第2講第一章基本概念

1、第一章 概率論的基本概念第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)第二節(jié)第二節(jié) 樣本空間樣本空間 隨機(jī)事件隨機(jī)事件第三節(jié)第三節(jié) 頻率與概率頻率與概率第四節(jié)第四節(jié) 等可能概型等可能概型( (古典概型古典概型) )第五節(jié)第五節(jié) 條件概率條件概率第六節(jié)第六節(jié) 獨(dú)立性獨(dú)立性第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)幾個(gè)具體試驗(yàn)幾個(gè)具體試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)小結(jié)小結(jié) 上一講中，我們了解到，上一講中，我們了解到，隨機(jī)現(xiàn)象有其偶隨機(jī)現(xiàn)象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，這種必然然性的一面，也有其必然性的一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中呈現(xiàn)出的固有性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性規(guī)

2、律性，稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.而概率而概率論正是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科論正是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科. 現(xiàn)在，就讓我們一起，步入這充滿隨機(jī)性的現(xiàn)在，就讓我們一起，步入這充滿隨機(jī)性的世界，開始第一步的探索和研究世界，開始第一步的探索和研究. 從觀察試驗(yàn)開始從觀察試驗(yàn)開始 研究隨機(jī)現(xiàn)象研究隨機(jī)現(xiàn)象,首先要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行首先要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行觀察試驗(yàn)觀察試驗(yàn). 這里的試驗(yàn)是一個(gè)含義廣泛的術(shù)這里的試驗(yàn)是一個(gè)含義廣泛的術(shù)語(yǔ)語(yǔ).它包括各種各樣的科學(xué)試驗(yàn)它包括各種各樣的科學(xué)試驗(yàn),甚至對(duì)某一甚至對(duì)某一事物的某一特征的觀察也認(rèn)為是一種試驗(yàn)事物的某一特征的觀察也認(rèn)為是一種試驗(yàn). . , : 出現(xiàn)

3、的情況出現(xiàn)的情況和反面和反面觀察正面觀察正面拋一枚硬幣拋一枚硬幣THE1 : 的情況的情況. .和反面和反面觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,THE2出現(xiàn)出現(xiàn) . , : 3觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)拋一顆骰子拋一顆骰子E . : 4內(nèi)接到的呼喚次數(shù)內(nèi)接到的呼喚次數(shù)記錄電話交換臺(tái)一分鐘記錄電話交換臺(tái)一分鐘E . : 6溫度和最低溫度溫度和最低溫度記錄某地一晝夜的最高記錄某地一晝夜的最高E : 觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,HE7出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù). .5 : E在一批燈泡中任意抽取一支在一批燈泡中任意抽取一支,測(cè)試它的壽命測(cè)試它的壽命.上

4、述試驗(yàn)具有下列共同的特點(diǎn)上述試驗(yàn)具有下列共同的特點(diǎn):(1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行; (2) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè), 并且能事并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果先明確試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果; (3) 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)出現(xiàn). 在概率論中將具有上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為在概率論中將具有上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為.E幾個(gè)試驗(yàn)實(shí)例幾個(gè)試驗(yàn)實(shí)例隨機(jī)試驗(yàn)的定義隨機(jī)試驗(yàn)的定義第二節(jié)第二節(jié) 樣本空間樣本空間 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 樣本空間樣本空間 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算事件間的關(guān)系與

5、事件的運(yùn)算 小結(jié)小結(jié) . : 6溫度和最低溫度溫度和最低溫度記錄某地一晝夜的最高記錄某地一晝夜的最高E試驗(yàn)是在一定條件下進(jìn)行的試驗(yàn)是在一定條件下進(jìn)行的 壽命試驗(yàn)壽命試驗(yàn) 測(cè)試在同一工藝條件下生產(chǎn)測(cè)試在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈泡的壽命出的燈泡的壽命. : 的情況的情況. .和反面和反面觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,THE2出現(xiàn)出現(xiàn) : 觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,HE7出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù). .試驗(yàn)有一個(gè)需要觀察的目的試驗(yàn)有一個(gè)需要觀察的目的我們注意到我們注意到根據(jù)這個(gè)目的根據(jù)這個(gè)目的, 試驗(yàn)被觀察到多個(gè)不同的結(jié)果試驗(yàn)被觀察到多個(gè)不同的結(jié)

6、果. 試驗(yàn)的全部可能結(jié)果試驗(yàn)的全部可能結(jié)果,是在試驗(yàn)前就明確的是在試驗(yàn)前就明確的;或者雖不能確切知道試驗(yàn)的全部可能結(jié)果或者雖不能確切知道試驗(yàn)的全部可能結(jié)果,但可但可知道它不超過(guò)某個(gè)范圍知道它不超過(guò)某個(gè)范圍. 試驗(yàn)是在一定條件下進(jìn)行的試驗(yàn)是在一定條件下進(jìn)行的試驗(yàn)有一個(gè)需要觀察的目的試驗(yàn)有一個(gè)需要觀察的目的 的的集集合合的的所所有有可可能能結(jié)結(jié)果果所所組組成成一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)E 的的稱為隨機(jī)試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn) E 記為記為 . S , , 稱為稱為的每個(gè)結(jié)果的每個(gè)結(jié)果即即樣本空間中的元素樣本空間中的元素E . 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) , 樣本空間樣本空間樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)e. S 現(xiàn)代集合論為表述隨機(jī)試驗(yàn)提

7、供了一個(gè)方便的現(xiàn)代集合論為表述隨機(jī)試驗(yàn)提供了一個(gè)方便的工具工具 . 例如例如,試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面觀察正面H、反面反面T出現(xiàn)的情況出現(xiàn)的情況: S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H): 在每次試驗(yàn)中必有在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn) .則樣本空間則樣本空間如果試驗(yàn)是測(cè)試某燈泡的壽命：如果試驗(yàn)是測(cè)試某燈泡的壽命：則樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界，則樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界， 所以可

