完整版基于LabVIEW的正弦信號頻率與相位測量

1、基于LabVIEW勺正弦信號頻率與相位測量1 .前言信號頻率與相位的測量具有重要的實際意義。本文調(diào)研了頻率與相位的多種測量算法，并借助LabVIEW編程實現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，對各種算法進行了比較研究，且提出了行之有效的改進措施。2 .采樣定理與誤差分析2.1 采樣定理時域信號f(t)的頻譜若只占據(jù)有限頻率區(qū)間(-6m,切m),則信號可以用等間隔的采樣值唯一表示，而最低采樣頻率為23。采樣定理表明：信號最大變化速度決定了信號所包含的最高頻率分量，要使采樣信號能夠不失真地反映原信號，必須滿足在最高頻率分量的一個周期內(nèi)至少采樣兩個點。2.2 誤差分析對連續(xù)周期信號Xa(t)進行采樣得離散序列Xd(n),

2、如果滿足采樣定理，則離散序列Xd(n)的傅里葉級數(shù)Xdg(k)是連續(xù)信號Xa(t)的傅里葉級數(shù)Xag(k6i)的周期延拓，否則會出現(xiàn)兩種形式的誤差。2.2.1 泄漏誤差在連續(xù)信號Xa(t)一個周期工內(nèi)采樣Ni個點，如果正好滿足NiTs=Ti(Ts為采樣間隔)，則是完整周期采樣，采樣結(jié)果xd(n)仍為周期序列，周期為N1O基于xd(n)一個周期2個點計算離散傅里葉級數(shù)Xdg(k),由Xdg(k)可以準確得到連續(xù)信號Xa(t)的傅里葉級數(shù)Xag(k©1)o如果在連續(xù)信號Xa(t)的M個周期時間內(nèi)采樣整數(shù)Ni個點，即N1s=MTi,也是完整周期采樣。在此情況下，采樣結(jié)果xd(n)仍為周期序

3、列，周期為N1，但xd(n)的一個周期對應于xa(t)的M個周期，由離散序列(n)仍然可以準確得到連續(xù)信號xa(t)的頻譜。如果以上兩種情況都不滿足，則為不完整周期抽樣,Xd(n)也不再是周期序列。如果取Xd(n)近似周期的Ni個點計算傅立葉級數(shù)，則產(chǎn)生誤差，此誤差稱為泄漏誤差。圖1所示是對連續(xù)正弦信號進行非完整周期抽樣的兩種情況，分別是N1Ts<T1和N1Ts>T1。iVj(ff),/Th/Th-圖1正弦信號非完整周期采樣序列的周期延拓2.2.2 混疊誤差如果信號頻率無限，則無論如何提高采樣頻率，都不能避免頻譜混疊；如果頻率有限，但采樣不滿足采樣定理，也會出現(xiàn)頻譜混疊，采樣信號的

4、離散傅里葉級數(shù)不再能準確表示原來連續(xù)信號的傅里葉級數(shù)。混疊誤差的本質(zhì)在于，如果對信號中高頻分量的采樣不滿足采樣定理，其采樣結(jié)果將表現(xiàn)為一低頻序列，它和信號中原有低頻分量的采樣結(jié)果混在一起，造成低頻分量頻譜的誤差。在信號頻率無限的情況下，混疊不可避免，但通過提高采樣頻率可以減小誤差；在頻率有限的情況下，只要滿足采樣定理，混疊誤差可以完全避免。3 .頻率與相位測量算法3.1 頻率測量算法3.1.1 三點法三點法是一種建立在三角函數(shù)變換基礎(chǔ)上的數(shù)據(jù)擬合方法。假設(shè)被測函數(shù)是正弦函數(shù)，在等間隔采樣的前提下可以利用相鄰3個數(shù)據(jù)樣本，導出求解信號頻率的線性方程，進而擬合求解頻率1。設(shè)信號為u(t)=Umsi

