實變函數(shù)復(fù)習(xí)資料,帶答案

1、(第1頁,共17頁)實變函數(shù)試卷一一、單項選擇題(3分X5=15分)1、下列各式正確的是()(A)而人ikA;(B)HmAikAk；nnn1knnnn1kn(C)limAnAk;(D)limAnA;nn1knnn1kn2、設(shè)P為Cantor集，則下列各式不成立的是()(A)Pc(B)mP0(C)PP(D)PP3、下列說法不正確的是()(A)凡外側(cè)度為零的集合都可測(B)可測集的任何子集都可測(C)開集和閉集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可測4、設(shè)fn(x)是E上的a.e.有限的可測函數(shù)列，則下面不成立的是()(A)若fn(x)f(x),則fn(x)f(x)(B)supfn(x)是可測函數(shù)(C)i

2、nffn(x)是可測函數(shù)；(D)若nnfn(x)f(x)，則f(x)可測5、設(shè)f(x)是a,b上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是()(A)f(x)在a,b上有界(B)f(x)在a,b上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)b(C)f'(x)在a,b上L可積(D)f'(x)dxf(b)f(a)a二.填空題(3分X5=15分)1、(CsACsB)(A(AB)2、設(shè)E是0,1上有理點全體，則oE=,E=,E=.3、設(shè)E是Rn中點集，如果對任一點集T者B則稱E是L可測的4、f(x)可測的條件是它可以表成一列簡單函數(shù)的極限函數(shù).(填“充分”，“必要”，“充要”)5、設(shè)f(x)為a,b上的有限函數(shù)，如果對于a,b

3、的一切分劃，使SU稱f(x)為a,b上的有界變差函數(shù)。三、下列命題是否成立？若成立，則證明之;若不成立，則舉反例說明.(5分X4=20分)1、設(shè)ER1,若E是稠密集，則CE是無處稠密集。2、若mE0,則E一定是可數(shù)集.考3、若|f(x)|是可測函數(shù),則f(x)必是可測函數(shù)生4.設(shè)f(x)在可測集E上可積分，若xE,f(x)0,則Ef(x)0四、解答題(8分X2=16分).1、(8分)設(shè)f(x)x2,x為無理數(shù)1,x為有理數(shù)題，則f(x)在0,1上是否R可積，是否L可積，若可積，求出生分值。2、(8分)求limln_x-n)excosxdxn0n得五、證明題(6分X4+10=34分)1、(6分)

4、證明0,1上的全體無理數(shù)作成的集其勢為c.超2、(6分)設(shè)f(x)是，上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)a,E(x|f(x)a是閉集。過3、(6分)在a,b上的任一有界變差函數(shù)f(x)都可以表示為兩個增函數(shù)之差。4、(6分)設(shè)mE/他)在£上可積，enE(|f|n),則limnmen0.n5、(10分)設(shè)f(x)是E上a.e.有限的函數(shù)，若對任意0,存在閉子集FE,使f(x)在F上連續(xù)，且m(EF),證明：f(x)是E上的可測函數(shù)。(魯津定理的逆定理試卷一(參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn))一、1.C2D3.B4.A5.D二、1.2、0,1;0,13、*_mTm(TE)m(TCE)n4、充要5、|f

5、(x)f(x)|成一有界數(shù)集。i1三、1.錯誤2分例如：設(shè)E是0,1上有理點全體，則E和CE(第2頁,共17頁)都在0,1中稠密5分2 .錯誤2分例如：設(shè)E是Cantor集，則mE0,但Ec,故其為不可數(shù)集5分3 .錯誤例如：設(shè)E是a,b上的不可測集，x,xE;f(x)h匚x,xa,bE;則|f(x)|是a,b上的可測函數(shù)，但f(x)不是a,b上的可測函數(shù)一4.錯誤mE0時，對E±任意的實函數(shù)f(x)都有f(x)dx0E四、1.f(x)在0,1上不是R可積的，因為f(x)僅在x1處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集.3分因為f(x)是有界可測函數(shù)，f(x)在0,1上是L可積的6分1O1因為f