8、以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是一個(gè)可能結(jié)果，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是一個(gè)可能結(jié)果，S = t ：t 0樣本空間樣本空間故故 若試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次若試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面出現(xiàn)觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)：的次數(shù)： 則樣本空間則樣本空間 0,1,2S 由以上兩個(gè)例子可見由以上兩個(gè)例子可見,樣本空間的元素是由試驗(yàn)樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的的目的所確定的. 調(diào)查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支調(diào)查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出，結(jié)果可以用（出，結(jié)果可以用（x，y）表示，）表示，x，y分別是煙、分別是煙、酒年支出的元數(shù)酒年支出的元數(shù). 也可以按某種標(biāo)準(zhǔn)把支出分為高、中、低三也可以按

9、某種標(biāo)準(zhǔn)把支出分為高、中、低三檔檔. 這時(shí)，這時(shí)，樣本點(diǎn)有（高樣本點(diǎn)有（高,高）高）,（高（高,中），中），(低低,低）等低）等9種，樣本空間就由這種，樣本空間就由這9個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成 .這時(shí)，樣本空間由坐標(biāo)平面第一象限內(nèi)一定區(qū)域這時(shí)，樣本空間由坐標(biāo)平面第一象限內(nèi)一定區(qū)域內(nèi)一切點(diǎn)構(gòu)成內(nèi)一切點(diǎn)構(gòu)成 . . 1本空間本空間寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣例例 . , : 出現(xiàn)的情況出現(xiàn)的情況和反面和反面觀察正面觀察正面拋一枚硬幣拋一枚硬幣THE1 : 1S , TH : 2S 1,2,3 , 0 : 觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,HE7出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次

10、數(shù). . . : 3內(nèi)接到的呼喚次數(shù)內(nèi)接到的呼喚次數(shù)記錄電話交換臺(tái)一分鐘記錄電話交換臺(tái)一分鐘E : 3S 3, 1,2, , 0 , 8 2其其中中個(gè)個(gè)大大小小完完全全相相同同的的球球一一個(gè)個(gè)袋袋中中裝裝在在例例 , 4 , 4 攪勻后從中任取攪勻后從中任取個(gè)是紅色的個(gè)是紅色的個(gè)是白色的個(gè)是白色的有有 . , 間間求求此此隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)的的樣樣本本空空一一球球 : S , 紅球紅球白球白球 請(qǐng)注意：請(qǐng)注意： 實(shí)際中實(shí)際中,在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)時(shí),我們往往我們往往會(huì)關(guān)心會(huì)關(guān)心滿足某種條件的那些樣本點(diǎn)所組成的集合滿足某種條件的那些樣本點(diǎn)所組成的集合. 例如在測(cè)試某燈泡的壽命這一試驗(yàn)中例

11、如在測(cè)試某燈泡的壽命這一試驗(yàn)中,若規(guī)定若規(guī)定燈泡的壽命燈泡的壽命 (小時(shí)小時(shí)) 小于小于500為次品為次品, 那么我們關(guān)心那么我們關(guān)心燈泡的壽命燈泡的壽命 是否滿足是否滿足 .t500t 或者說(shuō)或者說(shuō), 我們關(guān)心我們關(guān)心滿足這一條件的樣本點(diǎn)組成的一個(gè)集合滿足這一條件的樣本點(diǎn)組成的一個(gè)集合 .500t t 這就是這就是 . , , 等表示等表示常用常用隨機(jī)事件簡(jiǎn)稱事件隨機(jī)事件簡(jiǎn)稱事件CBA試驗(yàn)試驗(yàn) 的樣本空間的樣本空間 的子集稱為的子集稱為 的的隨機(jī)事件隨機(jī)事件.EES : 樣本空間為樣本空間為 . 654321,S 如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù) .事件事件

12、B=擲出奇數(shù)點(diǎn)擲出奇數(shù)點(diǎn)事件事件 A=擲出擲出1點(diǎn)點(diǎn) 1,3,5 . 5,6 1 . 事件事件 C 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于44 基本事件基本事件:(相對(duì)于觀察目的不可再分解的事件相對(duì)于觀察目的不可再分解的事件)事件事件 B=擲出奇數(shù)點(diǎn)擲出奇數(shù)點(diǎn)如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù) . 事件事件 Ai =擲出擲出i點(diǎn)點(diǎn), i =1,2,3,4,5,6由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.基本事件基本事件 當(dāng)且僅當(dāng)集合當(dāng)且僅當(dāng)集合A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱稱事件事件A發(fā)生發(fā)生.如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲

13、出的點(diǎn)數(shù) . : 樣本空間為樣本空間為 . 654321,S 事件事件 B=擲出奇數(shù)點(diǎn)擲出奇數(shù)點(diǎn) 1,3,5 B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點(diǎn)中的樣本點(diǎn)1,3,5中的某一個(gè)中的某一個(gè)出現(xiàn)出現(xiàn).兩個(gè)特殊的事件：兩個(gè)特殊的事件：必件然事例如，在擲骰子試驗(yàn)中，例如，在擲骰子試驗(yàn)中，“擲出點(diǎn)數(shù)小于擲出點(diǎn)數(shù)小于7”是必是必然事件然事件;即在試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件，常用即在試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件，常用S表示表示; 不件可事能而而“擲出點(diǎn)數(shù)擲出點(diǎn)數(shù)8”則是不可能事件則是不可能事件.即在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件，常用即在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件，常用 表示表示 .2, AACBASE、的樣本空間為的樣本

14、空間為設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)1 . 的事件的事件試驗(yàn)試驗(yàn) E : 1.包含關(guān)系包含關(guān)系 BA發(fā)發(fā)生生必必然然導(dǎo)導(dǎo)致致事事件件如如果果事事件件是事件是事件或稱事件或稱事件包含事件包含事件則稱事件則稱事件發(fā)生發(fā)生 ( , AAB , ) 記作記作的子事件的子事件B . ABBA 或或 , 都有都有對(duì)于任何事件對(duì)于任何事件 A . SA 相等關(guān)系相等關(guān)系 , 與與則稱事件則稱事件且且若若AABBA , 記作記作或稱等價(jià)或稱等價(jià)相等相等事件事件 B . BA : 2.和事件和事件 的的至少有一個(gè)發(fā)生所構(gòu)成至少有一個(gè)發(fā)生所構(gòu)成、事件事件BA . 記作記作的和的和與事件與事件事件叫做事件事件叫做事件BA . BA

