第十二章+結(jié)構(gòu)動力計(jì)算(1)

1、第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：結(jié)構(gòu)振動自由度的確定；單自由度體系無阻尼自由振動；阻尼對自由振動的影響；單自由度體系在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動；多自由度體系自由振動。教學(xué)要求：教學(xué)要求：1、了解多自由度系統(tǒng)振頻、振型計(jì)算一般理論；2、理解振動自由度的概念；3、掌握單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動和在簡諧荷載作用下的受迫振動，多自由度體系自由振動。重點(diǎn)：重點(diǎn)：單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動和在簡諧荷載作用下的受迫振動。難點(diǎn)：難點(diǎn)：多自由度體系的自由振動第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算12-1 12-1 概述概述12-2 12-2 運(yùn)

2、動方程的建立運(yùn)動方程的建立12-3 12-3 單自由度體系的自由振動單自由度體系的自由振動12-4 12-4 阻尼對自由振動的影響阻尼對自由振動的影響12-5 12-5 簡諧荷載作用下無阻尼單自由度體簡諧荷載作用下無阻尼單自由度體 系的受迫振動系的受迫振動12-6 12-6 多自由度體系的自振頻率和振型計(jì)算多自由度體系的自振頻率和振型計(jì)算第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算一、動荷載及其分類一、動荷載及其分類 動荷載動荷載是指其大小、方向和作用位置隨時間變化是指其大小、方向和作用位置隨時間變化的荷載。由于荷載隨時間變化較快，所產(chǎn)生的慣性力不的荷載

3、。由于荷載隨時間變化較快，所產(chǎn)生的慣性力不容忽視。因此，考慮慣性力的影響是結(jié)構(gòu)動力學(xué)的最主容忽視。因此，考慮慣性力的影響是結(jié)構(gòu)動力學(xué)的最主要特征。要特征。 靜荷載只與作用位置有關(guān)，而動荷載是坐標(biāo)和時間靜荷載只與作用位置有關(guān)，而動荷載是坐標(biāo)和時間的函數(shù)。的函數(shù)。 12-1 12-1 概述概述第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算動荷載按其隨時間的變化規(guī)律進(jìn)行分類：動荷載按其隨時間的變化規(guī)律進(jìn)行分類： 載其他非確定規(guī)律的動荷風(fēng)荷載地震荷載非確定性其他確定規(guī)律的動荷載突加荷載沖擊荷載非周期非簡諧荷載簡諧荷載周期確定性動荷載第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算二、結(jié)構(gòu)動力計(jì)算的目的二、結(jié)構(gòu)動

4、力計(jì)算的目的 研究結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的反應(yīng)規(guī)律，找出動荷載研究結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的反應(yīng)規(guī)律，找出動荷載作用下結(jié)構(gòu)的最大動內(nèi)力和最大動位移，為結(jié)構(gòu)的動力作用下結(jié)構(gòu)的最大動內(nèi)力和最大動位移，為結(jié)構(gòu)的動力可靠性設(shè)計(jì)提供依據(jù)?？煽啃栽O(shè)計(jì)提供依據(jù)。 三、動力反應(yīng)的特點(diǎn)三、動力反應(yīng)的特點(diǎn) 在動荷載作用下，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)（動內(nèi)力、動位在動荷載作用下，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)（動內(nèi)力、動位移等）都隨時間變化，它除了與動荷載的變化規(guī)律有關(guān)移等）都隨時間變化，它除了與動荷載的變化規(guī)律有關(guān)外，還與結(jié)構(gòu)的固有特性（外，還與結(jié)構(gòu)的固有特性（自振頻率、振型和阻尼自振頻率、振型和阻尼）有）有關(guān)。關(guān)。 不同的結(jié)構(gòu)，如果它們具有相同的阻

5、尼、頻率和振不同的結(jié)構(gòu)，如果它們具有相同的阻尼、頻率和振型，則在相同的荷載下具有相同的反應(yīng)?？梢姡Y(jié)構(gòu)的型，則在相同的荷載下具有相同的反應(yīng)?？梢?，結(jié)構(gòu)的固有特性能確定動荷載下的反應(yīng)，故稱之為固有特性能確定動荷載下的反應(yīng)，故稱之為結(jié)構(gòu)的動力結(jié)構(gòu)的動力特性。特性。第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算 強(qiáng)迫振動：強(qiáng)迫振動：結(jié)構(gòu)在動荷載作用下產(chǎn)生的振動。研結(jié)構(gòu)在動荷載作用下產(chǎn)生的振動。研究強(qiáng)迫振動，可得到結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)。究強(qiáng)迫振動，可得到結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)。 四、自由振動和強(qiáng)迫振動四、自由振動和強(qiáng)迫振動 自由振動自由振動：結(jié)構(gòu)在沒有動荷載作用時，由初速度結(jié)構(gòu)在沒有動荷載作用時，由初速度、初位移所引起

6、的振動。、初位移所引起的振動。 研究結(jié)構(gòu)的自由振動，可得到結(jié)構(gòu)的自振頻率、研究結(jié)構(gòu)的自由振動，可得到結(jié)構(gòu)的自振頻率、振型和阻尼參數(shù)。振型和阻尼參數(shù)。 結(jié)構(gòu)在強(qiáng)迫振動時各截面的最大內(nèi)力、位移都與結(jié)結(jié)構(gòu)在強(qiáng)迫振動時各截面的最大內(nèi)力、位移都與結(jié)構(gòu)的構(gòu)的自由振動的頻率自由振動的頻率密切有關(guān)。密切有關(guān)。 第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算 確定體系運(yùn)動過程中任一時刻全部質(zhì)點(diǎn)位置所需的確定體系運(yùn)動過程中任一時刻全部質(zhì)點(diǎn)位置所需的獨(dú)立幾何參數(shù)數(shù)目，稱為體系的獨(dú)立幾何參數(shù)數(shù)目，稱為體系的自由度自由度。 根據(jù)自由度的數(shù)目，結(jié)構(gòu)可分為根據(jù)自由度的數(shù)目，結(jié)構(gòu)可分為單自由度體系，多單自由度體系，多自由度體系和

