2021年九年級(jí)中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)訓(xùn)練——幾何專題：《圓的綜合》(四)及答案

1、備戰(zhàn)2021年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)訓(xùn)練幾何專題：圓的綜合（四）1（1）初步思考：如圖1，在PCB中，已知PB2，BC4，N為BC上一點(diǎn)且BN1，試證明：PNPC（2）問題提出：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+PC的最小值（3）推廣運(yùn)用：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，B60°，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PDPC的最大值2如圖，AB是O的直徑，過點(diǎn)B作O的切線BM，點(diǎn)C為BM上一點(diǎn)，連接AC與O交于點(diǎn)D，E為O上一點(diǎn)，且滿足EACACB，連接BD，BE（1）求證：ABE2CBD；（2）過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為F，

2、若AE6，BF，求O的半徑長3如圖，ABC中，以AB為直徑作O，交BC于點(diǎn)D，E為弧BD上一點(diǎn)，連接AD、DE、AE，交BD于點(diǎn)F（1）若CADAED，求證：AC為O的切線；（2）若DE2EFEA，求證：AE平分BAD；（3）在（2）的條件下，若AD4，DF2，求O的半徑4如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接AB，過點(diǎn)A作ACAB，交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑作Q交BD于點(diǎn)E，連接并延長AE交x軸于點(diǎn)F，連接DF（1）求線段AE的長；（2）若ABBO2，求tanAFC的值；（3）若DEF與AEB相似，求EF的值5如

3、圖，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圓，連結(jié)OA、OB、OC，延長BO與AC交于點(diǎn)D，與O交于點(diǎn)F，延長BA到點(diǎn)G，使得BGFGBC，連接FG（1）求證：FG是O的切線；（2）若O的半徑為4當(dāng)OD3，求AD的長度；當(dāng)OCD是直角三角形時(shí)，求ABC的面積6如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC9，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE、DE，作ECD的外接O，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)G，連接FG（1）求證AFGAED；（2）當(dāng)BE的長為 時(shí)，AFG為等腰三角形；（3）如圖，若BE1，求證：AB與O相切7如圖 RtABC中，ABC90°，P是斜邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BP為直徑作O交BC于點(diǎn)D，

4、與AC的另一個(gè)交點(diǎn)E，連接DE（1）當(dāng)時(shí)，若130°，求C的度數(shù)；求證ABAP；（2）當(dāng)AB15，BC20時(shí)是否存在點(diǎn)P，使得BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的CP的長；以D為端點(diǎn)過P作射線DH，作點(diǎn)O關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在CPH內(nèi)，則CP的取值范圍為 （直接寫出結(jié)果）8已知：ABC是O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，ACBC，D、E是O上兩點(diǎn)，連接AD、DE、AE（1）如圖1，求證：AEDCAD45°；（2）如圖2，若DEAB于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DGAC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EKAD于點(diǎn)K，交AC于點(diǎn)F，求證：AF2DG；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DF、CD，若

5、CDFGAD，DK3，求O的半徑9如圖1，O是ABC的外接圓，AB是直徑，D是O外一點(diǎn)且滿足DCAB，連接AD（1）求證：CD是O的切線；（2）若ADCD，AB10，AD8，求AC的長；（3）如圖2，當(dāng)DAB45°時(shí)，AD與O交于E點(diǎn)，試寫出AC、EC、BC之間的數(shù)量關(guān)系并證明10如圖，四邊形ABCD為菱形，以AD為直徑作O交AB于點(diǎn)F，連接DB交O于點(diǎn)H，E是BC上的一點(diǎn)，且BEBF，連接DE（1）求證：DAFDCE（2）求證：DE是O的切線（3）若BF2，DH，求四邊形ABCD的面積參考答案1（1）證明：如圖1，PB2，BC4，BN1，PB24，BNBC4PB2BNBC又BB，B

6、PNBCPPNPC；（2）如圖2，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG1，（3）同（2）中證法，如圖3，取BG1，當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長線上時(shí)，PDPC的最大值，最大值為2解：（1）AB是O的直徑，ADB90°，即DAB+DBA90°，BM是O的切線，ABBC，ABC90°，即CBD+DBA90°，DABCBD，ABC90°，ACB90°BAC，EACACB，EAC90°BAC90°（EACBAE），BAE2EAC90°，AB是直徑，AEB90°，ABE90°BAE90°（2EAC90&#