6、(x)與xa.e.相等，進一步，f(x)dxxdx一80,103分2.解：設(shè)fn(x)1n2"excosx,則易知當(dāng)n時，nfn(x)02分又因L，n10,(t3),所以當(dāng)n3,x0時，ttln(xn)nxln(xn)nxln3ln3“-(1x)4分nnxnn33從而使得|fn(x)|(1x)ex6分3但是不等式右邊的函數(shù)，在0,上是L可積的，故有l(wèi)im°fn(x)dx°limfn(x)dx08分五、1.設(shè)E0,1,AEQ,BE(EQ).vB是無限集，可數(shù)子集MB2分:A是可數(shù)集，AM-M.3分BM(BM),EABAM(BM),八'''&#

7、39;.5分且(AM)(BM),M(BM),E-B,Bc.6分2.xE,則存在E中的互異點列xn,使lim%x.2n；xnE,f(xn)a.3分(第3頁,共17頁)f(x)在x點連續(xù)，f(x)limf(Xn)anxE5分E是閉集.6分3.對1,0,使對任意互不相交的有限個(a/)(a,b)nn當(dāng)(bia,)時，有f(b)if(ai)12分i1i1n將a,bm等分，使xi為1，對i1kT:xi1zoZ1Zkxi,有f(Zi)f(z1)1,所以i1f(x)在xi1,xi上是有界變差函數(shù).5分xib所以V(f)1,從而V(f)m,因此，f(x)是a,b上的有界x1a變差函數(shù).6分4、f(x)在E上可

8、積limmE(|f|n)mE(|f|)02分據(jù)積分的絕對連續(xù)性，0,0,eE,me，有e|f(x)|dx.4分對上述0,k,nnmen|f(x)|dxen5.nN,存在閉集Fn續(xù)2分令FUPlFn,則xFk1nk在F連續(xù)4分又對任意k,mEF_1m(EFn)nk2k,mE(|f|n),即limnmen06分n1,一E,mEFn-,f(x)在Fn連2k,XnkFn,nk，XFnf(x)mE(Fn)m(EFn)nknk.6分故m(EF)0,f(x)在FE連續(xù).8分又m(EF)0,所以f(x)是EF上的可測函數(shù)，從而是E上的可測函數(shù).10分(第4頁,共17頁)(B)可數(shù)個零測集的并是實變函數(shù)試卷二一

9、.單項選擇題(3分X5=15分)1 .設(shè)M,N是兩集合，則M(MN)=()(A)M(B)N(C)MN(D)2.下列說法不正確的是()(A) R的任一領(lǐng)域內(nèi)都有E中無窮多個點，則P0是E的聚點(B) P0的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個E中異于Po的點，則P0是E的聚點(C)存在E中點列Pn,使P0,則Po是E的聚點(D)內(nèi)點必是聚點3.下列斷言()是正確的。(A)任意個開集的交是開集；(B)任意個閉集的交是閉集；(C)任意個閉集的并是閉集；(D)以上都不對；4.下列斷言中()是錯誤的。(A)零測集是可測集；零測集；(C)任意個零測集的并是零測集；(D)零測集的任意子集是可測集；5.若f(x)是可測函數(shù)，

10、則下列斷言()是正確的(A)f(x)在a,bL可積|f(x)|在a,bL可積;(B)f(x)在a,bR可積|f(x)|在a,bR可積(C)f(x)在a,bL可積|f(x)|在a,bR可積；(D)f(x)在a,R廣義可積f(x)在a,+L可積二.填空題(3分X5=15分)111、設(shè)An-,2-,n1,2,，則血An。nnn=o2、設(shè)P為Cantor集，則P,mP,P=-(第5頁,共17頁)3、設(shè)§是一列可測集，則mSmSii1.di14、魯津定理：是否L可積，若可積，求出積分值。2、求極限limn101nx_._322sinnxnxdx.五.證明題(6分X3+82=34分)1.(6分)