7、無限自由度體系自由度體系和無限自由度體系。五、動力分析中的自由度五、動力分析中的自由度1 1自由度的定義自由度的定義 將連續(xù)分布的結(jié)構(gòu)質(zhì)量按一定的力學(xué)原則集中將連續(xù)分布的結(jié)構(gòu)質(zhì)量按一定的力學(xué)原則集中到若干幾何點(diǎn)上，使結(jié)構(gòu)只在這些點(diǎn)上有質(zhì)量。從而把到若干幾何點(diǎn)上，使結(jié)構(gòu)只在這些點(diǎn)上有質(zhì)量。從而把一個無限自由度問題簡化為有限自由度問題。一個無限自由度問題簡化為有限自由度問題。 2.2.實(shí)際結(jié)構(gòu)自由度的簡化方法實(shí)際結(jié)構(gòu)自由度的簡化方法 為分析計(jì)算方便，往往將具有無限自由度體系的實(shí)為分析計(jì)算方便，往往將具有無限自由度體系的實(shí)際結(jié)構(gòu)簡化為有限自由度。常用的簡化方法有：際結(jié)構(gòu)簡化為有限自由度。常用的簡化方

8、法有：（1 1）集中質(zhì)量法）集中質(zhì)量法第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算m不計(jì)軸向變形不計(jì)軸向變形: : W=1W=1平面平面: :計(jì)軸向變形計(jì)軸向變形: W=2: W=2第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算3.3.確定體系振動自由度的方法確定體系振動自由度的方法(b)(a)(c)(a)(b)(c)4 4個自由度個自由度2 2個自由度個自由度方法一方法一: :可以運(yùn)用附加鏈桿法，使質(zhì)量不發(fā)生可以運(yùn)用附加鏈桿法，使質(zhì)量不發(fā)生線位移線位移所所施加的附加鏈桿數(shù)即為體系的計(jì)算自由度。施加的附加鏈桿數(shù)即為體系的計(jì)算自由度。方法二方法二: :當(dāng)當(dāng)忽略桿件的軸向變形忽略桿件的軸向變形時，可以運(yùn)

9、用幾何構(gòu)造分時，可以運(yùn)用幾何構(gòu)造分析中的鉸接鏈桿法析中的鉸接鏈桿法將所有質(zhì)點(diǎn)和剛結(jié)點(diǎn)變?yōu)殂q結(jié)點(diǎn)將所有質(zhì)點(diǎn)和剛結(jié)點(diǎn)變?yōu)殂q結(jié)點(diǎn)后，使鉸接鏈桿體系成為幾何不變體系所需要增加的鏈后，使鉸接鏈桿體系成為幾何不變體系所需要增加的鏈桿數(shù)即為自由度數(shù)。桿數(shù)即為自由度數(shù)。第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算不計(jì)軸向變形：不計(jì)軸向變形： 1yy1y2W=1W=1W=2W=2第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算y321yyW=3W=3W=1W=1第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)論：結(jié)論： 結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與質(zhì)點(diǎn)的個數(shù)無關(guān)結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與質(zhì)點(diǎn)的個數(shù)無關(guān)結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與超靜定次數(shù)無關(guān)結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目

10、與超靜定次數(shù)無關(guān)考慮軸向變形后各計(jì)算簡圖的動力自由度考慮軸向變形后各計(jì)算簡圖的動力自由度數(shù)是多少？數(shù)是多少？思考：思考：第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算 描述體系振動時質(zhì)點(diǎn)描述體系振動時質(zhì)點(diǎn)動位移動位移的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為為動力體系的運(yùn)動方程動力體系的運(yùn)動方程（亦稱振動方程）。（亦稱振動方程）。 單自由度體系的動力分析能反映出振動的基本單自由度體系的動力分析能反映出振動的基本特性，是多個自由度體系分析的基礎(chǔ)。本章只介紹特性，是多個自由度體系分析的基礎(chǔ)。本章只介紹微幅振動（線性振動）。微幅振動（線性振動）。 根據(jù)達(dá)朗貝爾原理建立運(yùn)動方程的方法稱為動根據(jù)達(dá)朗貝爾原理建立運(yùn)動

11、方程的方法稱為動靜法（或慣性力法）。具體作法有兩種：靜法（或慣性力法）。具體作法有兩種：剛度法剛度法和和柔度法。柔度法。12-2 12-2 運(yùn)動方程的建立運(yùn)動方程的建立第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算剛度法：剛度法：將力寫成位移的函數(shù)，將力寫成位移的函數(shù)，按平衡條件按平衡條件列出外列出外力（包括假想作用在質(zhì)量上的慣性力和阻尼力）與力（包括假想作用在質(zhì)量上的慣性力和阻尼力）與結(jié)構(gòu)抗力（彈性恢復(fù)力）的動力平衡方程（剛度方結(jié)構(gòu)抗力（彈性恢復(fù)力）的動力平衡方程（剛度方程），類似于位移法。程），類似于位移法。 柔度法：柔度法：將位移寫成力的函數(shù)，將位移寫成力的函數(shù)，按位移協(xié)調(diào)條件按位移協(xié)調(diào)條件

12、列列出位移方程（柔度方程），類似于力法。出位移方程（柔度方程），類似于力法。第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算質(zhì)量質(zhì)量m所產(chǎn)生的水平位移，可視為由動力荷載所產(chǎn)生的水平位移，可視為由動力荷載P P( (t t) )和慣和慣性力性力 共同作用在懸臂梁頂端所產(chǎn)生的。根據(jù)疊加原共同作用在懸臂梁頂端所產(chǎn)生的。根據(jù)疊加原理，得理，得一、按位移協(xié)調(diào)條件建立運(yùn)動方程一、按位移協(xié)調(diào)條件建立運(yùn)動方程柔度法柔度法 11( )( )( )( )y tP tmy tB 第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算1111柔度系數(shù)。柔度系數(shù)。表示在質(zhì)量的運(yùn)動表示在質(zhì)量的運(yùn)動方向施加單位力時，在該運(yùn)動方向所產(chǎn)方向施加

13、單位力時，在該運(yùn)動方向所產(chǎn)生的靜力位移。生的靜力位移。11( )( )( )( )y tP tmy tB 11( )( )( )(12 1)y tmy tP t式（式（B B）可改寫為：）可改寫為：第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算1 1、單自由度體系的振動模型、單自由度體系的振動模型 二、二、 按平衡條件建立運(yùn)動方程按平衡條件建立運(yùn)動方程 剛度法剛度法（1 1）動力荷載：）動力荷載： P t（2 2）彈性恢復(fù)力：）彈性恢復(fù)力： 11K y t（3 3）慣性力：）慣性力： my t 2 2、取質(zhì)量、取質(zhì)量m m為隔離體，其上作用有：為隔離體，其上作用有： 第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算

