復變函數第一1單元復數及復變函數

1、1CH1 復數及復變函數復數及復變函數 1 1、復數及其代數運算復數及其代數運算 2 2、復數的表示方法復數的表示方法 3 3、復數的乘冪與方根復數的乘冪與方根 4 4、區(qū)域區(qū)域 5 5、復變函數復變函數 6 6、復變函數的極限與連續(xù)性復變函數的極限與連續(xù)性2 2009, Henan Polytechnic University2& 1. 1. 復數的概念復數的概念 1 1復數及其代數運算復數及其代數運算& 3. 3. 共軛復數共軛復數& 2. 2. 代數運算代數運算3 2009, Henan Polytechnic University3A 一般任意兩個復數不能比較大

2、小一般任意兩個復數不能比較大小. .1. 復數的概念復數的概念 定義定義 對任意兩實數對任意兩實數x、y ,稱稱 z=x+iy或或z=x+yi為復數為復數.,1 2稱為虛單位稱為虛單位其中其中ii 復數復數z 的實部的實部 Re(z) = x ; 虛部虛部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)0)Im()Re(0,222111212121 zzziyxziyxzyyxxzz其中其中 判斷復數相等判斷復數相等4 2009, Henan Polytechnic University4定義定義 z1=x1+iy1與與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：的

3、和、差、積和商為： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyxxzzz2. 代數運算代數運算四則運算定義四則運算定義5 2009, Henan Polytechnic University5z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .運算規(guī)律運算規(guī)律復數的運算滿足交換律、結合律、分配律復數的運算滿足交換律、結合律、分配律.（與

4、實數相同與實數相同）即：）即：6 2009, Henan Polytechnic University6共軛復數的性質共軛復數的性質2121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222ImRe)3(yxzzzz ）（）（)Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 3.共軛運算共軛運算定義定義 若若z=x+iy , 稱稱 z=x-iy 為為z 的共軛復數的共軛復數.(conjugate)7 2009, Henan Polytechnic University7.,)( ,43,55212121虛部虛部及它們的實部及它們的實部求求設設zzzzi

5、ziz 574355:21 iiizz解解例例1 1)(.,0 :0111現現實實多多項項式式的的零零點點成成對對出出也也是是其其根根則則的的根根是是實實系系數數方方程程若若證證明明zaxaxaxaznn-nn 例例28 2009, Henan Polytechnic University8& 1. 1. 代數形式代數形式 2 2 復數的表示方法復數的表示方法3 3 復數的乘冪與方根復數的乘冪與方根& 4. 4. 指數形式指數形式& 3. 3. 三角形式三角形式& 2. 2. 幾何形式幾何形式9 2009, Henan Polytechnic Universit

6、y91. 代數形式（點表示）代數形式（點表示）),(yxiyxz一一對對有有序序實實數數易易見見， ),(),(),(yxPiyxzyxyxP平平面面上上的的點點一一對對有有序序實實數數任任意意點點系系，則則在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐標標 此此時時，表表示示的的點點，可可用用平平面面上上坐坐標標為為復復數數.)(Pyxiyxz 平平面面復復平平面面或或平平面面虛虛軸軸軸軸實實軸軸軸軸zyx)(yxPiyxz，復復平平面面上上的的點點 點的表示：點的表示：A 數數z與點與點z同義同義. .10 2009, Henan Polytechnic University10.,)(iyxzOP

7、yxOPyxPiyxz 表表示示可可用用向向量量，點點2. 幾何形式（向量表示）幾何形式（向量表示）zyxrOPzArg:,|22記記作作輻輻角角模模： oxy(z)P(x,y)rz xy 稱向量的長度為復數稱向量的長度為復數z=x+iy的的模模或或絕對值絕對值；以正實軸以正實軸 為始邊為始邊, 以以 為終邊的角的為終邊的角的弧度數弧度數 稱為復數稱為復數z=x+iy的的輻角輻角.(z0時時)OP向向量量xyzz/)Argtan(0 時，時，11 2009, Henan Polytechnic University11輻角無窮多：輻角無窮多：Arg z=0+2k， kZ， 0把其中滿足把其中滿

