第九章壓桿穩(wěn)定

1、材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院1第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定9.1 9.1 概概 述述一、問題的提出一、問題的提出材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院2材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院3構(gòu)件的承載能力構(gòu)件的承載能力強(qiáng)度強(qiáng)度剛度剛度穩(wěn)定性穩(wěn)定性 工程中有些構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度、剛度，卻不一定工程中有些構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度、剛度，卻不一定能夠安全可靠地工作。能夠安全可靠地工作。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院4材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院5 2006 2006年年1212月月9

2、9日，北京市順義城區(qū)北側(cè)減河上一座懸索橋在進(jìn)行承重日，北京市順義城區(qū)北側(cè)減河上一座懸索橋在進(jìn)行承重測(cè)試時(shí)突然坍塌測(cè)試時(shí)突然坍塌, ,約約5050米橋體連同橋上進(jìn)行測(cè)試的米橋體連同橋上進(jìn)行測(cè)試的1010輛滿載煤渣的運(yùn)輸車輛滿載煤渣的運(yùn)輸車一起塌下一起塌下,1,1名司機(jī)和名司機(jī)和2 2名檢測(cè)人員受傷。名檢測(cè)人員受傷。 材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院6壓桿穩(wěn)定性問題尤為重要！壓桿穩(wěn)定性問題尤為重要！材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院7 穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡隨遇平衡判斷方法判斷方法 微小擾動(dòng)法微小擾動(dòng)法 在平衡位置給物體一任意微小

3、擾動(dòng)，擾動(dòng)消失后考察在平衡位置給物體一任意微小擾動(dòng)，擾動(dòng)消失后考察物體是否自動(dòng)恢復(fù)原平衡位置。物體是否自動(dòng)恢復(fù)原平衡位置。 二、三種平衡狀態(tài)及判斷方法二、三種平衡狀態(tài)及判斷方法材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院8穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡Fkl材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院9保持常態(tài)、穩(wěn)定保持常態(tài)、穩(wěn)定失去常態(tài)、失穩(wěn)失去常態(tài)、失穩(wěn)壓彎壓彎曲線平衡曲線平衡軸壓軸壓直線平衡直線平衡恢復(fù)恢復(fù)直線平衡直線平衡失穩(wěn)失穩(wěn)曲線平衡曲線平衡FFcr微小擾動(dòng)微小擾動(dòng)F彈彈 性性 桿桿 FFcr(a)Fcr(c) Fcr(d) 材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木

4、工程學(xué)院28alABCEIEI=F圖示剛架，桿圖示剛架，桿AB為剛性桿，桿為剛性桿，桿BC為彈性梁，其抗為彈性梁，其抗彎剛度彎剛度EI為常數(shù)。在剛性桿頂端受到荷載為常數(shù)。在剛性桿頂端受到荷載F作用，作用，已知尺寸已知尺寸a和和l，求該結(jié)構(gòu)的臨界荷載。，求該結(jié)構(gòu)的臨界荷載。解：結(jié)構(gòu)受到擾動(dòng)后處于圖示平衡狀態(tài)解：結(jié)構(gòu)受到擾動(dòng)后處于圖示平衡狀態(tài)Fcrd dq qq q由圖可知，彈性梁由圖可知，彈性梁BC在在B端承受的外力偶矩為端承受的外力偶矩為crBMFd彈性梁彈性梁BC在在B端外力偶矩端外力偶矩MB的作用下近端的轉(zhuǎn)角為的作用下近端的轉(zhuǎn)角為cr33BFaM aEIEIdqcr3EIFal所以結(jié)構(gòu)的臨

5、界荷載為所以結(jié)構(gòu)的臨界荷載為ldq因?yàn)橐驗(yàn)椴牧狭W(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院2949123minm1017.410121050I48minm1089.3zII解：圖解：圖(a)圖圖(b)22mincr2214.17 20067.14kN()(0.7 0.5)IEFlpp 22mincr2220.389 20076.8kN()(2 0.5)IEFlpp 分別求下列分別求下列細(xì)長壓桿細(xì)長壓桿的臨界荷載。已知的臨界荷載。已知 l =0.5m，E=200GPa。(45 45 6) 等邊角鋼等邊角鋼5010圖圖(a)Fl圖圖(b)Flyz材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)

6、土木工程學(xué)院30解：由平衡方程求得桿件壓力為解：由平衡方程求得桿件壓力為cossinACBCFFFFqq 兩桿分別達(dá)到臨界荷載時(shí)兩桿分別達(dá)到臨界荷載時(shí)F可達(dá)最大值。可達(dá)最大值。22cr22coscosACACEIEIFFllqmpp22cr22sinsinBCBCEIEIFFllqmpp2crcrtancotBCACFFq2arctan(cot)q圖示兩桿材料截面相同，均為細(xì)長桿，若桿件圖示兩桿材料截面相同，均為細(xì)長桿，若桿件在在ABC面內(nèi)因失穩(wěn)而引起破壞，試求荷載面內(nèi)因失穩(wěn)而引起破壞，試求荷載F為為最大值時(shí)的最大值時(shí)的q q 角（設(shè)角（設(shè)0 q q p p/2）。）。ABCFlq q 材料力