14、結(jié)構(gòu)動力計(jì)算3 3、建立運(yùn)動方程、建立運(yùn)動方程根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，由根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，由X X0 0，得，得代入，即得代入，即得 11( )( )( )(126)my tK y tP t11( )( )( )0P tmy tK y tK K1111剛度系數(shù)。剛度系數(shù)。表示在質(zhì)量的運(yùn)動方向產(chǎn)生單位位移表示在質(zhì)量的運(yùn)動方向產(chǎn)生單位位移所需施加的力。所需施加的力。11111K剛度系數(shù)與柔度系數(shù)互為倒數(shù)：剛度系數(shù)與柔度系數(shù)互為倒數(shù)：11( )( )( )( )y tP tmy tB 第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算例例1 1：試用剛度法建立圖示剛架受動力荷載：試用剛度法建立圖示剛架受動力荷載P

15、 P( (t t) )作用的運(yùn)作用的運(yùn)動方程。動方程。解：解：1)1)確定自由度確定自由度（建模）：（建模）：結(jié)構(gòu)的質(zhì)量結(jié)構(gòu)的質(zhì)量m分布于剛性分布于剛性橫梁，只能產(chǎn)生水平位移，屬單自由度體系。橫梁，只能產(chǎn)生水平位移，屬單自由度體系。 2)2)確定位移參數(shù)確定位移參數(shù)：設(shè)剛梁在任一時刻的位移為：設(shè)剛梁在任一時刻的位移為y(t)，向向右為正右為正 。第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算3)3)繪隔離體受力圖繪隔離體受力圖：取出隔離體。圖中給出了慣性力、：取出隔離體。圖中給出了慣性力、彈性恢復(fù)力。各力均設(shè)沿坐標(biāo)正向?yàn)檎?。彈性恢?fù)力。各力均設(shè)沿坐標(biāo)正向?yàn)檎?4)4)列運(yùn)動方程列運(yùn)動方程：按動靜

16、法列動力平衡方程，可得：按動靜法列動力平衡方程，可得 IS1S20P tFFF第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算式中：式中：ymF IS13112( )EIFy tl S23212( )EIFy tl 代入整理，可得運(yùn)動方程：代入整理，可得運(yùn)動方程：( )( )myk y tP t IS1S20P tFFF32311212lEIlEIk式中，剛度系數(shù)式中，剛度系數(shù) k k又稱為樓層剛度，系指上下樓面發(fā)生單位相對位移又稱為樓層剛度，系指上下樓面發(fā)生單位相對位移（1 1）時，樓層中各柱剪力之和，如圖所示）。）時，樓層中各柱剪力之和，如圖所示）。 第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算例

17、例3:3:試用柔度法建立圖示靜定剛架受動力荷載作用的運(yùn)試用柔度法建立圖示靜定剛架受動力荷載作用的運(yùn)動方程。動方程。CEIEI ACB ABCBC ABC AF(t)IPF =1M(t)M(t)lM =1ll AB1mmlmy解：本題為單自由度體系的振動。取質(zhì)量解：本題為單自由度體系的振動。取質(zhì)量m水平水平方向的位移方向的位移y y為坐標(biāo)為坐標(biāo) 。運(yùn)動方程為運(yùn)動方程為: : 111PymyM t第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算繪出繪出 、 圖如圖所示。由圖乘法得圖如圖所示。由圖乘法得1MPMEIl 32311 111PymyM tEIl62P1得運(yùn)動方程得運(yùn)動方程 tMlylEIym4

18、1233 CEIEI ACB ABCBC ABC AF(t)IPF =1M(t)M(t)lM =1ll AB1mmlmyCEIEI ACB ABCBC ABC AF(t)IPF =1M(t)M(t)lM =1ll AB1mmlmy1M圖圖PM圖圖第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算 tMlylEIym41233 也可寫作也可寫作 tFykymE11 tFE為等效動力荷為等效動力荷載載 tMltMtF4111P1ECEIEI ACB ABCBC ABC AF(t)IPF =1M(t)M(t)lM =1ll AB1mmlmyCEIEI ACB ABCBC ABC AF(t)IPF =1M(t

19、)M(t)lM =1ll AB1mmlmy tMtF11P1E第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算四、建立運(yùn)動方程小結(jié)四、建立運(yùn)動方程小結(jié)1) 1) 判斷動力自由度數(shù)目，標(biāo)出質(zhì)量未知位移正向。判斷動力自由度數(shù)目，標(biāo)出質(zhì)量未知位移正向。2) 2) 沿所設(shè)位移正向加慣性力、阻尼力和彈性恢復(fù)力，沿所設(shè)位移正向加慣性力、阻尼力和彈性恢復(fù)力，并冠以負(fù)號。并冠以負(fù)號。 3) 3) 根據(jù)是求柔度系數(shù)方便還是求剛度系數(shù)方便，確定根據(jù)是求柔度系數(shù)方便還是求剛度系數(shù)方便，確定是寫柔度方程還是寫剛度方程。是寫柔度方程還是寫剛度方程。 4) 4) 剛度方程幾種寫法的選擇：剛度方程幾種寫法的選擇： 當(dāng)結(jié)構(gòu)給質(zhì)體的

20、反力亦即彈性恢復(fù)力當(dāng)結(jié)構(gòu)給質(zhì)體的反力亦即彈性恢復(fù)力F FS S容易求時，容易求時，宜以質(zhì)體為隔離體建立方程（方法二）；否則以結(jié)構(gòu)宜以質(zhì)體為隔離體建立方程（方法二）；否則以結(jié)構(gòu)為對象列方程（方法一）。為對象列方程（方法一）。 當(dāng)用上述方法一和方法二有困難時，則宜用添加附當(dāng)用上述方法一和方法二有困難時，則宜用添加附加約束的方法列方程（方法三）。加約束的方法列方程（方法三）。 第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算1 1、剛度法：、剛度法：質(zhì)點(diǎn)在慣性力與彈簧的恢復(fù)力作用下將處于質(zhì)點(diǎn)在慣性力與彈簧的恢復(fù)力作用下將處于一種虛擬平衡。一種虛擬平衡。一、運(yùn)動方程：一、運(yùn)動方程： 體系在沒有外部動力荷載作

