復數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義

1、新授課:3.2,1復數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義教學目標重點：復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運算法則.難點：復數(shù)加法、減法的幾何意義.知識點：1.掌握復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則；2.理解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.能力點：培養(yǎng)學生滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，提高學生分析問題、解決問題以及運算的能力.教育點：通過探究學習，培養(yǎng)學生互助合作的學習習慣，培養(yǎng)學生對數(shù)學探索和渴求的思想.在掌握知識的同時，形成良好的思維品質(zhì)和鍥而不舍的鉆研精神.自主探究點：如何運用復數(shù)加法、減法的幾何意義來解決問題考試點：會計算復數(shù)的和與差；能用復數(shù)加、減法的幾何意義解決簡單問題.易錯易混點：復數(shù)的加法

2、與減法的綜合應用.拓展點：復數(shù)與其他知識的綜合.一、引入新課復習引入1 .虛數(shù)單位i：它的平方等于1,即i21；2 .對于復數(shù)zabia,bR：當且僅當b0時，z是實數(shù)a;當b0時，z為虛數(shù)；當a0且b0時，z為純虛數(shù)；當且僅當ab0時，z就是實數(shù)0.3 .復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：N宅Z%Q室R至C.4 .復數(shù)幾何意義：復數(shù)zabia,bR復平面內(nèi)的點Za,b復數(shù)zabia,b一一對應ULfR復平面內(nèi)的向量OZ=a,b我們把實數(shù)系擴充到了復數(shù)系，那么復數(shù)之間是否存在運算呢？答案是肯定的，這節(jié)課我們就來研究復數(shù)的加減運算.【設(shè)計意圖】通過復習回顧復數(shù)概念、幾何意義等相關(guān)知識，使學生對這一知識

3、結(jié)構(gòu)有個清醒的初步認知逐漸過渡到對復數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義的學習情境，為探究本節(jié)課的新知識作鋪墊.二、探究新知探究一：復數(shù)的加法1.復數(shù)的加法法則我們規(guī)定，復數(shù)的加法法則如下：設(shè)乙abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意兩個復數(shù)，那么：乙z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i提出問題：(1)兩個復數(shù)的和是個什么數(shù)，它的值唯一確定嗎？(2)當b=0,d0時，與實數(shù)加法法則一致嗎？(3)它的實質(zhì)是什么？類似于實數(shù)的哪種運算方法？學生明確：(1)仍然是個復數(shù)，且是一個確定的復數(shù)；(2) 一致；(3)實質(zhì)是實部與實部相加，虛部與虛部相加，類似于實數(shù)運算中的合并同類項.【設(shè)計意圖】加深

4、對復數(shù)加法法則的理解，且與實數(shù)類比，了解規(guī)定的合理性：將實數(shù)的運算通性、通法擴充到復數(shù)，有利于培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新精神.2 ,復數(shù)加法的運算律實數(shù)的加法有交換律、結(jié)合律，復數(shù)的加法滿足這些運算律嗎？對任意的乙，z2,z3C,有ZiZ2Z2Zi(交換律)，(ziz)z3zi(z2z3)(結(jié)合律)【設(shè)計意圖】引導學生根據(jù)實數(shù)加法滿足的運算律，大膽嘗試推導復數(shù)加法的運算律，學生先獨立思考，然后小組交流.提高學生的建構(gòu)能力及主動發(fā)現(xiàn)問題，探究問題的能力.3 .復數(shù)加法的幾何意義復數(shù)與復平面內(nèi)的向量有一一對應關(guān)系，那么請同學們猜想一下，復數(shù)的加法也有這種對應關(guān)系嗎？uuuuuu設(shè)O乙,OZ2分別與復

