單位圓與三角函數(shù)線已經(jīng)更新

1、xyo知識(shí)與能力知識(shí)與能力教學(xué)目標(biāo) 單位圓的概念單位圓的概念. . 有向線段的概念有向線段的概念. . 用正弦線、余弦線、正切線表示任意用正弦線、余弦線、正切線表示任意角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值. .教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)重點(diǎn) 正確地用三角函數(shù)線表示任意角的三正確地用三角函數(shù)線表示任意角的三角函數(shù)值角函數(shù)值 難點(diǎn)難點(diǎn) 正確地用與單位圓有關(guān)的三角函數(shù)線正確地用與單位圓有關(guān)的三角函數(shù)線表示三角函數(shù)值表示三角函數(shù)值知識(shí)回顧知識(shí)回顧三角函數(shù)三角函數(shù) 正弦、余弦、正切都是以角為正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函

2、數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。 終邊相同的角的同一三角函數(shù)終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等的值相等.單位圓的概念單位圓的概念 一般地，我們把一般地，我們把半徑為半徑為1的圓的圓叫做叫做單位圓單位圓，設(shè)單位圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，則單位圓與設(shè)單位圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，則單位圓與x軸的交點(diǎn)分別為軸的交點(diǎn)分別為A(1，0)，A(1，0).而與而與y軸的交點(diǎn)分別為軸的交點(diǎn)分別為B(0，1)，B(0，1).假設(shè)假設(shè)是任意一個(gè)角，它的終邊與單位圓是任意一個(gè)角，它的終邊與單位圓交交于點(diǎn)于點(diǎn)P（x,y） ，那么那么（1）y叫做叫做的正弦的正弦（sin ） 記做記做sin =y（2）

3、 x叫做叫做的正弦（的正弦（ cos ） 記做記做cos =x（3） y/x叫做叫做的正弦（的正弦（tan ） 記做記做tan=y/x（x0）三角函數(shù)的坐標(biāo)法定義三角函數(shù)的坐標(biāo)法定義 對(duì)于角對(duì)于角的各種三角函數(shù)我的各種三角函數(shù)我們都是用們都是用比值比值來表示的，或者說來表示的，或者說是用數(shù)來表示的是用數(shù)來表示的 ，那么，我們?cè)?，那么，我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的來學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法另一種表示方法幾何表示法幾何表示法 導(dǎo)入新課觀纜車 觀纜車在運(yùn)動(dòng)過程中座椅離觀纜車在運(yùn)動(dòng)過程中座椅離地面的高度隨著轉(zhuǎn)動(dòng)角度的變化地面的高度隨著轉(zhuǎn)動(dòng)角度的變化而變化，二者之間是怎樣的關(guān)系而變

4、化，二者之間是怎樣的關(guān)系呢？呢？思考思考 在觀覽車輪源面所在的平面內(nèi)，以觀覽車輪中心在觀覽車輪源面所在的平面內(nèi)，以觀覽車輪中心為原點(diǎn)，以水平線為為原點(diǎn)，以水平線為x x軸，以轉(zhuǎn)輪半徑為單位長建立軸，以轉(zhuǎn)輪半徑為單位長建立直角坐標(biāo)系。設(shè)直角坐標(biāo)系。設(shè)p點(diǎn)為轉(zhuǎn)輪邊緣上的一點(diǎn)，他表示座點(diǎn)為轉(zhuǎn)輪邊緣上的一點(diǎn)，他表示座椅的位置，記椅的位置，記xop為為，則由正弦函數(shù)的定義可知，則由正弦函數(shù)的定義可知 MP=sin oMPxy知識(shí)探究（一）：知識(shí)探究（一）：正弦線、余弦線正弦線、余弦線 思考思考1 1：如圖，設(shè)角：如圖，設(shè)角為第一象限角，其為第一象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為終邊與單位圓的交點(diǎn)為P P（x

