.0272sinxy2cosxyx2cosiNyN點(diǎn)1001)()(xyxyxx0.25-(-0.049)=-0.201(條)； 2002)()(xyxyxx0.201-(-0.083)=0.118(條)。 6、由式（113）算出O點(diǎn)的 , 同時(shí)算出其它點(diǎn)的0)(xix)()2cos1 (2)(20 x25. 0)01 (25 . 0(條)；7、由式（119）算出各點(diǎn)的應(yīng)力分量 yiiixiiix

11、iyhfN2cos)(2cos)()()(21條）(25. 00)()(00 xy（條）（063. 1862. 0201. 02cos)()(1111hfNxy8、根據(jù)表92算出的結(jié)果，繪制應(yīng)分量 、 、 沿直線的分布曲線 。xyxy9、校核 hxhFFyd0內(nèi) 第三節(jié)第三節(jié) 光彈性材料條紋值光彈性材料條紋值 利用對(duì)徑受壓的圓盤(pán)來(lái)求材料條紋值的方法：取一塊和模型同樣的材料，制成一圓盤(pán)。圓盤(pán)直徑為D，厚度為h，載荷為F。由彈性力學(xué)知，在圓盤(pán)中心處應(yīng)力為：DhF21DhF62DhF821根據(jù)式（93）DNFf8PP 1 2Dh對(duì)對(duì) 徑徑 受受 壓壓 圓圓 盤(pán)盤(pán)一、該一、該“對(duì)徑受壓圓盤(pán)對(duì)徑受壓圓盤(pán)

12、”常被用來(lái)常被用來(lái)標(biāo)定模型材料的條紋值。標(biāo)定模型材料的條紋值。hDPhDP6 221hDNPN8210DNPhf80二、它也是一個(gè)較好辨認(rèn)條紋級(jí)數(shù)二、它也是一個(gè)較好辨認(rèn)條紋級(jí)數(shù)的構(gòu)件，因?yàn)樗牧慵?jí)條紋較易辨的構(gòu)件，因?yàn)樗牧慵?jí)條紋較易辨認(rèn)出來(lái)，這一點(diǎn)對(duì)初學(xué)者很有益。認(rèn)出來(lái)，這一點(diǎn)對(duì)初學(xué)者很有益。圓盤(pán)圓盤(pán)兩側(cè)邊界兩側(cè)邊界條紋即為條紋即為零級(jí)零級(jí)條紋條紋43210模型條紋值模型條紋值材料條紋值材料條紋值 第三節(jié)第三節(jié) 光彈性材料條紋值光彈性材料條紋值 第四節(jié)第四節(jié) 厚度測(cè)定法厚度測(cè)定法2、若能測(cè)出各點(diǎn)在厚度方向的變化值，將其代入廣義虎克走律就可以求、若能測(cè)出各點(diǎn)在厚度方向的變化值，將其代入廣義虎克

13、走律就可以求出模型平面內(nèi)的出模型平面內(nèi)的主應(yīng)力和主應(yīng)力和。再與。再與等差線等差線代表的各相應(yīng)點(diǎn)的代表的各相應(yīng)點(diǎn)的主應(yīng)力差主應(yīng)力差位聯(lián)合位聯(lián)合求解，即可得到各點(diǎn)的單個(gè)主應(yīng)力值。求解，即可得到各點(diǎn)的單個(gè)主應(yīng)力值。1、這一方法主要是、這一方法主要是實(shí)驗(yàn)的方法實(shí)驗(yàn)的方法。 當(dāng)平面模型當(dāng)平面模型受力受力后，各點(diǎn)的后，各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)不同不同，因此沿各點(diǎn)，因此沿各點(diǎn)厚度厚度方向的方向的變形變形也不一樣。也不一樣。3、模型、模型受力受力后，模型內(nèi)各點(diǎn)沿后，模型內(nèi)各點(diǎn)沿厚度厚度方方向上的相對(duì)向上的相對(duì)變形變形為為ddd為平面模型內(nèi)某點(diǎn)的厚度變化值，為平面模型內(nèi)某點(diǎn)的厚度變化值，d為模型厚度為模型厚度 4

14、、另、另方面，根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)的方面，根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)的虎克定律虎克定律沿模型厚度方向的應(yīng)變?yōu)檠啬Ｐ秃穸确较虻膽?yīng)變?yōu)椋?1E 5、代入得：、代入得：EEd21 第五節(jié)第五節(jié) 數(shù)值解法求主應(yīng)力和數(shù)值解法求主應(yīng)力和（差分法）差分法）根據(jù)彈性力學(xué)公式得：根據(jù)彈性力學(xué)公式得：02222）（yxyx21yx0212222）（yx已知正應(yīng)力和為常數(shù)已知正應(yīng)力和為常數(shù)得：得：21u令：令：則：則：0u2222yxxyB網(wǎng)格劃分網(wǎng)格劃分o3142（拉普拉斯方程）（拉普拉斯方程） 第五節(jié)第五節(jié) 數(shù)值解法求主應(yīng)力和數(shù)值解法求主應(yīng)力和auuxu010得：得：0u02222yxc300uuxu其兩階導(dǎo)數(shù)為其兩階導(dǎo)數(shù)

15、為accaucuaucacaxuxuxu0310002222xyBa平面受力模型結(jié)點(diǎn)劃分平面受力模型結(jié)點(diǎn)劃分cdbo3142 第五節(jié)第五節(jié) 數(shù)值解法求主應(yīng)力和數(shù)值解法求主應(yīng)力和整理得：整理得：bddbudubudbu0420222y)()()()()11(4321bdduaccudbbucaaubdacuoxyBa平面受力模型結(jié)點(diǎn)劃分平面受力模型結(jié)點(diǎn)劃分cdbo3142同理得：同理得：取取a=b=c=d:)(414321uuuuuoxyBa平面受力模型結(jié)點(diǎn)劃分平面受力模型結(jié)點(diǎn)劃分cdbo3142總之，由拉普拉斯方程總之，由拉普拉斯方程212222yxuuyx結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)O主應(yīng)力和主應(yīng)力和uo的差分方程的差分方程)()()()()11(4321bdduaccudbbucaaubdacuo取取a=b=c=d:)(414321uuuuuo 第五節(jié)第五節(jié) 數(shù)值解法求主應(yīng)力和數(shù)值解法求主應(yīng)力和 差分法計(jì)算過(guò)程差分法計(jì)算過(guò)程1. 劃分