5、數(shù)abi,cnumUUUUUUUdi對應，則有O乙(a,b),OZ2(c,d),由平面向重的坐標運算有UJUUuuuuO乙OZ2(ac,bd).這說明兩個向量OZ與OZU的和就是與復數(shù)(ac)+(bd)i對應的向量.因此，復數(shù)的加法可以按照向量加法的平行四邊形法則來進行.這就是復數(shù)加法的幾何意義.如圖所示:由圖可以看出，以O(shè)乙、(ac)+(bd)i對應的向量.OZ2為鄰邊畫8行四邊形OZ1ZZ2,其對角線OZ所表示的向量OZ就是復數(shù)，訓練學生的形象思【設(shè)計意圖】通過向量的知識，讓學生體會從數(shù)形結(jié)合的角度來認識復數(shù)的加減法法則維能力，也培養(yǎng)了學生的數(shù)形結(jié)合思想.另外，當兩復數(shù)的對應向量共線時，可

6、直接運算；當不共線時，可類比向量加法的平行四邊形，也培養(yǎng)了學生的類比思想.探究二：復數(shù)的減法類比復數(shù)的加法法則，你能試著推導復數(shù)減法法則嗎？1.復數(shù)的減法法則我們規(guī)定，復數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足(cdi)(xyi)abi的復數(shù)xyi叫做復數(shù)abi減去cdi的差,記作(abi)(cdi).根據(jù)復數(shù)相等的定義,有cxa,dyb,因此xac,ybd,所以xyi(ac)(bd)i,即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.這就是復數(shù)的減法法則，所以兩個復數(shù)的差是一個確定的復數(shù).【設(shè)計意圖】復數(shù)的減法運算法則是通過轉(zhuǎn)化為加法運算而得到的，滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，是學生體會數(shù)學思想的素材.讓學生

7、自己動手推導減法法則，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和互助合作的學習習慣.考查學生的類比思想，提高學生主動發(fā)現(xiàn)問題，探究問題的能力.2.復數(shù)減法的幾何意義LULULUUDumnULUinnUJLLT1一設(shè)O乙,OZ2分別與受數(shù)abi,cdi對應，則這兩個受數(shù)的差z1z2與向量OZ1OZ2(即Z2Z1)對應，這就是復數(shù)減法的幾何意義.如圖所示.【設(shè)計意圖】兩個復數(shù)的差Z1-Z2(即OZ1OZ2)與連接兩個終點乙，Z2,且指向被減數(shù)的向量對應與平面向量的幾何解釋是一致的；它不僅又一次讓我們看到了向量這一工具的功能，也使數(shù)和形得到了有機的結(jié)合.注意：只有將差向量平移至以原點為起點時，其終點才能對應該復數(shù).

8、三、理解新知1 .復數(shù)的加減法法則：設(shè)乙abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意兩個復數(shù)，規(guī)定:ZZ2(ac)(bd)i;Zz2(ac)(bd)i.2 .復數(shù)加、減法的幾何意義：(1)復數(shù)的加法按照向量加法的平行四邊形法則；(2)復數(shù)的減法按照向量減法的三角形法則.3.幾點說明:(1)復數(shù)的加(減)法法則規(guī)定的合理性：它既與實數(shù)運算法則，運算律相同，又與向量完美地結(jié)合起來(2)復數(shù)白加(減)法實質(zhì)是：復數(shù)的實部與實部、虛部與虛部分別相加減；(3)多個復數(shù)相加減：可將各個復數(shù)的實部與實部、虛部與虛部分別相加減.(4)復平面內(nèi)的兩點間距離公式：d乙一z2.其中z1,z2是復平面內(nèi)的兩點乙和Z2

9、所對應的復數(shù)，d為點乙和點Z2間的距離.即兩個復數(shù)差的模的幾何意義是：兩個復數(shù)所對應的兩個點之間的距離.【設(shè)計意圖】加深對復數(shù)加(減)法法則的理解，從不同的角度總結(jié)，既學到知識，又學到了數(shù)學方法，使知識更加系統(tǒng)化，學生的思維將上升到一個更高的層面，為準確地運用新知，作必要的鋪墊.培養(yǎng)學生的歸納概括能力，使學生對所學的知識有一個整體的認識，解決問題時可以信手拈來.四、運用新知例1.計算：(23i)(5i)；(2)(1,2i)(1.2i)；(23i)(52i)；(4)(56i)(2i)(34i)；解：(1)(23i)(5i)(25)(31)i32i；(2) (1.2i)(12i)(11)(,2,2

