微積分基本公式50625

1、微積分基本公式下面我們先從實(shí)際問(wèn)題中尋找解決問(wèn)題的線索為此，我們對(duì)變速直線運(yùn)動(dòng)中遇到的位置函數(shù)及速度函數(shù)之間的聯(lián)系作進(jìn)一步的研究一、變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系有一物體在一直線上運(yùn)動(dòng)在這直線上取定原點(diǎn)、正向及長(zhǎng)度單位，使它成為一數(shù)軸設(shè)時(shí)刻時(shí)物體所在位置為，速度為(為了討論方便起見(jiàn)，可以設(shè))從第一節(jié)知道：物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程可以用速度函數(shù)在上的定積分來(lái)表達(dá)；另一方面，這段路程又可以通過(guò)位置函數(shù)在區(qū)間上增量來(lái)表達(dá)由此可見(jiàn)，位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有如下關(guān)系： (1)因?yàn)?，即位置函?shù)是速度函數(shù)的原函數(shù)，所以關(guān)系式 (1) 表示，速度函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于的原函數(shù)在區(qū)間上的增量：上

2、述從變速直線運(yùn)動(dòng)的路程這個(gè)特殊問(wèn)題中得出的關(guān)系，在一定條件下具有普遍性事實(shí)上，我們將在第三目中證明，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么，在區(qū)間上的定積分就等于的原函數(shù)(設(shè)為)在區(qū)間上的增量：二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且設(shè)為上的一點(diǎn)現(xiàn)在我們來(lái)考察在部分區(qū)間上的定積分首先，由于在區(qū)間上仍舊連續(xù)，因此這個(gè)定積分存在這時(shí)，既表示定積分的上限，又表示積分變量因?yàn)槎ǚe分與積分變量的記法無(wú)關(guān)，所以，為了明確起見(jiàn)，可以把積分變量改用其他符號(hào)，例如用表示，則上面的定積分可以寫(xiě)成如果上限在區(qū)間上任意變動(dòng)，則對(duì)于每一個(gè)取定的值，定積分有一個(gè)對(duì)應(yīng)值，所以它在上定義了一個(gè)函數(shù)，記作：這個(gè)函數(shù)具有下面定理1

3、所指出的重要性質(zhì)定理1如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是 (2)證若，設(shè)獲得增量，其絕對(duì)值足夠地小，使得，則在處的函數(shù)值為由此得函數(shù)的增量再應(yīng)用積分中值定理，即有等式這里，在與之間把上式兩端各除以，得函數(shù)增量與自變量增量的比值由于假設(shè)在上連續(xù)，而時(shí)，因此于是令，對(duì)上式兩端取極限時(shí)，左端的極限也應(yīng)該存在且等于這就是說(shuō)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，并且若，取，則同理可證；若，取，則同理可證證畢這個(gè)定理指出了一個(gè)重要結(jié)論：連續(xù)函數(shù)取變上限的定積分然后求導(dǎo)，其結(jié)果還原為函數(shù)本身聯(lián)想到原函數(shù)的定義，就可以從定理1推知是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)因此，我們引出如下的原函數(shù)的存在定理定理2 如果函

4、數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù) (3)就是在上的一個(gè)連續(xù)原函數(shù)這個(gè)定理的重要意義是：一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，另一方面初步地揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系因此，我們就有可能通過(guò)原函數(shù)來(lái)計(jì)算定積分三、牛頓萊布尼茲公式現(xiàn)在我們根據(jù)定理2來(lái)證明一個(gè)重要定理，它給出了用原函數(shù)計(jì)算定積分的公式定理3 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則 (4)證已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，又根據(jù)定理2知道，積分上限函數(shù)也是的一個(gè)原函數(shù)于是這兩個(gè)原函數(shù)之差在上必定是某個(gè)常數(shù)，即 (5)在上式中令，得又由的定義式(3)及上節(jié)積分的補(bǔ)充規(guī)定(1)可知，因此，以代入(5)式中的，以代入(5)式中的，可得

5、在上式中令，就得到所要證明的公式(4)由上節(jié)定積分的補(bǔ)充規(guī)定(2)可知，(4)式對(duì)的情形同樣成立為了方便起見(jiàn)，以后把記成公式(4)叫做牛頓(Newton)萊布尼茲(Leibniz)公式這個(gè)公式進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系它表明：一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于它的任一原函數(shù)在區(qū)間上的增量這就給定積分提供了一個(gè)有效而簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，大大簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算手續(xù)通常也把公式(4)叫做微積分基本公式下面我們舉幾個(gè)應(yīng)用公式(4)來(lái)計(jì)算定積分的簡(jiǎn)單例子例1計(jì)算第一節(jié)中的定積分解由于是的一個(gè)原函數(shù)，所以按牛頓萊布尼茲公式，有例2計(jì)算解由于是的一個(gè)原函數(shù)，所以例3計(jì)算解當(dāng)時(shí)，的一個(gè)

6、原函數(shù)是，所以通過(guò)例3，我們應(yīng)該特別注意：公式(4)中的函數(shù)必須是在該積分區(qū)間上的原函數(shù)例4計(jì)算正弦曲線在上與軸所圍成的平面圖形的面積解這圖形是曲邊梯形的一個(gè)特例，它的面積例5汽車以每小時(shí)36km速度行駛，到某處需要減速停車設(shè)汽車以等加速度剎車問(wèn)從開(kāi)始剎車到停車，汽車駛過(guò)了多少距離？解首先要算出從開(kāi)始剎車到停車經(jīng)過(guò)的時(shí)間設(shè)開(kāi)始剎車時(shí)刻為，此時(shí)汽車速度剎車后汽車減速行駛，其速度為當(dāng)汽車停住時(shí)，速度，故從解得于是在這段時(shí)間內(nèi)，汽車所駛過(guò)的距離為，即在剎車后，汽車需駛過(guò)10m才能停住例6設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，證明在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使證因連續(xù)，故它的原函數(shù)存在，設(shè)為，即設(shè)在上根據(jù)牛頓萊布尼茲公式，有顯然函數(shù)在區(qū)間上滿足微分中值定理的條件，因此按微分中值定理，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使，故本例的結(jié)論是上一節(jié)所述積分中值定理的改進(jìn)從本例的證明中不難看出積分中值定理與微分中值定理的聯(lián)系下面再舉幾個(gè)應(yīng)用公式(2)的例子例7設(shè)在內(nèi)連續(xù)且證明函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)證由公式(2)，得