21、用，而由初始位移體系在沒有外部動力荷載作用，而由初始位移y y0 0和和初始速度初始速度u u0 0 引起的振動，叫做自由振動引起的振動，叫做自由振動mmy靜力平衡位置ymSII0IS110( )aktmy11(0)yyktm22110()ykmy12-3 12-3 單自由度體系的自由振動單自由度體系的自由振動( (不計(jì)阻尼不計(jì)阻尼) )第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算2 2、柔度法：、柔度法：11( )y tI11my111myk110kmyy2111121()0mymyk 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)振動時，把當(dāng)質(zhì)點(diǎn)振動時，把慣性力看作是一個靜力荷載慣性力看作是一個靜力荷載，則，則質(zhì)點(diǎn)在其作用下結(jié)構(gòu)在

22、質(zhì)點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)在其作用下結(jié)構(gòu)在質(zhì)點(diǎn)處的位移位移y(ty(t) )應(yīng)等于：應(yīng)等于： my靜力平衡位置yIm第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算二、運(yùn)動方程的解：二、運(yùn)動方程的解： 22110()kyym初始條件定積分常數(shù)初始條件定積分常數(shù) ( )sincosy tBtCt 當(dāng)當(dāng)t=0t=0時時0(0)yy0By則運(yùn)動方程為：則運(yùn)動方程為：00( )cossin(12 18)y tyttv0(0)cos0yBy0(0)cos0yCCv0C v設(shè)初始時刻有初位移設(shè)初始時刻有初位移y y0 0和初速度和初速度v v0 0( )cossiny tBtCt0(0)yv第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)

23、動力計(jì)算220Ay0v三、自由振動解的分析三、自由振動解的分析1 1質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律簡諧振動，簡諧振動，質(zhì)點(diǎn)作質(zhì)點(diǎn)作直線往復(fù)運(yùn)動直線往復(fù)運(yùn)動。ttytysincos)(00vTyt0-AA質(zhì)點(diǎn)離平衡位置的位移隨時間質(zhì)點(diǎn)離平衡位置的位移隨時間t t變化的函數(shù)圖變化的函數(shù)圖 00sincosvyAA( )sin()y tAt振幅振幅: :初相位初相位: :0tany0v第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算初相角初相角 ：標(biāo)志著標(biāo)志著t=0t=0時的位置。時的位置。2T頻率頻率f f：每每1 1秒間振動次數(shù)，秒間振動次數(shù)，12fT圓頻率（簡稱頻率）圓頻率（簡稱頻率）：表示表示22秒

24、內(nèi)的振動次數(shù)。秒內(nèi)的振動次數(shù)。振幅振幅A A：振動過程中的質(zhì)點(diǎn)的最大的位移。振動過程中的質(zhì)點(diǎn)的最大的位移。周期周期T T ：)sin()(tAtyTyt0-AA2sin ()At220Ay0v00tanyv211111kmm第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算2 2自由振動中速度的改變規(guī)律自由振動中速度的改變規(guī)律( )( )cos()ty tAtv Amaxv最大速度等于振幅最大速度等于振幅A A與頻率與頻率 的乘積的乘積。)()sin()()(22tytAtyt a2maxaA 最大加速度等于振幅最大加速度等于振幅A A與頻率與頻率 平方的乘積平方的乘積2( )sin()Z tmymA

25、t 3 3自振中加速度和慣性力的變化規(guī)律：自振中加速度和慣性力的變化規(guī)律：慣性力幅值等于質(zhì)量、振幅與頻率平方的乘積慣性力幅值等于質(zhì)量、振幅與頻率平方的乘積2maxZmA( )sin()y tAt第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算 由于阻尼的作用，自振在幾秒乃至百分之幾秒內(nèi)消由于阻尼的作用，自振在幾秒乃至百分之幾秒內(nèi)消失。但阻尼對自振頻率的影響很小。失。但阻尼對自振頻率的影響很小。4 4自振的衰減自振的衰減四、求自振頻率的方法：四、求自振頻率的方法： 1 1用于柔度系數(shù)好求的體系。用于柔度系數(shù)好求的體系。 2111m2 2用于剛度系數(shù)好求的體系用于剛度系數(shù)好求的體系。 211km用于單質(zhì)

26、點(diǎn)的用于單質(zhì)點(diǎn)的單自由度體系單自由度體系第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算3 3能量法求自振頻率。能量法求自振頻率。2maxmax12Tm AU（） （最大動能、勢能相等）（用于多質(zhì)點(diǎn)用于多質(zhì)點(diǎn)的單自由度體的單自由度體系系、復(fù)雜體系）、復(fù)雜體系）4 4幅值方程求自振頻率。幅值方程求自振頻率。)sin()(2tmAymtZ sin()yAt而兩者按同一規(guī)律兩者按同一規(guī)律 改變。改變。)sin(t2max212UmA 由式（由式（12-3212-32）：）：第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算在達(dá)到振幅時，慣性力在達(dá)到振幅時，慣性力Z(tZ(t) )達(dá)到其幅值達(dá)到其幅值 ，2mA 慣

27、性力與位移方向一致，位移慣性力與位移方向一致，位移A A是慣性力幅值是慣性力幅值 產(chǎn)生的。產(chǎn)生的。2mA故：故：由柔度方程由柔度方程： 1121121mAmA由剛度方程：由剛度方程：mkmAAk112211幅值方程求自振頻率幅值方程求自振頻率第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算例例12-812-8：圖示鋼制懸臂梁，梁端部有一個質(zhì)量為：圖示鋼制懸臂梁，梁端部有一個質(zhì)量為123kg123kg的的電機(jī)。已知電機(jī)。已知梁跨梁跨為為1m1m，彈性模量：，彈性模量： , ,截截面慣性矩面慣性矩I I=78cm=78cm4 4。不計(jì)梁的自重，求自振頻率和周期。不計(jì)梁的自重，求自振頻率和周期。1122.