11、1、設(shè)£僅)是(，)上的實值連續(xù)函數(shù)，則對任意常5、設(shè)F(x)為a,b上的有限函數(shù)，如果W稱F(x)為a,b上的絕對連續(xù)函數(shù)。三.下列命題是否成立？若成立，則證明之；若不成立，則說明原因或舉出反例.(5分X4=20分)1、由于0,10,10,1，故不存在使0,1和01之間11對應(yīng)的映射。2、可數(shù)個零測度集之和集仍為零測度集。3、a.e.收斂的函數(shù)列必依測度收斂。4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。四.解答題(8分X2=16分)X,X為無理數(shù)口*l日/rm1、設(shè)f(x)-s，則f(x)在0,1上是否R可積,1,x為有理數(shù)數(shù)c,Ex|f(x)c是一一開集.2. (6分)設(shè)0,開集GE,使m*

12、(GE)，則E是可測3. (6分)在a,b上的任一有界變差函數(shù)f(x)都可以表示為兩個增函數(shù)之差。4. (8分)設(shè)函數(shù)列fn(x)(n1,2,)在有界集E上“基本上”一致收斂于f(x),證明：fn(x)ae收斂于f(x)。5. (8分)設(shè)f(x)在Ea,b上可積，則對任何0,必存在E上的連續(xù)函數(shù)(x),使b|f(x)(x)|dx.a(答案及評分標(biāo)準(zhǔn))一、1,C2,C3,B4,C5,A(第6頁,共17頁)二、1,0,22,c;0;3,4,設(shè)f(x)是E上a.e.有限的可測函數(shù)，則對任意0,存在閉子集EE,使得“*)在£上是連續(xù)函數(shù)，且m(EE)。5,對任意0,0,使對a,b中互不相交的

13、任意有限個3 .錯誤。例如：取一、1,x(0,nfn(x)0,x(n,顯然fn(x)1,當(dāng)xE|fn1|(n,(0,)，作函數(shù)歹:1,2，但當(dāng)01時,n開區(qū)間ai,bi,i1,2，,n,只要biaii1n|F(b)F(a)|i1且m(n,)4 .錯誤2這說明分例如:fn(x)不測度收斂到1.5分f(x)xcos0,x元,00.1.錯誤記(0,1)中有理數(shù)全體的連續(xù)函數(shù)。R1,2,(0)12(n)72,門1,2(x)x,x為0,1中無理數(shù),如果對0,1取分劃T:012n12n12n明|f(xi)f(x)|i1四、1.f(x)在0,1上不是R可積的，因為f(x)僅在x1處顯然是0,1惻(0,1)上

14、的11映射。5分連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集2,正確設(shè)已為零測度集，0m*(UEJm*E0,所i1i1(第7頁,共17頁).6分以，m*(UEi)0因此，UEi是零測度集。5分i1i1因為f(x)是有界可測函數(shù)，所以f(x)在0,1上是L可積,r乙乙II11因為f(x)與xa.e.相等，進一步，f(x)dxxdx80,102分2設(shè)fn(x)n)22sin3nxdx,則易知當(dāng)n時，1nxfn(x)02分nx又|fn(x)|-FT4分1nx但是不等式右邊的函數(shù)，在0,上是L可積的6分故有l(wèi)imfn(x)dxlimfn(x)dx08分n00n五、1.xE,f(x)c.1分f(x)在x點連續(xù)，對f(x)

15、c0,U(x,)，當(dāng)yU(x,)時，有f(y)f(x)3分f(x)cf(y)f(x)f(x)cf(y)c,yE5分因此U(x,)E,從而E為開集.6分2.對任何正整數(shù)n,由條件存在開集GnE,使*1m(GnE)1分n令GP|Gn,則G是可測集3分n1又因m(GE)m(GnE)一對一切正整數(shù)n成立，因而n*一.一_，、八-一一m(GE)0,即MGE是一零測度集，所以也可測.5分由EG(GE)知，E可測。6分x3、易知g(x)V(f)是a,b上的增函數(shù)2分a令h(x)g(x)f(x),則對于ax1x2b有h(x2)h(x1)g(x2)g(x)f(x2)f(Xi)x2V(f)f(X2)f(X1)|f

