第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

1、第第 二二 章章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2數(shù)學模型：描述系統(tǒng)輸入量、輸出量以及內(nèi)部各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學表達式。 建立數(shù)學模型的方法：機理分析法和實驗測定法。機理分析法：首先對系統(tǒng)的各個部件運動的機理進行分析，根據(jù)這些物理規(guī)律或化學規(guī)律（如力學、運動學、電磁學、熱學等）列寫描述系統(tǒng)相應的運動方程；實驗（辨識/測定）法：在系統(tǒng)上人為地施加上某種測試信號，記錄其輸出相應，然后選擇適當?shù)臄?shù)學模型，使之能近似地表示這種運動。亦稱為系統(tǒng)辨識。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型3 數(shù)學模型：微分方程、傳遞函數(shù)、方塊圖、信號流圖、狀態(tài)方

2、程和傳遞矩陣等。 在以單輸入單輸出系統(tǒng)為研究目標的經(jīng)典控制理論中，主要采用微分方程和差分方程描述系統(tǒng)的時域數(shù)學模型； 采用傳遞函數(shù)、脈沖傳遞函數(shù)、方塊圖和信號流圖描述系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型； 采用頻率特性描述系統(tǒng)的復頻域數(shù)學模型。 最優(yōu)控制或多變量系統(tǒng)中，主要采用傳遞矩陣、狀態(tài)方程作為描述系統(tǒng)相對應的數(shù)學模型。 本章只研究微分方程、傳遞函數(shù)、方塊圖和信號流圖等數(shù)學模型的建立和應用。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型42.2 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型 2.2.12.2.1線性元件的微分方程線性元件的微分方程控制系統(tǒng)是由具有不同功能的元件以一定方式連接而成，因此首先要建立反映各個元件輸入量與

3、輸出量之間關(guān)系的運動方程，即微分方程。其中討論的對象主要是時間的函數(shù)，所以這類描述通常稱為時間域的數(shù)學模型。步驟：（1）分析元件的工作原理，確定輸入量和輸出量；（2）提出一些合乎實際簡化系統(tǒng)的假設，根據(jù)描述元件運動特性的物理或化學定律（如基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守恒定律等），列出微分方程，需注意負載效應；（3）消除中間變量，得到只描述輸出量和輸入量（包括擾動量）關(guān)系的微分方程；（4）將微分方程整理成標準形式，將與輸出量有關(guān)的各項放在方程的左邊，與輸入量有關(guān)的各項放在方程的右邊，方程兩邊的導數(shù)項均按降冪排列。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型5 【例例2-12-1】 圖2.2-1所

4、示為一電阻 、電感 、電容 串聯(lián)的無源網(wǎng)絡，其中 為輸入電壓，求以電容兩端電壓 為輸出量的微分方程。RLC)(tUr)(tUc圖2.2-1 RLC無源網(wǎng)絡CRL)(tUr)(tUc)(ti)(ticdttdUCtititUdttdiLtRitUcccr)()()()()()()()()()()(22tUtUdttdURCdttUdLCrccc二階線性常系數(shù)微分方程 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型6【例例2-22-2】 圖2.2-2是由質(zhì)量彈簧空氣阻尼器構(gòu)成的運動系統(tǒng)。列寫以外力 為輸入量和以位移 為輸出量的微分方程。 )(tF)(ty圖2.2- 彈簧阻尼系統(tǒng)kfm)(ty)(tF

5、)()()(tfvtkytFFma)()()()(22tFtkydttdyfdttydm解：解：忽略摩擦，根據(jù)牛頓定律有經(jīng)整理，即得描述此對象運動的微分方程： )(tkyk)(tydttdyf)(fdttdytv)()(彈簧的彈性阻力，它是彈性系數(shù)與位移的乘積;阻尼器的粘性摩擦阻力，它是粘滯摩擦系數(shù)與活塞運動速度的乘積。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型7圖2.2- 電動機傳動系統(tǒng)MUEaIaLaRMLMJ負載aLaRJLMU【例例2-32-3】 圖2.2-3所示直流他勵電動機即有電磁作用，又有機械轉(zhuǎn)動，是一個機電對象。其中電動機繞組的總電感為 ,總電阻為，電動機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為 ，

6、電動機軸上的反向力矩（包括負。列寫以電樞電壓角速度載、摩擦等）為為輸入量，以電動機軸的為輸出量的微分方程。UEIRdtdILaaaadtdJMMLaMeICMCE,解：解：基爾霍夫定律可得電勢平衡方程為 電動機的機械運動方程：考慮電動機的性能：2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型8)(122LLLMeMMLMdtdMTJTUCdtdTdtdTTLMeMMJTUCdtdT1E其中為電樞反電動勢，M為電動機的電磁轉(zhuǎn)矩，eC為電動機的電勢常數(shù)，MC為電動機的轉(zhuǎn)矩系數(shù)。)(sRLTaaL)(sCCJRTMeaM電磁時間常數(shù)為機電時間常數(shù)為LTMLTTaL（較?。r，則可以省略，式可簡化為一階微

7、分方程： ，而得到描述:消去中間變量ULM輸出量，擾動輸入量，輸入量2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型9控制系統(tǒng)通常有多個具有不同功能的元件組成的。編寫控制系統(tǒng)的微分方程時，應當首先按照信號流通方向依次列寫各元件的微分方程，其次根據(jù)元件在系統(tǒng)中的連接情況將方程合并，消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)的輸出量（即被控量）和輸入量（包括給定輸入量和擾動輸入量）之間的微分方程。列寫過程中，為使信號傳送關(guān)系更為明確，通常還需繪制出相應的方塊圖。2.2.22.2.2控制系統(tǒng)的微分方程的建立控制系統(tǒng)的微分方程的建立編寫控制系統(tǒng)的微分方程時，應注意以下兩個方面：（1）信號傳送的單向性，即前一個元件的輸