28、06 10/EN mlEIlMmP=1第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算lmEI解：圖示體系為解：圖示體系為單質(zhì)點(diǎn)的單自由度單質(zhì)點(diǎn)的單自由度體系體系111m1 1）畫單位力作用下的單位彎矩圖。）畫單位力作用下的單位彎矩圖。2 2）圖乘法計(jì)算柔度系數(shù)。）圖乘法計(jì)算柔度系數(shù)。113lllEI 3 3）求自振頻率）求自振頻率 16111162.61232.074 10sm223.140.162.6sTlP=133lEI3611812.074 10/3 2.06 1078 10m N第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算例例12-912-9圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為圖示排架的橫梁為剛性

29、桿，質(zhì)量為m m，柱質(zhì)量不柱質(zhì)量不計(jì)計(jì), ,求其自振頻率。求其自振頻率。 mhEIEIk13EI/h23EI/h2M1圖k13EI/h33EI/h3解解: :第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算 不考慮軸向變形，故為一單不考慮軸向變形，故為一單自由度體系。作自由度體系。作 圖，求出圖，求出剛剛度系數(shù)度系數(shù): :1M36EIkh 自振頻率自振頻率 36kEImmhmhEIEIk13EI/h23EI/h2M1圖k13EI/h33EI/h3例例12-912-9圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為m m，柱質(zhì)量不柱質(zhì)量不計(jì)計(jì), ,求其自振頻率。求其自振頻率。 第十二章第十

30、二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算例例3 3：求圖示剛架的自振頻率。各桿：求圖示剛架的自振頻率。各桿EIEI為常數(shù)。為常數(shù)。lm0.6l1 10.6l0.6lMi圖圖解解:1:1）作出單位力引起的彎矩圖，）作出單位力引起的彎矩圖，第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算lm0.6l10.6l0.6l1 1）作出單位力引起的彎矩圖，）作出單位力引起的彎矩圖，113 3）求自振頻率：）求自振頻率：2111m2 2）按圖乘法求出柔度系數(shù)為：）按圖乘法求出柔度系數(shù)為：31.5215EIml30.432lEI3(0.6 )3lEI0.60.6l llEI 310.432lmEIMi圖圖第十二章第十二章 結(jié)

31、構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算例例4 4：求圖示剛架的自振頻率。各桿：求圖示剛架的自振頻率。各桿EIEI為常數(shù)。為常數(shù)。llmm/2llMm/2mM11ll分析：分析：圖示體系有兩個振質(zhì)，均無豎向位移，僅有水平圖示體系有兩個振質(zhì)，均無豎向位移，僅有水平位移且相同，故是位移且相同，故是單自由度體系單自由度體系。由于。由于兩個質(zhì)點(diǎn)上的慣兩個質(zhì)點(diǎn)上的慣性力共線性力共線，列方程時可以合并，所以，列方程時可以合并，所以可按一個質(zhì)點(diǎn)的情可按一個質(zhì)點(diǎn)的情況考慮況考慮。解解: :（1 1）作出）作出虛設(shè)位移方向的單位力虛設(shè)位移方向的單位力引起的彎矩圖引起的彎矩圖第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算llmm/2l

32、lM（1 1）作出單位力引起的彎矩圖，）作出單位力引起的彎矩圖，EIlEIlll3223311（3 3）求自振頻率：）求自振頻率：2311333()() 222EIEImml（2 2）按圖乘法求出柔度系數(shù)為：）按圖乘法求出柔度系數(shù)為：m/2mM11ll3EIml0第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算例例5 5：求圖剛架水平振動的自振頻率，不計(jì)橫梁的變形。：求圖剛架水平振動的自振頻率，不計(jì)橫梁的變形。mEIEIhEIMi26/EI h26/EI h26/EI h26/EI h26/EI h26/EI hk11k11312/EI h312/EI h312/EI h解：圖示體系為單自由度解：圖

33、示體系為單自由度體系體系: :mk1121)1)在質(zhì)量上沿位移方向加鏈桿，并令鏈桿沿位移方向發(fā)在質(zhì)量上沿位移方向加鏈桿，并令鏈桿沿位移方向發(fā)生單位位移，作出單位彎矩圖。生單位位移，作出單位彎矩圖。第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算mEIEIhEI2 2）求鏈桿反力，即為剛）求鏈桿反力，即為剛度系數(shù)度系數(shù)113312363EIEIkhh3 3）求自振頻率：）求自振頻率：211336kEImmhMi26/EI h26/EI h26/EI h26/EI h26/EI h26/EI hk11k11312/EI h312/EI h312/EI h33366EIEImhmhEI例例5 5：求圖剛架

34、水平振動的自振頻率，不計(jì)橫梁的變形。：求圖剛架水平振動的自振頻率，不計(jì)橫梁的變形。第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算例例6 6：求圖示體系的自振頻率。已知桿的剛度為無窮大，：求圖示體系的自振頻率。已知桿的剛度為無窮大，不計(jì)桿的質(zhì)量，彈簧剛度系數(shù)為不計(jì)桿的質(zhì)量，彈簧剛度系數(shù)為K K。mmABlll2AK/32mA/32A/3A/3A2mA解：圖示體系為單自由度體系。由于兩個解：圖示體系為單自由度體系。由于兩個質(zhì)點(diǎn)的慣性力質(zhì)點(diǎn)的慣性力不共線，所以不能將質(zhì)量合并不共線，所以不能將質(zhì)量合并。利用幅值方程求解。利用幅值方程求解。 第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算方法一：方法一：利用幅值

35、方程。利用幅值方程。 以質(zhì)點(diǎn)以質(zhì)點(diǎn)C C 的位移作基本位移的位移作基本位移參數(shù)，其最大位移設(shè)為參數(shù)，其最大位移設(shè)為A A，以，以A A點(diǎn)為矩心列力矩方程，有點(diǎn)為矩心列力矩方程，有 22203233AllAmKAlm 2104033mK25KmlmABllmC2AK/32A/3mAA22mA/3A/3第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算方法二：能量法方法二：能量法 求體系的最大動能和最大求體系的最大動能和最大勢能。勢能。 振子的最大動能：振子的最大動能：222x2a22m311()2259TAAmmmA彈性勢能：彈性勢能：22max12()2239AAUKK令令maxmaxTU25Km22

36、25929AmAKlmABllmC2AK/32A/3mAA22mA/3A/3第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算思考：思考： 圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點(diǎn)有一集中質(zhì)量點(diǎn)有一集中質(zhì)量m m。當(dāng)不考慮的自重，試比較三者的自振。當(dāng)不考慮的自重，試比較三者的自振頻率。頻率。l/2l/2mABl/2l/2mABmBAl/2l/2第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算1211mmABl/2l/21144223lllEIABP=14l348lEI348EIml348EIm l思考：思考： 圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中圖示三種支

37、承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點(diǎn)有一集中質(zhì)量點(diǎn)有一集中質(zhì)量m m。當(dāng)不考慮的自重，試比較三者的自振。當(dāng)不考慮的自重，試比較三者的自振頻率。頻率。第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算l/2l/2mAB112 31 5()222316332stllmgmgEI 3376877768gEImglmlEI211kmmg3 32 2mgl51 16 63mglP=12 2l111m11gmgstgstgMP圖Mi圖圖37( )768mglEIstst表示重力所表示重力所產(chǎn)生的靜位移產(chǎn)生的靜位移思考：思考： 圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點(diǎn)有一

