數(shù)學(xué)221雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程1湘教版選修11

1、雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)目標(biāo)1通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生熟記雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，理解雙曲線的定義，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的探索推導(dǎo)過(guò)程2在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)合情猜想，進(jìn)一步提高分析、歸納、推理的能力3培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，獨(dú)立思考、勇于探索精神及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其探索推導(dǎo)過(guò)程是本課的重點(diǎn)定義中的“差的絕對(duì)值”，a與c的關(guān)系的理解是難點(diǎn)教學(xué)過(guò)程師：橢圓的定義是什么？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？(學(xué)生口述橢圓的兩個(gè)定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，教師利用投影儀把橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和圖象放出來(lái))師：橢圓的兩個(gè)定義雖然都是由軌跡的問(wèn)題引出來(lái)的，但所采用的方法是不

2、同的定義二是在認(rèn)識(shí)上已經(jīng)把橢圓和方程統(tǒng)一起來(lái)，在掌握了坐標(biāo)法基礎(chǔ)上利用坐標(biāo)方法建立軌跡方程這是通過(guò)方程去認(rèn)識(shí)軌跡曲線定義中設(shè)定的常數(shù)2a，|F1F2|=2c，它們之間的變化對(duì)橢圓有什么影響？生：當(dāng)a=c時(shí)，相應(yīng)的軌跡是線段F1F2當(dāng)ac時(shí)，軌跡不存在這是因?yàn)閍、c的關(guān)系違背了三角形中邊與邊之間的關(guān)系師：如果把橢圓定義中的“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和”改寫為“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它的方程又是怎樣的呢？(師生共同做一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)同學(xué)們把準(zhǔn)備好的實(shí)驗(yàn)用具拿出來(lái)，一起做實(shí)驗(yàn)教師把教具掛在黑板上，同時(shí)板書：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之差為常數(shù)的

3、點(diǎn)的軌跡是什么曲線？邊畫、邊操作、邊說(shuō)明)師：做法是：適當(dāng)選取兩定點(diǎn)F1、F2，將拉鎖拉開一段，其中一邊的端點(diǎn)固定在F1處，在另一邊上截取一段AF2(F1F2)，作為動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1和F2距離之差而后把它固定在F2處這時(shí)將鉛筆(粉筆)置于P處，于是隨著拉鎖的逐漸打開鉛筆就徐徐畫出一條曲線；同理可畫出另一支如圖2-36師：通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，你們發(fā)現(xiàn)了什么？生：所畫的曲線不是橢圓，是兩條相同的曲線，只是位置不同其原因都是應(yīng)用“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差|MF1|-|MF2|(或|MF2|-|MF1|)是同一常數(shù)的條件畫圖的師：所畫出圖象與橢圓完全不同，能說(shuō)出屬于哪一類曲線嗎？生：屬于雙曲型曲線師：很

4、好！我們把這類曲線就叫做雙曲線我們思考以下幾個(gè)問(wèn)題：1|MF1|和|MF2|哪個(gè)大？生：不一定當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線右支時(shí)，有|MF1|MF2|，當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支時(shí)，|MF1|MF2|師：2點(diǎn)M與點(diǎn)F1、F2距離之差是否就應(yīng)是|MF1|-|MF2|？生：未必是也可以是|MF2|-|MF1|師：如何表示這兩種情況？生：若要同時(shí)表示這兩種情況，正確的表示是應(yīng)|MF1|-|MF2|無(wú)論哪種情況總是成立的師：3點(diǎn)M與點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值與|F1F2|的大小關(guān)系怎樣？生：由三角形的兩邊之差小于第三邊可知，應(yīng)是小于|F1F2|否則作不出圖形在上述討論的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括出雙曲線的定義，教師板書課題(

5、學(xué)生試敘述，教師協(xié)助完成)一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)2a(a0且小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，這兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做焦距，記作2c(c0)通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，得到了雙曲線定義，同時(shí)進(jìn)一步讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中觀察定義中兩個(gè)常數(shù)間大小關(guān)系對(duì)于動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的影響激發(fā)學(xué)生探求知識(shí)的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知的渴望師生共同歸納：師：由定義知|MF1|-|MF2|=2a，|F1F2|=2c，并設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，請(qǐng)大家討論以下幾個(gè)問(wèn)題：(1)當(dāng)0ac時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？學(xué)生略思考一下，回答出是雙曲線(2)當(dāng)a=c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？分析&#

6、160; 若a=c，也就是|MF1|-|MF2|=2a=2c，如圖2-37所示：可以看出，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是分別以點(diǎn)F1、F2為端點(diǎn)，方向指向F1F2外側(cè)的兩條射線(3)當(dāng)ac0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？由前面歸納已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡不存在這是因?yàn)閍、c的關(guān)系違背了三角形中兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程師：現(xiàn)在來(lái)研究雙曲線的方程我們可以參照求橢圓的方程的方法來(lái)求雙曲線的方程首先建立直角坐標(biāo)系，即以兩定點(diǎn)連線為x軸，兩定點(diǎn)的垂直平分線為y軸然后，觀察雙曲線的特征，猜測(cè)雙曲線方程的結(jié)構(gòu)與橢圓方程的結(jié)構(gòu)是否有類似之處？(如圖2-38)當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到x軸上點(diǎn)A1、A2時(shí)，如何求點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)？生