5、 x，y y），則），則 ， 都是正數(shù)，你能分都是正數(shù)，你能分別用一條線段表示角別用一條線段表示角的正弦值和余弦的正弦值和余弦值嗎？值嗎？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yM|sinMPy|cosOMx思考思考2 2：若角：若角為第三象限角，其終邊為第三象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 ， 都是負(fù)數(shù)，此時(shí)都是負(fù)數(shù)，此時(shí)角角的正弦值和余弦值分別用哪條線的正弦值和余弦值分別用哪條線段表示？段表示？sinycosx|sinMPy|cosOMxP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考思考3 3：為了簡(jiǎn)化上述表示，我們?cè)O(shè)

6、想為了簡(jiǎn)化上述表示，我們?cè)O(shè)想將線段的兩個(gè)端點(diǎn)規(guī)定一個(gè)為始點(diǎn)，另將線段的兩個(gè)端點(diǎn)規(guī)定一個(gè)為始點(diǎn)，另一個(gè)為終點(diǎn)，使得線段具有方向性，帶一個(gè)為終點(diǎn)，使得線段具有方向性，帶有正負(fù)值符號(hào)有正負(fù)值符號(hào). .根據(jù)實(shí)際需要，應(yīng)如何根據(jù)實(shí)際需要，應(yīng)如何規(guī)定線段的正方向和負(fù)方向？規(guī)定線段的正方向和負(fù)方向？規(guī)定：線段從始點(diǎn)到終點(diǎn)與坐標(biāo)軸同向規(guī)定：線段從始點(diǎn)到終點(diǎn)與坐標(biāo)軸同向時(shí)為正方向，反向時(shí)為負(fù)方向時(shí)為正方向，反向時(shí)為負(fù)方向. . 有向線段的概念：有向線段的概念：帶有方向的線段叫有向線段帶有方向的線段叫有向線段 ；有向線段的有向線段的數(shù)值數(shù)值由其長度由其長度大小大小和和方向方向來決定。來決定。 如在數(shù)軸上，如在數(shù)軸

7、上，|OA|=3，|OB|=3OA=3OB=-3思考思考4 4：規(guī)定了始點(diǎn)和終點(diǎn)，帶有方向的線規(guī)定了始點(diǎn)和終點(diǎn)，帶有方向的線段，叫做段，叫做有向線段有向線段. .由上分析可知，當(dāng)角由上分析可知，當(dāng)角為第一、三象限角時(shí)，為第一、三象限角時(shí)，sinsin、coscos可分可分別用有向線段別用有向線段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP= sinMP= sin，OM=cosOM=cos，那么當(dāng)角，那么當(dāng)角為第二、四象限角為第二、四象限角時(shí)，你能檢驗(yàn)這個(gè)表示正確嗎？時(shí)，你能檢驗(yàn)這個(gè)表示正確嗎？ P P（x x，y y）O Ox xy yM MP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考思考5

8、 5：設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的終邊與單位圓的交點(diǎn)為為P P，過點(diǎn)，過點(diǎn)P P作作x x軸的垂線，垂足為軸的垂線，垂足為M M，稱，稱有向線段有向線段MPMP，OMOM分別為角分別為角的的正弦線正弦線和和余弦線余弦線. .當(dāng)角當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，角角的正弦線和余弦線的含義如何？的正弦線和余弦線的含義如何？P PO Ox xy yM MO Ox xy yP PP P思考思考6 6：設(shè)：設(shè)為銳角，你能根據(jù)正弦線和為銳角，你能根據(jù)正弦線和余弦線說明余弦線說明sinsincoscos1 1嗎？嗎？P PO Ox xy yMMPMPOMOMOP=1OP=1知識(shí)探究（二）：知識(shí)

9、探究（二）：正切線正切線 A AT T思考思考1 1：如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角為第一象限角，其為第一象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為終邊與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是正數(shù)，用哪條有向線段表示是正數(shù)，用哪條有向線段表示角角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxAT T思考思考2 2：若角：若角為第四象限角，其終邊為第四象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxP PO Ox xy yM