8、出是后一個元件的輸入，一級一級地單向傳送；（2）負載效應，即前后相連的兩個元件中，后級對前級的負載效應。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型10LMrULM【例例2-42-4】 轉(zhuǎn)速單閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)如圖2.2-4所示。系統(tǒng)的輸出為角速度，擾動輸入為負載轉(zhuǎn)矩。求輸出量與輸入電壓 ；與負載轉(zhuǎn)矩之間的微分方程。輸出量MTGrULM解：解：系統(tǒng)由輸入電位器、比例運算放大器、功率放大器、直流電動機和測速發(fā)電機給定輸入信號為電壓擾動輸入為負載轉(zhuǎn)矩等部分組成。被控量為系統(tǒng)的輸出量2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型11該系統(tǒng)的方塊圖如圖2.2-5所示。圖2.2-5 轉(zhuǎn)速單閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)方塊圖)(

9、)(12frpfrcUUKUURRUcsUKU （1）比例運算放大器： （2）功率放大器通常是由可控晶閘管或PWM變換器等構(gòu)成的電力電子變換器，在忽略其時間滯后的情況下，可以看作為比例環(huán)節(jié)，即 （2.2-9） （2.2-8）2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型12ffKU)()(122LLLMfrpseMMLMdtdMTJTKUKKCdtdTdtdTT消去中間變量，經(jīng)整理后可得 （2.2-11）（3）直流電動機的微分方程如式（2.2-6）所示（4）測速發(fā)電機連同分壓器，忽略負載效應等也可以將其看作為比例環(huán)節(jié)，即 )(122LLLMeMMLMdtdMTJTUCdtdTdtdTT （2.2

10、-10）2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型130LMrUrpsefpseMMLUKKCKKKCdtdTdtdTT1)11 (220rULM)()11 (22LLLMfpseMMLMdtdMTJTKKKCdtdTdtdTT對于線性系統(tǒng)，可以應用疊加原理分別討論兩種輸入作用下所引起的轉(zhuǎn)速變換，然后進行疊加。因此，當負載轉(zhuǎn)矩時，輸出量與輸入電壓之間的微分方程為 （2.2-12）時，輸出量與負載轉(zhuǎn)矩之間的微分方程為 （2.2-13）當2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型14線性常微分方程：它對應的齊次微分方程的通解；滿足該微分方程右端函數(shù)的任一特解。其解的結(jié)構(gòu)形式：齊次方程的通解和非

11、齊次方程的任一特解之和。電網(wǎng)絡：將較直觀的電路穩(wěn)態(tài)響應作為非齊次方程的任一特解，則響應的結(jié)構(gòu)形式為動態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應之和。動態(tài)響應（或動態(tài)分量）就是描述網(wǎng)絡運動的常微分方程的齊次方程的通解，穩(wěn)態(tài)響應（或穩(wěn)態(tài)分量）則是網(wǎng)絡在相應輸入作用下網(wǎng)絡的動態(tài)響應都衰減到零之后的響應。2.2.32.2.3線性微分方程的求解線性微分方程的求解線性常系數(shù)微分方程在給定初值下的求解可以利用特征多項式解出，或稱古典解法。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型15求解高階常微分方程，還可利用拉普拉斯變換方法。（1）利用拉普拉斯變換定理在方程兩端求拉普拉斯變換，將時域的微分方程轉(zhuǎn)化為復數(shù)域中的代數(shù)方程；（2）對變

12、換后的代數(shù)方程求解得到輸出量；（3）對代數(shù)方程的輸出量進行部分因式展開；（4）從拉普拉斯變換表2.2-1得到輸出量的拉普拉斯反變換。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型165)(2)(3)(22tcdttdcdttcd1)0(c2)0(c【例例2-52-5】設微分方程為，初值為，求解微分方程。ssCcssCcscsCs5)(2)0()(3)0()0()(2)23(1)23(5)23()0()0(3)0()23(5)(2222sssssssssccscssssC2231525)(ssssC0,23525)(2teetctt解：解：將微分方程兩端取拉普拉斯變換，得將初始條件代入上式，整理可

13、得輸出量為部分因式展開拉普拉斯反變換第一項為穩(wěn)態(tài)分量-特解后兩項為動態(tài)分量-齊次解2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型172.2.4 2.2.4 非線性元件微分方程的線性化非線性元件微分方程的線性化非線性因素的問題可以分兩大類：一類是系統(tǒng)存在非本質(zhì)上的非線性問題。此類系統(tǒng)函數(shù)為光滑函數(shù)（圖2.2-6a），即當輸入量連續(xù)變化時，函數(shù)值及其各階導數(shù)值的變化都是連續(xù)的。一般這類問題可以通過小偏差線性化的方法進行線性化處理；圖2.2-6 光滑函數(shù)、不光滑函數(shù)2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型18另一類是元件本身存在本質(zhì)上的非線性，如飽和特性、繼電器特性，此類系統(tǒng)函數(shù)為不光滑函數(shù)（圖2

14、.2-6b、c），具有這樣元件的系統(tǒng)只能采用非線性系統(tǒng)的分析方法進行分析和設計?？刂葡到y(tǒng)都有一個穩(wěn)定的工作狀態(tài)以及與之相對應的工作點，稱為預期工作點。非線性微分方程能進行線性化的一個基本假設：變量偏離其預期工作點的偏差很小。由數(shù)學的級數(shù)理論可知，只要變量在預期工作點處的各階導數(shù)或偏導數(shù)存在，則在預期工作點的微小鄰域內(nèi)可將非線性函數(shù)通過變量的偏差展開成泰勒級數(shù)，如將級數(shù)中偏差的高階項加以忽略，可獲得以變量的偏差為自變量的線性函數(shù)。這種線性化方法稱為小偏差線性化。 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型19A0fI0fUfUfI)(ffiFu202200)(! 21)()(00ffifffi