5、n(t+中)，若81+審=口,則(1)u(t)=Umsin二若設(shè)日=二=2其中Fs為采樣頻率，則有FsFsf二2相鄰的3個數(shù)據(jù)樣本可表示為U=Umsin;一U1=Umsin(:口)Ui.2"Umsin(：/2口)由三角變換有ui-ui2=2ui1cos所以cosl-U-U22ui1令x(n)=2u+,y(n)=ui+ui.2,則得到y(tǒng)(n)=x(n)cos二f=Earccosi2式*就是所需要的線性方程。用最小二乘法擬合可以得到一個較準確的斜率而求出頻率。(2)(3)(4)(5)(6)cosB,進3.1.2多周期平均計數(shù)法多周期平均計數(shù)方法是通過對多個周期的采樣信號進行計數(shù)，然后以其

6、平均值作為頻率測量值。假定采樣頻率為Fs,共采集m個周期的信號，用計數(shù)的方法找到各個周期的樣本數(shù)，分別為Ni,N2,一，Nm,那么對應于各個周期的頻率值分別為考慮m個周期的頻率的均值，有f=&上+,+川+工m<NiN2NmJFsFsFs一,NiN2Nm(7)實際上，在非整周期采樣的條件下，式(3-1)中N的取值只有兩種情況，即多一個或少一個樣本。假定分別是n1和ni+1,與它們對應的周期數(shù)分別是門和m2,則式(3-1)可以改寫為fFsm,f=m2mgn1+11rr=一(m1flm2f2)m(8)其中f1=Fs和f2=工分別對應于被測信號頻率的最大偏差值和最小偏差值。n1ni13.

7、1.3能量矩平衡法圖2是能量矩平衡法2的示意圖，用pi表示第i個譜線的幅值，Xi是Pi的橫坐標，借助力學概念，設(shè)想第i個譜線對原點形成了一個轉(zhuǎn)矩（不妨稱之為能量矩），其大小為pixi,N圖2能量矩平衡法示意圖對全部N個譜線，總的能量矩為£pixi,設(shè)想在x軸上存在i1一個重心在Xo處，反方向施加給全部信號的能量P0,在不考慮頻率泄漏的情況下，令X軸上的能量矩平衡，即NPoXo=£PiXi(9)NNNN-PiXi由于Po可表示為Po=£Pi，所以有X0ZPi=£PiXi,從而得到Xo=-LJNyyy、Pii1后將橫坐標乘以，f=縣，得到所求頻率:NPiXi

8、凸-N“Pii=1FsN(1。)式中，F(xiàn)s為采樣率，N為樣本數(shù)。3.1.4比例法圖3表示采樣信號的頻譜，其中顯示的是主瓣內(nèi)的譜線yk和yk書，其譜線序號分別為Xk和xk.，而頻率的準確值位于橫坐標x0處?？梢岳脃k和yk卅這兩條譜線的幅值對間隔xk書-xk,即Af進行細分。在矩形窗的情況下，可以直觀的視x0處為重心，則有圖3比例法的示意圖于是所以yk_xk1-過yk1x0xk(11)ykyk1_xki-x0x0-xk_xk1-xk1yk1x0-xkx0_xkx0-xk(12)用Hanning窗，可以導出3.2相位測量算法3.2.1過零法過零法的基本原理如圖4所示。_yk1x0=xkyyk1=

9、Af，x0=：Yt+xkflyk+yk書Jx。二生qxkyk-yk1f=向由_yk+xkdfVYk+Yk+J判斷兩信號過零點時刻t1與t2的時間間隔At,將時間差轉(zhuǎn)化為相位差，計算公式為,2二t2二nphase=TT(15)其中，飛為兩信號過零點時刻3與12的時間間隔，T為信號周期，七為信號采樣周期，n為兩信號過零點時刻t1與t2間的采樣點數(shù)。(13)(14)圖4過零法的原理圖設(shè)A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)為N,最大模擬輸入量為UDm,則幅值的采樣分辨率為UDm/2N,如圖5所示。在過零點附近,電壓u滿足1UDm2尸Dm(16)圖5過零點的取值故采樣點Pn的數(shù)值大于零，采樣點Pn¥的數(shù)值小于零

