微波爐的銷售與生產(chǎn)

1、課程名稱： 數(shù)學(xué)模型 組 名：3 組組 長(zhǎng)：周良浩院 系： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué) 年 級(jí)： 2013級(jí) 組 員：周良浩 劉磊姚樂 王炎 李丹指導(dǎo)教師： 尚月赟 實(shí)驗(yàn)成績(jī)：微波爐的生產(chǎn)與銷售摘要本文是針對(duì)微波爐的生產(chǎn)與銷售方案規(guī)劃問題，建立線性規(guī)劃模型，采用圖解法與Lingo軟件兩種方法求解，驗(yàn)證兩者的結(jié)果是否不同。并且用了Lingo軟件對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行靈敏性分析，還用Matlab軟件求解了上述模型，并比較了模型結(jié)果。最終確定最優(yōu)解，以達(dá)到最大利潤(rùn)。關(guān)鍵字：線性規(guī)劃 圖解法 Lingo軟件 Matlab軟件 最優(yōu)解1、問題重述某微波爐生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃在下季度生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的微

2、波爐.已知每臺(tái)甲型、乙型微波爐的銷售利潤(rùn)分別為3和2個(gè)單位.而生產(chǎn)一臺(tái)甲型、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個(gè)單位,所需工時(shí)分別為4和2個(gè)單位.若允許使用原料為100個(gè)單位,工時(shí)為120個(gè)單位,且甲型、乙型微波爐產(chǎn)量分別不低于6臺(tái)和12臺(tái). 試建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，確定生產(chǎn)甲型、乙型微波爐的臺(tái)數(shù)，使所獲利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn).要求：1、請(qǐng)參考奶制品生產(chǎn)和銷售模型的建立、求解和分析的方法，確定本問題的數(shù)學(xué)模型，并采用圖解法與Lingo軟件兩種方法求解，驗(yàn)證兩者的結(jié)果 是否不同。 2、請(qǐng)用Lingo軟件對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行靈敏性分析。 3、請(qǐng)用Matlab軟件求解上述模型，并比較模型結(jié)果。2、模型分析與假設(shè)

3、2.1模型分析1、 比例性 每個(gè)決策變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)的“貢獻(xiàn)”，與該決策變量的取值成正比；各個(gè)決策變量對(duì)于約束條件的“貢獻(xiàn)”，與該決策變量的取值成正比。 2、 可加性 各個(gè)決策變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)的“貢獻(xiàn)”，與其他的決策變量的取值無關(guān)；各個(gè)決策變量對(duì)于約束條件的右端項(xiàng)的“貢獻(xiàn)”，與其他的決策變量的取值無關(guān)。 3、 連續(xù)性 每個(gè)決策變量的取值是連續(xù)的。比例性和可加性保證了目標(biāo)函數(shù)和約束條件對(duì)于決策變量的線性性，連續(xù)性則允許決策變量的實(shí)數(shù)最優(yōu)解。2.2模型假設(shè)1、甲型、乙型兩種微波爐每單位的獲利是與它們各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)，每單位原料生產(chǎn)出甲型、乙型微波爐的數(shù)量和所需時(shí)間是與他們各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)；2、甲型

4、、乙型兩種微波爐每單位的獲利是與它們相互間產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)，每單位原料生產(chǎn)出甲型、乙型微波爐的數(shù)量和所需時(shí)間是與他們相互間產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)；3、生產(chǎn)甲型、乙型微波爐的原料的數(shù)量可以是任意實(shí)數(shù)。3、符號(hào)說明S：相應(yīng)的利潤(rùn)X1：生產(chǎn)甲型微波爐的臺(tái)數(shù)X2：生產(chǎn)乙型微波爐的臺(tái)數(shù)Z：整數(shù)4、問題分析這個(gè)優(yōu)化問題的目標(biāo)是使每個(gè)季度利潤(rùn)最大，要做的決策是生產(chǎn)計(jì)劃，即要生產(chǎn)多少臺(tái)甲型微波爐和多少臺(tái)乙型微波爐，決策受到3個(gè)條件的限制：原料供應(yīng)、工時(shí)限制和產(chǎn)量要求（甲、乙生產(chǎn)的最少數(shù)量）。按照題目所給，將決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件用數(shù)學(xué)符號(hào)及式子表示出來，就可得到下面的模型。5、問題的求解5.1模型的建立max S

5、=3x1 +2x2 2x1+3x2£100 s.t. 4x1+2x2£120 x1³6，x2³12，x1，x2ÎZ這是一個(gè)整線性規(guī)劃問題。5.2模型求解用圖解法求解可行域?yàn)椋河芍本€l1：2x1+3x2=100，l2：4x1+2x2=120及x1=6，x2=12組成的凸四邊形區(qū)域。直線l：3x1+2x2=c在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng)。易知：當(dāng)l過l1與l2的交點(diǎn)時(shí)，s取最大值。 由 2x1+3x2=100 解，得4x1+2x2=120x1=20x2=20Smax=3´20+2´20=1005.2.2用lingo軟件求解Ling

