張齊華《平均數(shù)》教學(xué)實(shí)錄剖析

1、張齊華平均數(shù)教學(xué)實(shí)錄一、初步建立平均數(shù)的意義師：你們喜歡體育運(yùn)動嗎?生：（齊）喜歡!師：如果張老師告訴大家，我最喜歡并且最拿手的體育運(yùn)動是籃球，你們相信嗎?生：不相信?；@球運(yùn)動員通常都很強(qiáng)壯，就像姚明和喬丹那樣。張老師，您也太瘦了點(diǎn)師：真是哪壺不開提哪壺啊。不過還別說，和你們一樣，我們班上的小力、小林、小剛對我的投籃技術(shù)也深表懷疑。就在上星期，他們?nèi)诉€約我進(jìn)行了一場“1分鐘投籃挑戰(zhàn)賽”。怎么樣，想不想了解現(xiàn)場的比賽情況?生：（齊）想!師：首先出場的是小力，他1分鐘投中了5個(gè)球?？墒?，小力對這一成績似乎不太滿意，覺得好像沒有發(fā)揮出自己的真實(shí)水平，想再投兩次。如果你是張老師，你會同意他的要求嗎?

2、生：我不同意。萬一他后面兩次投中的多了，那我不就危險(xiǎn)啦!生：我會同意的。做老師的應(yīng)該大度一點(diǎn)。師：呵呵，還真和我想到一塊兒去了。不過，小力后兩次的投籃成績很有趣。（師出示小力的后兩次投籃成績：5個(gè)，5個(gè)。生會心地笑了）師：還真巧，小力三次都投中了5個(gè)。現(xiàn)在看來，要表示小力1分鐘投中的個(gè)數(shù)，用哪個(gè)數(shù)比較合適?生：5。師：為什么?生：他每次都投中5個(gè)，用5來表示他1分鐘投中的個(gè)數(shù)最合適了。師：說得有理!接著該小林出場了。小林1分鐘又會投中幾個(gè)呢?我們也一起來看看吧。（師出示小林第一次投中的個(gè)數(shù)：3個(gè)）師：如果你是小林，會就這樣結(jié)束嗎?生：不會!我也會要求再投兩次的。師：為什么?生：這也太少了，肯定

3、是發(fā)揮失常。師：正如你們所說的，小林果然也要求再投兩次。不過，麻煩來了。（出示小林的后兩次成績：5個(gè)，4個(gè)）三次投籃，結(jié)果怎么樣?生：（齊）不同。師：是呀，三次成績各不相同。這一回，又該用哪個(gè)數(shù)來表示小林1分鐘投籃的一般水平呢?生：我覺得可以用5來表示，因?yàn)樗疃啵瓮吨辛?個(gè)。生：我不同意川、強(qiáng)每次都投中5個(gè)，所以用5來表示他的成績。但小林另外兩次分別投中4個(gè)和3個(gè)，怎么能用5來表示呢?師：也就是說，如果也用5來表示，對小力來說生：（齊）不公平!師：該用哪個(gè)數(shù)來表示呢?生：可以用4來表示，因?yàn)?、4、5三個(gè)數(shù)，4正好在中間，最能代表他的成績。師：不過，小林一定會想，我畢竟還有一次投中5個(gè)，

4、比4個(gè)多1呀。生：（齊）那他還有一次投中3個(gè)，比4個(gè)少1呀。師：哦，一次比4多1,一次比4少1生：那么，把5里面多的1個(gè)送給3，這樣不就都是4個(gè)了嗎?師：數(shù)學(xué)上，像這樣從多的里面移一些補(bǔ)給少的，使得每個(gè)數(shù)都一樣多。這一過程就叫“移多補(bǔ)少”。移完后，小林每分鐘看起來都投中了幾個(gè)?生：（齊）4個(gè)。師：能代表小林1分鐘投籃的一般水平嗎?生：（齊）能!師：輪到小剛出場了。（出示圖）小剛也投了三次，成績同樣各不相同。這一回，又該用幾來代表他1分鐘投籃的一般水平呢?同學(xué)們先獨(dú)立思考，然后在小組里交流自己的想法。生：我覺得可以用4來代表他1分鐘的投籃水平。他第二次投中7個(gè)，可以移1個(gè)給第一次，再移2個(gè)給第三