10、,在R與Pn書之間必然有一個真實的過零點P0,一般取為P()=(Pn+Pn中)/2。具體算法過程如下：(1)獲取兩路數(shù)字信號值數(shù)組；(2)尋找數(shù)組中正、負值變換點，即PNPN*<0；(3)根據(jù)正、負值點計算過零點，同時計算周期；(4)根據(jù)兩過零點計算時間差，并轉(zhuǎn)換為相位；(5)結(jié)果與誤差顯示。3.2.2相關(guān)分析法相關(guān)法利用兩個同頻正弦信號的互相關(guān)函數(shù)零時刻值與其相位差的余弦值成正比的原理獲得相位差冏。由于噪聲信號與有效信號的相關(guān)性很小，因而該方法有很好的抑制噪聲能力。假設(shè)兩個同頻信號表達式如下：x=Asin(0:0)Nx(t)y(t)=Bsin(00+中0)+Ny(t)(17)其中，A、

11、B分別為x(t)和y(t)的幅值，Nx(t)、Ny(t)分別為噪聲信號。對x(t)和y(t)進行相關(guān)運算，有1T1TR<y(T)=-0x(t)y(t+)dt=-i0AsinC%t+?)+Nx(t)Bsin80(t+T)+%)+Ny(t+T)dt(18)當T=0時1TRxy(0)=0Asin(80t+Q)+Nx(t)LBsin(00(t)+Q)+Ny(t)dt(19)由于噪聲和信號、噪聲和噪聲不相關(guān)，積分后可得Rxy(0)=ABcos(1-0)Q-%=arccos(2Rxy(0)(20)AB其中，AiJ2Rx(0),B=.2Ry(0)。實際處理的信號為采樣后的離散點序列，相應的離散計算公式

12、為1kRxy(0)x(n)y(n)knq1k1Rx(0)=-Hx(n)2(21)kn1"2Ry(0)=丁'y(n)kn=0式中k為采樣點。通過信號x(t)和y(t)的自相關(guān)與互相關(guān)函數(shù)的計算，可求得它們的相位差。3.2.3互功率譜法該方法首先對兩路正弦信號進行采樣得到兩組離散數(shù)據(jù)，然后利用互相關(guān)原理求出兩組數(shù)據(jù)互相關(guān)函數(shù)的幅度譜和相位譜。因為兩信號為同頻信號，它們具有最大的相關(guān)性。故在幅度譜中存在最大幅度值，在相位譜中與幅度譜最大值對應的相位信息即為兩信號的相位差4。互功率譜的計算是通過先求兩待測信號的互相關(guān)函數(shù)再進行離散傅里葉變換來實現(xiàn)的。設(shè)x(t)、y(t)分別為兩待測同

13、頻正弦信號，中為x(t)和y(t)的相位差，T為采樣時間，七為互相關(guān)函數(shù)的變量，則互相關(guān)函數(shù)計算公式為1TRxy(T)=Tim7f0x(t)y(t+T)dt(22)一T采樣獲得的離散時間序列信號的互相關(guān)函數(shù)表達式為_1?，一Rxy(i)=-Zx(k)y(k+i)(23)Nk4當兩路信號為時不變信號時，它們的互功率譜密度同互相關(guān)函數(shù)是Z變換關(guān)系，即qQSxy(Z)=fRxy(k)Z”(24)k*3對求得的互功率譜密度函數(shù)進行極坐標變換，即可得到兩正弦信號的幅度譜與相位譜，進而求出相位差5。4. LabVIEW程序4.1 信號的產(chǎn)生與采集雙路正弦信號產(chǎn)生程序的前面板如圖6、7所示。其中，信號1與信