7、學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院31lFcr1lFcr2兩根材料相同，長度相等的細(xì)長壓桿，桿兩根材料相同，長度相等的細(xì)長壓桿，桿為正方形截面，桿為正方形截面，桿為圓截面。兩橫截面面為圓截面。兩橫截面面積相等，求其臨界荷載的比值。積相等，求其臨界荷載的比值。解：桿解：桿的形心主慣性矩為的形心主慣性矩為421212aAI 2221cr2212EIEAFllpp所以所以桿桿的形心主慣性矩為的形心主慣性矩為24464644dAIpp pp222cr224EIEAFllpp所以所以1cr2cr:3FFp材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院32解：受壓力作用時(shí)，桁架周

8、邊四根桿均受壓，解：受壓力作用時(shí)，桁架周邊四根桿均受壓，結(jié)構(gòu)的臨界荷載即為壓桿失穩(wěn)時(shí)的荷載結(jié)構(gòu)的臨界荷載即為壓桿失穩(wěn)時(shí)的荷載221cr1cr22= 22FEIEIFaapp ，受拉力作用時(shí)，桁架中間一根桿受壓，受拉力作用時(shí)，桁架中間一根桿受壓，結(jié)構(gòu)的臨界荷載即為壓桿失穩(wěn)時(shí)的荷載結(jié)構(gòu)的臨界荷載即為壓桿失穩(wěn)時(shí)的荷載222cr2cr22=2( 2 )EIEIFFaapp ，1cr2cr:2 2FFaaABCDF1F1細(xì)長桿組成的正方形桁架，分別受一對(duì)細(xì)長桿組成的正方形桁架，分別受一對(duì)壓力和一對(duì)拉力作用，只考慮壓桿穩(wěn)定壓力和一對(duì)拉力作用，只考慮壓桿穩(wěn)定的情況下，求兩結(jié)構(gòu)臨界荷載的比值。的情況下，求兩結(jié)

9、構(gòu)臨界荷載的比值。aaABCDF2F212F12F1F22F22F2F材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院33一、臨界應(yīng)力一、臨界應(yīng)力歐拉公式的一般形式歐拉公式的一般形式2cr2EIFlmp臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力2crcr2FEIAlAsmpIiA引入慣性半徑引入慣性半徑22222()EiEllimmpp9.4 9.4 歐拉公式的應(yīng)用范圍歐拉公式的應(yīng)用范圍令令lim稱為實(shí)際壓桿的稱為實(shí)際壓桿的柔度柔度（長細(xì)比長細(xì)比） 柔度柔度 集中反映壓桿的長度、約束條件、截面尺寸集中反映壓桿的長度、約束條件、截面尺寸和形狀對(duì)臨界應(yīng)力的影響。和形狀對(duì)臨界應(yīng)力的影響。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工

10、程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院34用臨界應(yīng)力表達(dá)的用臨界應(yīng)力表達(dá)的歐拉公式歐拉公式2cr2Esp同一桿件，失穩(wěn)同一桿件，失穩(wěn)一定發(fā)生在一定發(fā)生在 較較大的縱向平面內(nèi)。大的縱向平面內(nèi)。xyz軸銷軸銷相同面積條件下，臨界應(yīng)相同面積條件下，臨界應(yīng)力力s scr越小，越容易失穩(wěn)。越小，越容易失穩(wěn)。對(duì)應(yīng)于桿在對(duì)應(yīng)于桿在xy平面內(nèi)的平面內(nèi)的(繞繞z)失穩(wěn)，桿端約束相當(dāng)于兩端鉸支。失穩(wěn)，桿端約束相當(dāng)于兩端鉸支。2cr2zEs1zzzzlliim對(duì)應(yīng)于桿在對(duì)應(yīng)于桿在xz平面內(nèi)平面內(nèi)(繞繞y)失穩(wěn)，桿端約束接近于兩端固定。失穩(wěn)，桿端約束接近于兩端固定。2cr2yEs0.5yyyylliim 臨界應(yīng)力值應(yīng)是上列兩種計(jì)

11、算值臨界應(yīng)力值應(yīng)是上列兩種計(jì)算值中的較小者，即中的較小者，即對(duì)應(yīng)較大的柔度計(jì)算對(duì)應(yīng)較大的柔度計(jì)算的臨界應(yīng)力值的臨界應(yīng)力值。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院35因?yàn)閮蓷U面積相同于是因?yàn)閮蓷U面積相同于是 Fcr(a) b s scr(a) s sp 超過壓桿比例超過壓桿比例極限的穩(wěn)定問題極限的穩(wěn)定問題材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院38超過材料比例極限的壓桿穩(wěn)定問題可用經(jīng)驗(yàn)公式處理。超過材料比例極限的壓桿穩(wěn)定問題可用經(jīng)驗(yàn)公式處理。 直線公式直線公式 s scr=ab a、b查表查表Q235鋼鋼a=304MPab=1.12MPasplim中柔度桿中柔度