8、足 的的0稱為輻角稱為輻角Argz的主值，的主值，記作記作0=argz.A z=0=0時，輻角不確定（不定義）時，輻角不確定（不定義） 0, 00, 0arctan0, 02, 0arctanargyxyxxyyxRyxxyz 計算計算argz(z0) 的公式的公式12 2009, Henan Polytechnic University12A 當當z落于一落于一, ,四象限時，不變四象限時，不變. . A 當當z落于第二象限時，加落于第二象限時，加 . . A 當當z落于第三象限時，減落于第三象限時，減 . . 2arctan2 xy 13 2009, Henan Polytechnic U

9、niversity13oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzzz 三三角角不不等等式式由由此此得得由向量表示法知由向量表示法知之間的距離之間的距離與與點點2112zzzz 14 2009, Henan Polytechnic University143. 3. 三角形式三角形式)sin(cos irz 得得由由 sincosryrx 乘積與商乘積與商設設 z1=r1(cos1+isin1)，z2=r2(cos2+isin2) 則則 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2) = r1r2cos (1+2)+isin(1+2)因

10、此因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2)sincoscos(sinsinsincoscos2121212121 irr15 2009, Henan Polytechnic University15幾何意義：幾何意義： 將復數將復數z1按按逆時針逆時針方向旋轉一個角度方向旋轉一個角度 Argz2，再將其伸縮到再將其伸縮到|z2|倍倍.1 oxy(z)1z2 z1z22 z2A 定理定理1 1可推廣到可推廣到n 個復數的乘積個復數的乘積. .16 2009, Henan Polytechnic University16設設z=r(cos +isin ) ，由復數

11、的乘法定理和數學歸納法，由復數的乘法定理和數學歸納法可證明可證明 zn=rn(cos n+isin n). innnerz 由由定定義義得得復數的復數的乘冪乘冪定義定義 n個相同的復數個相同的復數z 的乘積，稱為的乘積，稱為z 的的n次冪，次冪， 記作記作z n，即，即z n=z z z（共（共n個）個）.1nnzz 定義定義特別：當特別：當|z|=1時，即：時，即：zn=cosn+isin n，則有，則有 (cos+isin)n=cosn+isinn -棣模佛棣模佛(De Moivre)公式公式.17 2009, Henan Polytechnic University17問題問題 給定復數

12、給定復數z，求所有的滿足，求所有的滿足n=z 的復數的復數.nz 記記,),sin(coszin 由由設設)sin(cos)sin(cos irninn 有有)(2,Zkknrn 復數的復數的方根方根（開方）乘方的逆運算（開方）乘方的逆運算 當當z0時，有時，有n個不同的個不同的值與值與 相對應，每一相對應，每一個這樣的個這樣的值都稱為值都稱為z 的的n次方根，次方根，nznkinnerz 2 )2sin2(cosnkinkrn )1, 2 , 1 , 0( nk18 2009, Henan Polytechnic University18A 當當k=0=0，1 1，n-1-1時，可得時，可得

13、n個不同的根，個不同的根， 而而k取其它整數時，這些根又會重復出現取其它整數時，這些根又會重復出現. .幾何上幾何上， 的的n個值是個值是以原點為中心，以原點為中心， 為半為半徑的圓周上徑的圓周上n個等分點，個等分點，即它們是內接于該圓周即它們是內接于該圓周的正的正n邊形的邊形的n個頂點個頂點.nznr（見見圖圖）如如)3 , 2 , 1 , 0()424sin424(cos2184 kkikik xyo0 1 2 3 822i 119 2009, Henan Polytechnic University194. 指數表示法指數表示法）結合得）結合得公式（公式（將三角形式與將三角形式與 sin

14、cosieEuleri irez 模一個輻角20 2009, Henan Polytechnic University20注意：注意： 復數的各種表示法可以相互轉化復數的各種表示法可以相互轉化,以適應以適應 不同問題的需要不同問題的需要.13(1)1(2) (3)3(4)2,.iii ） 求（的模 輻角及輻角主值例例1.,)3(3)2()1(22輻角輻角的模的模求求 eeeii例例2.5cos5sin式式化化為為三三角角形形式式與與指指數數形形將將 iz 例例321 2009, Henan Polytechnic University21).2 , 1 , 0( ,320sin320cos13