6、o程序代碼：model:max=3*x1+2*x2;2*x1+3*x2<=100;4*x1+2*x2<=120;X1>=6;X2>=12;endLingo程序結(jié)果：生產(chǎn)20單位甲型微波爐，20單位乙型微波爐利潤(rùn)最大，為100單位。結(jié)果分析：原料無剩余，工時(shí)無剩余，原料與工時(shí)均為緊約束，兩者增加，效益均會(huì)增加。影子價(jià)格，原料增加1單位，利潤(rùn)增加0.250單位；工時(shí)增加1單位，利潤(rùn)增加0.625單位。用Lingo軟件求解與圖解法求解得到最優(yōu)解是一致的，但是圖解法僅僅只能知道最優(yōu)方案與最大利潤(rùn)，而Lingo軟件求解不僅可以知道最優(yōu)方案與最大利潤(rùn)，還可以知道原料和工時(shí)的影子價(jià)格

7、，這在確定購進(jìn)原料價(jià)格和工人每小時(shí)工資時(shí)起到重大作用，可以讓工時(shí)效益更大化，公司發(fā)展更有幫助。在解決線性規(guī)劃問題時(shí)，使用Lingo軟件會(huì)是問題更加簡(jiǎn)潔、明了，得到答案更加詳細(xì)，有價(jià)值。敏感性分析：對(duì)于目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的變化的影響的討論，稱之為敏感性分析，利用Lingo軟件得到的結(jié)果如下：上面輸出給出了最優(yōu)基不變條件下目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的允許變化范圍：x1的系數(shù)為（3-1.666667，3+1）；x2的系數(shù)為（2-0.5，2+2.5）。注意：x1系數(shù)的允許范圍需要x2系數(shù)2不變，反之亦然。由于目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)變化并不影響約束條件，因此此時(shí)最優(yōu)基不變可以保證最優(yōu)解也不變，但最優(yōu)值變化。下面對(duì)“資源”的影子價(jià)格

8、作進(jìn)一步的分析。影子價(jià)格的作用（即在最優(yōu)解下“資源”增加1個(gè)單位時(shí)“效益”的增量）是有限制的。每增加1單位原料利潤(rùn)增長(zhǎng)0.250單位（影子價(jià)格），但是，上面輸出的CURRENT RHS 的ALLOWABLE INCREASE 和 ALLOWABLE DECREASE 給出了影子價(jià)格有意義條件下約束右端的限制范圍：原料最多增加56單位，工時(shí)最多增加32單位。需要注意的是：靈敏性分析給出的只是最優(yōu)基保持不變的充分條件，而不一定是必要條件。比如對(duì)于上面的問題，“原料最多增加56單位”的含義只能是“原料增加56單位時(shí)最優(yōu)基保持不變，所以影子價(jià)格有意義，即利潤(rùn)的增加大于原料的投資。反過來，原料增加超過5

9、6單位，影子價(jià)格是否一定沒有意義？最優(yōu)基是否一定改變？一般來說，這是不能從靈敏性分析報(bào)告中直接得到的。此時(shí)，應(yīng)該重新用新數(shù)據(jù)求解規(guī)劃模型，才能做出判斷。所以，從正常理解的角度來看，我們上面回答“原料最多增加56單位”并不是完全科學(xué)的。5.2.3用Matlab求解先把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成最小值問題：min（-s）=-3x1-2x2程序：f=-3 -2;A=2 3;4 2;lb=6 12;ub=;x,fval=linprog(f,A,b,lb,ub)maxf=-fval結(jié)果：x= 20.0000 20.0000 fval= -100.0000 maxf= 100.0000即生產(chǎn)甲型微波爐20單位，乙型微

10、波爐20單位，可以獲得最大利潤(rùn)100單位。MATLAB優(yōu)點(diǎn)：1）MATLAB的程序極其簡(jiǎn)短。2）運(yùn)算符豐富。3）MATLAB既具有結(jié)構(gòu)化的控制語句（如for循環(huán)，while循環(huán)，break語句和if語句），又有面向?qū)ο缶幊痰奶匦浴?4）程序限制不嚴(yán)格，程序設(shè)計(jì)自由度大。例如，在MATLAB里，用戶無需對(duì)矩陣預(yù)定義就可使用。 5）程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各種型號(hào)的計(jì)算機(jī)和操作系統(tǒng)上運(yùn)行。MATLAB缺點(diǎn)：它和其他高級(jí)程序相比，程序的執(zhí)行速度較慢。由于MATLAB的程序不用編譯等預(yù)處理，也不生成可執(zhí)行文件，程序?yàn)榻忉寛?zhí)行，所以速度較慢。6、結(jié)論解決線性規(guī)劃問題時(shí)可以用圖解法、Lingo軟件和Matlab軟件求解。圖解法容易進(jìn)行，但得到答案是有限的。Lingo軟件和Matlab軟件求解都需要使用計(jì)