12、桿 中長桿中長桿 直線經(jīng)驗(yàn)公式須保證應(yīng)力不大于屈服極限直線經(jīng)驗(yàn)公式須保證應(yīng)力不大于屈服極限s sp s scr s ssssalibsmab s sslim s 小柔度桿小柔度桿(短粗桿短粗桿)此時(shí)此時(shí)s scr s ss不屬于壓桿的穩(wěn)定性問題，按抗壓強(qiáng)度處理。不屬于壓桿的穩(wěn)定性問題，按抗壓強(qiáng)度處理。 拋物線拋物線公式公式( (中小柔度桿中小柔度桿) )s scr=a1 b1 2 a1 ，b1 查表，具體請(qǐng)參閱有關(guān)規(guī)范。查表，具體請(qǐng)參閱有關(guān)規(guī)范。 材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院390590.19928.7松松 木木0503.26392硬硬 鋁鋁0555.29980鉻鉻

13、 鉬鉬 鋼鋼601003.74577s ss=353MPas sb510MPa硅硅 鋼鋼601002.57460s ss=306MPas sb=470MPa優(yōu)質(zhì)優(yōu)質(zhì)碳鋼碳鋼61.41001.12304s ss=235MPas sb=372MPaQ235鋼鋼 s pb (MPa)a (MPa)材材 料料一些常用材料的一些常用材料的a、b、 p、 s材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院40柔柔 度：度：影響壓桿承載能力的綜合指標(biāo)，根據(jù)柔度的不同將壓桿分成三類。影響壓桿承載能力的綜合指標(biāo)，根據(jù)柔度的不同將壓桿分成三類。細(xì)長桿細(xì)長桿( p) 發(fā)生彈性失穩(wěn)；發(fā)生彈性失穩(wěn)；中長桿中長桿

14、( s p) 發(fā)生彈塑性失穩(wěn)；發(fā)生彈塑性失穩(wěn)；短粗短粗桿桿( s ) 不發(fā)生失穩(wěn)，而發(fā)生屈服。不發(fā)生失穩(wěn)，而發(fā)生屈服。實(shí)際壓桿柔度（長細(xì)比）實(shí)際壓桿柔度（長細(xì)比）lim三、臨界應(yīng)力總圖三、臨界應(yīng)力總圖中長桿中長桿 細(xì)長桿細(xì)長桿短粗桿短粗桿2cr2Esp2cr11abs臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院41強(qiáng)度強(qiáng)度條件條件0r nsss相當(dāng)應(yīng)力不大相當(dāng)應(yīng)力不大 于許用應(yīng)力于許用應(yīng)力 極限應(yīng)力和安全因數(shù)只與材料有關(guān)，與實(shí)際應(yīng)力極限應(yīng)力和安全因數(shù)只與材料有關(guān)，與實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，即強(qiáng)度許用應(yīng)力為常數(shù)。狀態(tài)無關(guān)，即強(qiáng)度許用應(yīng)力為常數(shù)。9.59.5 9.6

15、9.6 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的穩(wěn)定計(jì)算極限應(yīng)力極限應(yīng)力塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料s0bsss穩(wěn)定穩(wěn)定條件條件0crwststFAnnssss工作應(yīng)力不大于工作應(yīng)力不大于穩(wěn)定許用應(yīng)力。穩(wěn)定許用應(yīng)力。 極限應(yīng)力（臨界應(yīng)力）和穩(wěn)定安全因數(shù)不僅與材料有關(guān)，極限應(yīng)力（臨界應(yīng)力）和穩(wěn)定安全因數(shù)不僅與材料有關(guān)，而且與實(shí)際壓桿的長度、約束條件、橫截面尺寸和形狀有關(guān)，而且與實(shí)際壓桿的長度、約束條件、橫截面尺寸和形狀有關(guān)，即與實(shí)際壓桿的柔度有關(guān)，所以穩(wěn)定許用應(yīng)力不是常數(shù)。即與實(shí)際壓桿的柔度有關(guān)，所以穩(wěn)定許用應(yīng)力不是常數(shù)。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院42穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件crcrsts