16、(X2)f(X1)|f(X2)f(X1)0x1所以h(x)是a,b上的增函數(shù)4分因此f(x)g(x)h(x),其中g(shù)(x)與h(x)均為a,b上的有限增函數(shù).6分4、因為仁)在£上“基本上”一致收斂于f(x),所以對于(第8頁,共17頁)任意的kZ，存在可測集EkE,fn(x)在Ek上一致收斂于一1一八f(x),且m(EEk)3分k令E*UEk,則fn(x)在E*上處處收斂到f(x)5分k1m(EE*)m(EIjEk)m(EEk)k=1,2b|f(x)(x)|dx|f(x)(x)|dx|f(x)(x)|dxaeNBN|f(x)|dx|(x)|dxeNeN|f(x)(x)|dxBNFN

17、NmeN2N44N442.8分k1krr*>v所以m(EE)08分5、證明：設(shè)等E|f|n,由于f(x)在E上a.e.有限，故men0,(n).2分由積分的絕對連續(xù)性，對任何0,N,使NmeN|f(x)|dx4分eN4令BnEeN,在Bn上利用魯律定理，存在閉集FnBn和在R1上的連續(xù)函數(shù)(x)使(1)m(BNFn)；(2)xFn時,4Nf(x)(x),且sup|(x)|sup|f(x)|N6分1xRxFn所以實變函數(shù)試卷三(參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn))、單項選擇題(3分X5=15分)11、設(shè)An-,2(1)n,n1,2,，則(Bn(A)limAn0,1n(C)幽An(0,3n2、設(shè)E是0,1上

18、有理點全體,o，一、'(A)E0,1(B)E3、下列說法不正確的是(A)若AB,則m*A測度集之和集仍為零測度集(D)凡開集、閉集皆可測(第9頁,共17頁)(B)lmAn(0,1n(D)limAn(0,3)n則下列各式不成立的(D(C)E=0,1(D)mE1m*B(B)有限個或可數(shù)個零(C)可測集的任何子集都可測4、設(shè)En是一列可測集，EiE2En，且m&，則有(A)(A)mEnlimmEn(B)mEnlimmEnn1nn1n(C)mEnlimmEn；(D)以上都不對n1n5、設(shè)f(x)是a,b上絕對連續(xù)函數(shù)，則下面不成立的(B)(A)f(x)在a,b上的一致連續(xù)函數(shù)(B)f(

19、x)在a,b上處處可導(dǎo)(C)f(x)在a,b上L可積(D)f(x)是有界變差函數(shù)二.填空題(3分X5=15分)1、設(shè)集合NM,則M(MN)N2、設(shè)P為Cantor集，則Pc,mP_0,oP=o3、設(shè)E是Rn中點集，如果對任一點集T都有mTm(TE)m(TCE)，則稱E是L可測的4、葉果洛夫定理：設(shè)m(E),fn是E上一列a.e.收斂于個a.e.有限的函數(shù)f的可測函數(shù)，則對任意0,存在子集EE,使fn在E上一致收斂且m(EE)。5、設(shè)f(x)在E上可測，則f(x)在E上可積的充要條件是|f(x)|在E上可積.(填“充分”，“必要”，“充要”)三、下列命題是否成立？若成立，則證明之;若不成立，則舉

20、反例說明.(5分X4=20分)1、任意多個開集之交集仍為開集。解：不成立2分11反例：設(shè)Gn=(1,1),n=1,2,每個Gn為開集nn但Gn1,1不是開集.5分n12、若mE0,則E一定是可數(shù)集.解：不成立反例:設(shè)E是Cantor集，則mE0,但Ec,故其為不可數(shù)集.5分(第10頁，共17頁)3、a.e.收斂的函數(shù)列必依測度收斂。解：不成立2分1x(0.nl例如：取£(0,),作函數(shù)列：fn(x)I,n1,2，0.x(n,)顯然fn(X)1,當(dāng)XE。但當(dāng)01時，E|fn1|l(n,)且m(n,)這說明fn(x)不測度收斂到1巧分4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。解：不成立2分可積，是