15、fffiidiFdiididFiFuff預期（額定）工作點的勵磁電流和對應的發(fā)電機電壓分別當勵磁電流變化時，發(fā)電機電壓將沿著勵磁曲線變化，變化的增量存在著非線性關(guān)系，函數(shù)為該函數(shù)可在額定工作點的鄰域展開泰勒級數(shù)為A)(ffiFu ofifu0fU0fIA0)(00ffiFu0fffiiI式中：。 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型20fifffididFiFuf0)(00tgIUff0tg偏差為微量時，在上式所示級數(shù)中可忽略的二階及二階以上的高階導數(shù)項，從而得即為勵磁曲線在預期工作點的斜率。因此，在一個小范圍內(nèi)，可以近似地認為勵磁特性用切線這一直線來代替。這樣就把非線性問題線性化了，

16、這種方法稱為“小偏差”線性化。xKy0 xxdxdyK,即 )(xFy ),(00yx)(00 xxKyy連續(xù)變化的具有一個變量的非線性函數(shù)，在預期工作點的鄰域，利用小偏差線性化的方法，可將其化簡為線性微分 ， 方程 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型21),(21xxFy 10 x20 x),(20100 xxFy 21,2122,21,1201021)(! 21),(),(201020102010 xxFxxFxxFxxFxxFyxxxxxx22,22221,212)(! 2120102010 xxFxxxxFxxxx1011xxx2022xxx),(21xx對于連續(xù)變化的具有二

17、個變量的非線性函數(shù)預期工作點的鄰域展開泰勒級數(shù)為式中：為偏離預期工作點的偏差。 ),(21xx2,21,120102120102010),(),(xxFxxFxxFxxFxxxx2211xKxKy2010,11xxxFK2010,22xxxFK偏差甚小，即，2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型22例例2-62-6 已知三相橋式晶閘管整流電路的輸出電壓，其中 為整流變壓器二次側(cè)額定相電壓的有效值， 為觸發(fā)延遲角，整流特性曲線如圖2.2-8所示，求該晶閘管整流電路的線性化數(shù)學模型。cos34. 22UUd2UA63200dUdUoA， 從整流特性呈非線性關(guān)系，預期工作點為0020cos34

18、. 2UUd)(cos34. 2002sdKUU02sin34. 20UddUKdso3002217. 130sin34. 2UUKossdKUsdKU ，觸發(fā)角微小變化時，可作為線性環(huán)節(jié)處理，得 dU這里負號表示隨的增大，是下降的趨勢。寫成增量方程，得2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型23綜上所述，研究非線性微分方程線性化時，必須注意：（1）應用小偏差線性化時，必須明確預期工作點的參數(shù)，對于不同的工作點，得出的線性微分方程的系數(shù)是不同的。（2）若系統(tǒng)或元件的原有特性很接近線性，則得到的方程在變化范圍較大時亦適用。（3）線性化只適用于連續(xù)非線性系統(tǒng)。對不連續(xù)非線性特性（如繼電器特性）

19、，因為不滿足展開泰勒級數(shù)的條件，所以不能線性化。即在工作點不能作泰勒級數(shù)展開的系統(tǒng)，不可能作線性化處理。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型242.3 2.3 控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型微分方程是在時域內(nèi)描述系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學模型。傳遞函數(shù)是在運用拉式變換求解微分方程的過程中引申出來的一種復數(shù)域數(shù)學模型，可用于研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響，并由此發(fā)展出用傳遞函數(shù)的零點和極點分布、頻率特性等間接分析和設計系統(tǒng)的工程方法。因此，傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的概念，也是最常用的數(shù)學模型。2.3.1 2.3.1 傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)傳遞函數(shù)

20、定義：線性定常系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)是在零初始條件下，輸出信號 的拉式變換與輸入信號 的拉式變換之比，記為 。因此，傳遞函數(shù)也是數(shù)學模型的一種形式，只不過是在復數(shù)域中的描述。)(sC)(sR)()()(sRsCsG之比，記為 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型25設線性定常系統(tǒng)或元件的微分方程一般形式為： )()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn假設系統(tǒng)或元件處于零初始條件下，即0)0()0()0()0()1( ncccc0)0()0()0()0()1( mrrrr)

21、()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn；取拉式變換得經(jīng)整理可得 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型26RLC)()()()(22tUtUdttdURCdttUdLCrccc)()() 1(2sUsURCsLCsrc) 1(1)()()(2RCsLCssUsUsGrcRLC)()()(sUsUsGrc【例例2-72-7】 求取例2-1所示無源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)解： 無源網(wǎng)絡的微分方程為在零初始條件下，對上面等式兩邊求拉式變換根據(jù)傳遞函數(shù)定義，求得該無源網(wǎng)絡的傳遞函

22、數(shù)為2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型27)(122LLLMeMMLMdtdMTJTUCdtdTdtdTT)() 1()(1)() 1(2sMsTJTsUCssTsTTLLMeMML0)(sML11)()(2sTsTTCsUsMMLe)()(sUs)()(sMsL【例例2-82-8】 求取例2-3所示直流他勵電動機的傳遞函數(shù)和。 解：在例2-3已求得直流他勵電動機的微分方程為設擾動輸入信號，求得傳遞函數(shù) 設給定輸入信號，求得傳遞函數(shù) 在零初始條件下，對上面等式兩邊求拉氏變換2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型280)(sU) 1() 1()()(2sTsTTJsTTsMsMM

