第二章-連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

1、2021/3/261電容電壓的突變電容電壓的突變電感電流的突變電感電流的突變沖激函數(shù)匹配法確定初始條件沖激函數(shù)匹配法確定初始條件2021/3/262)0()0()0()0( LLCCiivv我們來進一步討論我們來進一步討論 的條件。的條件。 一起始點的跳變 0t 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr狀態(tài)、起始狀態(tài)狀態(tài)、起始狀態(tài) 0O 0 0t導導出出的的起起始始狀狀態(tài)態(tài)狀狀態(tài)態(tài)、初初始始條條件件、 0 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr2021/3/263當系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從當系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從 到到 狀態(tài)有狀態(tài)有沒有跳變取決于

2、微分方程右端自由項是否包含沒有跳變取決于微分方程右端自由項是否包含 及及其各階導數(shù)項。其各階導數(shù)項。 0 0 t 說明一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發(fā)生突變。這就是在電路分析中的電流不會發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則換路定則: : .00 ,00 LLCCiivv 0對于一個具體的電網絡，系統(tǒng)的對于一個具體的電網絡，系統(tǒng)的 狀態(tài)就是系統(tǒng)中狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能元件的儲能元件的儲能情況儲能情況; ;00 到 但是當有但是當有沖激電流沖激電流強迫作用于電容或有強迫作用于電容或有沖激電壓沖激電壓強迫強迫作用于電感作用于電感,

3、, 狀態(tài)就會發(fā)生跳變。狀態(tài)就會發(fā)生跳變。 2021/3/2641電容電壓的突變由伏安關系由伏安關系 tCCiCtv d)(1)( tCCCiCiCiC0000d)(1d)(1d)(1 tCCCiCiCv000d)(1d)(1)0( 0d)(1)0()0(,000 CCCiCvvt令令為有限值為有限值如果如果)(tic, 0d)(00 Ci ttic 為為如如果果)(，CiCC1d)(100 )0()0( CCvv此時此時CvvCC1)0()0( 此此時時當有沖激電流當有沖激電流或階躍電壓作或階躍電壓作用于電容時：用于電容時：)0()0( CCvvC)(tvC)(tiC2021/3/265例2-

4、3-1EvC )0(0)0( Cv)(d)(d)(tCEttvCtiCC 電流為沖激信號。電流為沖激信號。C)(tvC)(tiC)(tEu2021/3/2662電感電流的突變 tLLvLti d)(1)( 00d)(1)0()0( LLLvLii)(tiL)(tvLL)0()0( LLii此此時時 0d)(00， Lv如果為有限值，如果為有限值，)(tvL，為為如果如果 )()(ttvL 00 , 1d)(100LLLiiLvL此時此時 沖激電壓或階沖激電壓或階躍電流作用于躍電流作用于電感時：電感時：)0()0( LLii2021/3/267例2-3-2)(tiL)(tvLL)(stuItti

5、LtvLLd)(d)( ttLILiiLLd)(1)0()0(00s s)0(IiL )( d)(dsstLIttvIL 2021/3/268配平的原理配平的原理: :t =0 時刻微分方程左右兩端的時刻微分方程左右兩端的(t)及各階導及各階導數(shù)應該平衡數(shù)應該平衡( (其他項也應該平衡其他項也應該平衡, ,我們討論初始條件我們討論初始條件, ,可可以不管其他項）以不管其他項） ttrtrt 33dd 0,0rr求求已知已知例例： 三沖激函數(shù)匹配法確定初始條件 相相對對單單位位跳跳變變函函數(shù)數(shù)到到表表示示 00:tu該過程可借助數(shù)學描述該過程可借助數(shù)學描述 ttrtrdtd 33 tt 33 t