10、MtanyATxA AT TA AT TP PO Ox xy yM M思考思考3 3：若角若角為第二象限角，其終邊為第二象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxtanyATxtanyx思考思考4 4：若角若角為第三象限角，其終邊為第三象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是正數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角是正數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？P PO Ox xy yM MA AT

11、TA AT TtanyATx思考思考5 5：根據(jù)上述分析，你能描述正切線根據(jù)上述分析，你能描述正切線的幾何特征嗎？的幾何特征嗎？過點(diǎn)過點(diǎn)A A（1 1，0 0）作單位圓的切線，與角）作單位圓的切線，與角的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T T，則，則AT=tan.AT=tan.A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P思考思考6 6：當(dāng)角：當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，角的正切線的含義如何？的正切線的含義如何？O Ox xy yP PP P當(dāng)角當(dāng)角的終邊在的終邊在x x軸上時(shí)，角軸上時(shí)，角的正切線的正切線是一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)角是一個(gè)點(diǎn)

12、；當(dāng)角的終邊在的終邊在y y軸上時(shí)，角軸上時(shí)，角的正切線不存在的正切線不存在. .思考思考7 7：對(duì)于不等式對(duì)于不等式（其中（其中為銳角），你能用數(shù)形結(jié)合為銳角），你能用數(shù)形結(jié)合思想證明嗎？思想證明嗎？si ntanaaaP PO Ox xy yM MA AT T思考：思考： 已知已知(0(0， ) )，試證明，試證明sintan . .2證明：證明：sin=|ON|=|MP|, = =APtan=|AT|.又又OATOAPSS扇形所以所以1122OAOA AT即即sintan .角角的終邊在四個(gè)象限的情況的終邊在四個(gè)象限的情況 當(dāng)角當(dāng)角的終邊在的終邊在x軸上時(shí)，點(diǎn)軸上時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)與點(diǎn)M重合，

13、點(diǎn)重合，點(diǎn)T T與點(diǎn)與點(diǎn)A A重合，此時(shí)，重合，此時(shí)，正弦線和正弦線和正切線都成了一點(diǎn)正切線都成了一點(diǎn)，他們的數(shù)量為零，他們的數(shù)量為零，而而余弦線余弦線OM=1=1或或-1-1. . 當(dāng)角當(dāng)角的終邊在的終邊在y y軸上時(shí)，軸上時(shí)，正弦線正弦線MP=1=1或或-1-1，余弦線變成了一點(diǎn)余弦線變成了一點(diǎn)，它表，它表示的數(shù)量為零，示的數(shù)量為零，正切線不存在正切線不存在。知識(shí)小結(jié)：有向線段與三角函數(shù)線知識(shí)小結(jié)：有向線段與三角函數(shù)線（1）有向線段：帶有_的線段。（2）三角函數(shù)線：如圖，已知角的終邊的位置，則由三角函數(shù)的定義可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為_，點(diǎn)T的坐標(biāo)為_.其中sin=_,cos=_,tan=_.把有向

14、線段MP、OM、AT叫做的正弦線、余弦線和正切線N1B(0,-1)B(0,1)A(-1,0)A(1,0) MPyxOT例例1.1.分別做出分別做出2/3和和- -3/4的正弦線、余弦線和正的正弦線、余弦線和正切線。切線。解：在執(zhí)教坐標(biāo)系中作單位圓如圖所示，一解：在執(zhí)教坐標(biāo)系中作單位圓如圖所示，一ox軸正方向?yàn)槭歼呑鬏S正方向?yàn)槭歼呑?/3的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于P點(diǎn)，作點(diǎn)，作PMOX軸，垂足為軸，垂足為M,M,由單位圓與由單位圓與ox正方向的交點(diǎn)正方向的交點(diǎn)S作作ox軸的垂線與軸的垂線與OP的反延長的反延長線交于線交于T T點(diǎn)，則點(diǎn)，則sin 2/3=MP COS 2/3=OM ta