21、否L可積，若可積，求出積分值。解：f(x)在0,1上不是R可積的，因為f(x)僅在x0處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集.3分因為f(x)是有界可測函數(shù)，f(x)在0,1上是L可積因為f(x)與x2a.e.相等，進一步,120,1f(x)dx0xdx例如：f(x)xcos2?°x1,顯然是0,1的連續(xù)函數(shù)0,x0.如果對0,1取分劃T:0-1,則容易證2n2n1322nn11明|f(x)f(x-)|:，從而得到V(f)5分0I1I1四、解答題(8分X2=16分)1、(8分)設(shè)f(x)x2,x為無理數(shù)0,x為有理數(shù)，則f(x)在0,1上是否R2、求極限limn解：記fn(x)131一2nx2

22、3.sinnxdx292nx_._3_-sinnx1nx則fn(x)在0,1上連續(xù)，因而在0,1上(R)可積和(L)可積.2llmfn(x)0,xn0,11一2nx23|fn(x)|-一2"sinnx1nx1nx21|12I1nx2(第11頁,共17頁).6分因f(x)連續(xù)，故0,x(Xo，)時，有f(x)c.4分L11且3x2在0,1上非負可積，故由Lebesgue控制收斂止理得10dx00.8分111nx23lim(R)fn(x)dxlimsinnxdxn0n01n2x2即(Xo)E.所以xo是E的內(nèi)點.由Xo的任意性,E的每一個點都是內(nèi)點，從而E為開集.五、證明題(6分X4+1

23、0=34分).1、(6分)試證(0,1)0,13、(6分)設(shè)f(x)是可測集E的非負可積函數(shù)，g(x)是E的證明：記(0,1)中有理數(shù)全體Q可測函數(shù)，且|g(x)|f(x),則g(x)也是E上的可積函數(shù)。(x)顯然(0)A(1)L(rn)rn2,n1,2(x)x,xJ0,1#無理數(shù),是0,1惻(0,1)上的11映射證明：7|g(x)|f(x),g(x)f(x),g(x)f(x)g(x)ndxf(x)ndxf(x)dxEnEnEf(x)是可測集E的非負可積函數(shù)所以(0,1)0,12、(6分)設(shè)外)是(數(shù)c,Ex|f(x)c)上的實值連續(xù)函數(shù)，則對任意常題是一開集.limg(x)dxf(x)dxn

24、nEnEg(x)是E上的可積函數(shù).4分同理，g(x)也是E上的可積函數(shù).證明:XoE,即f(x。).1分g(x)是E上的可積函數(shù)。(第12頁，共17頁)4、(6分)設(shè)f(x)在E上積分確定，且f(x)g(x)a.e于E,則g(x)在E上也積分確定，且ef(x)dxeg(x)dx證明：;f(x)g(x)a.e于EmEfg0f(x)dxg(x)dx0EfgEfg,Ef(x)dxEfgf(x)dxEfgf(x)dxg(x)dxg(x)dxg(x)dxEfgEfgE:f(x)在E上積分確定，g(x)在E上也積分確定，且Ef(x)dxEg(x)dx5、(10分)設(shè)在E上fn(x)f(x)，而fn(x)g

25、n(x)a.e.成立,n1,2,，則有g(shù)n(x)f(x)證明：記EnEfngn,由題意知mEn0由m(En)mEn0知m(En)0分n1'n1'對任意0,由于E|gnf|(En)E|fnf|n1從而有mE|gnf|m(En)m(E*f|)m(E|f”f|)n1又因為在E上fn(x)f(x)，故limm(E|fnf|)08分所以0limm(E|gnf|)limm(E|fnf|)0nn于是：limm(E|gnf|)0故在E上有g(shù)n(x)f(x)10分實變函數(shù)試卷四(參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn))一.單項選擇題(3分X5=15分)1 .設(shè)P為Cantor集，則C(A)P0(B)mP1(C)PP

