高等數(shù)學(xué)隨堂講義多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用習(xí)題課

1、第十一講第十一講 多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用習(xí)題課多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用習(xí)題課多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用習(xí)題課多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用習(xí)題課多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)（一）幾何應(yīng)用（一）幾何應(yīng)用（二）方向?qū)?shù)和梯度（二）方向?qū)?shù)和梯度（三）極值和條件極值（三）極值和條件極值一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)（一）幾何應(yīng)用（一）幾何應(yīng)用（二）方向?qū)?shù)和梯度（二）方向?qū)?shù)和梯度（三）極值和條件極值（三）極值和條件極值1. 一元向量值函數(shù)一元向量值函數(shù) 1)概念概念Dttftftftfr )

2、(),(),()(321以三維向量為例以三維向量為例2) 圖形圖形終端曲線為一空間曲線終端曲線為一空間曲線3) 極限極限 )(lim),(lim),(lim)(lim3210000tftftftftttttttt4) 連續(xù)連續(xù) )(),(),()(lim0302010tftftftftt 5) 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù))(),(),()(0302010tftftftf )(0tf 導(dǎo)向量導(dǎo)向量的幾何意義的幾何意義向量值函數(shù)向量值函數(shù)Dttfr ),(的終端曲線的終端曲線一個(gè)切向量一個(gè)切向量,其指向與其指向與t 的增長方向一致的增長方向一致.在點(diǎn)在點(diǎn)M處的處的2. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面

3、1) 參數(shù)式情況參數(shù)式情況.)(),(),(:tztytx 切向量切向量)(, )(, )(000tttT2) 一般式情況一般式情況.特例特例)(),(:xzxy 切向量切向量)(, )(,(001xxT 0),(0),(:zyxGzyxF切向量切向量 zyxzyxGGGFFFkjiT),(000zyx0),(:zyxF1) 隱式情況隱式情況 .法向量法向量),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx),(:yxfz 2) 顯式情況顯式情況.法向量法向量) 1 ,(yxffn一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)（一）幾何應(yīng)用（一）幾何應(yīng)用（二）方向?qū)?shù)和梯度（二）方向?qū)?shù)和

4、梯度（三）極值和條件極值（三）極值和條件極值一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)（一）幾何應(yīng)用（一）幾何應(yīng)用（二）方向?qū)?shù)和梯度（二）方向?qū)?shù)和梯度（三）極值和條件極值（三）極值和條件極值1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) ttztytxflftzyx)cos,cos,cos(lim0000),(000 000(,)coscoscosxyzuuuxyz( , , )uf x y z (cos,cos,cos )l 單側(cè)極限單側(cè)極限分子分子: 射線射線l方向上兩點(diǎn)的函數(shù)值之差方向上兩點(diǎn)的函數(shù)值之差分母分母: 射線射線l方向上兩點(diǎn)的距離方向上兩點(diǎn)的距離l注注2. 梯度梯度 ,uuugrad uxyz ( , , )uf

5、x y z 方向方向:大小大小:方向?qū)?shù)取得最大值的方向方向?qū)?shù)取得最大值的方向l注注梯度是一個(gè)向量梯度是一個(gè)向量方向?qū)?shù)的最大值方向?qū)?shù)的最大值幾何意義幾何意義與曲線的一個(gè)法向量方向一致與曲線的一個(gè)法向量方向一致,由數(shù)值低的等值面指向數(shù)值高的等值面由數(shù)值低的等值面指向數(shù)值高的等值面一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)（一）幾何應(yīng)用（一）幾何應(yīng)用（二）方向?qū)?shù)和梯度（二）方向?qū)?shù)和梯度（三）極值和條件極值（三）極值和條件極值一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)（一）幾何應(yīng)用（一）幾何應(yīng)用（二）方向?qū)?shù)和梯度（二）方向?qū)?shù)和梯度（三）極值和條件極值（三）極值和條件極值. 0),(,0),(0000 yxfyxfyx定理

6、定理1 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)存在偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù),且在該點(diǎn)取得極值且在該點(diǎn)取得極值 ,則有則有:令令則則: 1) 當(dāng)當(dāng)ACB20時(shí)時(shí),具有極值具有極值A(chǔ)0 時(shí)取極小值時(shí)取極小值.),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx定理定理2 2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f (x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又又0),(,0),(0000yxfyxfyx 2) 當(dāng)當(dāng)ACB20時(shí)時(shí),沒有極值沒有極值 3) 當(dāng)當(dāng)ACB2=0時(shí)時(shí),不能確定不能確定,需另行討論需另行討論.多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用習(xí)

7、題課多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用習(xí)題課多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）幾何應(yīng)用（一）幾何應(yīng)用（二）極值和最值（二）極值和最值二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）幾何應(yīng)用（一）幾何應(yīng)用（二）極值和最值（二）極值和最值u例例1 求橢球面求橢球面12222 zyx上平行于平面上平行于平面02 zyx的切平面方程的切平面方程. .u例例2 在曲面在曲面xyz 上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面093 zyx并寫出這法線的方程并寫出這法線的方程.

8、 .u例例3 試證曲面試證曲面)(0 aazyx上任何點(diǎn)處的切平面上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于a.u例例4 證明螺旋線證明螺旋線btztaytax ,sin,cos上任一點(diǎn)處的切上任一點(diǎn)處的切 線與線與oz軸交成定角軸交成定角. .u例例5 證明曲面證明曲面0 ),(mznylznxF上任一點(diǎn)的切平面平行上任一點(diǎn)的切平面平行于直線于直線.321nzmylx u例例6 證明曲面證明曲面0),(nyzmyxF的所有切平面恒與的所有切平面恒與定直線平行定直線平行. .u例例7 使證所有切于曲面使證所有切于曲面 xyxfz的平面都相交于一點(diǎn)的平面都相交于一點(diǎn).

9、 .u例例8 試證錐面試證錐面322 yxz的所有切平面都通過錐面的所有切平面都通過錐面頂點(diǎn)頂點(diǎn). .二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）幾何應(yīng)用（一）幾何應(yīng)用（二）極值和最值（二）極值和最值二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）幾何應(yīng)用（一）幾何應(yīng)用（二）極值和最值（二）極值和最值u例例9 求由方程求由方程0222222 zyxyzxzzyx所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)z= =z( (x, ,y) )的極值的極值. .u例例10 求函數(shù)求函數(shù)xyyxz 22在區(qū)域在區(qū)域最大值和最小值最大值和最小值. .1 yx上的上的u例例11 求函數(shù)求函數(shù)32233xyxz 在區(qū)域在區(qū)域最大值和最小值最大值和最小值. .1622 yx上的上的u例例12 求函數(shù)求函數(shù))sin(sinsinyxyxu 在區(qū)域在區(qū)域 200 yxyx,上的最大值上的最大值. .u例例13 求點(diǎn)求點(diǎn)( (a, ,b, ,c) )到平面到平面0 DCzByAx的距離的距離. .u例例14 求內(nèi)接于半徑為求內(nèi)接于半徑為a的球，且有最大體積的長方體的球，且有最大體積的長方體. .u例例15u例例16 已知三角形的周長為已知三角形的周長為2p，求出這樣的三角形，求出這樣的三角形當(dāng)它繞著自己的一邊旋轉(zhuǎn)時(shí)所生成的立體體積最大當(dāng)它繞著自己的一邊旋轉(zhuǎn)時(shí)