15、n 2/3=ATAMxyMoTTPP課堂互動(dòng)作三角函數(shù)線作三角函數(shù)線 即即2/3的正弦線為的正弦線為MP 、余弦線為余弦線為OM 、正切線正切線AT。 同理可以作出同理可以作出-3/4的的正弦線正弦線、余弦余弦線線和和正切線正切線。sin -3/4 =MP COS -3/4 =OM tan -3/4 =AT 即即-3/4的正弦線為的正弦線為MP余弦線余弦線為為 OM 正切線為正切線為 AT AMxyMoTTPP利用三角函數(shù)線確定角的終邊利用三角函數(shù)線確定角的終邊課堂互動(dòng)例例2.在單位圓中畫出滿足下列條件的角的終邊（1）2tan)3( ,21cos)2( ,21sin2tan) 3( ,21co

16、s)2( ,21sin) 1 (OyxOyxOyxATMPM1P1MPA1T1練習(xí)練習(xí)1 1：已知：已知sinx=0.5，求角，求角x的大小的大小.(.(0 x0.5，求角，求角x的范圍的范圍. .練習(xí)練習(xí)2 2：根據(jù)下列三角函數(shù)值，求作角：根據(jù)下列三角函數(shù)值，求作角a a的終的終邊，然后求角的取值集合邊，然后求角的取值集合 (2) cos=1/2 (3) tan=1 （1 1）因?yàn)椋┮驗(yàn)镺M=1/2，則在，則在x x軸上取點(diǎn)軸上取點(diǎn)(1/2，0)，過該點(diǎn)作過該點(diǎn)作x軸的垂線，交單位圓于軸的垂線，交單位圓于P1，P2兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，OP1，OP2是所求角是所求角的終邊，的終邊，的取值集合為的取值集

17、合為=2k/3,kZ. . （2 2）在單位圓過點(diǎn)）在單位圓過點(diǎn)A(1，0)的切線上取的切線上取AT=-1-1連續(xù)連續(xù)OT，OT所在直線與單位圓交于所在直線與單位圓交于P P1 1，P P2 2兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，OP1、OP2是角是角a a的終邊，則角的終邊，則角a a的取值的取值集合是集合是=2k+3/4, ,或或=2k+7/4,kZ=k3/4，kZ 利用三角函數(shù)線解三角不等式利用三角函數(shù)線解三角不等式例3.在單位圓中畫出適合下列條件的角終邊的范圍，并寫出角的集合。21cos)2( ,23sin) 1 (課堂互動(dòng)21cos)2(,23sin)1(Oyx2323Oyx2121ZkkkZkkk,234

18、232,23223的定義域變式：求函數(shù)3sin2yxZkkxkx,232232323由三角函數(shù)線，得即只需有意義，解：要使,23sin, 03sin23sin2xxxOyx2323例例4.確定下式的符號(hào)確定下式的符號(hào)解：解： 由三角函數(shù)線得由三角函數(shù)線得利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小1cos1sin yxOMP41因?yàn)?1cos1sin課堂互動(dòng)練習(xí)：比較大?。壕毩?xí)：比較大?。?1) sin1和和sin1.5; (2) cos1和和cos1.5; (3) tan2和和tan3.解：由三角函數(shù)線得解：由三角函數(shù)線得sin1cos1.5課堂互動(dòng)tan2tan3例例5.5.利用三角函數(shù)線證明利用三角函數(shù)線證明|sin|sin|+|cos|+|cos|1.|1.證明：在證明：在OMP中，中，OP=1，OM=|cos|, MP=ON=|sin|，因?yàn)槿切蝺蛇呏痛笠驗(yàn)槿切蝺蛇呏痛笥诘谌?，所以于第三邊，所以|sin|+|cos|1。利用三角函數(shù)線證明有關(guān)不等式練習(xí)練習(xí)：利用三角函數(shù)線證明有關(guān)不等式0,sinsin.設(shè)求證：自測(cè)自