15、, 稱事件稱事件類似地類似地 2中至少有一個(gè)發(fā)中至少有一個(gè)發(fā)、nAAA1 生的事件為事件生的事件為事件. 21的和事件的和事件、nAAA記之為記之為 ,21nAAA 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為. 1iniA 稱事件稱事件 2件為件為中至少有一個(gè)發(fā)生的事中至少有一個(gè)發(fā)生的事、AA1. 2的和事件的和事件、事件事件AA1 記之為記之為 ,21 AA 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為. 1iiA : 3.積事件積事件 同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)生生所所構(gòu)構(gòu)成成的的事事件件、事事件件BA . 記作記作的積事件的積事件與事件與事件叫做事件叫做事件BA. ABBA或或 , 稱事件稱事件類似地類似地 21同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)生生所所構(gòu)構(gòu)成成的的、nAAA 的事件

16、為事件的事件為事件. 21的積事件的積事件、nAAA記之為記之為 ,21nAAA 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為. 1iniA 稱事件稱事件 21件為事件為事、同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事、同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事、AA. 21的積事件的積事件、件件AA 記之為記之為 ,21 AA 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為. 1iiA 例如例如 ,5 , 3 , 2 , 1, 4 , 2 CB CB 則則 性質(zhì)性質(zhì) ; , 1BABBAA ; , 2BBABABAA CB 則則; , BBAABA ; , 3AAAAAA ., , 4BBAAABAB 則則若若 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 . 2 : 4.差事件 不發(fā)生所構(gòu)不發(fā)生所構(gòu)發(fā)生而事件

17、發(fā)生而事件稱事件稱事件BA , 記作記作的差事件的差事件與事件與事件成的事件為事件成的事件為事件BA . BA ABABABA : 5.互斥事件 , 即即不能同時(shí)發(fā)生不能同時(shí)發(fā)生、若事件若事件BA . 相容事件相容事件. , BABA 記為記為可將可將當(dāng)兩事件互不相容時(shí)當(dāng)兩事件互不相容時(shí) 在一次試驗(yàn)在一次試驗(yàn)與事件與事件若事件若事件BA : 6.對(duì)立事件 ,滿足條件滿足條件、即即發(fā)生發(fā)生中必有且只有其中之一中必有且只有其中之一BA ABSAB 且且 , 、或稱事件或稱事件為互逆事件為互逆事件與事件與事件則稱事件則稱事件BABA . 的對(duì)立事件記為的對(duì)立事件記為事件事件互為對(duì)立事件互為對(duì)立事件A

18、 . A . 容的容的基本事件是兩兩互不相基本事件是兩兩互不相 , ABAB 事事件件與與事事件件互互斥斥事事件件或或互互不不則稱則稱為為 : 關(guān)系關(guān)系對(duì)立事件與互斥事件的對(duì)立事件與互斥事件的 . , 但互斥不一定對(duì)立但互斥不一定對(duì)立對(duì)立一定互斥對(duì)立一定互斥 兩事件兩事件A、B互斥：互斥：兩事件兩事件A、B互逆或互為對(duì)立事件互逆或互為對(duì)立事件即即A與與B不可能同時(shí)發(fā)生不可能同時(shí)發(fā)生.AB 除要求除要求A、B互斥互斥( )外，還要求外，還要求 AB ABS互斥互斥、 BAA 對(duì)立事件對(duì)立事件BABA ABABAAABABAB ; , : 1BAABABBA 交換律交換律 , : 2CBACBA

19、結(jié)合律結(jié)合律 ; BCACAB , : 3BCACCBA 分配律分配律 ; CBCACAB 事件的運(yùn)算滿足的規(guī)律事件的運(yùn)算滿足的規(guī)律 : 4對(duì)偶律對(duì)偶律摩根律摩根律德德 , , BAABBABA , 1111iniiniiniiniAAAA , 1111iiiiiiiiAAAA 5AA BABA 6 . ABA 3檢驗(yàn)?zāi)撤N圓柱形產(chǎn)品檢驗(yàn)?zāi)撤N圓柱形產(chǎn)品按長(zhǎng)度和直徑兩個(gè)指標(biāo)按長(zhǎng)度和直徑兩個(gè)指標(biāo)例例 , , . 直徑合格直徑合格長(zhǎng)度合格長(zhǎng)度合格若設(shè)若設(shè)是否為合格品是否為合格品 BA , 產(chǎn)品為合格品產(chǎn)品為合格品的運(yùn)算表示事件的運(yùn)算表示事件、試用試用 CBA . 產(chǎn)產(chǎn)品品為為不不合合格格品品 D 解解

20、 度和直徑兩個(gè)指標(biāo)度和直徑兩個(gè)指標(biāo)產(chǎn)品為合格品必須是長(zhǎng)產(chǎn)品為合格品必須是長(zhǎng) , 因此因此合格合格ABC 度和直徑兩個(gè)指標(biāo)度和直徑兩個(gè)指標(biāo)產(chǎn)品為不合格品是指長(zhǎng)產(chǎn)品為不合格品是指長(zhǎng) , 因此因此格格中至少有一個(gè)指標(biāo)不合中至少有一個(gè)指標(biāo)不合BAD . ABD 或或 1中的三個(gè)隨機(jī)中的三個(gè)隨機(jī)為樣本空間為樣本空間、設(shè)設(shè)練習(xí)練習(xí)SCBA : , 件件的運(yùn)算表示下列隨機(jī)事的運(yùn)算表示下列隨機(jī)事、試用試用事件事件CBA ; 1都不發(fā)生都不發(fā)生與與發(fā)生而發(fā)生而CBA ; 2都不發(fā)生都不發(fā)生、CBA ; 3中恰好有一個(gè)發(fā)生中恰好有一個(gè)發(fā)生、CBA ; 4中至少有兩個(gè)發(fā)生中至少有兩個(gè)發(fā)生、CBA ; 5中至少有一個(gè)