7、：點(diǎn)A1、A2是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，所以|A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a所以點(diǎn)A1和A2的坐標(biāo)分別是(-a，0)和(a，0)師：請(qǐng)同學(xué)們對(duì)照橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程生：1建立直角坐標(biāo)系2設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x、y)，|F1F2|=2c，并設(shè)F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)3由兩點(diǎn)間距離公式，得4由雙曲線定義，得|MF1|-|MF2|=±2a，即5化簡(jiǎn)方程兩邊平方，得化簡(jiǎn)得：兩邊再平方，整理得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)(為使方程簡(jiǎn)化，更為對(duì)稱和諧起

8、見)由2c-2a0，即ca，所以c2-a20設(shè)c2-a2=b2(b0)，代入上式，得b2x2-a2y2a2b2，也就是師：利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)類比地推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它同樣具有方程簡(jiǎn)單、對(duì)稱，具有和諧美的特點(diǎn)，便于我們今后研究雙曲線的有關(guān)性質(zhì)這一簡(jiǎn)化的方程稱為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合圖形再一次理解方程中ab0的條件是不可缺少的b的選取不僅使方程得到了簡(jiǎn)化、和諧，也有實(shí)際的幾何意義具有c2=a2+b2與橢圓中a2=b2+c2的不同之處師：與橢圓方程一樣，如果雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，這時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式又怎樣呢？我們可以從所畫的圖形上觀察，對(duì)比來(lái)看一看互相間的轉(zhuǎn)化(圖2-39、圖2-40)生：

9、從圖形的對(duì)稱來(lái)看，只要交換一下x軸、y軸的名稱，然后逆時(shí)針?lè)D(zhuǎn)90°使之y軸向上、下，x軸水平放置即可得到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線師：從方程上來(lái)分析，只要將方程(1)的x、y互換就可以得到它的方程此方程也是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程師：如何記憶這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程？生：雙曲線的方程右邊為1，左邊是兩個(gè)完全平方項(xiàng)，符號(hào)一正一負(fù)，為正的項(xiàng)相應(yīng)的坐標(biāo)軸為實(shí)軸，焦點(diǎn)在該軸上，且分母為a2負(fù)項(xiàng)相應(yīng)的坐標(biāo)軸為虛軸，且分母為b2師：用一句話概括“以正負(fù)定實(shí)虛”三、舉例例1  已知兩點(diǎn)F1(-4，0)和F2(4，0)，曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為6，求曲線方程解  由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=4，2a=6

10、，所以a=3，而b2=c2-a2=16-9=7所以，所求的雙曲線方程為例2  求滿足下列條件的雙曲線方程1若a=4，b=3，焦點(diǎn)在x軸上；解  (1)因?yàn)閍=4，b=3，并且焦點(diǎn)在x軸上，所以所求的雙曲線方程為(2)由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：所以代入雙曲線方程得所以b2=16，所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為例1和例2可由學(xué)生自行解答，黑板上板演，并對(duì)照檢查對(duì)錯(cuò)四、小結(jié)(師生共同參與完成)1知識(shí)方面雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；方程中的3個(gè)常數(shù)a、b、c間的關(guān)系：c2=a2+b2理解“以正負(fù)定實(shí)虛”的意義，會(huì)確定實(shí)軸、虛軸、焦點(diǎn)所在位置，會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2在教學(xué)中體會(huì)到

11、數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧美，幾何圖形的對(duì)稱美五、作業(yè)：第XX頁(yè)XX題六、課后思考題2結(jié)合圖形的演示，試討論|MF1|-|MF2|=2a，在2a趨近于零的過(guò)程中雙曲線的變化趨勢(shì)設(shè)計(jì)說(shuō)明1關(guān)于教學(xué)目標(biāo)(1)由于雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程是本章的重點(diǎn)之一，因而作為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一(2)MM教育方式的基本要求，其課堂教學(xué)要師生共同參與每個(gè)環(huán)節(jié)都應(yīng)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種思維情境，一種動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的機(jī)會(huì)運(yùn)用教具的演示，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)教學(xué)的直觀性，有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、抽象、歸納及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用能力對(duì)全面提高學(xué)生素質(zhì)起著十分重要作用，待此制定了教學(xué)目標(biāo)2和32關(guān)于教學(xué)重點(diǎn)為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，把充分展現(xiàn)雙曲線的定義及其

12、標(biāo)準(zhǔn)方程的探索、發(fā)現(xiàn)、推理的思維過(guò)程和知識(shí)形成過(guò)程作為本節(jié)課的重點(diǎn)3關(guān)于教學(xué)方法按照MM教育方式“學(xué)習(xí)、教學(xué)、研究同步協(xié)調(diào)原則”和“二主方針”，在教學(xué)中充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用運(yùn)用問(wèn)題性，給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境，一種動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在開放、民主、愉悅和諧的教學(xué)氛圍中獲取新知識(shí)，提高能力，促進(jìn)思維發(fā)展因此，采用討論式、啟發(fā)式的教學(xué)方法4關(guān)于教學(xué)過(guò)程(1)利用學(xué)生已清楚的知識(shí)，轉(zhuǎn)換條件提出問(wèn)題，通過(guò)自己動(dòng)手和聯(lián)想，為類比地探索雙曲線的定義奠定基礎(chǔ)，最后推出雙曲線的定義(2)在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中，揭示科學(xué)實(shí)驗(yàn)的規(guī)律，巧妙地把學(xué)生從舊知識(shí)引向新知識(shí)，使知識(shí)過(guò)渡那么自然，學(xué)生學(xué)起來(lái)不感到困難體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力、邏輯思維能力、科學(xué)思維方式、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度及勇于探索的精神(3)例題比較簡(jiǎn)