6、 3 t 9 t 9 tu 93 2021/3/269在在 中中 時刻有時刻有 tr0 t tu 9分析 t 3方方程程右右端端含含 tttr 3dd中必含中必含 ttr 3中包含中包含 t 方程右端不含方程右端不含 ttrtttr 939dd中中的的以以平平衡衡必必含含 900 rr 900 rr即即中的中的 trtdd t 9 表示表示 到到 的相對跳變函數(shù)，所以，的相對跳變函數(shù)，所以， tu 0 02021/3/2610 可可知知由由方方程程ttrtrt 33dd 項，項，方程右端含方程右端含t trtdd它一定屬于它一定屬于數(shù)學描述 tubtatr ttubtatuctbta 333

7、900 brr tuctbtatrt dd設設則則代入方程代入方程得出得出所以得所以得 900 rr即即 03033bcaba 993cba即即2021/3/2611 起始狀態(tài)與激勵源的等效轉換起始狀態(tài)與激勵源的等效轉換系統(tǒng)響應劃分系統(tǒng)響應劃分對系統(tǒng)線性的進一步認識對系統(tǒng)線性的進一步認識2021/3/2612一起始狀態(tài)與激勵源的等效轉換在一定條件下在一定條件下,激勵源與起始狀態(tài)之間可以等效轉換。即激勵源與起始狀態(tài)之間可以等效轉換。即可以將原始儲能看作是激勵源?？梢詫⒃純δ芸醋魇羌钤?。電容的等效電路電容的等效電路電感的等效電路電感的等效電路外外加加激激勵勵源源系系統(tǒng)統(tǒng)的的完完全全響響應應共共

8、同同作作用用的的結結果果可可以以看看作作起起始始狀狀態(tài)態(tài)等等效效激激勵勵源源系系統(tǒng)統(tǒng)的的完完全全響響應應 = =零零輸輸入入響響應應+ +零零狀狀態(tài)態(tài)響響應應( (線線性性系系統(tǒng)統(tǒng)具具有有疊疊加加性性) )2021/3/2613電容器的等效電路 tCCiCtv d)(1)( tCCiCiC00d)(1d)(1 tCCtiCv00d)(1)0( C)(tvC)(tiC0, 0)0( tvC電路等效為起始狀態(tài)為零的電容與電壓源電路等效為起始狀態(tài)為零的電容與電壓源 的的串聯(lián)串聯(lián) tuvC)0( 等效電路中的等效電路中的電容器的起始電容器的起始狀態(tài)為零狀態(tài)為零C)(tvC)(tiC)0(Cv2021/

9、3/2614 tLLvLti d)(1)( tLLvLvL00d)(1d)(1 )(tiL )(tvLL)0( d)(1)0(0 tvLitLL 故電路等效為起始狀態(tài)為零的電感故電路等效為起始狀態(tài)為零的電感L和電流源和電流源的并聯(lián)。的并聯(lián)。)()0(tuiL 電感的等效電路0 0)0( tiL，)(tiL)(tvLL)0( Li2021/3/2615二系統(tǒng)響應劃分自由響應強迫響應自由響應強迫響應( Natural + Forced )零輸入響應零狀態(tài)響應零輸入響應零狀態(tài)響應( Zero-input + Zero-state )暫態(tài)響應暫態(tài)響應 + + 穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應( Transient +

10、 Steady-state )2021/3/2616 (1)(1)自由響應自由響應: :也稱固有響應也稱固有響應, ,由系統(tǒng)本身特性決定由系統(tǒng)本身特性決定, ,與外加激與外加激勵形式無關。對應于齊次解。勵形式無關。對應于齊次解。 強迫響應強迫響應:形式取決于外加激勵。對應于特解。形式取決于外加激勵。對應于特解。 (2)(2)暫態(tài)響應暫態(tài)響應: :是指激勵信號接入一段時間內是指激勵信號接入一段時間內,完全響應中暫時出完全響應中暫時出 現(xiàn)的有關成分現(xiàn)的有關成分,隨著時間隨著時間t 增加增加,它將消失。它將消失。 穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應: 由完全響應中減去暫態(tài)響應分量即得由完全響應中減去暫態(tài)響應分量即得穩(wěn)