38、集中質(zhì)量點(diǎn)有一集中質(zhì)量m m。當(dāng)不考慮梁的自重，試比較三者的自。當(dāng)不考慮梁的自重，試比較三者的自振頻率。振頻率。第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算mBAl/2l/2211km111m11gmgstgstgMP圖mg8 8mgl8 8mgl8 8mglP=12 2lMi圖圖33192192gEImglmlEI1121()2223838stllmgmgEI 3( )192mglEI思考：思考： 圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點(diǎn)有一集中質(zhì)量點(diǎn)有一集中質(zhì)量m m。當(dāng)不考慮梁的自重，試比較三者的自。當(dāng)不考慮梁的自重，試比較三者的自振頻率。振頻

39、率。第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算l/2l/2mABl/2l/2mABmBAl/2l/21348EIm l237687EIml33192 EIm l123:1 :1.51 : 2 結(jié)構(gòu)的自振頻率只取決于它本身的質(zhì)量、剛度，隨著結(jié)構(gòu)的自振頻率只取決于它本身的質(zhì)量、剛度，隨著結(jié)構(gòu)剛度的加大，其自振頻率也相應(yīng)增高。結(jié)構(gòu)剛度的加大，其自振頻率也相應(yīng)增高。思考：思考： 圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點(diǎn)有一集中質(zhì)量點(diǎn)有一集中質(zhì)量m m。當(dāng)不考慮梁的自重，試比較三者的自。當(dāng)不考慮梁的自重，試比較三者的自振頻率。振頻率。第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動

40、力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算作業(yè)：作業(yè)：教材教材12-1512-15、1616總結(jié)：總結(jié)： 1 1、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律簡諧振動。簡諧振動。 2 2、自由振動中速度、加速度、慣性力的改變規(guī)律、自由振動中速度、加速度、慣性力的改變規(guī)律 3 3、求自振頻率的方法：、求自振頻率的方法： 柔度法柔度法剛度法剛度法能量法能量法幅值法幅值法單質(zhì)點(diǎn)、單自由度體系單質(zhì)點(diǎn)、單自由度體系多質(zhì)點(diǎn)單自由度多質(zhì)點(diǎn)單自由度體系、復(fù)雜體系體系、復(fù)雜體系第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算12-5 12-5 簡諧荷載作用下無阻尼簡諧荷載作用下無阻尼單自由度體系的受迫振動單自由度體系的受迫振動強(qiáng)迫振動強(qiáng)迫振動結(jié)構(gòu)在動荷載

41、作用下的振動結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的振動 單自由度體系在動荷載下的振動及相應(yīng)的振動模型單自由度體系在動荷載下的振動及相應(yīng)的振動模型如圖示如圖示: : 彈性力彈性力( )ky t慣性力慣性力 ( )my t平衡方程平衡方程 ( )( )( )my tky tP t第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算不同的動荷載作用，體系的動力反應(yīng)不同。不同的動荷載作用，體系的動力反應(yīng)不同。常見的幾種動荷載作用下體系的動力反應(yīng)：常見的幾種動荷載作用下體系的動力反應(yīng)：或或 2( )( )( )P ty ty tm式中式中 結(jié)構(gòu)的自振頻率結(jié)構(gòu)的自振頻率 單自由度體系強(qiáng)迫振單自由度體系強(qiáng)迫振動方程動方程 mk第十二章

42、第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算一、簡諧荷載一、簡諧荷載 ( )sinP tPt 荷載幅值荷載幅值 P 荷載的圓頻率荷載的圓頻率( (擾頻擾頻) ) 1 1、運(yùn)動方程及其解、運(yùn)動方程及其解 2( )( )sin(1260)Py ty ttm二階線性非齊次常微分方程二階線性非齊次常微分方程 通解：通解： *( )( )( )y ty ty t齊次解：齊次解： ( )cossiny tBtCt設(shè)特解：設(shè)特解： *( )sinytAt第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算運(yùn)動方程的通解為：運(yùn)動方程的通解為： 22( )cossinsin(1261)()Py tBtCttm由初始條件確定由初始條

43、件確定,BC故特解為：故特解為：*22( )sin()Py ttm代入方程，求得代入方程，求得22()PAm式（式（12-6112-61）第三項(xiàng)按擾頻）第三項(xiàng)按擾頻 振動，稱為純受迫振動。振動，稱為純受迫振動。前兩項(xiàng)消逝后，只考慮穩(wěn)態(tài)，即：前兩項(xiàng)消逝后，只考慮穩(wěn)態(tài)，即：22( )sin(1262)()Py ttm第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算式（式（12-6212-62）中振幅）中振幅A A等于：等于：22()PAm2221(1)Pm其中：其中：211mK由此可得：由此可得：11211stPPPymKsty叫靜位移。是將擾力叫靜位移。是將擾力 的幅值的幅值P P作為靜力加作為靜力加

44、上去時產(chǎn)生的位移上去時產(chǎn)生的位移sinPt令：令：2211得振幅的表達(dá)式：得振幅的表達(dá)式：(1266)stAy動力系數(shù)動力系數(shù)第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算(1266)stAy得振幅的表達(dá)式：得振幅的表達(dá)式：求動位移、動內(nèi)力最大值的計(jì)算步驟：求動位移、動內(nèi)力最大值的計(jì)算步驟：1 1）在擾力幅值）在擾力幅值P P作用下求靜位移作用下求靜位移 及靜內(nèi)力；及靜內(nèi)力；sty2 2）求動力系數(shù)）求動力系數(shù) ；22113 3）將靜位移、靜內(nèi)力乘以動力系數(shù)即得動位移、動內(nèi)力）將靜位移、靜內(nèi)力乘以動力系數(shù)即得動位移、動內(nèi)力的幅值；的幅值；思考題思考題:P70 :P70 例題例題12-1512-15

45、第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算動力系數(shù)動力系數(shù) 是頻率比是頻率比 的函數(shù)的函數(shù) 2 2、算式分析、算式分析它反映了干擾力它反映了干擾力對結(jié)構(gòu)的動力作用。對結(jié)構(gòu)的動力作用。stAy振幅算式：振幅算式：2211動力系數(shù)：動力系數(shù)：當(dāng)當(dāng) 時，時， 1 0即動位移與干即動位移與干擾力指向一致；擾力指向一致；當(dāng)當(dāng) 時，時， 1 0即動位移與干擾力指向相反。即動位移與干擾力指向相反。 第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算1 1） 時，時， 干擾力產(chǎn)生的動力作用不明顯，干擾力產(chǎn)生的動力作用不明顯， 因此可當(dāng)作靜荷載因此可當(dāng)作靜荷載處理；處理； 極限情況，即極限情況，即 或或 ，則，則 。意