10、)i0；(3) (23i)(52i)(25)(32)i35i；(4) (56i)(2i)(34i)(523)(614)i11i.【設(shè)計意圖】直接運用復數(shù)的加、減法運算法則進行，就是將它們的實部、虛部分別相加、減，實數(shù)范圍的運算律在復數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.變式訓練：計算(12i)(23i)(34i)(45)iL(19992000i)(20002001i).解：(解法一)原式(123456L19992000)(23456L20002001)i10001000i.(解法二)(12i)(23i)1i；(34i)(45i)1i；(19992000i)(20002001i)1i.將上列1000個式子累加，得1

11、000(1i)10001000i.【設(shè)計意圖】復數(shù)的加減法，相當于多項式加減中的合并同類項的過程；如果根據(jù)給出復數(shù)求和的特征從局部入手，抓住了式子中相鄰兩項之差是一個常量這一特點，適當?shù)剡M行組合，從而可簡化運算.進一步鞏固復數(shù)加減運算，并帶有一定的規(guī)律性.UJLUDOZ2,LULULULULULU例2.(1)設(shè)O乙,OZ2分力I與受數(shù)z53i,z214i對應，計算乙z2,并在復平面內(nèi)作出O乙uurnuuuu(2)設(shè)O乙,OZ2分力1J與受數(shù)解:zZ2=(5+3i)(14i)(51)(34)i4(如圖1所示);Z+Z2(13i)(2i)(12)(31)i34i.(如圖2所示).【設(shè)計意圖】由復數(shù)

12、的幾何意義知，復數(shù)乙,Z2所對應的的點分別為ujluuur、Z3Z2.OZ1OZ2就是表不向重uur.Z2乙，而uuuamuin_OZOZ2可利用平仃四邊形法則作出變式訓練：已知復數(shù)22Za3(a5)i,z2a1(ajjjjjjjj2a1)i(aR)分別對應向量O乙,OZ2(O為坐標原點)量Zu量對應的復數(shù)為純虛數(shù)，求a的值.答案：a1.例3.已知關(guān)于x的方程：x2(6i)x9ai0(aR)有實數(shù)根b.(1)求實數(shù)a,b的值;若復數(shù)z滿足zabi2z0,求z的最小值.22解：(1)由題意，得b(6i)b9ai0,即(b6b9)(ab)i0.由復數(shù)相等的定義得b6b90,解得ab3.ab0設(shè)zx

13、yi(x,yR),由|zabi2z0,得(x3)(y3)i2z,即(x3)2(y3)24(xy)2,整理得(x1)2(y1)28,即復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點Z(x,y)的軌跡是以C(1,1)為圓心，半徑長為2衣的圓.的幾何意義是Z(x,y)與原點O(0,0)的距離，uuuuuuur13i,z22i對應，計算z+z2,并在復平面內(nèi)作出OZ1OZ2.如圖，由平面幾何知識知minCACO2金&應.【設(shè)計意圖】在問題(1)中由復數(shù)相等的概念，列方程組求出兩個參數(shù)值，把復數(shù)問題實數(shù)化，既復習了概念又鍛煉了學生的計算能力和解決問題的能力；在問題(2)中由zJ(x0)2(y0)2，把z轉(zhuǎn)化為復數(shù)z所對應的

14、點與原點的距離，解決此類問題的關(guān)鍵是利用復數(shù)的幾何意義畫出圖形，在圖形中尋求答案，把數(shù)轉(zhuǎn)化成形，利用數(shù)形結(jié)合思想解決即可.變式訓練：復數(shù)z的模為1,求z1i的最大值和最小值.答案：、,2+1,.21.【設(shè)計意圖】通過變式訓練，便于學生全面的認識利用復數(shù)差的模的幾何意義解決問題，提高學生理解、運用知識的能力.五、課堂小結(jié)(一)知識:1 .復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運算法則；2 .復數(shù)加法、減法的幾何意義.3 .幾點說明:(1)復數(shù)的加(減)法法則規(guī)定的合理性：它既與實數(shù)運算法則，運算律相同，又與向量完美地結(jié)合起來；(2)復數(shù)白加(減)法實質(zhì)是：復數(shù)的實部與實部、虛部與虛部分別相加減；(3)多個復