11、態(tài)響應分量。穩(wěn)態(tài)響應分量。 (3)(3)零輸入響應零輸入響應: :沒有外加激勵信號的作用沒有外加激勵信號的作用, ,只由起始狀只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）構成的等效激勵源產生的響應。態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）構成的等效激勵源產生的響應。 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應: :不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零）狀態(tài)等于零）, ,由系統(tǒng)的外加激勵信號產生的響應。由系統(tǒng)的外加激勵信號產生的響應。 各種系統(tǒng)響應定義舉例舉例2021/3/2617 系統(tǒng)系統(tǒng)零輸入響應零輸入響應，實際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，實際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值

12、決定的初始值求出決定的初始值求出待定系數(shù)。待定系數(shù)。 00LCiv和和 系統(tǒng)系統(tǒng)零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應，是在激勵作用下求系統(tǒng)方程的非齊，是在激勵作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由狀態(tài)值次解，由狀態(tài)值 為零決定的初始值求出待為零決定的初始值求出待定系數(shù)。定系數(shù)。 00LCiv和和 求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作, ,所以引出所以引出卷卷積積分法積積分法。 t 線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng) th te th tr動態(tài)電路系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應系統(tǒng)的零狀態(tài)響應=激勵與系統(tǒng)沖激響應的卷積激勵與系統(tǒng)沖激響應的卷積,即即 thtetr 2021/3

13、/2618幾點說明幾點說明2021/3/26193. 同時由于零輸入分量的存在,使響應的變化不可能只發(fā)生在激勵變化之后,因而系統(tǒng)也是非因果的。這樣可以說用常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)只有在起始狀態(tài)為零的條件下,系統(tǒng)才是線性時不變的,而且是因果的。4.把起始狀態(tài)等效成系統(tǒng)的激勵,如電壓源 和電流源 ,則對零輸入響應而言也滿足疊加性和均勻性,因而可以把常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)的線性加以擴展。(0 )cv(0 )Li2021/3/2620三對系統(tǒng)線性的進一步認識由常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)在下述意義上是線性的。由常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)在下述意義上是線性的。(1)(1)響應可分解為響應可分解為:

14、:零輸入響應零狀態(tài)響應。零輸入響應零狀態(tài)響應。(2)(2)零狀態(tài)線性零狀態(tài)線性: :當起始狀態(tài)為零時當起始狀態(tài)為零時, ,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應系統(tǒng)的零狀態(tài)響應對于各激勵信號呈線性。對于各激勵信號呈線性。(3)(3)零輸入線性零輸入線性: :當激勵為零時當激勵為零時, ,系統(tǒng)的零輸入響應對于系統(tǒng)的零輸入響應對于各起始狀態(tài)呈線性。各起始狀態(tài)呈線性。 2021/3/2621沖激響應沖激響應階躍響應階躍響應2021/3/2622系統(tǒng)在單位沖激信號系統(tǒng)在單位沖激信號 作用下產生的作用下產生的零狀態(tài)零狀態(tài)響應響應, ,稱稱為單位沖激響應為單位沖激響應, ,簡稱沖激響應簡稱沖激響應, ,一般用一般用h(t)表示

15、。表示。 一沖激響應1定義 2一階系統(tǒng)的沖激響應)(t 3n階系統(tǒng)的沖激響應H t th2021/3/2623響應及其各響應及其各階導數(shù)階導數(shù)(最最高階為高階為n次次)3n階系統(tǒng)的沖激響應(1)沖激響應的數(shù)學模型)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 對于線性時不變系統(tǒng)對于線性時不變系統(tǒng), ,可以用一可以用一高階微分方程高階微分方程表示表示 )()()()()()()()(1111011110tEtEtEtEthCthCthCthCmmmmnnnn 激勵及其各激勵及其各階導