23、LLML，求得傳遞函數(shù) 設給定輸入信號)() 1()(1)() 1(2sMsTJTsUCssTsTTLLMeMML2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型29從上面的討論和舉例不難看出，傳遞函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）傳遞函數(shù)是微分方程經(jīng)拉氏變換導出的，而拉氏變換是一種線性積分運算，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。（2）傳遞函數(shù)與微分方程存在一一對應關(guān)系。對于一個確定的系統(tǒng)，微分方程是唯一的，其傳遞函數(shù)也是唯一的。（3）傳遞函數(shù)反映了元件或系統(tǒng)的固有屬性，只與元件或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，它與輸入信號的大小和形式無關(guān)，但和輸入信號的作用位置及輸出信號的取出位置有關(guān)。因此，傳遞函數(shù)可作為系

24、統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型，及系統(tǒng)在復數(shù)域的數(shù)學模型。（4）傳遞函數(shù)是一種數(shù)學抽象，因此不能反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。不同性質(zhì)的物理結(jié)構(gòu)，可以有完全相同的傳遞函數(shù)。具有相同形式傳遞函數(shù)的不同類型的元件或系統(tǒng)可稱為相似系統(tǒng)。在相同條件下，相似系統(tǒng)具有相同的運動特性。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型30（5）傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)處于相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的運動規(guī)律，即用它求輸出響應只包含零初始條件解（零狀態(tài)響應）這一部分。當初始條件不為零時，系統(tǒng)的全解必須考慮零輸入解（零輸入響應）。（6）一個傳遞函數(shù)只能表示單輸入單輸出的關(guān)系，不

25、能反映系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的傳遞關(guān)系。對于多輸人多輸出系統(tǒng)，則要用傳遞函數(shù)矩陣表示。（7）傳遞函數(shù) 的拉普拉斯反變換是脈沖響應。脈沖響應函數(shù)是指系統(tǒng)對單位脈沖輸入 作用時的輸出響應，即當，時，系統(tǒng)的單位脈沖響應為)(sG)(t)()(ttr1)(sR， tdtgtrsRsGLsCLtc011)()()()()()(2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型312.3.2 2.3.2 傳遞函數(shù)的幾種表示形式傳遞函數(shù)的幾種表示形式利用傳遞函數(shù)分析系統(tǒng)時，還應該注意它的幾種表達形式。1 傳遞函數(shù)的有理分式形式（多項式形式）傳遞函數(shù)的有理分式形式（多項式形式）)()()()()(11101110sDsM

26、asasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm傳遞函數(shù)的分母多項式 稱為系統(tǒng)的特征方程 的根稱為系統(tǒng)的特征根或極點。0)(1110nnnnasasasasD0)(sDmn 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型322 2 傳遞函數(shù)的零極點形式傳遞函數(shù)的零極點形式njjmiignmpszsKpspspsazszszsbsDsMsG11210210)()()()()()()()()(mzzz,21)(sMnppp,2100abKg圖2.3-1 零、極點分布圖傳遞函數(shù)的零點：分子多項式的根)(sD傳遞函數(shù)的極點：分母多項式的根)22)(3(2)(2sssssG2022-4-30第二章

27、 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型33121211221122) 12() 1() 12() 1()(njnlllljmimkkkkisTsTsTssssKsGmmm212mnnn212njjmiignmpzKabK11)()(K)42)(3(2)(2sssssG) 15 . 05 . 0)(131 (615 . 022ssss 3 3 傳遞函數(shù)的時間常數(shù)形式傳遞函數(shù)的時間常數(shù)形式，為含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)為含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。例如為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。例如時間常數(shù)形式時間常數(shù)形式例如例如)()()()()(11101110sDsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm20

28、22-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型342.3.3 2.3.3 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)一個實際的控制系統(tǒng)都是由許多獨立元件組合而成的，它們可能是機械的、電子的、光學的、液壓氣動的或其它類型的裝置。雖然這些元件的具體結(jié)構(gòu)和作用原理是多種多樣的，但拋開具體結(jié)構(gòu)和物理特點，從動態(tài)性能或數(shù)學模型來看，就可以劃分為幾種較為簡單的低階模型，稱之為典型環(huán)節(jié)。不同的物理系統(tǒng)可屬于同一典型環(huán)節(jié)，同一物理系統(tǒng)也可能成為不同的典型環(huán)節(jié)。線性定常系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)及延遲環(huán)節(jié)等幾種。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型35比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)凡輸出

29、信號與輸入信號成正比，不失真也不延時的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)，亦稱為放大環(huán)節(jié)。比例環(huán)節(jié)的時域方程為對應的傳遞函數(shù)為 式中， 為比例系數(shù)或放大系數(shù)。常見的無彈性變形的杠桿、分壓器、理想放大器、傳動齒輪之速比、測試發(fā)電機的電壓與轉(zhuǎn)速的關(guān)系，都可以認為是比例環(huán)節(jié)。但是也應指出，完全理想的比例環(huán)節(jié)在實際上是不存在的。0),()(ttKrtcKsG)(K2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型36圖2.3-2a是一個理想運算放大器，其傳遞函數(shù)12)()()(RRsUsUsGrc圖2.3-2b是一對相同角電位器組成的誤差檢測器（忽略負載效應），其傳遞函數(shù) 121)()()()()()(KssUsssUsGm

30、ax1EK 圖2.3-2c是一個傳動齒輪系，其傳遞函數(shù) KZZsNsNsG2112)()(）（， 21ZZ 、）（sN1）（sN2為減速齒輪的齒數(shù)；為輸入軸/輸出軸轉(zhuǎn)速 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型37積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)理想積分環(huán)節(jié)的輸出信號正比于輸入信號對時間的積分，即 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 為積分時間常數(shù)0,)(1)(tdttrtcssG1)( 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型38圖2.3-3a為理想運算放大器組成的積分調(diào)節(jié)器，傳遞函數(shù)CsRsUsUsGrc11)()()(aaLR ,eCU dtdCUesCsUssGe1)()()(圖2.3-3b為直流電動機，在