21、發(fā)生中至少有一個(gè)發(fā)生、CBA . 6中恰好有兩個(gè)發(fā)生中恰好有兩個(gè)發(fā)生、CBA 解解 CBA 1 2CBA 3CBACBACBA 4ABCCABCBABCA CBA 5CBACBACBA 或或BCACAB 或或 CABCBABCA 6 , 2記記進(jìn)行三次射擊進(jìn)行三次射擊設(shè)某射手對(duì)一目標(biāo)接連設(shè)某射手對(duì)一目標(biāo)接連練習(xí)練習(xí) , , 次未擊中目標(biāo)次未擊中目標(biāo)第第次擊中目標(biāo)次擊中目標(biāo)第第iAiAii 3 , 2 , 1, , 3 , 2 , 1 表示事件表示事件試用試用 iAAiii 3 , 2 , 1 , 0, 1 jjBj次擊中目標(biāo)次擊中目標(biāo)三次射擊中恰好有三次射擊中恰好有 3 , 2 , 1 , 0

22、, 2 kkCk次擊中目標(biāo)次擊中目標(biāo)三次射擊中至少有三次射擊中至少有 解解 0 1 B 次擊中目標(biāo)次擊中目標(biāo)三次射擊中恰好有三次射擊中恰好有0321AAA 1B321321321AAAAAAAAA 2B321321321AAAAAAAAA 3B321AAA 0 2 C 次次三次射擊中至少擊中三次射擊中至少擊中0 次次次或次或次或次或次或次或三次中恰好擊中三次中恰好擊中321 0 3210BBBB 1C321BBB 2C32BB 3C3B 321AAA 323121AAAAAA 321AAA 樣本空間和隨機(jī)事件的定義樣本空間和隨機(jī)事件的定義事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算 那么要

23、問(wèn)那么要問(wèn): 如何求得某事件的概率呢如何求得某事件的概率呢?下面幾節(jié)就來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題下面幾節(jié)就來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題. 研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是的可能性大小，也就是事率件概的第三節(jié)第三節(jié) 頻率與概率頻率與概率頻率的定義頻率的定義概率的定義概率的定義小結(jié)小結(jié) 研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是小，也就是事件的概率事件的概率. .概率是隨機(jī)事件概

24、率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小發(fā)生可能性大小的度量的度量 事件發(fā)生的可能性事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！ 了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對(duì)了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對(duì)人們的生活有什么意義呢？人們的生活有什么意義呢？ 我先給大家舉幾個(gè)例子，也希望你們?cè)傥蚁冉o大家舉幾個(gè)例子，也希望你們?cè)傺a(bǔ)充幾個(gè)例子補(bǔ)充幾個(gè)例子. 例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小大小,確定保險(xiǎn)金額確定保險(xiǎn)金額. . 了解來(lái)商場(chǎng)購(gòu)物的顧客人數(shù)的各種可能了解來(lái)商場(chǎng)購(gòu)物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員性大小，合理配置服務(wù)人員. . 了解每年最大洪水超警戒線

25、可能性大了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度小，合理確定堤壩高度. .一、一、頻率的定義頻率的定義 :頻率頻率 , , A次次出現(xiàn)了出現(xiàn)了事件事件次重復(fù)試驗(yàn)中次重復(fù)試驗(yàn)中設(shè)在設(shè)在nAn , A比比值值次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中出出現(xiàn)現(xiàn)的的頻頻數(shù)數(shù)在在為為事事件件則則稱稱nAn , 記為記為次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率在在為事件為事件nAnnA , Afn 即即 . nAfn : 頻率所具有的三個(gè)性質(zhì)頻率所具有的三個(gè)性質(zhì) ; 10 1 AP ; 21 SP , , , 32則則是兩兩互斥事件是兩兩互斥事件設(shè)設(shè)kAAA1 22kkAPAPAPAAAP 11試驗(yàn)者試驗(yàn)者拋幣次數(shù)拋幣次數(shù)

26、n “正面向上正面向上”次數(shù)次數(shù) 頻率頻率De Morgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005 )(Afn拋擲錢幣試驗(yàn)記錄拋擲錢幣試驗(yàn)記錄 Afn , 的頻率的頻率正面向上正面向上出現(xiàn)出現(xiàn)從上表中可以看出從上表中可以看出 , 次次但總的趨勢(shì)是隨著試驗(yàn)但總的趨勢(shì)是隨著試驗(yàn)的不同而變動(dòng)的不同而變動(dòng)雖然隨雖然隨 n . 5 . 0 這個(gè)數(shù)值上這個(gè)數(shù)值上數(shù)的增加而逐漸穩(wěn)定在數(shù)的增加而逐漸穩(wěn)定在 定義定義 , 行大量的重復(fù)試驗(yàn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)在不變的一組條件下進(jìn)在不變的一組條件下進(jìn) 會(huì)

27、穩(wěn)定地在某個(gè)固定的會(huì)穩(wěn)定地在某個(gè)固定的出現(xiàn)的頻率出現(xiàn)的頻率隨機(jī)事件隨機(jī)事件nA , 為隨機(jī)為隨機(jī)我們稱這個(gè)穩(wěn)定值我們稱這個(gè)穩(wěn)定值的附近擺動(dòng)的附近擺動(dòng)的數(shù)值的數(shù)值pp , 即即的概率的概率事件事件 A . pAP 這個(gè)定義也稱為這個(gè)定義也稱為. 概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義 可見可見, 在大量重復(fù)的試驗(yàn)中在大量重復(fù)的試驗(yàn)中,隨機(jī)事件出現(xiàn)的隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率具頻率具 有穩(wěn)定性有穩(wěn)定性.即通常所說(shuō)的即通常所說(shuō)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.二、概率的定義二、概率的定義 概率的公理化定義概率的公理化定義 S , 是它的是它的是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)設(shè) E , AP , 賦予一個(gè)實(shí)數(shù)賦予一個(gè)實(shí)數(shù)的每一個(gè)事件的每一

28、個(gè)事件對(duì)于對(duì)于樣本空間樣本空間AE : , A件件如果它滿足下列三個(gè)條如果它滿足下列三個(gè)條的概率的概率稱之為事件稱之為事件 ; 0 1 AP 非負(fù)性非負(fù)性 ; 1 2 SP 規(guī)范性規(guī)范性 , 321有有對(duì)于兩兩互斥事件對(duì)于兩兩互斥事件AA 2121 APAPAAP 可列可加性可列可加性 . 推得概率的下列性質(zhì)推得概率的下列性質(zhì)由概率的公理化定義可由概率的公理化定義可 1性質(zhì)性質(zhì) 0 . P 證證 因?yàn)橐驗(yàn)?, 故由概率公故由概率公件兩兩互斥件兩兩互斥由于上式右端可列個(gè)事由于上式右端可列個(gè)事 , 有有理化定義的可列可加性理化定義的可列可加性 PP PPP , 再由概率的非負(fù)性可得再由概率的非負(fù)性