16、數(shù)階導數(shù)(最最高階為高階為m次次)令令 e(t)= (t) 則則 r(t)=h(t)2021/3/2624(2)h(t)解答的形式設特征根為簡單根（無重根的單根）設特征根為簡單根（無重根的單根）)(e)(1tuAthnitii 由于由于 及其導數(shù)在及其導數(shù)在 時都為零，因而方程式時都為零，因而方程式右端的自由項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應形式與齊右端的自由項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應形式與齊次解的形式相同。次解的形式相同。 t 0t 及其各階導數(shù)。及其各階導數(shù)。應包含應包含時，時，當當；中應包含中應包含時，時，當當及其各階導數(shù)；及其各階導數(shù)；不含不含時，時，當當tthmntthmntth

17、mn 與與n, m相對大小有關相對大小有關 與特征根有關與特征根有關2021/3/2625二階躍響應 系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸入 ，其響應為，其響應為 。系統(tǒng)。系統(tǒng)方程的右端將包含階躍函數(shù)方程的右端將包含階躍函數(shù) ，所以除了齊次解外，所以除了齊次解外，還有還有特解項特解項。 tute tgtr tu我們也可以根據線性時不變系統(tǒng)特性我們也可以根據線性時不變系統(tǒng)特性,利用利用沖激響應與沖激響應與階躍響應關系階躍響應關系求階躍響應。求階躍響應。 系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的零狀態(tài)零狀態(tài)響應響應,稱為單位稱為單位階躍響應階躍響應,簡稱階躍響應。簡稱階躍響應。1定義 H te trH

18、tu tg2021/3/26262階躍響應與沖激響應的關系 tt0,對因果系統(tǒng)：對因果系統(tǒng)：積分，注意積分限：積分，注意積分限：階躍響應是沖激響應的階躍響應是沖激響應的線性時不變系統(tǒng)滿足線性時不變系統(tǒng)滿足微、積分微、積分特性特性 ttttud)()( ttthtgd)()(2021/3/2627三齊次解法求沖激響應（補充）左端最高階微分中含有左端最高階微分中含有 (t)項項(n-1)階微分中含有階微分中含有u(t)項。項。可以由此定初始條件可以由此定初始條件 )()(d)(dd)(d0111tthatthatthnnnnn 0)0()0()0()0(, 1)0()2()1( nnhhhhh令方

19、程左端系數(shù)為令方程左端系數(shù)為1,右端右端只有一項只有一項 (t)時時,沖激響應為沖激響應為 th此方法比奇異函數(shù)系數(shù)平衡法簡單。對于高階系統(tǒng)更此方法比奇異函數(shù)系數(shù)平衡法簡單。對于高階系統(tǒng)更有優(yōu)越性。有優(yōu)越性。2021/3/2628求沖激響應的幾種方法方法方法1:沖激函數(shù)匹配法求出沖激函數(shù)匹配法求出 躍變值躍變值,定系數(shù)定系數(shù)A。方法方法2:奇異函數(shù)項相平衡法奇異函數(shù)項相平衡法,定系數(shù)定系數(shù)A。 方法方法3: 齊次解法求沖激響應。齊次解法求沖激響應。 002021/3/2629總結沖激響應的沖激響應的求解求解至關重要。至關重要。沖激響應的定義沖激響應的定義零狀態(tài)零狀態(tài);單位沖激信號單位沖激信號作

20、用下作用下,系統(tǒng)的響應為沖激響應。系統(tǒng)的響應為沖激響應。沖激響應說明沖激響應說明:在時域在時域,對于不同系統(tǒng)對于不同系統(tǒng),零狀態(tài)情況下加零狀態(tài)情況下加同樣的激勵同樣的激勵 ,看響應看響應 , 不同不同,說明其系統(tǒng)特性說明其系統(tǒng)特性不同不同,沖激響應沖激響應可以衡量系統(tǒng)的特性?？梢院饬肯到y(tǒng)的特性。 t )(th)(th用用變換域變換域( (拉氏變換拉氏變換) )方法求方法求沖激響應和階躍響應簡沖激響應和階躍響應簡捷方便捷方便,但時域求解方法直觀、物理概念明確。但時域求解方法直觀、物理概念明確。2021/3/2630卷積卷積利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應卷積圖解說明卷

