對(duì)稱(chēng)性、奇偶性和周期性的綜合運(yùn)用

1、對(duì)稱(chēng)性、奇偶性和周期性的綜合運(yùn)用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、奇偶性和周期性的綜合運(yùn)用一.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性(一)函數(shù)yf(x)的圖象自身對(duì)稱(chēng)1、軸對(duì)稱(chēng)對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X)f(ax)f(bx)yf(x)圖象關(guān)于直線x(ax)2(bx)T對(duì)稱(chēng).推論1：f(ax)f(ax)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱(chēng).推論2：f(x)f(2ax)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱(chēng).推論3：f(x)f(2ax)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱(chēng).求對(duì)稱(chēng)軸方法:(ax)(bx)ab222、中心對(duì)稱(chēng)對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,f(ax)f(bx)2cyf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn),ab(丁©對(duì)稱(chēng).推論:f(ax

2、)f(ax)2byf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng).推論:點(diǎn)(a,b)推論:點(diǎn)(a,b)求f(x)對(duì)稱(chēng).f(2af(x)的圖象關(guān)于橫坐標(biāo)xf(x)對(duì)稱(chēng).對(duì)(x)的圖象關(guān)于(ax)(bx)2，縱坐標(biāo)中2cy萬(wàn)c-小結(jié)：軸對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)的區(qū)別自變量系數(shù)互(差為零)；中，自變軸對(duì)稱(chēng)：f(a+x)=f(b-x)中)為相反數(shù)(內(nèi)反)，函數(shù)值相等中心對(duì)稱(chēng)：f(a+x)=-f(b-x)+2c量系數(shù)互為相反數(shù)(內(nèi)反)，函數(shù)值和為定值.(二)兩個(gè)函數(shù)的圖象相互對(duì)稱(chēng)1、函數(shù)yf(aX)與函數(shù)yf(bx)圖象關(guān)于直線xV對(duì)稱(chēng)；特別地)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(ax)關(guān)于直線x=0(y軸)軸對(duì)稱(chēng)；稱(chēng);函數(shù)yf(

3、x)與函數(shù)yf(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)求對(duì)稱(chēng)軸方法：令a+x=b-x,得x?2、函數(shù)y=f(a+x)+c與丫=f(bx)+d關(guān)于點(diǎn)(？,c/)中心對(duì)稱(chēng)；特別地)函數(shù)y=f(a+乂)與丫=f(ax)關(guān)于點(diǎn)(0,0)(原點(diǎn))中心對(duì)稱(chēng).函數(shù)y9)與函數(shù)yf(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)函數(shù).求對(duì)稱(chēng)中心方法：橫坐標(biāo)令a+x=b-x,得bax亍)縱坐標(biāo)y=cii二.函數(shù)的奇偶性1 .如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(x)=f(x)(f(x)f(x)=0),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸(x=0)對(duì)稱(chēng).推論：若y=f(x+a)為偶函數(shù))則f(x+a)4=f(x+a),即y=f(x)的

4、圖像關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱(chēng).2 .如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(x)=f(x)(f(x)+f(x)=0),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù).奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng).推論：若y=f(x+a)為奇函數(shù)，則f(x+a)=-f(a+x),即y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱(chēng).三.函數(shù)的周期性1.定義：對(duì)于“x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都存在非零常數(shù)T,使得f(xT)f(x)恒成立，則稱(chēng)函數(shù)9)具有周期性，T叫做小)的一個(gè)周期，則kT(kZ，k0)也是f(x)的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫P)的最小正周期.2.推論:)(y9)的周期為T(mén).2)f(f(x)f(x)的周期為的周

5、期為)的周期為T(mén)f(xa)f(x)的周期為T(mén)f(xa)1f(x)1f(x)仆)的周期為T(mén)2a.f(xa)1f(x)1f(x)的周期為T(mén)2af(xa)1f(x)1f(x)f(x)的周期為T(mén)4a(9T6a)yp)的周期為若P0,f(px)f(pxa),貝IT(11)若函數(shù)y=f(x)同時(shí)關(guān)于直線x=a與x=b軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=2|ab|.推論：偶函數(shù)yf(x)滿(mǎn)足f(ax)f(ax)yf(x)周期T2a(12)若函數(shù)y=f(x)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)(a,0)與點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=2|a-b|.推論：奇函數(shù)yf(x)滿(mǎn)足f(ax)f(ax)0yf(x

6、)t4a(13) yf(x)有一條對(duì)稱(chēng)軸xa和一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(b，0)f(x)的周期T=4|ab|.小結(jié)：函數(shù)對(duì)稱(chēng)性、奇偶性和周期性定義共同點(diǎn)：“對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)力x;對(duì)稱(chēng)性、周期性定義中條件，“內(nèi)反表示對(duì)稱(chēng)性，內(nèi)同表示周期性”；定義在R上的函數(shù)yf(x),在對(duì)稱(chēng)性、周期性和奇偶性這三條性質(zhì)中，只要有兩條存在，則第三條一定存在.題型分類(lèi)1,求函數(shù)值例1.設(shè)f(x)是(，)上的奇函數(shù),f(2x)f(x),當(dāng)。x1時(shí),f(x)x)則f(7.5)等于(-0.5)(A)0.5;(B)-0.5;(C)1.5;(D)-1.5.例2.偶函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足條件f(x+1)=f(x1)，且當(dāng)xG