29、可得 0 . P 2性性質(zhì)質(zhì) , , 21則則兩兩互斥兩兩互斥設(shè)有限個(gè)事件設(shè)有限個(gè)事件nAAA 1212 . nnP AAAP AP AP A 證證 因?yàn)橐驗(yàn)?212nnAAAAAA , 1 有有質(zhì)質(zhì)所以由可列可加性及性所以由可列可加性及性 1212nnP AAAP AAA 12nP AP AP APP 12 00 nP AP AP A 12 . nP AP AP A 3 性質(zhì)性質(zhì) , 有有對(duì)于任何事件對(duì)于任何事件 A . 1APAP 證證 因?yàn)橐驗(yàn)?, . AAAA 且且 所以所以 PAAP . 1 并且并且 APAPAAP , 由以上兩式可得由以上兩式可得 1 APAP 即即 . 1APA

30、P 4 性質(zhì)性質(zhì) , , 則則且且為兩事件為兩事件、設(shè)設(shè)BABA BPAPBAP 證證 , , 所以所以因?yàn)橐驗(yàn)槿鐖D如圖BA ABBA B AB 并且并且 BABA , 2 可得可得于是由性質(zhì)于是由性質(zhì) BAPBPAP 也即也即 , BPAPBAP 并且并且 . BPAP , 有有又由概率的非負(fù)性又由概率的非負(fù)性 0 BPAPBAP 即即 . BPAP 5 性質(zhì)性質(zhì) , 都有都有對(duì)于任一事件對(duì)于任一事件 A . 1 AP 證證 , 都有都有因?yàn)閷?duì)于任一事件因?yàn)閷?duì)于任一事件 A A , 4 可得可得故由性質(zhì)故由性質(zhì) . 1 PAP 6 性質(zhì)性質(zhì) , , 則則為任意兩個(gè)事件為任意兩個(gè)事件設(shè)設(shè)BA

31、ABPBPAPBAP 證證 , 如圖所示如圖所示 BAABBA ABBA 而且而且 A BAB 所以所以 BAP ABBPAP . ABPBPAP 由此性質(zhì)還可推得由此性質(zhì)還可推得 BAP . BPAP : 還可以推廣還可以推廣而且此結(jié)果而且此結(jié)果 CBAP ABPCPBPAP ABCPBCPACP DCBAP DPCPBPAP CDPBDPBCPADPACPABP ABCDPACDPBCDPABDPABCP 1 iniAP niiAP1 njijiAAP,1 nkjikjiAAAP,1 nnAAAP 2111 , 41 , 1 APBA且已知且已知為兩個(gè)隨機(jī)事件為兩個(gè)隨機(jī)事件、設(shè)設(shè)例例 .

32、, 21ABPBP就下列三種情況求概率就下列三種情況求概率 . 91 3 ; 2 ; 1 ABPBABA互斥互斥與與 解解 , 1所以所以互斥互斥、由于由于BA互斥互斥、 BAAB AB BPABP . 21 BAB 于是于是 所以所以 BABA , 2所以所以因?yàn)橐驗(yàn)锽A ABPABP APBP . 414121 ABP 3 BAABBA ABBP ABPBP . 1879121 , 41 , 2 CPBPAPCBA且且是三事件是三事件、設(shè)設(shè)例例 至少有至少有、求求 . 81, 0CBAACPBCPABP . 一個(gè)發(fā)生的概率一個(gè)發(fā)生的概率 解解 CBAP ACPABPCPBPAP 08141

33、3 . 85 ABCPBCP 三、小結(jié)三、小結(jié)頻率的定義頻率的定義概率的公理化定義及概率的性質(zhì)概率的公理化定義及概率的性質(zhì)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生具有隨機(jī)性，它發(fā)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生具有隨機(jī)性，它發(fā)生的可能性大小是其本身所固有的性質(zhì)，概率生的可能性大小是其本身所固有的性質(zhì)，概率是度量某事件發(fā)生可能性大小的一種數(shù)量指標(biāo)是度量某事件發(fā)生可能性大小的一種數(shù)量指標(biāo). .它介于它介于0與與1之間之間. .第四節(jié)第四節(jié) 等可能概型等可能概型( (古典概型古典概型) )古典概型的定義古典概型的定義古典概率的求法舉例古典概率的求法舉例小結(jié)小結(jié) 我們首先引入的計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型，我們首先引入的計(jì)算概率的數(shù)學(xué)

34、模型，是在概率論的發(fā)展過(guò)程中最早出現(xiàn)的研究是在概率論的發(fā)展過(guò)程中最早出現(xiàn)的研究對(duì)象，通常稱為對(duì)象，通常稱為古典概型古典概型 假定某個(gè)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果假定某個(gè)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果 假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如 ei，比比任一其它結(jié)果，例如任一其它結(jié)果，例如 ej, 更有優(yōu)勢(shì)，則我們只好認(rèn)更有優(yōu)勢(shì)，則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，即為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，即1/N的出現(xiàn)機(jī)會(huì)的出現(xiàn)機(jī)會(huì).e1, e2, ，eN ,常常把這樣的試驗(yàn)結(jié)果稱

35、為常常把這樣的試驗(yàn)結(jié)果稱為“等可能的等可能的”.e1, e2, ，eN 試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)結(jié)果你認(rèn)為哪個(gè)你認(rèn)為哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？可能性大？2 3479108615 例如，一個(gè)袋子中裝有例如，一個(gè)袋子中裝有10 個(gè)大小、形狀完全相同的球個(gè)大小、形狀完全相同的球 . 將球編號(hào)為將球編號(hào)為110 .把球攪勻，把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球蒙上眼睛，從中任取一球. 因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完全平等的，我們沒有理由認(rèn)全平等的，我們沒有理由認(rèn)為為10個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易取得一個(gè)更容易取得 . 也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，10個(gè)球中的任一個(gè)被取出的個(gè)球中的任一