15、 kkik 0sin0cos1:i 解解.2321,2321, 1210ii 即即31求求例例422 2009, Henan Polytechnic University22此外引進復數的幾何表示，可將平面圖形用復數方程此外引進復數的幾何表示，可將平面圖形用復數方程（或不等式）表示；反之，也可由給定的復數方（或不等式）表示；反之，也可由給定的復數方程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形.例例5 5 用復數方程表示用復數方程表示:（1）過兩點）過兩點 zj=xj+iyj (j=1,2)的直線；的直線；（2）中心在點）中心在點(0, -1), 半徑為半徑為2的

16、圓的圓.oxy(z)Lz1z2z解解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t 0為半徑的為半徑的圓圓 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0, 對任意對任意 z D, 均有均有zG=z | |z|R，則，則D是有界是有界區(qū)域區(qū)域；否則無界；否則無界.閉區(qū)域閉區(qū)域 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構成閉區(qū)域與它的邊界一起構成閉區(qū)域,.D記記為為.,00為為半半徑徑的的圓圓內內所所有有的的點點以以為為圓圓點點表表示示以以rzrzz 30 2009, Henan Polytechnic University30.軸的直線軸和表示分 別ImRexyz,z平行于.,.,1020201幾個點幾個

17、點只是邊界增加了一個或只是邊界增加了一個或它仍然是區(qū)域它仍然是區(qū)域幾個點幾個點如果在其中去掉一個或如果在其中去掉一個或組成組成它的邊界由兩個圓周它的邊界由兩個圓周而且是有界的而且是有界的表示一個圓環(huán)表示一個圓環(huán)rzzrzzrzzr .0Im,0Re表表示示下下半半復復平平面面表表示示右右半半復復平平面面 zz31 2009, Henan Polytechnic University312. 簡單曲線（或簡單曲線（或Jardan曲線曲線),)()(),()()(baCtytxbtatyytxx 、實實變變函函數數表表示示為為：平平面面上上一一條條連連續(xù)續(xù)曲曲線線可可令令z(t)=x(t)+iy(

18、t) atb ;則曲線方程可記為：則曲線方程可記為：z=z(t)， atb.0)( )( ,)( )( 22則則稱稱該該曲曲線線為為光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限條光滑曲線相連接構成一條分段光滑曲線有限條光滑曲線相連接構成一條分段光滑曲線.32 2009, Henan Polytechnic University32重點重點 設連續(xù)曲線設連續(xù)曲線C：z=z(t)，atb，對于對于t1(a，b), t2 a, b,當當t1t2時，若時，若z(t1)=z(t2)，稱稱z(t1)為曲線為曲線C的重點的重點. 定義定義 稱稱沒有重點沒有重點的連續(xù)曲線的連續(xù)曲線C為簡單曲線或為簡單曲

19、線或 Jardan曲線曲線;若簡單曲線若簡單曲線C 滿足滿足z(a)=z(b)時，則稱時，則稱此曲線此曲線C是簡單是簡單閉閉曲線或曲線或Jordan閉閉曲線曲線 . z(a)=z(b)簡單閉曲線簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線不是簡單閉曲線33 2009, Henan Polytechnic University33簡單閉曲線的性質簡單閉曲線的性質 任一條簡單閉曲線任一條簡單閉曲線 C：z=z(t)， ta，b，把復，把復平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為界區(qū)域，稱為C的內部；一個是無界區(qū)域，稱為的內部；一個是無界區(qū)域

20、，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界的外部；還有一個是它們的公共邊界.z(a)=z(b)內部內部外部外部邊界邊界34 2009, Henan Polytechnic University343. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域定義定義 復平面上的一個區(qū)域復平面上的一個區(qū)域 B ，如果如果B內的任何簡單閉曲線的內的任何簡單閉曲線的內部總在內部總在B內內，就稱，就稱 B為單連通為單連通域；非單連通域稱為多連通域域；非單連通域稱為多連通域.多連通域多連通域單連通域單連通域35 2009, Henan Polytechnic University35例如例如 |z|0）是單連通的；）是單連通