26、(D)PP2.下列說法不正確的是(C)(A)P。的任一領(lǐng)域內(nèi)都有E中無窮多個點，則P。是E的聚點(B)B的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個E中異于B的點，則P0是E的聚(第13頁，共17頁)(A)mEnn1點(C)存在E中點列Pn,使PnPo,則P0是E的聚(D)內(nèi)點必是聚點3.設(shè)f(x)在E上L可積,則下面不成立的是(C)(A)f(x)在E上可測(B)f(x)在E上a.e.有限(C)f(x)在E上有界(D)|f(x)在E上L可積4.設(shè)En是一列可測集，EiE2En，則有(B)limmEn(B)mEnlimmEnnn1n(C)mEnlimmEn;(D)以上都不對n1n5.設(shè)f(x)為a,b上的有界變差函數(shù)

27、，則下面不成立的(D)(A)f(x)在a,b上L可積(B)f(x)在a,b上R可積(C)f(x)在a,b上L可積(D)f(x)在a,b上絕對連續(xù)填空題(3分X5=15分)111、設(shè)An-,2-,n1,2,，則ImAn_(0,2)。nnn02、設(shè)ER,若EE,則E是閉集；若EE,則E是互集；若EE',則E是完備集.3、設(shè)S是一列可測集，則mSimSii1i14、魯津定理：_設(shè)f(x)是E上ae有限的可測函數(shù)，則對任意0,存在閉子集EE,使得“*)在£上是連續(xù)函數(shù)，且m(EE),則稱f(x)為a,b上的有界變差函數(shù)。5、設(shè)f(x)為a,b上的有限函數(shù)，如果對于a,b的一切劃分，n

28、使|f(xi)f(xi1)|成一有界數(shù)集，則稱f(x)為a,b上的i1有界變差函數(shù)。三.下列命題是否成立？若成立，則證明之；若不成立，則說明原因或舉出反例.(5分X4=20分)1、A為可數(shù)集，B為至多可數(shù)集，則AB是可數(shù)集.(第14頁，共17頁)解：成立2分3、若|f(x)|是可測函數(shù)，則f(x)必是可測函數(shù)因A可數(shù)，所以可設(shè)A=ai,a2,an,解：不成立2分又B至多可數(shù)，設(shè)3=也1口2,bn(當(dāng)B有限時)，或x,xE;例如：設(shè)E是a,b上的/、可測集，f(x)x,xa,bE;B=bi,b2,bn,(當(dāng)B可數(shù)時)則|f(x)|是a,b上的可測函數(shù)，但f(x)不是a,b上的當(dāng)B有限時，可測函數(shù)

29、5分ABbi,b2,bn；ai,a2,an,4.設(shè)f(x)在可測集E上可積分，若xE,f(x)0,則當(dāng)B可數(shù)時，ABb1,a1,b2,a2,bn;an,Ef(x)0所以AB可數(shù).5分解：不成立2分(注:可分AB和AB討論,沒討論不扣分，主要考察mE0寸，對E上任意的實函數(shù)f(x)都有f(x)dx0巧分排序方法).E2、若mE0,則mE0.四.解答題(8分X2=16分)八、x,x>理數(shù)t口解：不成立.2分1、(8分)設(shè)f(x)小行工田初，則f(x)在0,1上是否1,跳有理數(shù)反例：E為0,1中的全體有理點集，則有mE0,而R可積，是否L可積，若可積，求出積分值。mE15分解：f(x)在0,1上不是R可積的，因為f(x)僅在x1處連注：其余例只要止確即可。續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集.3分(第15頁，共17頁)因為f(x)是0,1上的有界可測函數(shù)，f(x)在0,1上是L可意常數(shù)a,Ex|f(x)a是閉集。證明：xE,則存在E中的互異點列4,使啊x；2分1、(6分)設(shè)f(x)是上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任,r乙乙II11因為f(x)與xa.e.相等，進一步，f(x)dxxdx,80,102分2、(8分)求limln(n)excosxdxn0n解：設(shè)fn(x)x"excosx,則易知當(dāng)n時，fn(x)0n.2分又因書號蟲0,(t3),所以當(dāng)n3,x0時,l