14、號2的頻率、幅值、相位可以單獨設(shè)置，并且兩個正弦信號均可疊加任意大小的諧波與白噪聲。波形生產(chǎn)程序中，緩沖區(qū)內(nèi)的波形數(shù)據(jù)被循環(huán)輸出只模擬輸出端0、1;波形采集程序中，模擬輸出信號接至模擬輸入端子并被采集，其中采樣率與采樣數(shù)可調(diào)。輸出正弦波參數(shù)袖也女段帝友做mn.盧博凌?采集信號波形采樣數(shù)血口采樣率圖6波形輸出程序前面板圖7波形采集程序前面板4.2 頻率測量程序按照前述頻率測量算法編制的LabVIEW程序見圖811。各程序首先采集數(shù)據(jù)并得到頻率計算值，然后與實際頻率值進行比較計算相對誤差。圖8三點法測頻程序圖9多周期平均計數(shù)法測頻程序圖10能量矩平衡法測頻程序圖11比例法測頻程序4.3相位測量程序

15、按照前述相位測量算法編制的LabVIEW程序見圖1214。各程序首先采集數(shù)據(jù)并得到兩路正弦信號相位差計算值，然后與實際相位差值進行比較得到相對誤差。圖12過零法測量相位程序14尚號»7叫二.'圖13相關(guān)分析法測量相位程序圖14互功率譜法測量相位程序5.實驗結(jié)果分析5.1各種算法的誤差比較5.1.1頻率測量實驗1采用仿真信號，無諧波、噪聲，信號幅值為1V,信號頻率設(shè)定為53.31Hz,采樣頻率Fs=1000,樣本個數(shù)#s=1000o實驗結(jié)果如表1所示。實驗2在實驗1的基礎(chǔ)上，增加白噪聲0.1V,實驗結(jié)果如表2所示。帽相網(wǎng)洋車哥依2'引.表1四種方法測量頻率的相對誤差測頻

16、方法相對誤差/%多周期的平均計數(shù)法0.0069三點法0能量矩平衡（Hanning）0.0043比例法（Hanning）0.0730表2疊加白噪聲后的相對誤差測頻方法相對誤差/%多周期的平均計數(shù)法0.0830三點法5.3808能量矩平衡（Hanning）0.0212比例法（Hanning）0.0679實驗3在實驗1的基礎(chǔ)上，增加3次諧波0.1V,實驗結(jié)果如表3所示。實驗4采用實際采集信號，無諧波、噪聲，信號幅值為1V,信號頻率設(shè)定為53.31Hz,采樣頻率Fs=l000,樣本個數(shù)#s=1000。實驗結(jié)果如表4所示。實驗5在實驗1的基礎(chǔ)上，提高樣本個數(shù)#s=2000,實驗結(jié)果如表5所示。表3疊加3

17、次諧波后的相對誤差測頻方法相對誤差/%多周期的平均計數(shù)法0.2560三點法3.8240能量矩平衡（Hanning）0.0037比例法（Hanning）0.0716表4采用實際采集信號后的相對誤差測頻方法相對誤差/%多周期的平均計數(shù)法0.0986三點法1.3957能量矩平衡（Hanning）0.0401比例法（Hanning窗）0.0437表5提高樣本個數(shù)后的相對誤差測頻方法相對誤差/%多周期的平均計數(shù)法0.0855三點法1.3957能量矩平衡（Hanning）0.0546比例法（Hanning）0.0438由以上實驗數(shù)據(jù)可以得到如下結(jié)論：（1） 由實驗1和4知，各種方法對各種實際采集信號頻率的