5、次，這樣每一次看起來好像都投中了4個(gè)。所以用4來代表比較合適。師：還有別的方法嗎?生：我們先把小剛?cè)瓮吨械膫€(gè)數(shù)相加，得到12個(gè)，再用12除以3等于4個(gè)。所以，我們也覺得用4來表示小剛1分鐘投籃的水平比較合適。師板書：3+7+2=12（個(gè)），12三3=4（個(gè)）師：像這樣先把每次投中的個(gè)數(shù)合起來，然后再平均分給這三次（板書：合并、平分），能使每一次看起來一樣多嗎?生：能!都是4個(gè)。師：能不能代表小剛1分鐘投籃的一般水平?生：能!師：其實(shí)，無論是剛才的移多補(bǔ)少，還是這回的先合并再平均分，目的只有一個(gè)，那就是生：使原來幾個(gè)不相同的數(shù)變得同樣多。師：數(shù)學(xué)上，我們把通過移多補(bǔ)少后得到的同樣多的這個(gè)數(shù)，就

6、叫做原來這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)。（板書課題：平均數(shù)）比如，在這里（出示圖），我們就說4是3、4、5這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)。那么，在這里（出示圖），哪個(gè)數(shù)是哪幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)呢?在小組里說說你的想法。生：在這里，4是3、7、2這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)。師：不過，這里的平均數(shù)4能代表小剛第一次投中的個(gè)數(shù)嗎?生：不能!師：能代表小剛第二次、第三次投中的個(gè)數(shù)嗎?生：也不能!師：奇怪，這里的平均數(shù)4既不能代表小剛第一次投中的個(gè)數(shù)，也不能代表他第二次、第三次投中的個(gè)數(shù)，那它究竟代表的是哪一次的個(gè)數(shù)呢?生：這里的4代表的是小剛?cè)瓮痘@的平均水平。生：是小剛1分鐘投籃的一般水平。（師板書：一般水平）師：最后，該我出場了。知道自己投

7、籃水平不怎么樣，所以正式比賽前，我主動提出投四次的想法。沒想到，他們竟一口答應(yīng)了。前三次投籃已經(jīng)結(jié)束，怎么樣，想不想看看我每一次的投籃情況?（師呈現(xiàn)前三次投籃成績：4個(gè)、6個(gè)、5個(gè)）師：猜猜看，三位同學(xué)看到我前三次的投籃成績，可能會怎么想?生：他們可能會想：完了完了，肯定輸了。師：從哪兒看出來的?生：你們看，光前三次，張老師平均1分鐘就投中了5個(gè)，和*并列第一。更何況，張老師還有一次沒投呢。生：我覺得不一定。萬一張老師最后一次發(fā)揮失常，一個(gè)都沒投中，或只投中一兩個(gè)，張老師也可能會輸。生：萬一張老師最后一次發(fā)揮超常，投中10個(gè)或更多，那豈不贏定了?師：情況究竟會怎么樣呢?還是讓我們趕緊看看第四次