7、1,0時(shí)，f(x)=3x+4,則f(1四5)93的值等于()A_1B.空C,也5045D.1解：由于偶函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足條件f(x+1)=f(x1),說(shuō)明函數(shù)的周期為2,f(-x)=f(x)當(dāng)x-1,0時(shí)，f(x)=3x+4,則對(duì)于10g15*35,937f(%5)=f(2+iog5)=f(2-Iog35)=3log35+-4=1故可339知答案為D.2,比較函數(shù)值大小例3.若f(x)(xR)是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)0,11時(shí)，f(x)x礴試比較f(98)、f(12!)、f(吧)的大小.1917151解：f(x)(xR)是以2為周期的偶函數(shù)，又f(x)x,在0,1上是增函數(shù))且01竺”1)1

8、71915)fj)f(四)f(當(dāng)即f(3f(西)f(理).1719151719153、求函數(shù)解析式例4.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x),且當(dāng)*2，0時(shí)，f(x)=2x+1,求當(dāng)x4,6時(shí)求f(x)的解析式.例5.設(shè)p)是定義在(，)上以2為周期的周期函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間2,3上，f(x)2(x3)24.求x1,2時(shí)，f(x)的解析式.解：當(dāng)x3,2,即x2,3,f(x)f(x)2(x3)242(x3)24又f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，于是當(dāng)x1,2,即3x42時(shí))有f(x)f(x4)f(x)2(x4)3242(x1)24(1x2).-2一f(x)2(x

9、1)4(1x2).4、判斷(證明)函數(shù)性質(zhì)例6.已知f(x)的周期為4,且等式f(2x)f(2x)對(duì)任意xR均成立，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.解：由f(x)的周期為4,得f(x)f(4x),由f(2x)f(2x)得f(x)f(4x),f(x)f(x)，故f(x)為偶函數(shù).例7.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足1f(x+999)=同，f(999+x)=f(999x),試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.例8.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)且當(dāng)x2,0時(shí))f(x)是減函數(shù))求證當(dāng)x4,6時(shí)f(x)為增函數(shù)解：設(shè)4Xix26則2x24x140f(x)在卜2,0上是減函數(shù)，f(

10、x24)f(xi4)10又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù))f(x)=f(4-x),類(lèi)比命題3(1)知函數(shù)f(x)的周期為4故f(x+4)=f(x)f(-x)=f(x)f(X2)f(Xi)f(X2)f(Xi)故當(dāng)x4,6時(shí)f(x)為增函數(shù)例9.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，證明f(x)是周期函數(shù)例10.設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足f(10當(dāng)xG-1,1時(shí)f(x尸x+x)=f(10x)f(20x)則f(x)是(C)A.偶函數(shù)，又是周期函數(shù)但不是周期函數(shù)C.奇函數(shù)，又是周期函數(shù)=f(20+x)B,偶函數(shù),D.奇函數(shù),但不是周期函數(shù)例11.設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意是定

11、義在R上的奇函數(shù)，且x£R者B有f(2+x)=-f(x)又11證明：直線x=1是f(x)圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸；當(dāng)x1,5時(shí)，求函數(shù)f(x)的解析式.判斷函數(shù)的單調(diào)性5、確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)例12.設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足f(2x)f(2x),f(7x)f(7x),且f(0)0,判斷函數(shù)f(x)圖象在區(qū)間30,30上與x軸至少有多少個(gè)交點(diǎn).解：由題設(shè)知函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x2和x7對(duì)稱(chēng)，又由函數(shù)的性質(zhì)得f(x)是以10為周期的函數(shù).在一個(gè)周期區(qū)間0,10上，f(0)0,f(4)f(22)f(22)f(0)0且f(x)不能恒為零，故f(x)圖象與x軸至少有2個(gè)交點(diǎn).而區(qū)間30,30有6

12、個(gè)周期，故在閉區(qū)間30,30上f(x)圖象與x軸至少有13個(gè)交點(diǎn).126、求參數(shù)的值(范圍)例13.若函數(shù)f(x)=|x+a|,且f(x)滿(mǎn)足對(duì)xR都有f(3+x)=f(2-x),則實(shí)數(shù)a=.若函數(shù)f(x)=(x+a)3,且f(x)滿(mǎn)足對(duì)xR者B有f(3+x)=-f(2-x),貝I實(shí)數(shù)a=.例14.f(x)滿(mǎn)足f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),若f(a)=-f(2000),aW5,9且f(x)在5,9上單調(diào).求a的值.例15.設(shè)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，fxx2.若對(duì)任意的xa,a2,不等式fxaf及x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a0B.a、.5C.a友D.a07.兩個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性例16.函數(shù)y=f(x)是