16、tFFAnAnss工作安工作安全因數(shù)全因數(shù) crcrstFnnFss規(guī)定的穩(wěn)定規(guī)定的穩(wěn)定 安全因數(shù)安全因數(shù) 工作安全因數(shù)不小于規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)。工作安全因數(shù)不小于規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)。必須由柔度判斷壓桿屬何種性質(zhì)的桿，必須由柔度判斷壓桿屬何種性質(zhì)的桿，用何公式來計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界荷載。用何公式來計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界荷載。注注意意一、安全因數(shù)法一、安全因數(shù)法理想壓桿：材料均勻，軸線筆直，荷載無偏心理想壓桿：材料均勻，軸線筆直，荷載無偏心。實(shí)際壓桿：材料缺陷，軸線初彎，荷載偏心。實(shí)際壓桿：材料缺陷，軸線初彎，荷載偏心。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院432、判斷壓桿屬于何種性

17、質(zhì)的壓桿；、判斷壓桿屬于何種性質(zhì)的壓桿；2plEimsp細(xì)長桿細(xì)長桿2splEimsp中長桿中長桿3、由壓桿性質(zhì)確定受壓桿件臨界應(yīng)力公式；、由壓桿性質(zhì)確定受壓桿件臨界應(yīng)力公式；中長桿經(jīng)驗(yàn)公式中長桿經(jīng)驗(yàn)公式 s scr=ab 工作安工作安全因數(shù)全因數(shù) crcrstNFnnFss規(guī)定的穩(wěn)定規(guī)定的穩(wěn)定 安全因數(shù)安全因數(shù) 4、由下列公式計(jì)算；、由下列公式計(jì)算；NFAs其中其中安全因數(shù)法計(jì)算壓桿穩(wěn)定步驟：安全因數(shù)法計(jì)算壓桿穩(wěn)定步驟：1、計(jì)算受壓桿件的的內(nèi)力、計(jì)算受壓桿件的的內(nèi)力FN；細(xì)長桿細(xì)長桿歐拉公式歐拉公式2cr2()EIFlmp2cr2Esp或或材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程

18、學(xué)院44s scr、nst與壓桿柔度與壓桿柔度 有關(guān)，有關(guān)，sw是的是的 函數(shù)。函數(shù)。s sw=j j s s s s 強(qiáng)度許用應(yīng)力強(qiáng)度許用應(yīng)力 j j 穩(wěn)定（折減）因數(shù)穩(wěn)定（折減）因數(shù) j j 1 與柔度與柔度 有關(guān)有關(guān)crwstFAnsss不必由柔度判斷壓桿屬何種性質(zhì)的桿，只需由柔度確定不必由柔度判斷壓桿屬何種性質(zhì)的桿，只需由柔度確定對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定因數(shù)，按類似強(qiáng)度條件簡(jiǎn)化計(jì)算。對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定因數(shù)，按類似強(qiáng)度條件簡(jiǎn)化計(jì)算。注注意意穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件 FAsj s工作應(yīng)力不大于工作應(yīng)力不大于 穩(wěn)定許用應(yīng)力穩(wěn)定許用應(yīng)力二、穩(wěn)定（折減）因數(shù)法二、穩(wěn)定（折減）因數(shù)法材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)

19、土木工程學(xué)院45min47.261.68cm2 8.367IiA15089.31001.68lim24118.367cm 23.63cmyAI，解：查表得一根角鋼：解：查表得一根角鋼：兩根角鋼圖示組合之后兩根角鋼圖示組合之后 IyIz所以，用經(jīng)驗(yàn)公式求所以，用經(jīng)驗(yàn)公式求臨界壓力。臨界壓力。4min122 23.6347.26cmyyIIIcr3041.12 89.3204MPaabs46crcr2 8.367 10204 10341.4kNFAs cr341.42.28150FnF穩(wěn)定安全穩(wěn)定安全因因數(shù)數(shù)一壓桿長一壓桿長1.5m，由兩根，由兩根 5.6號(hào)（號(hào)（56 56 8） 等邊角鋼組成，兩

20、端鉸支，等邊角鋼組成，兩端鉸支，壓力壓力F=150kN，角鋼為，角鋼為Q235鋼，試用歐拉公式或經(jīng)驗(yàn)公式求臨界壓力鋼，試用歐拉公式或經(jīng)驗(yàn)公式求臨界壓力和穩(wěn)定安全因數(shù)和穩(wěn)定安全因數(shù)n。y1zy材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院46ABQ235鋼制成的矩形截面桿，兩端約束以及所承受的荷載如圖示（鋼制成的矩形截面桿，兩端約束以及所承受的荷載如圖示（為正為正視圖，視圖，為俯視圖），在為俯視圖），在AB兩處為銷釘連接。已知兩處為銷釘連接。已知b=20mm，h=50mm，l=940mm，l1=880mm，F(xiàn)=70kN， s s =200MPa，校核桿件的穩(wěn)定性。，校核桿件的穩(wěn)定性。z