8、投籃的成績吧。（師出示圖）師：憑直覺，張老師最終是贏了還是輸了?生：輸了。因?yàn)槟阕詈笠淮沃煌吨?個(gè)，也太少了。師：不計(jì)算，你能大概估計(jì)一下，張老師最后的平均成績可能是幾個(gè)嗎?生：大約是4個(gè)。生：我也覺得是4個(gè)。師：英雄所見略同呀。不過，第二次我明明投中了6個(gè)，為什么你們不估計(jì)我最后的平均成績是6個(gè)?生：不可能，因?yàn)橹挥幸淮瓮吨?個(gè)，又不是次次都投中6個(gè)。生：前三次的平均成績只有5個(gè)，而最后一次只投中1個(gè)，平均成績只會比5個(gè)少，不可能是6個(gè)。生：再說，6個(gè)是最多的一次，它還要移一些補(bǔ)給少的。所以不可能是6個(gè)。師：那你們?yōu)槭裁床还烙?jì)平均成績是1個(gè)呢?最后一次只投中1個(gè)呀!生：也不可能。這次盡管只投

9、中1個(gè)，但其他幾次都比1個(gè)多，移一些補(bǔ)給它后，就不止1個(gè)了。師：這樣看來，盡管還沒得出結(jié)果，但我們至少可以肯定，最后的平均成績應(yīng)該比這里最大的數(shù)生：小一些。生：還要比最小的數(shù)大一些。生：應(yīng)該在最大數(shù)和最小數(shù)之間。師：是不是這樣呢?趕緊想辦法算算看吧。生列式計(jì)算，并交流計(jì)算過程：4+6+5+1=16（個(gè)），16三4=4（個(gè)）師：和剛才估計(jì)的結(jié)果比較一下，怎么樣?生：的確在最大數(shù)和最小數(shù)之間。師：現(xiàn)在看來，這場投籃比賽是我輸了。你們覺得問題主要出在哪兒?生：最后一次投得太少了。生：如果最后一次多投幾個(gè)，或許你就會贏了。師：試想一下：如果張老師最后一次投中5個(gè)，甚至更多一些，比如9個(gè)，比賽結(jié)果又會如

10、何呢?同學(xué)們可以通過觀察來估一估，也可以動筆算一算，然后在小組里交流你的想法。（生估計(jì)或計(jì)算，隨后交流結(jié)果）生：如果最后一次投中5個(gè)，那么只要把第二次多投的1個(gè)移給第一次，很容易看出，張老師1分鐘平均能投中5個(gè)。師：你是通過移多補(bǔ)少得出結(jié)論的。還有不同的方法嗎?生：我是列式計(jì)算的。4+6+5+5=20（個(gè)），20三4=5（個(gè)）。生：我還有補(bǔ)充!其實(shí)不用算也能知道是5個(gè)。大家想呀，原來第四次只投中1個(gè)，現(xiàn)在投中了5個(gè)，多出4個(gè)。平均分到每一次上，每一次正好能分到1個(gè)，結(jié)果自然就是5個(gè)了。師：那么，最后一次如果從原來的1個(gè)變成9個(gè)，平均數(shù)又會增加多少呢?生：應(yīng)該增加2。因?yàn)?比1多8，多出的8個(gè)再

11、平均分到四次上，每一次只增加了2個(gè)。所以平均數(shù)應(yīng)增加2個(gè)。生：我是列式計(jì)算的，4+6+5+9=24（個(gè)），24三4=6（個(gè)）。結(jié)果也是6個(gè)。二、深化理解，延伸思維師：現(xiàn)在，請大家觀察下面的三幅圖，你有什么發(fā)現(xiàn)?把你的想法在小組里說一說。（師出示三圖，并排呈現(xiàn)）（生獨(dú)立思考后，先組內(nèi)交流想法，再全班交流）生：我發(fā)現(xiàn)，每一幅圖中，前三次成績不變，而最后一次成績各不相同。師：最后的平均數(shù)生：也不同。師：看來，要使平均數(shù)發(fā)生變化，只需要改變其中的幾個(gè)數(shù)?生：一個(gè)數(shù)。師：瞧，前三個(gè)數(shù)始終不變，但最后一個(gè)數(shù)從1變到5再變到9，平均數(shù)生：也跟著發(fā)生了變化。師：難怪有人說，平均數(shù)這東西很敏感，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的“