21、的； 0r|z|R是多連通的是多連通的.單連通域單連通域多連通域多連通域單連通域單連通域36 2009, Henan Polytechnic University365 5 復變函數復變函數& 3. 3. 反函數或逆映射反函數或逆映射& 2. 2. 映射的概念映射的概念& 1. 1. 復變函數的定義復變函數的定義37 2009, Henan Polytechnic University371. 1. 復變函數的定義復變函數的定義與實變函數定義相類似與實變函數定義相類似定義定義).(, zfwzwivuwGzfiyxzG 記記作作）的的函函數數（簡簡稱稱復復變變函函數數是

22、是復復變變數數則則稱稱復復變變數數與與之之對對應應就就有有一一個個或或幾幾個個使使得得存存在在法法則則的的非非空空集集合合是是一一個個復復數數設設A 是是多多值值函函數數. .值值，稱稱多多個個是是單單值值函函數數; ;值值，稱稱一一個個若若)( )(zfwzzfwz.論的函數均為單值函數論的函數均為單值函數今后無特別聲明，所討今后無特別聲明，所討38 2009, Henan Polytechnic University38面面區(qū)區(qū)域域（定定義義域域）的的定定義義集集合合，常常常常是是平平)(zfG函函數數值值集集合合,)(*GzzfwwG ),(),( )()(),();,(yxivyxui

23、yxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw 39 2009, Henan Polytechnic University39xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222 則則令令例例1xyvyxuzw2222 例例2 22221111)(yxiyyxxzf若已知若已知.)(的的函函數數表表示示成成將將zzfzzzf1)( )(21),(21,zziyzzxiyxz 則則設設40 2009, Henan Polytechnic University40 2. 映射的概念映射的概念復變函數的幾何意義復變函數的

24、幾何意義).() (*)(變換變換平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGzzfw .)(的的原原象象稱稱為為，而而映映象象的的象象點點為為稱稱wzzw 定義域定義域函數值集合函數值集合在幾何上，在幾何上， w=f(z)可以看作：可以看作：oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)zw=f(z)w41 2009, Henan Polytechnic University41A 以下不再區(qū)分函數與映射（變換）以下不再區(qū)分函數與映射（變換）. .A 在復變函數中用兩個復平面上點集之間的在復變函數中用兩個復平面上點集之間的 對應關系來表達兩對變量對應關系來表達兩對變量 u，v 與與 x，y 之間

25、的對應關系，以便在研究和理解復變之間的對應關系，以便在研究和理解復變 函數問題時，可借助于幾何直觀函數問題時，可借助于幾何直觀. .復變函數的幾何意義是一個映射（變換）復變函數的幾何意義是一個映射（變換）42 2009, Henan Polytechnic University42oxy(z)x、uy、v(z)、(w)o 圖圖1-1圖圖1-2圖圖2x、uy、v(z)、(w)ouv(w)o43 2009, Henan Polytechnic University43ouv(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw .2所所構構成成的的映映射

26、射研研究究zw 例例3oxy(z)44 2009, Henan Polytechnic University44 3. 反函數或逆映射反函數或逆映射例例 設設 z=w2 則稱則稱 為為z=w2的反函數或逆映射的反函數或逆映射zw )1 , 0(22 kezzwik 為多值函數為多值函數,2支支.定義定義 設設 w =f (z) 的定義集合為的定義集合為G,函數值集合為函數值集合為G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或幾幾個個一一個個則稱則稱z=(w)為為w=f(z)的反函數（的反函數（逆映射逆映射）.GzzfzGwwfw)()(*當反函數單值時顯然有)(zfz 一般一般45