36、個(gè)被取出的機(jī)會(huì)是相等的，均為機(jī)會(huì)是相等的，均為1/10. 1324 5 6 7 8 9 1010個(gè)球中的任一個(gè)被取個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)都是出的機(jī)會(huì)都是1/102 3479108615 我們用我們用 i 表示取到表示取到 i號(hào)球，號(hào)球， i =1,2,10 . 稱這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)為稱這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型古典概型.34791086152且每個(gè)樣本點(diǎn)且每個(gè)樣本點(diǎn)(或者說(shuō)基本或者說(shuō)基本事件事件)出現(xiàn)的可能性相同出現(xiàn)的可能性相同 .S=1,2,10 ,則該試驗(yàn)的樣本空間則該試驗(yàn)的樣本空間 如如i =2稱這種試驗(yàn)為稱這種試驗(yàn)為等可能隨機(jī)試驗(yàn)等可能隨機(jī)試驗(yàn)或或古典概型古典概型. 若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下

37、述兩個(gè)條件：若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件： (1) 它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)；它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)； (2) 每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.記記 A=摸到摸到2號(hào)球號(hào)球 P(A)=? P(A)=1/10記記 B=摸到紅球摸到紅球 P(B)=? P(B)=6/10 22 34791086151324 5 6這里實(shí)際上是從這里實(shí)際上是從“比例比例” 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“概率概率”記記 B=摸到紅球摸到紅球 , P(B)=6/10靜態(tài)動(dòng)態(tài) 當(dāng)我們要求當(dāng)我們要求“摸到紅球摸到紅球”的概的概率時(shí)，只要找出它在靜態(tài)時(shí)相應(yīng)的率時(shí)，只要找出它在靜態(tài)時(shí)相應(yīng)的比例比例.2 3479

38、108615 . , , , neeeSE21 的樣本空間為的樣本空間為設(shè)古典概率設(shè)古典概率 , 即即事件發(fā)生的可能性相同事件發(fā)生的可能性相同由于在試驗(yàn)中每個(gè)基本由于在試驗(yàn)中每個(gè)基本 nePePeP 21 . 于是于是互不相容的互不相容的又由于基本事件是兩兩又由于基本事件是兩兩 SP 1 neeeP 21 nePePeP 21 ienP 所以所以 . , n,inePi211 , 即即個(gè)基本事件個(gè)基本事件包含包含若事件若事件kA kiiieeeA 21 則有則有 AP 21kiiiePePeP nk 中的基本事件總數(shù)中的基本事件總數(shù)包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù)SA . , ii . , .

39、 122APAAPAi求求至少有一次出現(xiàn)正面至少有一次出現(xiàn)正面為為設(shè)事件設(shè)事件求求恰有一次出現(xiàn)正面恰有一次出現(xiàn)正面為為設(shè)事件設(shè)事件將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次例例11 解解 : 此試驗(yàn)的樣本空間為此試驗(yàn)的樣本空間為 . TTT,TTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHHS , TTH,THT,HTTA 1而而 所以所以 1AP . 83 2AP . 87 . TTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHHA 2 , 3 9 2次次件次品的箱子中任取兩件次品的箱子中任取兩、件正品件正品從有從有例例 : , 試分別以試分別以每次取一件每次取一件 ; : 1后放回后放回即

40、每次抽取的產(chǎn)品觀察即每次抽取的產(chǎn)品觀察有放回抽樣法有放回抽樣法 ; : 2不放回不放回即每次抽取產(chǎn)品觀察后即每次抽取產(chǎn)品觀察后不放回抽樣法不放回抽樣法 兩種抽樣方式求事件兩種抽樣方式求事件 , 取得兩件正品取得兩件正品 A , , 第二次取得次品第二次取得次品第一次取得正品第一次取得正品 B , 取得一件正品一件次品取得一件正品一件次品 C . 的概率的概率 解解 . 1 采取有放回抽樣采取有放回抽樣 , , 取法總數(shù)為取法總數(shù)為每次取一件每次取一件從箱子中任取兩件產(chǎn)品從箱子中任取兩件產(chǎn)品.122 . 12 2本事件數(shù)為本事件數(shù)為即樣本空間中所含的基即樣本空間中所含的基 為為中所含有的基本事件

41、數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 A . 9CC21919 所以所以 12922 AP 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 B . 39CC1319 所以所以 12392 BP . 169 . 163 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 C . 54 9339CCCC19131319 所以所以 12542 CP. 83 . 2 采取不放回抽樣采取不放回抽樣 , , 取法總數(shù)為取法總數(shù)為每次取一件每次取一件從箱子中任取兩件產(chǎn)品從箱子中任取兩件產(chǎn)品 . 1112 基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為即樣本空間中所含有的即樣本空間中所含有的 . 1112 為為中所含有的基本

42、事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 A . 89CC1819 所以所以 111289 AP 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 B . 39CC1319 所以所以 111239 BP . 116 . 449 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 C . 9339CCCC19131319 所以所以 11129339 CP. 229 3 9 3件產(chǎn)件產(chǎn)件次品的箱子中任取兩件次品的箱子中任取兩、件正品件正品從有從有例例 , 求事件求事件即一次抽取兩件產(chǎn)品即一次抽取兩件產(chǎn)品品品 , 取得兩件正品取得兩件正品 A , 取得一件正品一件次品取得一件正品一件次品 C . 的

43、概率的概率 解解 , 取法總數(shù)為取法總數(shù)為從箱子中任取兩件產(chǎn)品從箱子中任取兩件產(chǎn)品 . 212C 含有的基本事件總數(shù)為含有的基本事件總數(shù)為即試驗(yàn)的樣本空間中所即試驗(yàn)的樣本空間中所 . 212C 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 A . 29C 所以所以 21229CC AP 1211121289 . 116 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)事件事件 C . 1319CC 所以所以 2121319CCC AP 12111239 . 229 , 4個(gè)格子個(gè)格子每個(gè)都等可能地落入每個(gè)都等可能地落入個(gè)小球個(gè)小球設(shè)有設(shè)有例例Nn : , 試求下列事件的概率試求下列事件的概