21、byhl1bFFxzhlFFxyxyz解解: 1、計(jì)算柔度、計(jì)算柔度xy面內(nèi)，兩端鉸面內(nèi)，兩端鉸支繞支繞z軸發(fā)生失穩(wěn)，軸發(fā)生失穩(wěn)，計(jì)算簡(jiǎn)圖如下。計(jì)算簡(jiǎn)圖如下。BAlyxFzbyhm m =1194065.114.43zzlim5014.43mm2 32 3zhi 慣性半徑和柔度分別為慣性半徑和柔度分別為材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院47xz面內(nèi)，兩端固定，繞面內(nèi)，兩端固定，繞y軸發(fā)生失穩(wěn)，軸發(fā)生失穩(wěn)，m m =0.5，計(jì)算簡(jiǎn)圖如下。，計(jì)算簡(jiǎn)圖如下。205.77mm2 32 3ybi 0.5 88076.35.77yyliml1FzxBAl1bFFxzxyzzbyh慣性

22、半徑和柔度分別為慣性半徑和柔度分別為比較比較 z=65.1 y=76.3 因?yàn)橐驗(yàn)?z y 所以所以 xz面內(nèi)先失穩(wěn)，即繞面內(nèi)先失穩(wěn)，即繞 y 軸失穩(wěn)軸失穩(wěn) 。 按較大的柔度按較大的柔度 y來確定壓桿的穩(wěn)定因數(shù)來確定壓桿的穩(wěn)定因數(shù)j j。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院482、穩(wěn)定性校核、穩(wěn)定性校核滿足穩(wěn)定性條件！滿足穩(wěn)定性條件！36270 10 N70MPa2050 10mFAsj js s =142MPa由線性插值法求由線性插值法求 y=76.3時(shí)的穩(wěn)定因數(shù)時(shí)的穩(wěn)定因數(shù)j j。0.7140.7070.71476.3767776j0.714 0.3 (0.707 0.

23、714)0.712j材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院491 64800.3zzlim解：解： 最大柔度最大柔度xy面內(nèi)，兩端視為鉸支面內(nèi)，兩端視為鉸支 m mz=12641600.3yylimxz面內(nèi)，一端固支，一端自由面內(nèi)，一端固支，一端自由 m my=2 圖示構(gòu)架起吊重物，圖示構(gòu)架起吊重物，BC為鋼拉索，為鋼拉索， AB 桿為圓松木，長桿為圓松木，長 l = 6m， s s =11MPa，松木直徑，松木直徑d = 0.3m，試試求此松木桿的求此松木桿的許用許用壓力。壓力。xyzOBAWFTC求穩(wěn)定因數(shù)求穩(wěn)定因數(shù)木桿木桿227530003000 1600.117j ，

24、求求許用許用壓力壓力 260.30.117 11 1091kN4ABABFAj sp材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院50210441112.74cm1.52cm,198.3cm25.6cmzyAzII，4122 198.3396.6cmzzII解解：對(duì)于單個(gè)對(duì)于單個(gè)1010號(hào)槽鋼，形心在號(hào)槽鋼，形心在C1 1點(diǎn)。點(diǎn)。兩根槽鋼圖示組合之后，兩根槽鋼圖示組合之后，21102(/2) yyIIA za2198.325.6 12.74(1.52/2)a即即最合理最合理圖示立柱，圖示立柱，l =6m，由兩根，由兩根10號(hào)槽鋼組成，材料為號(hào)槽鋼組成，材料為Q235鋼，鋼，E=200

25、GPa，s sp =200MPa，下端固定，上端為球鉸支座，試問，下端固定，上端為球鉸支座，試問a 多大時(shí)，立柱的臨多大時(shí)，立柱的臨界壓力最大，值為多少？界壓力最大，值為多少？Flz1y1z0yC1az22 25.6 12.74 (1.52/2) aIy=Iz時(shí)，立柱的臨界壓力最大。時(shí)，立柱的臨界壓力最大。求得求得 a=4.32cm材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院51229p6P200 1099.3200 10Espp 222cr22200396.6 10443.8kN()(0.76)EIFlmpp 求臨界求臨界荷載荷載屬于大柔度桿，由歐拉公式求臨界荷載。屬于大柔度桿，

26、由歐拉公式求臨界荷載。p8410.760.76106.5396.6 1022 12.74 10zliIAmFl材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院52 解：解：桿桿221111 1112.542 100801222.5IDdiAlim2cr1cr1cr12400.00682196.3MPa4.32kNFAss1圖示結(jié)構(gòu)，已知圖示結(jié)構(gòu)，已知 E=200GPa， Iz，于是，于是 iyiz對(duì)兩根等邊角鋼的組合截面而言，慣性半徑對(duì)兩根等邊角鋼的組合截面而言，慣性半徑越小，其柔度越大，因此取越小，其柔度越大，因此取 iz=izC=1.94cm。21 21031.94 10CDzzl