31、忽略其慣性（ ）的情況下，輸出的角速度與電樞電壓成正比 ，從而使輸出轉(zhuǎn)角和電樞電壓之間呈現(xiàn)積分關(guān)系 ，傳遞函數(shù)為2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型39慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù) 慣性環(huán)節(jié)的增益當 、輸入為單位階躍函數(shù)時，慣性環(huán)節(jié)的輸出將按指數(shù)曲線上升，具有慣性，其時間常數(shù)就是 ，如圖2.3-4c所示。在實際中慣性環(huán)節(jié)是比較常見的，圖2.3-4a、b所示的兩個電網(wǎng)絡是慣性環(huán)節(jié)。此外，如爐子、測溫用的熱電偶、發(fā)電機等均屬慣性環(huán)節(jié)。1)(TsKsGK1KT2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型4011)()()(212CsRRRsUsUsGrc11)()()(RCssUsUsGrc圖2

32、.3-4a的傳遞函數(shù)，圖2.3-4b的傳遞函數(shù)。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型41微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的輸出正比于輸入對時間的導數(shù)，即傳遞函數(shù) 為時間常數(shù)單位階躍輸入作用下，其輸出響應是個脈沖函數(shù)如圖2.3-5c所示dttdrtc)()(ssG)(2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型42111)()()(ssRCsRCsCsRRsUsUsGrc) 1(1)()()(1121112CsRRRCsRCsRRsUsUsGrc圖2.3-5a所示的RC電路，其傳遞函數(shù)相當于一個微分環(huán)節(jié)和一個慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合圖2.3-5b2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型43振蕩

33、環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的時域微分方程是，其傳遞函數(shù)為 時間常數(shù)， 無阻尼自然振蕩頻率， 阻尼比 222222121)()()(nnnssTssTsRsCsGnT1n) 1(1)(2RCsLCssG)(1)(2kfsmssG11)()(2sTsTTCsUsMMLeRLC網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)彈簧阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)直流他勵電動機的傳遞函數(shù) 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型44延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)理想延遲環(huán)節(jié)的輸出時經(jīng)過一個延遲時間 后，完全復現(xiàn)輸入信號，即傳遞函數(shù)當單位階躍輸入作用下，其輸出響應是如圖2.3-6a所示。在實際系統(tǒng)中，有很多場合存在延遲，如測量系統(tǒng)、皮帶或管道輸送過程、管道反應和管道混

34、合過程等。)()(trtcsesRsCsG)()()(2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型45圖2.3-6b所示的軋制鋼板的厚度測量裝置，鋼板在點 軋出時產(chǎn)生厚度偏差 ，這一厚度偏差在到達點 才被測厚儀所檢測， 點檢測到的厚度偏差與 的厚度偏差存在 式中 為測厚儀兩點 的距離， 為鋼板運動速度。AahBBAvlthhab，)(lABv2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型46以上所舉的例子只是一些典型的基本環(huán)節(jié)，而許多復雜的元件或系統(tǒng)可以是上述某些基本環(huán)節(jié)的組合。應當注意：典型環(huán)節(jié)的概念只適用于線性定常控制系統(tǒng)中，且是在一系列理想條件限制下建立的；系統(tǒng)劃分為若干典型環(huán)節(jié)組合時，需

35、注意環(huán)節(jié)和環(huán)節(jié)之間的“負載效應”；對于同一元件或系統(tǒng)，根據(jù)所研究問題的不同，可以取不同的物理量作為輸入及輸出信號，所得到的傳遞函數(shù)是不同的；對于復雜的控制系統(tǒng)，在建立數(shù)學模型時，將其與典型環(huán)節(jié)的數(shù)學模型對比后，即可知其由什么典型環(huán)節(jié)構(gòu)成，由于典型環(huán)節(jié)的動態(tài)性能和響應是已知的，這給分析研究復雜系統(tǒng)性能提供了很多的方便。把復雜的物理系統(tǒng)劃分成若干典型環(huán)節(jié)，利用傳遞函數(shù)和方塊圖（或信號流圖）來進行研究，已成為研究控制系統(tǒng)的一種重要的方法。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型472.4 2.4 控制系統(tǒng)的方塊圖及其等效變換控制系統(tǒng)的方塊圖及其等效變換2.4.1 2.4.1 方塊圖定義方塊圖定義

36、應用函數(shù)方框?qū)⒖刂葡到y(tǒng)的全部變量聯(lián)系起來以描述信號在系統(tǒng)中流通過程的圖示，稱為控制系統(tǒng)的方塊圖，又稱結(jié)構(gòu)圖（或稱方框圖）。在系統(tǒng)方塊圖中，不僅能反映系統(tǒng)的組成和信號流向，還能表示信號傳遞過程中的數(shù)學關(guān)系，是一種圖形化的數(shù)學模型，也是復數(shù)域的數(shù)學模型。微分方程和傳遞函數(shù)都是用數(shù)學表達式來描述系統(tǒng)的輸入輸出特性，不能直觀地顯示出系統(tǒng)中其他變量之間的關(guān)系以及信號在系統(tǒng)中的傳遞過程。而系統(tǒng)原理圖雖然反映了系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，但又缺少系統(tǒng)中各變量間的定量關(guān)系。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型482.4.2 2.4.2 方塊圖組成及繪制方塊圖組成及繪制一般地，控制系統(tǒng)的方塊圖是由許多對信號進行單向

37、運算的方框和信號流向線組成，它包括四種基本單元。 函數(shù)方框（或環(huán)節(jié)）：表示輸入信號與輸出信號之間的信號傳遞關(guān)系。它表示對一個信號進行的數(shù)學變換。對于線性定常系統(tǒng)或元件，通常在方框中寫入傳遞函數(shù)或頻率特性，如圖2.4-1(a)所示。 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型49信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，線上標記信號的象函數(shù)。信號沿箭頭方向單向傳遞，不可逆，如圖2.4-1(b)綜合點（或比較點、相加點）：表示兩個或兩個以上的信號進行加減運算?！啊碧柋硎鞠嗉?，可以省略不寫，“”號表示相減，如圖2.4-1(c)所示。分支點（或引出點）：引出或者測量信號的位置。從同一信號線引出