44、率中中Nn ; 1個(gè)格子中各有一球個(gè)格子中各有一球某指定的某指定的 nA . 2個(gè)格子中各有一球個(gè)格子中各有一球任意的任意的 nB 解解 , 應(yīng)有應(yīng)有個(gè)格子中個(gè)格子中個(gè)球都等可能地落入到個(gè)球都等可能地落入到 Nn , 所以所以種可能的方法種可能的方法nN 基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為.nN 所含的基本事件數(shù)為所含的基本事件數(shù)為事件事件 A !n 所含的基本事件數(shù)為所含的基本事件數(shù)為事件事件 B !nCnN 故故 , !nNnAP . !nnNNnCBP , 4 , 5 5求求只只從中任取從中任取雙不同型號(hào)的鞋子雙不同型號(hào)的鞋子有有例例 ; 4 1只鞋恰好為兩雙只鞋恰好為兩雙取出的取出的 : 下

45、列各事件的概率下列各事件的概率 ; 4 2只鞋都是不同型號(hào)的只鞋都是不同型號(hào)的取出的取出的 . 4 3雙雙只鞋恰好有兩只配成一只鞋恰好有兩只配成一取出的取出的 解解 , 4 A只鞋恰好為兩雙只鞋恰好為兩雙取出的取出的設(shè)設(shè) , 4 B只鞋都是不同型號(hào)的只鞋都是不同型號(hào)的取出的取出的 . 4 C雙雙只鞋恰好有兩只配成一只鞋恰好有兩只配成一取出的取出的 , 4 10 5 取法總數(shù)為取法總數(shù)為只只中任取中任取只只雙鞋子雙鞋子從從 . 410C 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)A . 25C 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)B . 1212121245CCCCC 為為中所含有的基

46、本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)C . 1212242215CCCCC 于是可得于是可得 AP 1 41025CC 1234789101245 . 211 BP 2 4101212121245CCCCCC 21080 . 218 CP 3 4101212242215CCCCCC 210120 . 74 ? 8 , 6 , 20001 6 整除的概率是多少整除的概率是多少也不能被也不能被整除整除整數(shù)既不能被整數(shù)既不能被問(wèn)取到的問(wèn)取到的數(shù)數(shù)的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)在在例例 解解 . 8 , 6 整除整除取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被整除整除取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被設(shè)設(shè) BA 又又 AP ,

47、2000333 BP , 2000250 所求概率為所求概率為 BAP BAP 1BAP 1ABPBPAP ABP , 200083 故所求概率為故所求概率為200083200025020003331 p . 43 . 3 ; i . 3 15 , 15 7 級(jí)的概率級(jí)的概率名優(yōu)秀生分配在同一班名優(yōu)秀生分配在同一班名優(yōu)秀生的概率名優(yōu)秀生的概率每一個(gè)班級(jí)各分配到一每一個(gè)班級(jí)各分配到一求求名是優(yōu)秀生名是優(yōu)秀生名新生中有名新生中有這這去去到三個(gè)班級(jí)中到三個(gè)班級(jí)中名新生隨機(jī)地平均分配名新生隨機(jī)地平均分配將將例例ii 解解 15級(jí)的分法總數(shù)為級(jí)的分法總數(shù)為名新生平均分到三個(gè)班名新生平均分到三個(gè)班 555

48、10515 5!5!10! 10!5!15! . 5!5!5!15! i優(yōu)秀生的分法為優(yōu)秀生的分法為每一個(gè)班級(jí)各分到一名每一個(gè)班級(jí)各分到一名 4448412 !3 . 4!4!4!12! 3! 于是所求概率為于是所求概率為 5!5!5!15! 4!4!4!12! 3! 1p . 9725 ii班班級(jí)級(jí)的的分分法法為為三三名名優(yōu)優(yōu)秀秀生生分分到到同同一一個(gè)個(gè) 55510212 3 . 2!5!5!12! 3 于是所求概率為于是所求概率為 5!5!5!15! 2!5!5!12!3 2 p . 916 . . 12 , 12 8 規(guī)定的規(guī)定的可以推斷接待時(shí)間是有可以推斷接待時(shí)間是有問(wèn)是否問(wèn)是否四進(jìn)行

49、的四進(jìn)行的次接待都是在周二和周次接待都是在周二和周所有這所有這已知已知次來(lái)訪次來(lái)訪待過(guò)待過(guò)某接待站在某一周曾接某接待站在某一周曾接例例 解解 , 而各來(lái)訪者而各來(lái)訪者沒有規(guī)定沒有規(guī)定假設(shè)接待站的接待時(shí)間假設(shè)接待站的接待時(shí)間 . 待站是等可能的待站是等可能的在一周的任一天中去接在一周的任一天中去接 12 次接次接則則 的概率為的概率為待來(lái)訪者都在周二周四待來(lái)訪者都在周二周四 p121272 . 0.0000003 . 這是小概率事件這是小概率事件 . 規(guī)定的規(guī)定的所以認(rèn)為接待時(shí)間是有所以認(rèn)為接待時(shí)間是有例例1 把把C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母分別寫在七個(gè)字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將

50、卡片放入同一盒中，七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：個(gè)英文單詞：C ISN C EE問(wèn)：在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果問(wèn)：在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？拼成英文單詞拼成英文單詞SCIENCE 的情況數(shù)為的情況數(shù)為故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為： 這個(gè)概率很小，這里算出的概率有如下的實(shí)際這個(gè)概率很小，這里算出的概率有如下的實(shí)際意義：意義：如果多次重

51、復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我們所關(guān)心如果多次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我們所關(guān)心的事件在的事件在1260次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)1次次 .42200079. 012601! 74p解解 七個(gè)字母的排列總數(shù)為七個(gè)字母的排列總數(shù)為7！ 這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗(yàn)中就這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗(yàn)中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù)發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù). 具體地說(shuō)，可以具體地說(shuō)，可以99.9%的把握懷疑這是魔的把握懷疑這是魔術(shù)術(shù).解解=0.3024允許重復(fù)的排列允許重復(fù)的排列問(wèn)問(wèn)錯(cuò)在何處？錯(cuò)在何處？例例2 某城市的電話號(hào)碼由某城市的電話號(hào)碼由5個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可個(gè)數(shù)字組