27、im材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院57查查Q235b類截面中心受壓直桿對(duì)應(yīng)類截面中心受壓直桿對(duì)應(yīng) =103時(shí)的穩(wěn)定因數(shù)為時(shí)的穩(wěn)定因數(shù)為 j j =0.542。cr 0.542 17092MPasj s立柱的工作應(yīng)力立柱的工作應(yīng)力3Ncr4120 1097.7MPa 2 6.14 10FAss立柱立柱CD的穩(wěn)定性不符合要求。的穩(wěn)定性不符合要求。2mABCq2m2mDz1058ABql材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院58 解：（解：（1）求）求桿的受力桿的受力 F1=3F （2）確定）確定 j j ( ) 1500100( )0.1660 4j ，

28、（3）確定結(jié)構(gòu)的許可荷載）確定結(jié)構(gòu)的許可荷載 F 1113( )FFAAj s圖示結(jié)構(gòu)，圖示結(jié)構(gòu)，桿的直徑桿的直徑d=60mm，許用應(yīng)力許用應(yīng)力s s =160 MPa。試根據(jù)試根據(jù)桿的穩(wěn)定條件確定結(jié)構(gòu)的許可荷載桿的穩(wěn)定條件確定結(jié)構(gòu)的許可荷載 F 。 60708090100)( j j0.44 0.34 0.26 0.200.16Fd 1.5ma2a11 ( ) 3FAj s231600.16 1601024kN34p材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院59解：解：桿許可荷載桿許可荷載正方形截面木制壓桿正方形截面木制壓桿、桿的桿的許用應(yīng)力許用應(yīng)力s s =10MPa，截面的

29、邊，截面的邊長長a=100mm，求，求、桿同時(shí)達(dá)桿同時(shí)達(dá)到穩(wěn)定許用應(yīng)力時(shí)，到穩(wěn)定許用應(yīng)力時(shí)，x與與a的關(guān)系。的關(guān)系。F x 3m 2m a2300080( )j ，22080( )1.020.55100j ，桿許可荷載桿許可荷載1111121 30003000103.9( )0.278 ( )27.7kN103.9100/ 12FAj s j ， 222222200069.32069.2( )1.020.550.58 ( )58kN100100/ 12FAj s j ，利用變形條件利用變形條件 11 111 122 222 227.8 358 2lFl EAFlxlF lEAF la解得：解得

30、： x=0.719a 材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院60解解: :( (1) )求求BC桿的軸力桿的軸力2N103sin30202ABCMqF ；以以AB梁為分離體，對(duì)梁為分離體，對(duì)A點(diǎn)取矩，有：點(diǎn)取矩，有：托架的撐桿為空心管，材料為托架的撐桿為空心管，材料為Q235鋼，鋼，彈性模量彈性模量E=206GPa。管。管外徑外徑D=50mm，內(nèi)徑內(nèi)徑d=40mm，兩端球形鉸支，穩(wěn)定安，兩端球形鉸支，穩(wěn)定安全因數(shù)全因數(shù)nst=3。根據(jù)該桿的穩(wěn)定性要求確根據(jù)該桿的穩(wěn)定性要求確定橫梁上均布荷載集度定橫梁上均布荷載集度q的許可值。的許可值。1m2m300ABCq-截面截面( (2)

31、 )求求BC桿的臨界荷載桿的臨界荷載2222504016mm44Ddi0p321cos30144.316 10limBC為細(xì)長桿，可用歐拉公式計(jì)算臨界力。為細(xì)長桿，可用歐拉公式計(jì)算臨界力。qFBC5 . 4NcrstNBCFnnFcrst69 5.1kN/m4.54.5 3Fqn2crcr269kNEFAAsp材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院61圖示結(jié)構(gòu)，圖示結(jié)構(gòu)，桿為鋼圓桿，直徑桿為鋼圓桿，直徑d1=50mm，強(qiáng)度，強(qiáng)度許用應(yīng)力許用應(yīng)力s s =160MPa，彈性模量彈性模量E=200GPa。 桿為鑄鐵圓桿，直徑桿為鑄鐵圓桿，直徑d2=100mm，許用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)

32、力s sc =160MPa，E=180GPa。若橫梁視為剛性梁，試求。若橫梁視為剛性梁，試求許可荷載許可荷載 F 。F2mA2m2m2m2mBCD解：設(shè)解：設(shè)和和桿的軸力分別為桿的軸力分別為FN1和和FN2。由平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程有由平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程有FN1FN2N1N2246FFFN1N211222F lF lE AE AN2N17.2FF所以：所以：N1N1N2N25.13240.716FFFFF由由桿的強(qiáng)度條件桿的強(qiáng)度條件2N11 160(50)314.2kN4FAspN15.131612kNFF材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院62考慮考慮桿的穩(wěn)定性條件桿