46、。意味著結(jié)構(gòu)為剛體或荷載不隨時間變化，因此不存在振動味著結(jié)構(gòu)為剛體或荷載不隨時間變化，因此不存在振動問題。問題。0 1 01當(dāng)當(dāng) 時，時， 為增函數(shù)。為增函數(shù)。 012 2、算式分析、算式分析stAy振幅算式：振幅算式：2211動力系數(shù)：動力系數(shù)：第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算2 2）當(dāng)）當(dāng) 時，時， ，共振，共振, ,為避開共振，可改為避開共振，可改變干擾力頻率變干擾力頻率 或改變結(jié)構(gòu)的自振頻率或改變結(jié)構(gòu)的自振頻率 使使 或或 。 1 1.250.753 3）當(dāng)）當(dāng) 時，時， 為減函數(shù)為減函數(shù)當(dāng)當(dāng) 時，時， ， ，體系處于靜止?fàn)顟B(tài)。，體系處于靜止?fàn)顟B(tài)。10max0y2 2、算式分

47、析、算式分析stAy振幅算式：振幅算式：2211動力系數(shù)：動力系數(shù)：第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算例：求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩例：求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩. . 已知：已知：4lm547.48 10Im210EGPa35GkN10FkN500minrn 第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算解解: (1) (1) 計(jì)算動力系數(shù)計(jì)算動力系數(shù)梁的自振頻率：梁的自振頻率： 38118.4881048lmNEI111157.4ksmm荷載頻率：荷載頻率： 1252.360ns動力系數(shù)：動力系數(shù)： 例：求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩例：求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩. . 2

48、215.8814lm547.48 10Im210EGPa35GkN10FkN500minrn第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算(2) (2) 動荷載幅值作為靜荷載作用動荷載幅值作為靜荷載作用時的位移和內(nèi)力時的位移和內(nèi)力 4118.488 10styFm104stFlMkN m(3)(3)振幅和動彎矩幅值振幅和動彎矩幅值 振幅振幅 34.99 10stAym 動彎矩幅值動彎矩幅值 58.84dstFlMMkN m例：求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩例：求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩. . 4lm547.48 10Im210EGPa35GkN10FkN500minrn第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動

49、力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算(4) (4) 最大位移和最大彎矩最大位移和最大彎矩 簡支梁的最大位移和最大彎簡支梁的最大位移和最大彎矩均在梁跨中點(diǎn)矩均在梁跨中點(diǎn) 跨中重量跨中重量G G產(chǎn)生的靜位移產(chǎn)生的靜位移 :3112.9710GyGm跨中的最大位移跨中的最大位移: : 1354GMGlkN m跨中重量跨中重量G G產(chǎn)生的靜彎矩產(chǎn)生的靜彎矩:3max7.96 10GyyAm跨中的最大彎矩跨中的最大彎矩: : max93.8GdMMMkN m例：求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩例：求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩. . 4lm547.48 10Im210EGPa35GkN10FkN500minrn第十二章第十

50、二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算4. 4. 動荷載不作用在質(zhì)點(diǎn)上時的動計(jì)算動荷載不作用在質(zhì)點(diǎn)上時的動計(jì)算 振動方程振動方程 1112( )( )siny tmy tFt1211111( )( )sinmy ty tFt令令*1211FF (a) (b) y(t)Fsintml/4l/4l/2Fsinty(t)-my(t)第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算則則*11s n1( )( )imy ty tFt穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解 同式同式(12-62)(12-62)*222( )sin(1)Fy ttm111112Fyst (c) (d) (e) *1211FF第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)

51、算 （1 1）、振幅）、振幅 *max222*11212111211 ( )(1)stFAy tmFFmFFy 結(jié)論結(jié)論: :仍是位移的動力系數(shù)仍是位移的動力系數(shù). .*1211FFFyst第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算 （2 2）、動內(nèi)力幅值）、動內(nèi)力幅值 ( )sinpF tFt( )siny tAt2( )siny tAt 2( )( )sinI tmy tmAt 三者同時達(dá)到幅值。三者同時達(dá)到幅值。、( )y t( )I t( )pFt、作同頻同步運(yùn)動，作同頻同步運(yùn)動， 根據(jù)穩(wěn)態(tài)振動的振幅，算出慣性力。然后，將慣性力根據(jù)穩(wěn)態(tài)振動的振幅，算出慣性力。然后，將慣性力幅值和干擾力

52、幅值同時作用在體系上，按靜力學(xué)計(jì)算方法幅值和干擾力幅值同時作用在體系上，按靜力學(xué)計(jì)算方法便可求得動內(nèi)力幅值。便可求得動內(nèi)力幅值。y(t)Fsintml/4l/4l/2第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算例：求圖示簡支梁的振幅，作動彎矩幅值圖例：求圖示簡支梁的振幅，作動彎矩幅值圖。已知已知：0.5 (a) (b) 解解 (1)(1)計(jì)算動力系數(shù)計(jì)算動力系數(shù) 221431(2) (2) 簡支梁的振幅簡支梁的振幅 31211768lEImax312( )11576stAy tyFlFEI(c)y(t)Fsintml/4l/4l/2Fm2AAFyst第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算 (

53、d) (e) (3) (3) 作動彎矩的幅值圖作動彎矩的幅值圖慣性力幅值慣性力幅值2ImA動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖(f) 將動荷載幅值將動荷載幅值 F F 和慣性和慣性力幅值力幅值 I I 作用在梁上，按靜作用在梁上，按靜力學(xué)方法作出彎矩圖力學(xué)方法作出彎矩圖-動彎動彎矩幅值圖。矩幅值圖。 13l/1612F4811FFl38483Fl192351l/411例：求圖示簡支梁的振幅，作動彎矩幅值圖例：求圖示簡支梁的振幅，作動彎矩幅值圖。已知已知：0.52(0.5)mA211(0.5)A1148F33111576448FLEILEI第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)結(jié) 論論 對于對于單自由