52、成，每個(gè)數(shù)字可能是從能是從0- -9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求電話號(hào)碼由五電話號(hào)碼由五個(gè)不同數(shù)字組成個(gè)不同數(shù)字組成的概率的概率. .計(jì)算樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件計(jì)算樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件所含樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)數(shù)方法不同所含樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)數(shù)方法不同.從從10個(gè)不同數(shù)字中個(gè)不同數(shù)字中取取5個(gè)的排列個(gè)的排列510510Pp 551010Cp 例例3 設(shè)有設(shè)有N件產(chǎn)品件產(chǎn)品,其中有其中有M件次品件次品,現(xiàn)從這現(xiàn)從這N件中件中任取任取n件件,求其中恰有求其中恰有k件次品的概率件次品的概率.這是一種無(wú)放回抽樣這是一種無(wú)放回抽樣.解解 令令B=恰有恰有k件次品件次品P(B)=？nNknM

53、NkMBP)(次品正品M件次件次品品N-M件件正品正品解解 把把2n只鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只的分法只的分法總數(shù)為總數(shù)為而出現(xiàn)事件而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為的分法數(shù)為n!,故故nnn2)!2(! 2! 2 ! 2)!2()!2(2 !2/)!2(!)(nnnnAPnn例例4 n雙相異的鞋共雙相異的鞋共2n只，隨機(jī)地分成只，隨機(jī)地分成n堆，每堆堆，每堆2只只 . 問(wèn)問(wèn):“各堆都自成一雙鞋各堆都自成一雙鞋”(事件事件A)的概率是多少？的概率是多少？ “等可能性等可能性”是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是

54、否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的事件或樣本點(diǎn)是等可能的.1、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意“等可能性等可能性”的條件的條件.請(qǐng)注意：請(qǐng)注意： 在許多場(chǎng)合，在許多場(chǎng)合，由對(duì)稱性和均衡性由對(duì)稱性和均衡性，我們就可，我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率件的概率.2、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.例如：從例如：從5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4只，這只，這4只鞋子中只鞋子中“至少有兩只配成一雙至少有兩只配

55、成一雙”（事件（事件A）的概率是多少？）的概率是多少？ 下面的算法錯(cuò)在哪里？下面的算法錯(cuò)在哪里？4102815)(AP錯(cuò)在同樣的錯(cuò)在同樣的“4只配成兩只配成兩雙雙”算了兩次算了兩次.97321456810從從5雙中取雙中取1雙，從剩雙，從剩下的下的 8只中取只中取2只只例如：從例如：從5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4只，這只，這4只鞋子中只鞋子中“至少有兩只配成一雙至少有兩只配成一雙”（事件（事件A）的概率是多少？）的概率是多少？ 正確的答案是：正確的答案是：410252815)(AP請(qǐng)思考：請(qǐng)思考：還有其它解法嗎？還有其它解法嗎？2、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不、在用排

56、列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.3、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型： 有有n個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在被分在 N 間房的每一間中，求指定的間房的每一間中，求指定的n間房中各有間房中各有一人的概率一人的概率.人人房房3、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型： 有有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為1/365. 求這求這n (n 365)個(gè)人的生日互不

57、相同的概率個(gè)人的生日互不相同的概率.人人任一天任一天3、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型： 有有n個(gè)旅客，乘火車途經(jīng)個(gè)旅客，乘火車途經(jīng)N個(gè)車個(gè)車站，設(shè)每個(gè)人在站，設(shè)每個(gè)人在每站下車的概率為每站下車的概率為1/ N(N n) ，求指定的，求指定的n個(gè)站各個(gè)站各有一人下車的概率有一人下車的概率.旅客旅客車站車站3、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型： 某城市每周發(fā)生某城市每周發(fā)生7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同的概率相同. 求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率求每天恰好

58、發(fā)生一次車禍的概率.車禍車禍天天你還可以舉出其它例子，留作課下練習(xí)你還可以舉出其它例子，留作課下練習(xí). 這一節(jié)，我們介紹了古典概型這一節(jié)，我們介紹了古典概型. 古典概型古典概型雖然比較簡(jiǎn)單，但它有多方面的應(yīng)用雖然比較簡(jiǎn)單，但它有多方面的應(yīng)用.是常見的幾種模型是常見的幾種模型 .箱中摸球箱中摸球分球入箱分球入箱隨機(jī)取數(shù)隨機(jī)取數(shù)分組分配分組分配課下可通過(guò)作業(yè)進(jìn)一步掌握課下可通過(guò)作業(yè)進(jìn)一步掌握.古典概型的定義古典概型的定義古典概率的求法古典概率的求法第五節(jié)第五節(jié) 條件概率條件概率條件概率條件概率乘法公式乘法公式小結(jié)小結(jié) 在解決許多概率問(wèn)題時(shí)，往往需要在有某在解決許多概率問(wèn)題時(shí)，往往需要在有某些附加信

59、息些附加信息(條件條件)下求事件的概率下求事件的概率.1. 條件概率的概念條件概率的概念如在事件如在事件B發(fā)生的條件下求事件發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，將此概率記作將此概率記作P(A|B). 一般地一般地 P(A|B) P(A) P(A )=1/6，例如例如，擲一顆均勻骰子，擲一顆均勻骰子，A=擲出擲出2點(diǎn)點(diǎn)， B=擲出偶數(shù)點(diǎn)擲出偶數(shù)點(diǎn)，P(A|B)=？擲骰子擲骰子 已知事件已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是結(jié)果構(gòu)成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有中共有3個(gè)元素個(gè)元素,它們的出現(xiàn)是等它們的出現(xiàn)是等可能的可能的,其中只有其中

60、只有1個(gè)在集個(gè)在集A中中.于是于是容易看到容易看到)()(636131BPABPP(A|B)P(A )=3/10， 又如，又如，10件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正件正品中有品中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 現(xiàn)從這現(xiàn)從這10件中任取件中任取一件，記一件，記 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品，P(A|B)()(10710373BPABP則則P(A )=3/10， B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中，計(jì)算本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依據(jù)的時(shí)，依據(jù)的前提條件是前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比件產(chǎn)品中一等品的比例例. A=取到一等品取