12、風(fēng)吹草動，”都會使平均數(shù)發(fā)生變化?，F(xiàn)在看來，這話有道理嗎?（生：有）其實(shí)呀，善于隨著每一個(gè)數(shù)據(jù)的變化而變化，這正是平均數(shù)的一個(gè)重要特點(diǎn)。在未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們將就此作更進(jìn)一步的研究。大家還有別的發(fā)現(xiàn)嗎?生：我發(fā)現(xiàn)平均數(shù)總是比最大的數(shù)小，比最小的數(shù)大。師：能解釋一下為什么嗎?生：很簡單。多的要移一些補(bǔ)給少的，最后的平均數(shù)當(dāng)然要比最大的小，比最小的大了。師：其實(shí)，這是平均數(shù)的又一個(gè)重要特點(diǎn)。利用這一特點(diǎn)，我們還可以大概地估計(jì)出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。生：我還發(fā)現(xiàn)，總數(shù)每增加4，平均數(shù)并不增加4，而是只增加1。師：那么，要是這里的每一個(gè)數(shù)都增加4，平均數(shù)又會增加多少呢?還會是1嗎?生：不會，應(yīng)該增加4。

13、師：真是這樣嗎?課后，同學(xué)們可以繼續(xù)展開研究?；蛟S你們還會有更多的新發(fā)現(xiàn)!不過，關(guān)于平均數(shù)，還有一個(gè)非常重要的特點(diǎn)隱藏在這幾幅圖當(dāng)中。想不想了解?生：想!師：以圖6為例。仔細(xì)觀察，有沒有發(fā)現(xiàn)這里有些數(shù)超過了平均數(shù)，而有些數(shù)還不到平均數(shù)?（生點(diǎn)頭示意）比較一下超過的部分與不到的部分，你發(fā)現(xiàn)了什么?生：超過的部分和不到的部分一樣多，都是3個(gè)。師：會不會只是一種巧合呢?讓我們趕緊再來看看另兩幅圖吧?生：（觀察片刻）也是這樣的。師：這兒還有幾幅圖，情況怎么樣呢?生：超過的部分和不到的部分還是同樣多。師：奇怪，為什么每一幅圖中，超出平均數(shù)的部分和不到平均數(shù)的部分都一樣多呢?生：如果不一樣多，超過的部分移

14、下來后，就不可能把不到的部分正好填滿。這樣就得不到平均數(shù)了。生：就像山峰和山谷一樣。把山峰切下來，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。師：多生動的比方呀!其實(shí)，像這樣超出平均數(shù)的部分和不到平均數(shù)的部分一樣多，這是平均的第三個(gè)重要特點(diǎn)。把握了這一特點(diǎn)，我們可以巧妙地解決相關(guān)的實(shí)際問題。（師出示如下三張紙條）師：張老師大概估計(jì)了一下，覺得這三張紙條的平均長度大約是10厘米。（呈現(xiàn)圖10）不計(jì)算，你能根據(jù)平均數(shù)的特點(diǎn)，大概地判斷一下，張老師的這一估計(jì)對嗎?生：我覺得不對。因?yàn)榈诙埣垪l比10厘米只長了2厘米，而另兩張紙條比10厘米一共短了5厘米，不相等。所

15、以，它們的平均長度不可能是10厘米。師：照你看來，它們的平均長度會比10厘米長還是短?生：應(yīng)該短一些。生：大約是9厘米。生：我覺得是8厘米。生：不可能是8厘米。因?yàn)?比8小了1，而12比8大了4師：它們的平均長度到底是多少，還是趕緊口算一下吧。三、實(shí)際應(yīng)用，鞏固新知師：下面這些問題，同樣需要我們借助平均數(shù)的特點(diǎn)來解決。瞧，學(xué)校籃球隊(duì)的幾位同學(xué)正在進(jìn)行籃球比賽。我了解到這么一份資料，說李強(qiáng)所在的快樂籃球隊(duì)，隊(duì)員的平均身高是160厘米。那么，李強(qiáng)的身高可能是155厘米嗎?生：有可能。師：不對呀!不是說隊(duì)員的平均身高是160厘米嗎?生：平均身高160厘米，并不表示每個(gè)人的身高都是160厘米。萬一李強(qiáng)