15、數(shù)相加減：可將各個復數(shù)的實部與實部、虛部與虛部分別相加減.(4)復平面內(nèi)的兩點間距離公式：d乙一z2.其中Zi,z2是復平面內(nèi)的兩點乙和Z2所對應的復數(shù)，d為點乙和點Z2間的距離.即兩個復數(shù)差的模的幾何意義是：兩個復數(shù)所對應的兩個點之間的距離.(二)思想方法：類比的思想、轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想.【設(shè)計意圖】通過課堂小結(jié)，增強學生對復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運算法則及幾何意義的理解，及時查缺補漏，從而更好地運用知識，解題要有目的性，加強對數(shù)學知識、思想方法的認識與自覺運用.深化對知識的理解，完善認識結(jié)構(gòu)，領(lǐng)悟思想方法，強化情感體驗，提高認識能力.引導學生自我反饋、自我總結(jié)，并對所學知識進行提

16、煉升華，使知識系統(tǒng)化.讓學生學會學習，學會內(nèi)化知識的方法與經(jīng)驗，促進學習目標的完成.六、布置作業(yè)必做題：1 .計算：(1)(24i)(34i);(2)(34i)(2i)(15i).uuuuuuuuuruuu2 .復數(shù)6+533+4i對應的向量分別是OA與OB,其中O是原點，求向量AB,BA對應的復數(shù)，并指出其對應的復數(shù)位于第幾象限.3 .復平面上三點A,B,C分別對應復數(shù)1,2i,52i,則由A,B,C所構(gòu)成的三角形ABC是三角形.4 .求復數(shù)2i,3i所對應的兩點之間的距離.5 .已知復數(shù)z滿足z+z28i,求復數(shù)z.6.已知平行四邊形uuur(1)AO表示的復數(shù)OABC的三個頂點O,A,C

17、對應的復數(shù)分別為0,32i,24i,試求:uuu答案：1.(1)5;(2)22i.(2)CA表示的復數(shù)；(3)B點對應的復數(shù).2 .9i,位于第三象限；9i,位于第一象限3 .直角三角形.4.君.5.z158i.6.(1)32i；(2)52i；(3)16i選做題：1.在復平面內(nèi)，求滿足方程z+izi4的復數(shù)z所對應的點的軌跡.2.復數(shù)乙,z2滿足乙z21,z1+z2J2,求乙z2.答案：1.提示：方程可以變形為z(i)zi|4|,表示到兩個定點(0,1)和(0,1)距離之和等于4的點的軌跡，故滿足方程的動點軌跡是橢圓.2.提示：法一：數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造邊長為1的正方形，則其中一條對角線的長度為

18、J5,則所求的另一條對角線的長度也等于1.法二：(向量法)設(shè)乙？2所對應的向量分別是：，b,將乙+z2亞兩邊平方得基0,則z2)22,所以乙z2|也.【設(shè)計意圖】設(shè)計必做題是引導學生先復習，再作業(yè)，培養(yǎng)學生良好白學習習慣，是讓學生會用復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運算法則進行計算；設(shè)計選做題意在培養(yǎng)學生深刻理解復數(shù)差的模的幾何意義，增加問題的多樣性、趣味性，訓練學生思維的發(fā)散性、深刻性.讓學生理解知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生用整體的觀點看問題，起到鞏固舊知的作用.七、教后反思1.本教案的亮點是：(1本節(jié)中由于復數(shù)的加法法則是規(guī)定的，從問題入手，引導學生思考，讓學生理解這種規(guī)定的合理性.在復數(shù)加法的運算律及幾彳s意義的處理上，都是讓學生自主探究，使學生在參與中學會