38、的信號在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同，如圖2.4-1(d)所示。系統(tǒng)方塊圖的繪制步驟如下：（1）建立控制系統(tǒng)各環(huán)節(jié)或元件的運動方程（組）。在建立運動方程（組）時，應該分清輸入信號、輸出信號，同時應考慮相鄰環(huán)節(jié)或元件之間的負載效應。（2）由運動方程（組）求取各個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，并用函數(shù)方框表示。（3）將系統(tǒng)的輸入信號放在最左邊，輸出信號放在最右邊，按照系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次將各環(huán)節(jié)或元件的函數(shù)方框連接起來，得到系統(tǒng)的方塊圖。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型50【例例2-92-9】RC網(wǎng)絡如圖2.4-2所示，其中 和 分別為網(wǎng)絡的輸入量和輸出量，畫出網(wǎng)絡相應的方塊圖。1U2U1R2R1C

39、2C1U2U1I2II解：解： sCIIIRU221111)(sCIIIRU221222)(21211)1 (IsCRIR1121)(IRUUc21221)1()(IsCRUUcIII21)(22sCIUc2222cUIRU經(jīng)整理，可得2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型511121)(IRUUc21221)1()(IsCRUUcIII21)(22sCIUc2222cUIRU2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型522.4.3 2.4.3 方塊圖的等效變換方塊圖的等效變換1 1串聯(lián)方塊圖的等效規(guī)則串聯(lián)方塊圖的等效規(guī)則)()()()()()()()()()(12312323sRsG

40、sGsGsXsGsGsXsGsC總的傳遞函數(shù)為)()()()()()(123sGsGsGsRsCsG當有n個環(huán)節(jié)相串聯(lián)，則等效傳遞函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積，即niisGsG1)()(niisGsG1)()(2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型532 2并聯(lián)方塊圖的等效規(guī)則并聯(lián)方塊圖的等效規(guī)則)()()()()()()()()()()()()()(321321321sRsGsGsGsRsGsRsGsRsGsCsCsCsC)()()()()()(321sGsGsGsRsCsG當有n個環(huán)節(jié)相并聯(lián)，輸出信號相加時，則等效傳遞函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和niisGsG1)()(2022-4-30第

41、二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型543 3分支點等效移動規(guī)則分支點等效移動規(guī)則分支點移動前后所得的分支信號保持不變的等效原則 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型55從圖2.4-6(a)看到，基于等效原則欲將分支點從方框的輸出側(cè)前移至其輸入側(cè)時，必須在分支支路中串入具有相同傳遞函數(shù)的方框。從圖2.4-6(b)可知，欲將分支點從方框的輸入側(cè)后移至其輸出側(cè)時，必須在分支支路中串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的方框。)()()(sGsRsC)()()(sGsCsR 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型564 4綜合點等效移動規(guī)則綜合點等效移動規(guī)則保持綜合點移動前后的總輸出不變的等效原則 2022-4

42、-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型57 從圖2.4-7(a)可知欲將綜合點從方框的輸入側(cè)后移至其輸出側(cè)時，必須在移動分支支路中串入具有相同傳遞函數(shù)的方框。 從圖2.4-7(b)可知欲將綜合從方框的輸出側(cè)后移至其輸入側(cè)時，必須在移動分支支路中串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的方框。)()()()()()()()(2121sGsRsGsRsGsRsRsC )()()()()()()()(2121sGsRsRsGsRsGsRsC2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型58綜合點與綜合點之間、分支點與分支點之間可以直接互換位置，信號傳遞關(guān)系不變。但是，綜合點和分支點之間，一般不能直接互相互換，如圖2.4-8

43、(a)所示，這種互換是錯誤的。綜合點和分支點之間互換位置信號關(guān)系發(fā)生了變化，如圖2.4-8(b)所示，盡可能不采用。 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型592.4.4 2.4.4 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù))(sR)(sD)(sC)(sE)(1sG)(2sG)(sH為系統(tǒng)的給定輸入信號為系統(tǒng)的擾動輸入信號為系統(tǒng)的輸出信號為偏差信號或誤差信號為前向通道的傳遞函數(shù)為反饋通道的傳遞函數(shù) 當只有給定輸入信號 作用 )(sR0)(sD )()()(),()()(),()()()(21sCsHsBsBsRsEsEsGsGsC)()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsG

44、sRsCs閉環(huán)傳遞函數(shù)為 負號對應正反饋正號對應負反饋 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型60反饋控制系統(tǒng)中，前向通道的傳遞函數(shù)與反饋通道的傳遞函數(shù)之積為開環(huán)傳遞函數(shù)，通常記為 )()()()(21sHsGsGsG開環(huán)傳遞函數(shù)前向通道傳遞函數(shù)1)(1)()()()()(21sGsGsGsRsCs則式（2.4-1）可改寫為 )()()(11)()()(21sHsGsGsRsEse1)(sH)()()(21sGsGsG)(1)()()(1)()()()()(2121sGsGsGsGsGsGsRsCs負反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)誤差傳遞函數(shù)為 單位負反饋控制系統(tǒng)2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的

45、數(shù)學模型61圖2.4-9所示的負反饋控制系統(tǒng)中，如果只有擾動信號 而給定輸入信號 0)(sR)()()(),(0)(,)()()()()(12sCsHsBsBsEsEsGsDsGsC)(sD)(1)()()()(1)()()()(2212sGsGsHsGsGsGsDsCsd)(1)()()()()(1)()()()()(2212sGsHsGsHsGsGsHsGsDsEsed系統(tǒng)對于擾動信號的閉環(huán)傳遞函數(shù)為對于單位負反饋控制系統(tǒng)，根據(jù)式（2.4-3）及（2.4-4），可求得)(1)(sse負反饋控制系統(tǒng)的特征方程式 0)(1sG2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型62【例例2-102-1

