同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)D3冪級數(shù)ppt課件

1、第三節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 三、冪級數(shù)的運(yùn)算三、冪級數(shù)的運(yùn)算 冪級數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第十一章 一、一、 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念設(shè)121)()()()(nnnxuxuxuxu為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù) .對, I0 x若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)10)(nnxu斂點(diǎn)斂點(diǎn), 所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域 ;若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)10)(nnxu為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù), 稱收斂,發(fā)散 ,所有0 x稱為其收 0 x稱為其發(fā)散點(diǎn), ),2, 1()(nxun發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 , )

2、(xS為級數(shù)的和函數(shù) , 并寫成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余項(xiàng))()()(xSxSxrnn則在收斂域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函數(shù)項(xiàng)級數(shù)前 n 項(xiàng)的和, 即在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是 x 的函數(shù) 稱它機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例如例如, 等比級數(shù)等比級數(shù)它的收斂域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的發(fā)散域是或?qū)懽?1x又如又如, 級數(shù)級數(shù), )0(02xnxxnnn,)(limxunn級數(shù)發(fā)散 ;所以級數(shù)的收斂域僅為. 1x,)1,1(時(shí)當(dāng)x有和函數(shù) ,1時(shí)收斂當(dāng)x,10時(shí)但當(dāng)

3、 x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù), 其中數(shù)列), 1 , 0(nan下面著重討論00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如, 冪級數(shù)1,110 xxxnn為冪級數(shù)的系數(shù) .即是此種情形.的情形, 即nnxxa)(0稱 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若冪級數(shù)0nnnxa,0點(diǎn)收斂在xx 則對滿足不等式0 xx 的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂.反之, 若當(dāng)0 xx 0 xx 的一切 x

4、 , 該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時(shí)該冪級數(shù)發(fā)散 , 則對滿足不等式證證: 設(shè)設(shè)00nnnxa, 0lim0nnnxa收斂, 則必有),2, 1(0nMxann于是存在常數(shù) M 0, 使阿貝爾 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 當(dāng) 時(shí), 0 xx 00nnxxM收斂,0nnnxa故原冪級數(shù)絕對收斂 .也收斂,反之, 若當(dāng)0 xx 時(shí)該冪級數(shù)發(fā)散 ,下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)1x01xx0 x滿足不等式0 xx 所以若當(dāng)0 xx 滿足且使級數(shù)收斂 ,面的證明可知, 級數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真. 的 x , 原冪級數(shù)也發(fā)散 . 時(shí)冪級數(shù)發(fā)散 , 則對一切則由前也應(yīng)收斂, 與所設(shè)矛盾,nnnnnnxxxaxa00nn

5、nxxxa00nxxM0證畢機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 冪級數(shù)在 (, +) 收斂 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的區(qū)間. 用R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為那么R = 0 時(shí), 冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂 ;R = 時(shí),0 R冪級數(shù)在 (R , R ) 收斂 ;(R , R ) 加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域.R 稱為收斂半徑 ， 在R , R 可能收斂也可能發(fā)散 .Rx外發(fā)散; 在(R , R ) 稱為收斂區(qū)間.ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理2. 假設(shè)假設(shè)0

6、nnnxa的系數(shù)滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R證證:1) 假設(shè) 0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng),1x原級數(shù)收斂;當(dāng),1x原級數(shù)發(fā)散.x即1x時(shí),1) 當(dāng) 0 時(shí),2) 當(dāng) 0 時(shí),3) 當(dāng) 時(shí),即時(shí),那么 1x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2) 假設(shè), 0則根據(jù)比值審斂法可知,;R絕對收斂 ,3) 假設(shè),則對除 x = 0 以外的一切 x 原級發(fā)散 ,.0R對任意 x 原級數(shù)因而因而 0nnnxa的收斂半徑為說明說明: :據(jù)此定理據(jù)此定理1limnnnaaR因此級數(shù)的收斂半徑.1R機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 對端點(diǎn) x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132)

