第三章離散付氏變換

1、第三章第三章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換主要內(nèi)容主要內(nèi)容n離散傅里葉級數(shù)（離散傅里葉級數(shù)（DFS）n離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）n抽樣抽樣z變換變換頻域抽樣理論頻域抽樣理論3.1 引言引言傅里葉變換的幾種形式：傅里葉變換的幾種形式： 時間函數(shù)時間函數(shù) 頻率函數(shù)頻率函數(shù)v連續(xù)時間、連續(xù)頻率連續(xù)時間、連續(xù)頻率傅里葉變換傅里葉變換v連續(xù)時間、離散頻率連續(xù)時間、離散頻率傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)v離散時間、連續(xù)頻率離散時間、連續(xù)頻率序列的傅里葉變換序列的傅里葉變換v離散時間、離散頻率離散時間、離散頻率離散傅里葉變換離散傅里葉變換dtetxjXtjaa)()(dejXtxtjaa)(21)( F

2、T3.2 傅里葉變換的幾種可能形式傅里葉變換的幾種可能形式時域連續(xù)時域連續(xù)頻域非周期；時域非周期頻域非周期；時域非周期頻域連續(xù)頻域連續(xù) FS ktjkaejkXtx0)()(000|)()(1)(2/2/0kaTTtjkaTjXdtetxTjkX時域連續(xù)時域連續(xù)頻域非周期；時域周期頻域非周期；時域周期頻域離散頻域離散時域非周期時域非周期頻域連續(xù)；頻域連續(xù)；時域離散時域離散頻域周期頻域周期jnnjenxeX)()(deeXnxjnj)(21)(DTFT但是，前三種傅里葉變換對都不適于計算機但是，前三種傅里葉變換對都不適于計算機上運算，因為它們至少在一個域（時域或頻域）中上運算，因為它們至少在一個

3、域（時域或頻域）中函數(shù)是連續(xù)的。函數(shù)是連續(xù)的。因此，我們感興趣的是因此，我們感興趣的是時域及頻域都是離散時域及頻域都是離散的情況。的情況。若時域離散并周期化若時域離散并周期化，頻域周期化并離散化。頻域周期化并離散化。四種傅里葉變換形式的歸納四種傅里葉變換形式的歸納 時間函數(shù)時間函數(shù)頻率函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)非周期和連續(xù)連續(xù)和周期連續(xù)和周期(T0)非周期和離散非周期和離散(0=2/T0)離散離散(T)和非周期和非周期周期周期(s=2/T)和連續(xù)和連續(xù)離散離散(T)和周期和周期(T0) 周期周期(s=2/T)和離散和離散(0=2/T0)3.3 離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)

4、DFS ( Discrete Fourier Series ) 連續(xù)周期信號連續(xù)周期信號:)()(rNnxnx周期序列周期序列 ( r 為整數(shù)為整數(shù), N 為周期為周期) ktjkaaaekAtxkTtxtx0)()()()(00002 /jktTke 基頻：次諧波分量：0 ()()jknkNx nA k e 為 周 期 的 周 期 序 列 ：002 /jknNke基頻：次諧波分量：一般性的周期為一般性的周期為N的周期性序列的傅里葉變換的周期性序列的傅里葉變換kkkNjkjkijkNkXNkNeXNkNNeXnxkNNiNneXnx)2()(2)2()(2)2(2)()()2(2)()()(2

5、iiiNnnxiNnxnx)()()()(1220221100( )()( )( )( )NjjnkknNNNNjnkjnkNNnnX kX ex n ex n ex n eq周期性序列周期性序列 （周期為（周期為N）的傅里葉變換是）的傅里葉變換是一系一系列沖激函數(shù)串，其沖激函數(shù)的積分面積等于列沖激函數(shù)串，其沖激函數(shù)的積分面積等于 乘以乘以 ，而，而 是是x(n) 的一個周期的一個周期的傅里的傅里葉變換葉變換X(ej )在頻域中在頻域中 2/N/N的整數(shù)倍的各抽樣的整數(shù)倍的各抽樣點上的抽樣值。點上的抽樣值。)(nx)(kX)(kX)(nxq即：即：2NkkNkXNnxDTFT)2()(2)(2

6、012001200210122( )( ) ()212( ) ()12( )()1( )jnkNjnkNjnkNjknNkx nX kkedNNX kkedNNX kk edNNX k eN 滿足滿足0 0 2 /N從從00之前開始抽樣；之前開始抽樣；在在22之間結(jié)束抽樣；之間結(jié)束抽樣；此區(qū)間共有此區(qū)間共有N N個抽樣值：個抽樣值：0 0 k N1N1周期序列的周期序列的DFS正變換和反變換：正變換和反變換：21100( ) ( )( )( )NNjnknkNNnnX kDFS x nx n ex n W2110011( )( )( )( )NNjnknkNNkkx nIDFS X kX k