7、176;）2（90°EAC）2（90°ACB）2CAB2CBDABE2CBD；（2）如圖，連接DO并延長交AE于點(diǎn)G，DOB2BAD，ABE2CAB，DOBABE，DGBE，AGOAEB90°，AGEGAE3，AOGDOF，OAOD，AOGDOF（AAS）DFAG3，又OFOBBFOD，在RtDOF中，根據(jù)勾股定理，得OD2DF2+OF2，即OD232+（OD）2，解得OD答：O的半徑長為3證明：（1）AB是直徑，BDA90°，DBA+DAB90°，CADAED，AEDABD，CADABD，CAD+DAB90°，BAC90°

8、，即ABAC，且AO是半徑，AC為O的切線；（2）DE2EFEA，且DEFDEA，DEFAED，EDFDAE，EDFBAE，BAEDAE，AE平分BAD；（3）如圖，過點(diǎn)F作FHAB，垂足為H，AE平分BAD，F(xiàn)HAB，BDA90°，DFFH2，SABFAB×FH×BF×AD，2AB4BF，AB2BF，在RtABD中，AB2BD2+AD2，（2BF）2（2+BF）2+16，BF，BF2（不合題意舍去）AB，O的半徑為4解：（1）點(diǎn)A（0，4），AO4，AD是Q的直徑，AEBAED90°，AEBAOB90°，BA垂直平分CD，BCBDA

9、BOABE在ABE和ABO中，ABEABO（AAS）AEAO4；（2）設(shè)BOx，則ABx+2，在RtABO中，由AO2+OB2AB2得：42+x2（x+2）2，解得：x3，OBBE3，AB5，EAB+ABE90°，ACB+ABC90°，EABACB，BFAAFC，BFAAFC，設(shè)EFx，則AF4+x，BF（4+x），在RtBEF中，BE2+EF2BF2，32+x2（4+x）2，解得：x，即EF，tanAFC；（3）當(dāng)DEFAEB時(shí)，BAEFDE，ADEFDE，BD垂直平分AF，EFAE4；當(dāng)DEFBEA時(shí)，ABEFDE，ABDF，ADFCAB90°，DF相切Q，D

10、AEFDE，設(shè)Q交y軸于點(diǎn)G，連接DG，作FHDG于H，如圖所示：則FDHDAG，四邊形OGHF是矩形，OGFH，ABEABO，OABEAB，ABAD，DAECAO，CAODAE，DAEDAE，DAEDAGFDEFDH，AGAE4，EFFHOGAO+AG4+48，綜上所述，若DEF與AEB相似，EF的值為4或85（1）證明：連接AF，BF為O的直徑，BAF90°，F(xiàn)AG90°，BGF+AFG90°，ABAC，ABCACB，ACBAFB，BGFABC，BGFAFB，AFB+AFG90°，即OFG90°，又OF為半徑，F(xiàn)G是O的切線；（2）解：連接

11、CF，則ACFABF，ABAC，AOAO，BOCO，ABOACO（SSS），ABOBAOCAOACO，CAOACF，AOCF，半徑是4，OD3，DF1，BD7，3，即CDAD，ABDFCD，ADBFDC，ADBFDC，ADCDBDDF，ADCD7，即AD27，AD（取正值）；ODC為直角三角形，DCO不可能等于90°，存在ODC90°或COD90°，當(dāng)ODC90°時(shí)，ACOACF，ODDF2，BD6，ADCD，ADCDAD212，AD2，AC4，SABC×4×612；當(dāng)COD90°時(shí)，OBOC4，OBC是等腰直角三角形，BC

12、4，延長AO交BC于點(diǎn)M，則AMBC，MO2，AM4+2，SABC×4×（4+2）8+8，ABC的面積為12或8+86（1）證明：四邊形FGED是O的內(nèi)接四邊形，F(xiàn)GE+ADE180°，AGF+FGE180°，AGFADE，又GAFDAE，AFGAED；（2）解：由（1）得：AFGAED，當(dāng)AED為等腰三角形時(shí)，AFG為等腰三角形，連接EF，如圖所示：四邊形ABCD是矩形，AB6，BC9，CDAB6，ADBC9，BADABCBCDADC90°，O是ECD的外接圓，ECD90°，DE是O的直徑，DFE90°，AFE180

13、76;DFE180°90°90°，BAFABEAFE90°，四邊形ABEF是矩形，AFBE，EFAB6，AED為等腰三角形，分三種情況：當(dāng)AEDE時(shí)，DFE90°，AFDFAD×9，BEAF；當(dāng)DEAD9時(shí)，在RtDCE中，由勾股定理得：CE3，BEBCCE93；當(dāng)AEAD9時(shí)，在RtABE中，由勾股定理得：BE3；綜上所述，當(dāng)BE的長為或93或3時(shí)，AFG為等腰三角形，故答案為：或93或3；（3）證明：過O作OHAB于點(diǎn)H，反向延長OH交CD于點(diǎn)I，如圖所示：則AHI90°， 四邊形ABCD是矩形，CDAB6，BCDBAD