16、是隊(duì)里最矮的一個(gè)，當(dāng)然有可能是155厘米了。生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊(duì)員身高的一般水平，并不代表隊(duì)里每個(gè)人的身高。李強(qiáng)有可能比平均身高矮，比如155厘米，當(dāng)然也可能比平均身高高，比如170厘米。師：說得好!為了使同學(xué)們對這一問題有更深刻的了解，我還給大家?guī)砹艘环鶊D。（出示中國男子籃球隊(duì)隊(duì)員的合影）畫面中的人，相信大家一定不陌生。生：姚明!師：沒錯(cuò)，這是以姚明為首的中國男子籃球隊(duì)隊(duì)員。老師從網(wǎng)上查到這么一則數(shù)據(jù)，中國男子籃球隊(duì)隊(duì)員的平均身高為200厘米。這是不是說，籃球隊(duì)每個(gè)隊(duì)員的身高都是200厘米?生：不可能。生：姚明的身高就不止2米。生：姚明的身高是226厘米。師：看來，還真有

17、超出平均身高的人。不過，既然隊(duì)員中有人身高超過了平均數(shù)生：那就一定有人身高不到平均數(shù)。師：沒錯(cuò)。據(jù)老師所查資料顯示，這位隊(duì)員的身高只有178厘米，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于平均身高?？磥?，平均數(shù)只反映一組數(shù)據(jù)的一般水平，并不代表其中的每一個(gè)數(shù)據(jù)。好了，探討完身高問題，我們再來看看池塘的平均水深。（師出示圖）師：冬冬來到一個(gè)池塘邊。低頭一看，發(fā)現(xiàn)了什么?生：平均水深110厘米。師：冬冬心想，這也太淺了，我的身高是130厘米，下水游泳一定沒危險(xiǎn)。你們覺得冬冬的想法對嗎?生：不對!師：怎么不對?冬冬的身高不是已經(jīng)超過平均水深了嗎?生：平均水深110厘米，并不是說池塘里每一處水深都是110厘米。可能有的地方比較淺，只有

18、幾十厘米，而有的地方比較深，比如150厘米。所以，冬冬下水游泳可能會有危險(xiǎn)。師：說得真好!想看看這個(gè)池塘水底下的真實(shí)情形嗎?（師出示池塘水底的剖面圖）生：原來是這樣，真的有危險(xiǎn)!師：看來，認(rèn)識了平均數(shù)，對于我們解決生活中的問題還真有不少幫助呢。當(dāng)然，如果不了解平均數(shù)，鬧起笑話來，那也很麻煩。這不，前兩天，老師從最新的健康報(bào)上查到這么一份資料。（師出示：2007年世界衛(wèi)生報(bào)告顯示，目前中國男性的平均壽命大約是71歲）師：可別小看這一數(shù)據(jù)哦30年前，也就在張老師出生那會兒，中國男性的平均壽命大約只有68歲。比較一下，發(fā)現(xiàn)了什么?生：中國男性的平均壽命比原來長了。師：是呀，平均壽命變長了，當(dāng)然值得高興嘍?？墒?，一位70歲的老伯伯看了這份資料后，不但不高興，反而還有點(diǎn)難過。這又是為什么呢?生：我想，老伯伯可能以為平均壽命是71歲，而自己已經(jīng)70歲了，看來只能再活1年了。師：老伯伯之所以這么想，你們覺得他懂不懂平均數(shù)。生：不懂!師：你們懂不懂?（生：懂）既然這樣，那好，假如我就是那位70歲的老