18、測量誤差均大于仿真信號的測量誤差；（2） 由實驗1和2、3知，多周期平均計數(shù)法和能量矩平衡法沒有比例法抗干擾能力強;（3） 三點法由于理論固有原因，在信號非標準正弦時誤差很大；（4） 多周期法在偶數(shù)次諧波的作用下過零點發(fā)生變化，誤差增大；（5） 由實驗1和5知，提高樣本個數(shù)對時域測量方法而言可以明顯提高測量精度，而對頻域方法效果不明顯。5.1.2相位測量實驗1采用仿真信號，無諧波、噪聲，信號幅值為1V,信號頻率設(shè)定為53.31Hz,相位差90°,采樣頻率Fs=1000,樣本個數(shù)#s=1000。實驗結(jié)果如表6所示。實驗2在實驗1的基礎(chǔ)上，增加白噪聲0.1V,實驗結(jié)果如表7所示。表6四種

19、方法測量仿真信號相位的相對誤差測相位方法相對誤差/%過零法0.5780相關(guān)分析法（Hanning）0.5147互功率譜法（Hanning）0.3779表7疊加白噪聲后的相對誤差測相位方法相對誤差/%過零法1.1541相關(guān)分析法（Hanning）1.7476互功率譜法（Hanning）0.5349實驗3在實驗1的基礎(chǔ)上，增加3次諧波0.1V,實驗結(jié)果如表8所示。表8疊加3次諧波后的相對誤差測相位方法相對誤差/%過零法0.5780相關(guān)分析法（Hanning）0.2427互功率譜法（Hanning）0.3882實驗4采用實際采集信號，無諧波、噪聲，信號幅值為1V,信號頻率設(shè)定為53.31Hz,相位差

20、90°,采樣頻率Fs=1000,樣本個數(shù)#s=1000o實驗結(jié)果如表9所示：表9采用實際采集信號后的相對誤差測相位方法相對誤差/%過零法1.2945相關(guān)分析法（Hanning）1.1457互功率譜法（Hanning）0.6438實驗5在實驗1的基礎(chǔ)上，提高樣本個數(shù)#s=20000,實驗結(jié)果如表10所示:表10提高樣本個數(shù)后的相對誤差測相位方法相對誤差/%過零法0.2446相關(guān)分析法（Hanning）0.0001互功率譜法（Hanning）0.3476由以上實驗數(shù)據(jù)可以得到如下結(jié)論：(6) 由實驗1和4知，各種方法對各種實際采集信號頻率的測量誤差均大于仿真信號的測量誤差；(7) 由實驗

21、1和2、3知，噪聲給結(jié)果帶來較大誤差，但高次諧波幾乎無影響；(8) 互功率譜法比過零法與相關(guān)分析法抗干擾能力強；(9) 由實驗1和5知，提高樣本個數(shù)對時域測量方法而言可以明顯提高測量精度，而對頻域方法效果不明顯。5.2算法的研究與改進5.2.1 頻率測量算法的改進頻率測量的準確度會進一步影響相位的測量，因而具有重要的意義?？紤]之前的各種頻率測量算法，均測量一次結(jié)果即輸出?，F(xiàn)對所有算法做如下循環(huán)迭代的改進6:(1)設(shè)定頻率初值f0和兩次測量允許誤差值A(chǔ)f；(2)對信號采樣；(3)計算得到頻率f1；(4)如果f1-fo>Af,則返回步驟(2),以力為初值，調(diào)整采樣頻率為力的10倍，進行重新采樣，計算f2，余類推;(5)如果f1-fo<&f,循環(huán)結(jié)束，輸出頻率測量結(jié)果和迭代次數(shù)。對多周期平均計數(shù)法按以上步驟進行循環(huán)迭代，程序框圖如下。號時網(wǎng);該并“-f周明11|二碗ml遇I圖15多周期平均計數(shù)法迭代測量頻率的程序框圖取正弦信號幅值1V,頻率53.31Hz,采樣頻率Fs=1000,樣本個數(shù)#s=1000時，迭代前頻率測量誤差為0.0069%。迭代后，取允許測量誤差為0.001%,程序迭代執(zhí)行兩次即可