21、積圖解說明卷積積分的卷積積分的幾點認識幾點認識2021/3/2631一卷積（Convolution）積積分分和和設設有有兩兩個個函函數(shù)數(shù)),()(21tftf d21 tfftf tftftftftftf2121)( 或或，記為，記為的卷積積分，簡稱卷積的卷積積分，簡稱卷積和和稱為稱為)()(21tftf利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。2021/3/2632二利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 d tete則則響響應應為為的的為為若若把把它它作作用用于于沖沖激激響響應應LTIS,)(th teHtr )(任意信號任意信號e(t)可表示為沖激序列之和可表示為沖激序列之

22、和 dteH dtHe d the這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。 thtethtetr zs2021/3/2633三卷積的計算由于系統(tǒng)的因果性或激勵信號存在時間的局限性由于系統(tǒng)的因果性或激勵信號存在時間的局限性,卷卷積的積分限會有所變化。卷積積分中積的積分限會有所變化。卷積積分中積分限的確定積分限的確定是是非常關鍵的。非常關鍵的。借助于階躍函數(shù)借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分限確定積分限利用圖解說明確定積分限利用圖解說明確定積分限2021/3/2634卷積的圖解說明 用圖解法直觀用圖解法直觀, ,尤其是函數(shù)式復雜時尤其是函數(shù)式復雜時, ,用圖形分段求出用圖形分段求出定定積分限積

23、分限尤為方便準確尤為方便準確, ,用解析式作容易出錯用解析式作容易出錯, ,最好將兩種最好將兩種方法結合起來。方法結合起來。 d21 tfftf ),()(. 111積分變量改為積分變量改為ftf)()()()(. 22222 tffftf時時延延倒倒置置)()(. 321 tff相相乘乘： d)(. )(. 421 tff乘乘積積的的積積分分： tt)(t時時延延對對 的的函函數(shù)數(shù)積積分分結結果果為為t 再再移移動動倒倒置置為為的的圖圖形形不不動動， 2221, ffff2021/3/2635四對卷積積分的幾點認識(1) t :觀察響應的時刻觀察響應的時刻,是積分的參變量是積分的參變量; :

24、 信號作用的時刻信號作用的時刻,積分變量積分變量 從因果關系看從因果關系看,必定有必定有 t(2) 分析信號是手段分析信號是手段,卷積中沒有沖激形式卷積中沒有沖激形式, 但有其但有其內容內容;即即d f( ) 是是h(t- )的加權的加權,積分積分 f( ) 是是h(t- )的加權的加權,求和求和 (t- )的響應的響應 d thetr2021/3/2636(3)卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法,通過沖激響應通過沖激響應h(t)建建立了響應立了響應r(t)與激勵與激勵e(t)之間的關系。之間的關系。 (4)卷積是數(shù)學方法卷積是數(shù)學方法,也可運用于其他學科也可運用于其他學科

25、。信號無起因時信號無起因時: : d)()()(thftg一般數(shù)學表示一般數(shù)學表示: : d)()()(21tfftg(5)積分限由積分限由 存在的區(qū)間決定存在的區(qū)間決定,即由即由 的范圍決定。的范圍決定。 )(),(21tftf0)()(21 tff2021/3/2637總結求解響應的方法求解響應的方法:時域經典法時域經典法:雙零法雙零法: thte 零輸入響應：零輸入響應：零狀態(tài)響應：零狀態(tài)響應：完全解完全解 = 齊次解齊次解 + 特解特解解齊次方程解齊次方程, ,用初（起）始條件求系數(shù)用初（起）始條件求系數(shù); ; 2021/3/2638代數(shù)性質代數(shù)性質微分積分性質微分積分性質與沖激函數(shù)或

26、階躍函數(shù)的卷積與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積2021/3/2639一代數(shù)性質1交換律2分配律3結合律)()()()(1221tftftftf )()()()()()()(3121321tftftftftftftf )()()()()()(2121tftftftftftf 系統(tǒng)并聯(lián)運算系統(tǒng)并聯(lián)運算系統(tǒng)級聯(lián)運算系統(tǒng)級聯(lián)運算2021/3/2640系統(tǒng)并聯(lián) ththth21 )()()()()()()(3121321tftftftftftftf 系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián),框圖表示框圖表示: )(tg)(tf)(th)(tg)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th)()(1thtf )()(2thtf