33、的穩(wěn)定性條件2N2c20.26 160(100)326.8kN4FAj sp4 1 200080100lim 鑄鐵對(duì)應(yīng)的鑄鐵對(duì)應(yīng)的j j =0.26。N20.71232kNFF取取 F=232kNF2mA2m2m2m2mBCD材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院63lllABCDF圖示材料相同，彈性模量為圖示材料相同，彈性模量為E的梁的梁AB和立柱和立柱BD，直徑均為，直徑均為d，且有，且有l(wèi)=30d。對(duì)于。對(duì)于BD有有 p=100，穩(wěn)定安全因數(shù)，穩(wěn)定安全因數(shù)nst=3，求結(jié)構(gòu)的許可荷載，求結(jié)構(gòu)的許可荷載F。解：設(shè)立柱的軸力為解：設(shè)立柱的軸力為FN，由靜不定結(jié)構(gòu)的變形，由靜

34、不定結(jié)構(gòu)的變形 協(xié)調(diào)方程有協(xié)調(diào)方程有BBDwl 即即332NN(2 )323FlF lFlFllEIEIEIEA 解得：解得：N516FF立柱柔度立柱柔度p4 1 30120100ldidm 屬于細(xì)長桿屬于細(xì)長桿由穩(wěn)定性條件有由穩(wěn)定性條件有crN3FF即即32crst16554000FEdFnp取取32 54000EdFp材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院64立柱的工作應(yīng)力立柱的工作應(yīng)力340450 10119.7MPa 44 9.397 10FAsj s穩(wěn)定因數(shù)穩(wěn)定因數(shù)119.70.704 170sjs查表得柔度查表得柔度 =77.5慣性半徑慣性半徑1 67.74cm7

35、7.5lim慣性矩慣性矩2220044(2.19) 2CzzaIAiA iIA解得：解得：a=19.1cm兩端鉸支的立柱由兩端鉸支的立柱由4根根80mm80mm6mm的角鋼組成，的角鋼組成，屬于屬于b類截面中心受壓桿件。柱長類截面中心受壓桿件。柱長l=6m，壓力為，壓力為450kN，材料為材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力s s =170MPa。求立柱所。求立柱所需橫截面邊長需橫截面邊長a的尺寸。的尺寸。P330，9-11解：由型鋼表查得單個(gè)角鋼的解：由型鋼表查得單個(gè)角鋼的 A0=9.397cm2，IzC=57.35cm4。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院6

36、5最大荷載為最大荷載為500kN的萬能材料試驗(yàn)機(jī)，做拉伸試驗(yàn)時(shí)兩根立柱受壓，其的萬能材料試驗(yàn)機(jī)，做拉伸試驗(yàn)時(shí)兩根立柱受壓，其失穩(wěn)形式為兩端固定可橫向移動(dòng)。立柱為失穩(wěn)形式為兩端固定可橫向移動(dòng)。立柱為Q235鋼，彈性模量鋼，彈性模量E=210GPa，長長l=2.5m。規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)。規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)nst=4，按穩(wěn)定條件設(shè)計(jì)立柱的直徑，按穩(wěn)定條件設(shè)計(jì)立柱的直徑d。FllFd解：設(shè)立柱為細(xì)長桿，由穩(wěn)定性條件有解：設(shè)立柱為細(xì)長桿，由穩(wěn)定性條件有crst1FnF24cr12250kN642EIdFFIFlpp ，其中其中由此解得由此解得232st1443396464 4 250 102.588.5

37、mm3.14210 10n FldE p取取d=90mm1 2500 411110090lim屬于細(xì)長桿，取直徑為屬于細(xì)長桿，取直徑為90mm。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院66最大荷載為最大荷載為1000kN的萬能材料試驗(yàn)機(jī)，其它條件不變，設(shè)計(jì)立柱直徑。的萬能材料試驗(yàn)機(jī)，其它條件不變，設(shè)計(jì)立柱直徑。現(xiàn)按中長桿計(jì)算：現(xiàn)按中長桿計(jì)算：仍然設(shè)立柱為細(xì)長桿，由穩(wěn)定性條件有仍然設(shè)立柱為細(xì)長桿，由穩(wěn)定性條件有232st1443396464 4 500 102.5105.3mm3.14210 10n FldE p取取d=110mm1 2500 491 100110lim不滿足不滿

38、足細(xì)長桿的條件！細(xì)長桿的條件！取取d=110mm， =91臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力cr304 1.12 91202MPaabs1500kNF 試驗(yàn)機(jī)有兩根立柱，則每根立柱受壓試驗(yàn)機(jī)有兩根立柱，則每根立柱受壓3122644 500 1053MPa3.14 11010Fdsp工作應(yīng)力工作應(yīng)力crst2023.8453nss取取d=115mm， =873122644 500 1048MPa3.14 11510Fdsp工作應(yīng)力工作應(yīng)力臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力cr304 1.12 87207MPaabscrst2074.3448nss滿足要求！滿足要求！材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院67解：設(shè)