27、 2009, Henan Polytechnic University45.)()()()()()(是是一一一一對對應應的的與與集集合合也也稱稱集集合合是是一一一一的的映映射射都都是是單單值值的的，則則稱稱函函數數逆逆映映射射和和其其反反函函數數映映射射當當函函數數 GGzfwwzzfw 例例5?1:,1 22平平面面上上怎怎樣樣的的曲曲線線映映射射成成被被平平面面上上的的曲曲線線判判斷斷已已知知映映射射wyxzzw 例例4 已知映射已知映射w= z3 ，求區(qū)域，求區(qū)域 0argz 在平面在平面w上的象上的象.3 46 2009, Henan Polytechnic University466

28、 6 復變函數的極限與連續(xù)性復變函數的極限與連續(xù)性& 1. 1. 函數的極限函數的極限& 3.3.函數的連續(xù)性函數的連續(xù)性& 2. 2. 運算性質運算性質47 2009, Henan Polytechnic University471. 函數的極限函數的極限AzfzzAzfzzzfAAzfzzAzUzzfwzz )()(lim)(,)(,0, 0),(),( 000)000時時，或或當當時時的的極極限限，記記作作當當為為則則稱稱有有時時當當）（，若若存存在在數數設設（定義定義uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 幾何意義幾何意義: 當變點當變點z一旦進一旦進入入

29、z0 的充分小去的充分小去心鄰域時心鄰域時,它的象它的象點點f(z)就落入就落入A的的一個預先給定的一個預先給定的鄰域中鄰域中48 2009, Henan Polytechnic University48A (1)(1) 意義中意義中 的方式是任意的的方式是任意的. . 與一元實變函數相比較要求更高與一元實變函數相比較要求更高. .0zz (2) A是復數是復數. .(3) 若若f(z)在在 處有極限處有極限,其極限其極限是唯一的是唯一的. .0z49 2009, Henan Polytechnic University49 2. 運算性質運算性質復變函數極限與其實部和虛部極限的關系：復變函數

30、極限與其實部和虛部極限的關系：000 ),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 設設定理定理10),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz 則則50 2009, Henan Polytechnic University50 BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim0000000000

31、00則則若若定理定理2A 以上定理用極限定義證以上定理用極限定義證! !51 2009, Henan Polytechnic University51例例1.)(22在在平平面面上上處處處處有有極極限限證證明明yxiyxw 例例2.0)(時時的的極極限限在在求求 zzzzzzf例例3.0Re)(時時的的極極限限不不存存在在在在證證明明 zzzzf在在平平面面上上處處處處有有極極限限22,yxyx .)0 , 0()(2)(2222處處極極限限不不存存在在在在yxyxzf 52 2009, Henan Polytechnic University523.函數的連續(xù)性函數的連續(xù)性定義定義.)()(

32、)(lim,;)(;)()()(lim0000000處處連連續(xù)續(xù)上上點點在在曲曲線線，則則稱稱且且、若若內內連連續(xù)續(xù)在在內內處處處處連連續(xù)續(xù)，則則稱稱若若在在區(qū)區(qū)域域處處連連續(xù)續(xù)在在，則則稱稱若若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz .),(),(lim),(),(lim),(),()(00),(),(00),(),(0000000yxvyxvyxuyxuiyxzyxivyxuzfyxyxyxyx 處處連連續(xù)續(xù)在在設設定理定理353 2009, Henan Polytechnic University53例例4 證明證明f (z)=arg z 在原點及負實軸上不連續(xù)在原點及負實

33、軸上不連續(xù). argarglim arglim)0)(0 ,( )2(00上上不不連連續(xù)續(xù)在在負負實實軸軸在在負負實實軸軸上上zzzxxPyy . arg)()1(故故不不連連續(xù)續(xù)在在原原點點沒沒有有定定義義，zzf 證明證明xy(z)ozz)0 ,(xP 54 2009, Henan Polytechnic University54 定理定理4 連續(xù)函數的和、差、積、商連續(xù)函數的和、差、積、商 (分母不為分母不為0) 仍為連續(xù)函數仍為連續(xù)函數; 連續(xù)函數的復合函數仍為連續(xù)函數連續(xù)函數的復合函數仍為連續(xù)函數.0)()()()(10點點外外處處處處連連續(xù)續(xù)在在復復平平面面內內除除分分母母為為的的；在在整整個個復復平平面面內內是是連連續(xù)續(xù)由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn