三角恒等變換技巧

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三角恒等變換技巧三角恒等變換不但在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明三角恒等式中經(jīng)常用到，而且由于通過三角換元可將某些代數(shù)問題化歸為三角問題；立體幾何中的諸多位置關(guān)系以其交角來刻畫，最后又以三角問題反映出來；由于參數(shù)方程的建立，又可將解析幾何中的曲線問題歸結(jié)為三角問題因此，三角恒等變換在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中涉及面廣是常見的解題“工具”而且由于三角公式眾多方法靈活多變，若能熟練地掌握三角恒等變換，不但能增強(qiáng)對(duì)三角公式的記憶，加深對(duì)諸多公式內(nèi)在聯(lián)系的理解，而且對(duì)發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，提高數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力都大有裨益 ·一、 切割化弦“切割化弦”就是把三角函數(shù)中的正切、

2、余切、正割、余割都化為正弦和余弦，以有利于問題的解決或發(fā)現(xiàn)解題途徑其實(shí)質(zhì)是”歸一”思想【例1】 證明：證明：左邊 右邊左邊右邊原等式得證點(diǎn)評(píng)“切割化弦”是將正切、余切、正割、余割函數(shù)均用正弦、余弦函數(shù)表示，這是一種常用的、有效的解題方法當(dāng)涉及多種名稱的函數(shù)時(shí)，常用此法減少函數(shù)的種類【例2】 已知同時(shí)滿足，且均不為零，試求“”b 的關(guān)系解：顯然，由×+×得：，即又，代入得點(diǎn)評(píng) 本例是化弦在解有關(guān)問題時(shí)的具體運(yùn)用，其中正割與余弦、余割與正弦之間的倒數(shù)關(guān)系是化弦的通徑【例3】 化簡(jiǎn)解：原式= 點(diǎn)評(píng) 這里除用到化切為弦外，其他化異角函數(shù)為同角函數(shù)等也是常用技巧二、 角的拆變?cè)谌呛?/p>

3、等變換中經(jīng)常需要轉(zhuǎn)化角的關(guān)系，在解題過程中必須認(rèn)真觀察和分析結(jié)論中是哪個(gè)角，條件中有沒有這些角，哪些角發(fā)生了變化等等因此角的拆變技巧，倍角與半角的相對(duì)性等都十分重要，應(yīng)用也相當(dāng)廣泛且非常靈活常見的拆變方法有：可變?yōu)?；可變?yōu)椋豢勺優(yōu)?；可視為的倍角；可視為的半角等等【?】（2005年全國(guó)卷）設(shè)為第四象限角，若，則_.解： 又為第四象限角 點(diǎn)評(píng)這里將寫成，將寫成是解題的切人點(diǎn)根據(jù)三角表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，尋求它與三角公式間的相互關(guān)系是解題的關(guān)鍵【例5】已知銳角、滿足，求的最大值及的值。解：又又，等式兩邊同除以得：，即在上是增函數(shù)，故的最大值是，此時(shí)點(diǎn)評(píng) 已知條件中有和，而待求式中只有，因此可將拆變成已

4、知條件中出現(xiàn)的角即這種常用的拆變技巧要注意掌握【例6】已知，試求解：，由點(diǎn)評(píng) 研究已知角與待求式之間角的關(guān)系，以確定角的拆變的操作方式是解題的出發(fā)點(diǎn)，此即“變角”技巧的由來【例7】求的值解：設(shè)，則=0點(diǎn)評(píng) 這里選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)慕菫椤盎玖俊?，將其余的角變成某特殊角與這個(gè)“基本量”的和差關(guān)系，這也是角的拆變技巧之一三、“ 1 ”的代換在三角函數(shù)中，" 1 ”可以變換為 ，等等，根據(jù)解題的需要，適時(shí)地將“ 1 ”作某種變形，常能獲得較理想的解題方法【例8】求的最小值解：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)。故所求最小值為 9 .【例9】（ 2004 年全國(guó)卷）求函數(shù)最小正周期、最大值和最小值解：所以函數(shù)的最

5、小正周期是，最大值是，最小值是【例10】化簡(jiǎn)解：原式=點(diǎn)評(píng)“1=”的正用、逆用在三角變換中應(yīng)用十分廣泛，要靈活掌握除此以外，還經(jīng)常用到： 1 =靈活運(yùn)用這些等式，可使許多三角函數(shù)問題得到簡(jiǎn)化【例11】已知，求的值解：點(diǎn)評(píng)這里是 1=tan的運(yùn)用若直接從已知式中求出tan，再用萬能公式，雖然思路很直觀，但卻導(dǎo)致較復(fù)雜的運(yùn)算四、變通公式對(duì)于每一個(gè)三角公式，教材中僅給出其基本形式，但我們?nèi)羰煜て渌兺ㄐ问匠？梢蚤_拓解題思路例如，由可變通為與、由，可變通為【例12】（2002·北京春·）在ABC中，已知三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，求的值解：三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且A+B+C=

6、，A+C=120由兩角和的正切公式：點(diǎn)評(píng) 本例是正切公式變形的運(yùn)用，在歷年高考題中，曾多次出現(xiàn)兩角和與差的正切公式的變形運(yùn)用，讀者要仔細(xì)體會(huì)【例13】已知，求的值解：點(diǎn)評(píng) 若三角函數(shù)式中同時(shí)出現(xiàn)，?？捎谩纠?4】證明：證明 由同理：+2×+4×整理得：【例15】證明：證明 左邊= =右邊點(diǎn)評(píng) 應(yīng)用倍角公式的變形公式來處理三角函數(shù)式的積的問題常常是一種很巧妙的解題方法五、升冪與降次分析題目的結(jié)構(gòu)，掌握結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，通過升冪、降次等手段，為使用公式創(chuàng)造條件，這也是三角變換的重要技巧利用余弦的倍角公式可知，這樣可以用倍、半角公式來升冪（從右到左）和降次（從左到右）【例16】 .已知

7、，求解： 由得原式=點(diǎn)評(píng) 遇平方可用“降次”公式，這是常用的解題策略本題中首先化異角為同角，消除角的差異，然后化簡(jiǎn)求值關(guān)于積化和差、和差化積公式，教材中是以習(xí)題形式給出的，望引起重視【例17】 （ 2002 年全國(guó)卷）已知，求和的值 解：由得 即 即點(diǎn)評(píng) 觀察題設(shè)條件和待求的函數(shù)值，會(huì)發(fā)現(xiàn)題設(shè)條件中為倍角，而待求函數(shù)為單角，所以使用半角公式升冪，并通過因式分解使問題得以迅速解決 【例18】證明：證明 左邊 右邊點(diǎn)評(píng) 根據(jù)三倍角公式，有也常用來降次有些數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中經(jīng)常用到此技巧方法六、引入輔助角當(dāng)均不為零時(shí)利用（其中為輔助角且滿足）來作變換也是常用方法【例19】 （2005 年遼寧卷）如圖 10

8、一1，在直徑為 1 的圓 O 中，作一關(guān)于圓心對(duì)稱，鄰邊互相垂直的十字形，其中 y > x > 0 . （）將十字形的面積表示為的函數(shù)； (為何值時(shí)，十字形的而積最大？最大面積是多少？解（ I ）設(shè) S 為十字形的面積，依題意有 （）化簡(jiǎn)S的表達(dá)式其中，當(dāng)即時(shí)，S最大所以，當(dāng)時(shí)，S最大，最大值為點(diǎn)評(píng) 在求三角函數(shù)的極值時(shí)經(jīng)常通過引人輔助角后利用三角函數(shù)的有界性求解【例20】（200 ，年全國(guó)卷）若則（ ）（A） （B） （C） （）解：又在上是增函數(shù)，故選A點(diǎn)評(píng) 比較大小，一般可作差比較，但運(yùn)算量較大這里由于均為型，所以可引入輔助角，這是處理此類問題的常用技巧七、平方消元有時(shí)將某些

9、式子平方后再相減（加）可消去一些項(xiàng)，使所求問題變得更簡(jiǎn)單明了【例21】（2005年南昌市模擬題）設(shè)為銳角，且，求和的值。 解：（1）由，得：+得（2） 又為銳角，點(diǎn)評(píng) 本題中將 與 分別平方后再相減消去平方項(xiàng)從而求得的值這是解決此類問題的常用方法，但很多情況下用平方消元并不一定很直觀，大多數(shù)是以隱蔽的形式出現(xiàn)的，應(yīng)注意發(fā)掘和利用【例22】已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，證明：證明：成等差數(shù)列，將上式平方得：又成等比數(shù)列，代入得故點(diǎn)評(píng) 這里是利用平方消去交叉項(xiàng)達(dá)到消元目的八、裂項(xiàng)添項(xiàng)跟代數(shù)恒等變換一樣在三泊變換 ，有時(shí)適當(dāng)?shù)貞?yīng)用”加一項(xiàng)再減去這一項(xiàng)” . “乘一項(xiàng)再除以同一項(xiàng)”的方法常能使某些問題巧

10、妙簡(jiǎn)捷地得以解決 【 例 23 】 求的值。解：原式點(diǎn)評(píng) 本題巧妙地運(yùn)用“乘一項(xiàng)再除以同一項(xiàng)” 的方法致使其發(fā)生“連鎖反應(yīng)”，迅速求解 【例24】證明： 證明 左邊右邊點(diǎn)評(píng) 本例中采用“加一項(xiàng)再減去這一項(xiàng)”、“乘一項(xiàng)再除以同一項(xiàng)”的方法，其技巧性較強(qiáng)，其目的都是為了便干分解因式進(jìn)行約分化簡(jiǎn) 【例25】求的值解：原式點(diǎn)評(píng) 這里根據(jù)題目的特點(diǎn)，各項(xiàng)乘以后，再用積化和差公式巧妙地進(jìn)行裂項(xiàng)相消，這些技巧均頗具代表性九、設(shè)元轉(zhuǎn)化換元法作為一種數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用廣泛，我們第三章已作了專題練習(xí)，這里僅就幾種帶典型性的三角恒等變換中的換元予以剖析 【例26】如圖所示，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90m的扇形小山，其余部分都是平地，一開發(fā)商想在平地上建一個(gè)矩形停車場(chǎng)，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在上，相鄰兩邊CQ、CR落在正方形的邊 BC 、 CD 上，求矩形停車場(chǎng)PQCR面積的最大值和最小值【解析】設(shè)，延長(zhǎng)RP交AB于M，則，令，則故當(dāng)時(shí)，的最小值為950故當(dāng)時(shí)的最大值為（14050-9000）【評(píng)注】引入角，將矩形PQCR的面積表示為的函數(shù)，再求函數(shù)的最大值，當(dāng)然變量的引入要"適當(dāng)"【例27】化簡(jiǎn)解：令則即 +得： ，即原式點(diǎn)評(píng) 根據(jù)題目的特點(diǎn)，總體設(shè)元，然后構(gòu)造與其相應(yīng)的對(duì)偶式，運(yùn)用方程的思想來解決三角恒等變換，也是常用的方法，本題也可以