46、0】 求取例2-9的傳遞函數(shù))()(12sUsU。) 1(111)(121121112111sCRRsCRsCRsCRsCRs212112311)(RsCRsCsCs1) 1(11)(12111221121121212sCRsCRsCRsCRsCRsCRsCsCs)()()()(3212sssUsU2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型63【例例2-112-11】 系統(tǒng)方塊圖如圖2.4-12所示，求傳遞函數(shù))()(sRsC)()()(1)()()()()(12121sHssGssGsRsCs2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型64【例例2-122-12】 系統(tǒng)方塊圖如圖2.4-1

47、4所示，求傳遞函數(shù))()(sRsC)()()()(1)()()()()(221221sHssGsssGssRsC2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型65【例例2-132-13】 圖2.4-17為一個小功率隨動系統(tǒng)的示意圖。兩個相同的角電位器1、2由同一直流電源供電，以 和 分別表示兩電位器滑臂的位置。若 ，就形成偏差電壓 ，經(jīng)放大器4放大后，在直流發(fā)電機5的勵磁繞組6中產(chǎn)生勵磁電流 。發(fā)電機的電勢使直流電動機8經(jīng)傳動機構(gòu)9驅(qū)動負載10旋轉(zhuǎn)，同時帶動電位器2的滑臂，直到 ，整個系統(tǒng)才有可能靜止下來，實現(xiàn)負載對于電位器1手柄3的無靜差隨動。求取該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)rccrUfIcr)()(ss

48、rc2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型66)()()(1)()()()()()(311311sGssGsGssGsssrc,) 1()(1sTRKKKsGffgap,) 1(1)(2sTsTsGLmsCKsGet)(311)(1)()(2221sTsTTsGsGsmLm2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型672.5 2.5 控制系統(tǒng)的信號流圖控制系統(tǒng)的信號流圖信號流圖和方塊圖一樣，可以用來表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和各變量間相互關(guān)系的另一種圖示方法。將信號流圖用于控制理論中，可不必求解方程或進行預先的等效變換就可得到各變量間的關(guān)系。因此，當系統(tǒng)方塊圖比較復雜時，可以將它轉(zhuǎn)化為信號流圖，并

49、根據(jù)梅森公式直接求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。信號流圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學模型，它只適合線性系統(tǒng)。 2.5.1 2.5.1 信號流圖及其等效變換信號流圖及其等效變換1 1. 信號流圖信號流圖2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型681X2X3X4X5X6Xabcdef1gh節(jié)點：表示變量或信號的點，如 654321XXXXXX、支路：連接兩個節(jié)點并標有信號流向的有向線段。支路的增益即是傳輸，如支路 傳輸：兩節(jié)點間的增益或傳遞函數(shù)，如 源點：只有輸出支路無輸入支路的節(jié)點，它與控制系統(tǒng)的輸入信號相對應，如 阱點：只有輸入支路無輸出支路的節(jié)點，它與控制些的輸出信號相對應，如 hgfedcba、132X

50、X34XXbe1X6X混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點，如 5432XXXX、2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型69通路：從一個節(jié)點出發(fā)，沿著支路的箭頭方向相繼經(jīng)過多個節(jié)點的支路。開通路：通路從某個節(jié)點開始，終止于另一個節(jié)點，而且通道中每個節(jié)點只經(jīng)過一次。前向通路：從源點開始到阱點終止的開通路。 654321XXXXXX65421XXXXXabchadh回路：通路的起點即終點，并且與通路中的其它節(jié)點相交次數(shù)不超過一次。亦稱閉通路、回環(huán)、反饋環(huán)等。 332XXX44XX 3543XXXX回路增益：回路中各支路傳輸或增益的乘積，如 cecfg不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點時，就

51、稱它們?yōu)椴唤佑|回路。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型70綜上所述，可歸納出信號流圖的基本特點：（1）信號只能沿著支路的箭頭方向傳遞；（2）支路相當于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號；（3）節(jié)點將所有輸入支路的信號疊加，并把結(jié)果傳遞給所有相連的輸出支路；（4）增加一個具有單位傳輸?shù)闹?，可將混合?jié)點變?yōu)檩敵鲋?；?）對于同一個系統(tǒng)，其信號流圖不是唯一的。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型712022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型722. 2. 信號流圖的等效變換信號流圖的等效變換信號流圖也可以像方塊圖那樣進行等效變換，對應的簡化規(guī)則可扼要歸納如

52、下：（1）串聯(lián)支路的總增益等于各支路增益的乘積；（2）并聯(lián)支路的總增益等于各支路增益之和；（3）混合節(jié)點可以通過移動支路的方法消去；（4）回路可以根據(jù)反饋連接的規(guī)則式（2.4-1）轉(zhuǎn)換為等效支路。以上四種情況的化簡圖如圖2.5-2所示。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型732022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型74【例例2-142-14】 根據(jù)圖2.5-3所示的系統(tǒng)方塊圖繪制信號流圖并化簡之，求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) )()(sRsC2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型751432134323243211)()(HGGGGHGGHGGGGGGsRsC2022-4-30第二章

53、控制系統(tǒng)的數(shù)學模型762.5.2 2.5.2 梅遜公式及其應用梅遜公式及其應用應用梅遜公式不需要等效簡化處理，而只需要直接根據(jù)控制系統(tǒng)的信號流圖便可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。計算信號流圖源點（輸入信號）與阱點（輸出信號）間總增益的梅遜公式為：nkkkPT11TnkP為從源點到任何節(jié)點的總增益；為前向通路的總數(shù)目；為第k條前向通路增益； 為信號流圖的特征式：tsrqmnLLLLLL12022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型77nLqmLLtsrLLLkk其中為所有回路增益之和；為每兩個互不接觸回路增益乘積之和；為每三個互不接觸增益乘積之和；式（2.5-1）中的是指在的表達式中把所有與第回路增益置為