39、撐桿為細(xì)長桿。由平衡方程解：設(shè)撐桿為細(xì)長桿。由平衡方程 求得撐桿的內(nèi)力為求得撐桿的內(nèi)力為N0281.5sin303FFF由穩(wěn)定性條件有由穩(wěn)定性條件有crstNFnnF即即244st28(1)643BCEDn Flpp由方程解得由方程解得0.69334.6mmdD取取d=34mm，求撐桿柔度，求撐桿柔度224 1732114.61005034BClim滿足細(xì)長桿的條件！滿足細(xì)長桿的條件！若外徑若外徑D=60mm，其它條件不變，則，其它條件不變，則托架的撐桿兩端為球形鉸，材料為托架的撐桿兩端為球形鉸，材料為Q235鋼，彈性模量鋼，彈性模量E=206GPa。撐桿為空心管，撐桿為空心管，外徑外徑D=5

40、0mm，穩(wěn)定安全因數(shù)，穩(wěn)定安全因數(shù)nst=3，根據(jù)根據(jù)該桿的穩(wěn)定性要求選擇撐桿的內(nèi)徑該桿的穩(wěn)定性要求選擇撐桿的內(nèi)徑d。0.5m1.5m300ABC-截面截面F=20kNdD解得解得0.8953.4mmdD取取d=50mm，求撐桿柔度，求撐桿柔度224 173288.71006050BClim不滿足細(xì)長桿的條件！不滿足細(xì)長桿的條件！材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院68開始假設(shè)撐桿為細(xì)長桿，但經(jīng)過計(jì)算發(fā)開始假設(shè)撐桿為細(xì)長桿，但經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)撐桿不滿足細(xì)長桿的條件，于是按中現(xiàn)撐桿不滿足細(xì)長桿的條件，于是按中長桿重新計(jì)算。長桿重新計(jì)算。0.5m1.5m300ABC-截面截面F=2

41、0kNdD仍取仍取d=50mm，撐桿柔度，撐桿柔度224 173288.76050BClim撐桿屬于中長桿，其臨界應(yīng)力為撐桿屬于中長桿，其臨界應(yīng)力為cr304 1.12 88.7204.7MPaabs撐桿的工作應(yīng)力為撐桿的工作應(yīng)力為3N22226284420 10 N361.8MPa()3.14 (6050 ) 10 mFFADdsp撐桿的工作安全因數(shù)為撐桿的工作安全因數(shù)為crst204.73.361.8nnss滿足穩(wěn)定性條件！滿足穩(wěn)定性條件！材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院69解：截面設(shè)計(jì)通過穩(wěn)定因數(shù)法求解解：截面設(shè)計(jì)通過穩(wěn)定因數(shù)法求解 由式由式 可知可知立柱的橫截面

42、應(yīng)滿足立柱的橫截面應(yīng)滿足 wsjssAFsjFA 上式穩(wěn)定因數(shù)上式穩(wěn)定因數(shù)j j 是與柔度是與柔度 有關(guān)的，而柔度有關(guān)的，而柔度 必須在橫截面已知的情況下才能求出。因此，在必須在橫截面已知的情況下才能求出。因此，在A未知時(shí)，未知時(shí)，j j 也是未知的。于是，需要采用也是未知的。于是，需要采用逐次漸逐次漸進(jìn)法進(jìn)法進(jìn)行試算才能確定橫截面的面積。進(jìn)行試算才能確定橫截面的面積。 圖示一端固定、一端自由的工字鋼立柱，頂部受有軸向壓力圖示一端固定、一端自由的工字鋼立柱，頂部受有軸向壓力F=320kN作作用。立柱長用。立柱長l=1.5m，材料為，材料為Q235鋼，許用應(yīng)力鋼，許用應(yīng)力s s =160MPa。

43、在橫截面。在橫截面C處鉆有直徑處鉆有直徑d =80mm的圓孔。用穩(wěn)定因數(shù)法選擇工字鋼型號(hào)。的圓孔。用穩(wěn)定因數(shù)法選擇工字鋼型號(hào)。lABCFd第一次試算第一次試算 取取j j1 =0.5，于是，于是 21140cm FAj s材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院70查型鋼表得查型鋼表得22a工字鋼橫截面積工字鋼橫截面積A1= 42cm2，最小慣性半徑，最小慣性半徑i1min=2.31cm。于是，其應(yīng)力和柔度分別為于是，其應(yīng)力和柔度分別為 11min76.2MPa130FlAims 由表查得對(duì)應(yīng)于由表查得對(duì)應(yīng)于 =130時(shí)的穩(wěn)定因數(shù)時(shí)的穩(wěn)定因數(shù)j j1=0.387 于是于是 ssjsMPa9 .611w上式表明，上式表明，應(yīng)力大于穩(wěn)定許用應(yīng)力，應(yīng)力大于穩(wěn)定許用應(yīng)力，選選22a工字鋼不能滿足穩(wěn)定性條件的要求。工字鋼不能滿足穩(wěn)定性條件的要求。 lABCFd第二次試算第二次試算 取取444. 0)(211