7、 1(32的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對端點(diǎn) x = 1, 級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù),1) 1(11nnn收斂; 級數(shù)為,11nn發(fā)散 . . 1, 1(故收斂域?yàn)槔?.1.求冪級數(shù)求冪級數(shù) limn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收斂域?yàn)? ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂 .規(guī)定: 0 ! = 1! ) 1(1n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

8、 完畢 例例3.nnxnn202) !(! )2(求冪級數(shù)的收斂半徑 .解解: 級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng)級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 .21R21x即142x當(dāng)21x即) 1(2nxnx2故直接由機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4.12) 1(nnnnx求冪級數(shù)的收斂域.解解: 令令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)閚nntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnn

9、nnnn2) 1(2lim12當(dāng) t = 2 時(shí), 級數(shù)為,11nn此級數(shù)發(fā)散;當(dāng) t = 2 時(shí), 級數(shù)為,) 1(1nnn此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域?yàn)?22t故原級數(shù)的收斂域?yàn)?212x即.31x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 三、冪級數(shù)的運(yùn)算三、冪級數(shù)的運(yùn)算定理定理3. 設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)nnnxa0nnnxb0及的收斂半徑分別為,21RR令nnnxa0)(0為常數(shù)nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 則有 :nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上結(jié)論可用部分和的極限證明 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下

10、頁 返回 完畢 說明說明: 兩個(gè)冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個(gè)冪級數(shù)的收斂半徑小得多. 例如, 設(shè) nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它們的收斂半徑均為,R但是nnnxa0nxxx21其收斂半徑只是 .1R1x1nnnxb0 x11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理4 若冪級數(shù)若冪級數(shù)nnnxa0的收斂半徑,0R)(xS數(shù)(證明見第六節(jié))nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx則其和函在收斂域上連續(xù), 且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)

11、求積分, 運(yùn)算前后收斂半徑相同: 注注: 逐項(xiàng)積分時(shí)逐項(xiàng)積分時(shí), 運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 解解: 由例由例2可知級數(shù)的收斂半徑可知級數(shù)的收斂半徑 R+.例例5.0!nnnx求冪級數(shù)0!)(nnnxxS)(x那么11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(xSexxeCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得.!0 xnnenx的和函數(shù) .因此得設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例6. 1nnxn求冪級數(shù)的和函數(shù)解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , x1 時(shí)級數(shù)發(fā),)1,

12、1(時(shí)故當(dāng)x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例7. 求級數(shù)求級數(shù)01nnnx的和函數(shù). )(xS解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 時(shí)級數(shù)且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收斂 , 有時(shí)則當(dāng),0 x0111nnnxxxnnxxx00d1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx,

13、 )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例8.2) 1(122的和求數(shù)項(xiàng)級數(shù)nnn解解: 設(shè)設(shè),1)(22nnnxxS那么, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2ln4385)0( x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小

14、結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級數(shù)收斂域的方法1) 對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑 , 再討論端點(diǎn)的收斂性 .2) 對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)求收斂半徑時(shí)直接用比值法或根值法,2. 冪級數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與)0(0nnnnaxa也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求 .乘法運(yùn)算. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3) 冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 知知nnnxa00 xx 在處條件收斂 , 問該級數(shù)收斂半徑是多少 ?答答: 根據(jù)Abel 定理可知, 級數(shù)在0 xx 收斂 ,0 xx 時(shí)發(fā)散 . 故收斂半

15、徑為.0 xR 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 在冪級數(shù)在冪級數(shù)nnnnx02) 1(2中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 為奇數(shù),23n 為偶數(shù),61能否確定它的收斂半徑不存在 ?答答: 不能不能. 因?yàn)閚nnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x當(dāng)2x時(shí)級數(shù)收斂 ,2x時(shí)級數(shù)發(fā)散 ,.2R說明說明: 可以證明可以證明比值判別法成立根值判別法成立機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 P215 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3)P257 7 (1), (4) 8 (1), (3) 作業(yè)第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 阿貝爾阿貝爾(1802 1829)挪威數(shù)學(xué)家, 近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者. 他在22歲時(shí)就解決了用根式解5 次方程的不可能性問題 , 他還研究了更廣的一 并稱之為阿貝爾群. 在級數(shù)研究中, 他得 到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級數(shù)求和定理. 論的奠基人