14、ADC90°，AHIBADADC90°，四邊形AHID為矩形，HIAD9，OID90°，ECDOID，OICE，BCD90°，DE為直徑，ODOE，OI是DCE的中位線，DICD3，OIEC，BE1，BC9，EC8，OI×84，OHHIOI945，在RtDEC中，由勾股定理得：DE10，O的半徑OD5OH是O的半徑，又OHAB，AB與O相切7（1）解：連接BE，如圖1所示：BP是直徑，BEC90°，130°，50°，100°，CBE50°，C40°；證明：，CBPEBP，ABE+A90

15、°，C+A90°，CABE，APBCBP+C，ABPEBP+ABE，APBABP，APAB；（2）解：由AB15，BC20，由勾股定理得：AC25，ABBCACBE，即×15×20×25×BEBE12，連接DP，如圖11所示：BP是直徑，PDB90°，ABC90°，PDAB，DCPBCA，CPCD，BDE是等腰三角形，分三種情況：當(dāng)BDBE時(shí)，BDBE12，CDBCBD20128，CPCD×810；當(dāng)BDED時(shí)，可知點(diǎn)D是RtCBE斜邊的中線，CDBC10，CPCD×10；當(dāng)DEBE時(shí)，作EHB

16、C，則H是BD中點(diǎn)，EHAB，如圖12所示：AE9，CEACAE25916，CHBCBH20BH，EHAB，即，解得：BH，BD2BH，CDBCBD20，CPCD×7；綜上所述，BDE是等腰三角形，符合條件的CP的長為10或或7；當(dāng)點(diǎn)Q落在CPH的邊PH上時(shí)，CP最小，如圖2所示：連接OD、OQ、OE、QE、BE，由對(duì)稱的性質(zhì)得：DE垂直平分OQ，ODQD，OEQE，ODOE，ODOEQDQE，四邊形ODQE是菱形，PQOE，PB為直徑，PDB90°，PDBC，ABC90°，ABBC，PDAB，DEAB，OBOP，OE為ABP中位線，PEAE9，PCACPEAE2

17、5997；當(dāng)點(diǎn)Q落在CPH的邊PC上時(shí)，CP最大，如圖3所示：連接OD、OQ、OE、QD，同理得：四邊形ODQE是菱形，ODQE，連接DF，DBA90°，DF是直徑，D、O、F三點(diǎn)共線，DFAQ，OFBA，OBOF，OFBOBFA，PAPB，OBF+CBPA+C90°，CBPC，PBPCPA，PCAC12.5，7CP12.5，故答案為：7CP12.58（1）證明：如圖1，連接CO，CE，AB是直徑，ACB90°，ACBC，BCAB45°，COA2B90°，CADCED，AEDCADAEDCEDAECCOA45°，即AEDCAD45&#

18、176;；（2）如圖2，連接CO并延長，交O于點(diǎn)N，連接AN，過點(diǎn)E作EMAC于M，則CAN90°，ACBC，AOBO，CNAB，AB垂直平分CN，ANAC，NABCAB，AB垂直平分DE，ADAE，DABEAB，NABEABCABDAB，即GADNAE，CANCME90°，ANEM，NAEMEA，GADMEA，又GAME90°，ADEA，ADGEAM（AAS），AGEM，AMDG，又MEF+MFE90°，MFE+GAD90°，MEFGAD，又GFME90°，ADGEFM（ASA），DGMF，DGAM，AFAM+MF2DG；（3）CD

19、FGAD，F(xiàn)CDDCA，F(xiàn)CDDCA，CFDCDACBA，ACBC，AB為直徑，ABC為等腰直角三角形，CFDCDACBA45°，GFD為等腰直角三角形，設(shè)GFGDa，則FDa，AF2a，F(xiàn)AKDAG，AKFG90°，AFKADG，在RtAFK中，設(shè)FKx，則AK3x，F(xiàn)K2+AK2AF2，x2+（3x）2（2a）2，解得，xa（取正值），F(xiàn)Ka，在RtFKD中，F(xiàn)K2+DK2FD2，（a）2+32（a）2，解得，a（取正值），GFGD，AF，F(xiàn)CDDCA，CD2CAFC，CD2CG2+GD2，CG2+GD2CAFC，設(shè)FCn，則（n）2+（）2（+n）n，解得，n，ACAF+CF+，ABAC，O的半徑為9（1）證明：連接OC，如圖1所示：AB是O的直徑，ACB90°，OCOB，BOCB，DCAB，DCAOCB，DCODCA+OCAOCB+OCAACB90°，CDOC，CD是O的切線；（2）解：ADCDADCACB90°又DCABACDABC，即，