54、度體系單自由度體系，當(dāng)干擾力作用在質(zhì)量上時，位，當(dāng)干擾力作用在質(zhì)量上時，位移的動力系數(shù)和內(nèi)力的動力系數(shù)是相同的；當(dāng)干擾力不作移的動力系數(shù)和內(nèi)力的動力系數(shù)是相同的；當(dāng)干擾力不作用在質(zhì)量上時，位移和內(nèi)力各自的動力系數(shù)通常是不同的。用在質(zhì)量上時，位移和內(nèi)力各自的動力系數(shù)通常是不同的。 對于位移和內(nèi)力動力系數(shù)相同的情況，求結(jié)構(gòu)的最對于位移和內(nèi)力動力系數(shù)相同的情況，求結(jié)構(gòu)的最大動力反應(yīng)時，可將大動力反應(yīng)時，可將干擾力幅值當(dāng)作靜荷載作用計(jì)算結(jié)構(gòu)干擾力幅值當(dāng)作靜荷載作用計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移和的位移和內(nèi)力內(nèi)力，然后再，然后再乘以動力系數(shù)乘以動力系數(shù)，便可得到穩(wěn)態(tài)振動，便可得到穩(wěn)態(tài)振動時結(jié)構(gòu)的最大動位移和最大動內(nèi)力。

55、時結(jié)構(gòu)的最大動位移和最大動內(nèi)力。 對于位移和內(nèi)力動力系數(shù)不同的情況，則要從體系對于位移和內(nèi)力動力系數(shù)不同的情況，則要從體系的運(yùn)動方程出發(fā)，先求出穩(wěn)態(tài)振動的位移幅值，再算出慣的運(yùn)動方程出發(fā)，先求出穩(wěn)態(tài)振動的位移幅值，再算出慣性力。最后，按靜力計(jì)算方法求出結(jié)構(gòu)在干擾力幅值和慣性力。最后，按靜力計(jì)算方法求出結(jié)構(gòu)在干擾力幅值和慣性力幅值共同作用下的內(nèi)力，此即結(jié)構(gòu)的最大動內(nèi)力。性力幅值共同作用下的內(nèi)力，此即結(jié)構(gòu)的最大動內(nèi)力。第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算工程實(shí)例工程實(shí)例1)1)多層房屋的側(cè)向振動，多層房屋的側(cè)向振動，2)2)不等高排架的振動，不等高排架的振動，3)3)塊塊式基礎(chǔ)的水平回轉(zhuǎn)振動

56、，式基礎(chǔ)的水平回轉(zhuǎn)振動，4)4)高聳結(jié)構(gòu)高聳結(jié)構(gòu)( (如煙囪如煙囪) )在地震在地震作用下的振動，作用下的振動，5) 5) 橋梁的振動，橋梁的振動，6) 6) 拱壩和水閘的振拱壩和水閘的振動等，一般均化為多自由度體系計(jì)算。動等，一般均化為多自由度體系計(jì)算。目的目的1) 1) 計(jì)算自振頻率，即計(jì)算自振頻率，即 ， ， ， 。i12n2) 2) 確定振型（振動形式），即確定振型（振動形式），即 ， ， ，或振型常數(shù)或振型常數(shù)r r1 1，r r2 2（僅適用于兩個自由度體系）。并討（僅適用于兩個自由度體系）。并討論振型的特性論振型的特性主振型的正交性。主振型的正交性。 iY 1Y 2Y nY12-

57、7 12-7 多自由度體系的自振頻率和振型計(jì)算多自由度體系的自振頻率和振型計(jì)算第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算方法方法1) 1) 剛度法剛度法根據(jù)力的平衡條件建立運(yùn)動微分方程。根據(jù)力的平衡條件建立運(yùn)動微分方程。2) 2) 柔度法柔度法根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件建立運(yùn)動微分方程。根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件建立運(yùn)動微分方程。對于多自由度體系自由振動分析一般不考慮阻尼。對于多自由度體系自由振動分析一般不考慮阻尼。第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算一、一、 兩個自由度體系的自由振動兩個自由度體系的自由振動1. 1. 剛度法剛度法(1)(1)運(yùn)動方程的建立運(yùn)動方程的建立m12m1yy22121ym22-1

58、1myFS2S1F2mm12yy112FS1S2F21111211kk21k1222kI1FFI2=若不考慮阻尼，取質(zhì)量若不考慮阻尼，取質(zhì)量m1和和m2作隔離體，質(zhì)點(diǎn)上作作隔離體，質(zhì)點(diǎn)上作用慣性力和彈性恢復(fù)力，用慣性力和彈性恢復(fù)力，根據(jù)達(dá)朗伯原理，可列出根據(jù)達(dá)朗伯原理，可列出平衡方程平衡方程002S2I1S1IFFFF第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算m12m1yy22121ym22-11myFS2S1F2mm12yy112FS1S2F21111211kk21k1222kI1FFI2=結(jié)構(gòu)所受的力結(jié)構(gòu)所受的力 、 與結(jié)構(gòu)的位移與結(jié)構(gòu)的位移 、 之間應(yīng)滿足剛度方程之間應(yīng)滿足剛度方程1SF

59、2SF1y2ym12m1yy22121ym22-11myFS2S1F2mm12yy112FS1S2F21111211kk21k1222kI1FFI2=m12m1yy22121ym22-11myFS2S1F2mm12yy112FS1S2F21111211kk21k1222kI1FFI2=2221212S2121111SykykFykykF是結(jié)構(gòu)的是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)剛度系數(shù) ijk第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算可得運(yùn)動方程可得運(yùn)動方程 002221212221211111ykykymykykym 也可用矩陣表示為也可用矩陣表示為 00021222112112121yykkkkyymm 0

60、MyKy或縮寫為或縮寫為式中，式中， 為質(zhì)量矩陣；為質(zhì)量矩陣； 為加速度列陣；為加速度列陣； 為剛度矩陣；為剛度矩陣； 為位移列陣。為位移列陣。M y K y第十二章第十二章 結(jié)構(gòu)動力計(jì)算結(jié)構(gòu)動力計(jì)算(2)(2)運(yùn)動方程的求解運(yùn)動方程的求解設(shè)設(shè) 1) 1) 在振動過程中，兩個質(zhì)點(diǎn)同頻率（在振動過程中，兩個質(zhì)點(diǎn)同頻率（w w）、同相位（）、同相位（a a）。）。 1122sin()sin()yAtyAt上式所表明的運(yùn)動具有以下特點(diǎn)：上式所表明的運(yùn)動具有以下特點(diǎn)：2) 2) 在振動過程中，兩個質(zhì)點(diǎn)的位移在數(shù)值上隨時間而變在振動過程中，兩個質(zhì)點(diǎn)的位移在數(shù)值上隨時間而變化，但二者的比值始終保持不變，即