27、)()()()()()(21thtfthtfthtf 結論結論: :子系統(tǒng)并聯(lián)時子系統(tǒng)并聯(lián)時, ,總系統(tǒng)的沖激響應等于總系統(tǒng)的沖激響應等于各各子系統(tǒng)沖激響應之子系統(tǒng)沖激響應之和和。2021/3/2641系統(tǒng)級聯(lián))()()()()()(2121ththtfththtf )()(thtf )()(21ththth 系統(tǒng)級聯(lián)系統(tǒng)級聯(lián),框圖表示框圖表示: )(tf)(1th)(2th)(tg)()(1thtf )()()(21ththtf )(tg)(tf)(th結論結論:時域中時域中,子系統(tǒng)子系統(tǒng)級聯(lián)級聯(lián)時時,總的沖激響應等總的沖激響應等于子系統(tǒng)沖激響應的于子系統(tǒng)沖激響應的卷積卷積。 2021/3/

28、2642二微分積分性質)()()()()(thtfthtftg )()()()()()()()()()(thtfthtftgnmmnmn )()()()()(thtftgnn )()()()()()()()(thtfthtftgnnn 推廣推廣:微分性質積分性質聯(lián)合實用微分性質積分性質聯(lián)合實用)()()()()()1()1()1(thtfthtftg 對于卷積很方便。對于卷積很方便。g(t)的積分的積分微分微分n次次,積分積分m次次m=n, 微分次數(shù)微分次數(shù)積分次數(shù)積分次數(shù) 2021/3/2643三.與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積推廣推廣:)()()(2121tttfttttf )( )()(tf

29、ttf d)()()( tftutf )()()(tfttfkk )()()(00ttftttf tftftfttf d d )()()(00ttftttfkk 2021/3/2644算子符號的表示方法算子符號的表示方法算子符號基本規(guī)則算子符號基本規(guī)則用算子符號建立微分方程用算子符號建立微分方程傳輸算子概念傳輸算子概念2021/3/2645,1()() nnntddppdtdtdpdxpxdtnnndxp xdt1txxdtp一算子符號的表示一算子符號的表示 定義定義2021/3/2646對于算子方程對于算子方程:2(25)(3)ppypx22253dyd yd xyxd td td t其含義

30、是其含義是:高階微分方程可以表示為高階微分方程可以表示為10111011( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmmC p r tC pr tCpr tC r tE p e tE pe tEpe tE e t或簡化為或簡化為10111011() ( )() ( )nnnnmmmmC pC pCpC r tE pE pEpEe t2021/3/2647進一步令進一步令10111011( )( )nnnnmmmmD pC pC pCpCN pE pE pEpE分別表示兩個算子多項式分別表示兩個算子多項式,則微分方程可表示為則微分方程可表示為( ) ( )( ) ( )D p r

31、 tN p e t2021/3/2648二算子符號基本規(guī)則二算子符號基本規(guī)則 微分算子不是代數(shù)方程微分算子不是代數(shù)方程,而是算子記法的微積分方程。而是算子記法的微積分方程。式中算子與變量不是相乘式中算子與變量不是相乘,而是一種變換。而是一種變換。 多項式的算子可以像代數(shù)量那樣進行乘法運算多項式的算子可以像代數(shù)量那樣進行乘法運算,也可也可以像代數(shù)式那樣進行因式分解的運算。以像代數(shù)式那樣進行因式分解的運算。 算子方程兩邊的公共因子一般不允許消去。算子方程兩邊的公共因子一般不允許消去。ypNapapx)()(ypNx)(1xxpDpD)(1)()()()(1txxpDpD但2021/3/26491tdPxxdxpdt1( )()1()0,tdPxxdx txpdxPxxp 若xxpp1但但xCxpxp