54、0 后所得到的表達式，稱為第k條前向通路條前向通路相接觸的特征式的余因子。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型78【例例2-152-15】 用梅遜公式求圖2.5-4(a)所示信號流圖的總增益。解：解：由圖2.5-4(a)可見，該信號流圖有1條前向通路，其通路增益為 43211GGGGP 有三個回路2321HGGL3432HGGL143213HGGGGL、 該信號流圖中不存在不接觸回路，于是特征式為143213432321HGGGGHGGHGG由于三個回路均與前向通道P1接觸，故其余因子 11143213432324321111)()(HGGGGHGGHGGGGGGPsRsC2022-4

55、-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型79【例例2-162-16】 求圖2.5-5所示信號流圖的總增益。解：解：此信號流圖有4個回路： 兩個互不接觸回路有4個組合： 三個互不接觸回路有1個組合： 由此可求特征式： 此信號流圖有4條前向通路： 11GL22GL33GL214GGL21LL31LL32LL43LL321LLL)()(1321433231214321LLLLLLLLLLLLLLL）（2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型80 此信號流圖有4條前向通路： KGGGP321111KGGP3221L11211GLKGGP3132L22311GLKGGGP31211444332211PPPP

56、T它與所有回路均有接觸，因此它不與回路接觸，因此總增益它不與回路接觸，因此它與所有回路均有接觸，因此2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型81【例例2-172-17】 已知系統(tǒng)的方塊圖如圖2.5-6所示，試求閉環(huán)傳遞函數(shù) 。（應用信號流圖及梅遜公式）)()(sRsC解：解：繪制系統(tǒng)的信號流圖2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型82此信號流圖有4個回路：133211HHGGGL222HGL53GL13344HHGGL，兩個互不接觸回路有1個組合： 32LL特征式 )(1324321LLLLLL）（此信號流圖有2條前向通路：3211GGGP 3L53111GL，它不與回路接觸，因此

57、342GGP 53211GL 2211)()(PPsRsC22513345221332153453211)1 ()1 (HGGHHGGGHGHHGGGGGGGGGG3L，它不與回路接觸，因此2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型832.6 2.6 數(shù)學模型的實驗測定法數(shù)學模型的實驗測定法2.6.1 2.6.1 數(shù)學模型實驗測定的主要方法數(shù)學模型實驗測定的主要方法（1）時域測定法：對被測系統(tǒng)或?qū)ο笤谳斎攵耸┘与A躍擾動輸入信號，而在輸出端測繪其輸出量隨時間變化的響應曲線；或者施加脈沖輸入，測繪輸出的脈沖響應曲線，再對響應曲線的結(jié)果進行分析，確定被研究對象的傳遞函數(shù)。時域測定法所采用的測試設備

58、簡單，測試工作量小，因而應用廣泛，但其測試精度不高。（2）頻域測定法：對被研究對象施加不同頻率的正弦波，測出輸入信號與輸出信號之間的幅值比和相位差，從而獲得被測系統(tǒng)或?qū)ο蟮念l率特性。這種方法在原理和數(shù)據(jù)處理方面都比較簡單，測試精度比時域法高，但需采用專門的超低頻測試設備，測試工作量較大?，F(xiàn)在出現(xiàn)了虛擬儀器技術(shù)可以容易獲得相關(guān)數(shù)據(jù)。（3）統(tǒng)計相關(guān)測定法：對被研究對象施加某種隨機信號，根據(jù)被測對象各參數(shù)的變化，采用統(tǒng)計相關(guān)法確定被測系統(tǒng)或?qū)ο蟮膭討B(tài)特性。這種方法可以在被測系統(tǒng)或生產(chǎn)過程正常運行狀態(tài)下進行在線辨識，測試結(jié)果精度較高，但要求采用大量測試數(shù)據(jù)，并需用相關(guān)儀和計算機進行數(shù)據(jù)計算和處理。20

59、22-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型842.6.2 2.6.2 輸入測試信號的選擇輸入測試信號的選擇采用時域法確定被測系統(tǒng)或?qū)ο蟮臄?shù)學模型時，需要在被測對象上認為地施加非周期輸入測試信號，然后測定被測對象的輸出響應曲線，從而求出其傳遞函數(shù)。 2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型852.6.3 2.6.3 測定實驗注意事項測定實驗注意事項（1）施加擾動前，應將被測對象調(diào)整到所需工況，并保持相當長時間的穩(wěn)定運行，使被控參數(shù)和負荷穩(wěn)定在所選擇的數(shù)值上。（2）擾動測試信號的幅值應足夠大，以減少隨機擾動對測量誤差的相對影響；但擾動量又不能過大，否則被控對象的非線性影響因素增大，有時還會影響被

60、測對象正常運行。通常，擾動量取為額定值的。（3）實驗應進行到被控參數(shù)接近其穩(wěn)態(tài)值，或至少進行到被控參數(shù)的變化速度達到最大值之后。（4）測試應在主要工況（如額定負荷、平均負荷）下重復進行幾次，以消除偶然性因素的影響。（5）應進行正反向的實驗，以檢驗被測對象的非線性特性。（6）實驗時，應特別注意起始狀態(tài)的測量精度和階躍測試信號的計時起點，這對于計算被測對象的延遲大小和傳遞函數(shù)確定的準確性有關(guān)。2022-4-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型862.6.4 2.6.4 實驗結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實驗結(jié)果的數(shù)據(jù)處理1)(TsKesGs) 1)(1()(21sTsTKesGsnsTsKesG) 1()(有延遲的一階