7、eX k WNN2jNNWe其中：其中： X kz與 變換的關(guān)系： 010 x nnNx nn令其它 x nz對作 變換: 10NnnnnX zx n zx n z 210jkkNNNnkNz WenX kx n WX z 可看作是對可看作是對 的一個周的一個周期期 做做z z變換然后將變換然后將z z變換在變換在z z平面單位圓上按等間隔角平面單位圓上按等間隔角 抽樣得到抽樣得到 X k x n x n2NK=01234567jImRez|z|=1N=8DFSDFS的圖示說明的圖示說明)(nxn0N-N.)(kXk0N-N例：周期序列例：周期序列 展開為展開為DFSDFS，求其系數(shù)。，求其系

8、數(shù)。nnx6cos)(njnjnjnjeeeenx)11(12212212212221212121)(。其他0)(,62/)(kXNkX1101221221221222121)(nknjnjknjnjeeeekX解：解：方法方法1 1 整理整理x(n)有有(N=12)(N=12)：rk121rk1211與與DFSDFS定義對比知：在定義對比知：在 和和 時：時： 方法方法2 2 由定義式直接計算，得由定義式直接計算，得 krkrkeeeeeekXkjkjkjkjnnkjnnkj其其它它的的,01211,6121,6112111212121)()11(12212)11(122)1(12212)1

9、(122110)11(122110)1(122 -2 -1 0 1 2 11 12 nN=12nnx6cos)(krkrkkX其它的, 01211, 6121, 6)(-2 -1 0 1 2 11 12 k6( )6x nDFS例：已知序列是周期為 的周期序列， 如圖所示，試求其的系數(shù)。10( )( )NnkNnX kx n W解：根據(jù)定義求解 560( )nknx n W22266222345666141210 8610jkjkjkjkjkeeeee(0)60(1)93 3(2)33(3)0(4)33(5)93 3XXjXjXXjXj4( )( ), ( )8( )( )x nR nx nN

10、x nx nDFS例：已知序列將以為周期 進行周期延拓成，求的。解法一：數(shù)值解10( )( )NnkNnX kx n W780( )nknx n W222238881jkjkjkeee 380nknW(0)4(1)121(2)0(3)121(4)0(5)121(6)0(7)121XXjXXjXXjXXj 210( )NjknNnX kDFS x nx n e解法二：公式解 2780jknnx n e340jknne222888jkjkjkjkjkjkeeeeee44411jkjkee38sin2sin8jkkek3.4 離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)FSFS性性1、線性：、線性：其中

11、，其中， 為任意常數(shù)為任意常數(shù),a b11( )( )XkDFS x n22( )( )XkDFS x n若若1212( )( )( )( )DFS ax nbx naXkbXk則則2、序列的移位、序列的移位2 ()( )( )jmkmkNNDFS x nmWX keX k10 ()()NnkNnDFS x nmx nm W證：1()( )Nmk i mNi mx i W inm令10( )( )NmkkimkNNNiWx i WWX k3、調(diào)制特性、調(diào)制特性( )()nlNDFS Wx nX kl10( )( )NlnlnnkNNNnDFS W x nW x n W證：1()0( )Nl k

12、 nNnx n W()X kl4、對偶性、對偶性)()()()(kxNnXDFSkXnxDFS證：證：102)()(NknkNjekXnxN102102)(1)()()(NknkNjNnnkNjekXNnxenxkX102)()(NnknNjenXkxN5、周期卷積和、周期卷積和1210( )()Nmx m x nm12( )( )( )Y kX kXk若若1120( ) ( )( )()Nmy nIDFS Y kx m x nm則則討論討論: : 周期卷積與線性卷積周期卷積與線性卷積的區(qū)別在于：周期卷積求和的區(qū)別在于：周期卷積求和只在一周期內(nèi)進行。只在一周期內(nèi)進行。( (注意周期信號的線性卷

13、積不存在注意周期信號的線性卷積不存在) )式中的卷積稱為式中的卷積稱為周期卷積周期卷積12( )( )( )y nIDFS X kXk證： 11201( )( )NknNkX k Xk WN1112001( )( )NNmkknNNkmx m WXk WN 11()12001( )( )NNn m kNmkx mXk WN1120( )()Nmx m x nm142512( )( ) ( )(1)( )6( )( )x nR nxnnR nx nxn例：已知序列，分別將序列以周期為 周期延拓成周期序列和，求兩個周期序列的周期卷積和。1120( )( )()Nmy nx m x nm解： 512

14、0( )()mx m x nm0 5 0 5 4 3 2 1 4 3 2 15 4 5 4 3 2 1 0 3 2 1 04 3 4 3 2 1 0 5 2 1 0 53 2 3 2 1 0 5 4 1 0 5 42 1 2 1 0 5 4 3 0 5 4 31 0 1 0 5 4 3 2 5 4 3 21 2 1 2 3 4 5 0 3 4 5 01 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 06 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1n m1/xn m2xm21xm22xm23xm24xm25xm2/xn m10 8 6 10 14 12 ( )y n同樣，利用對稱性同樣，利用對

15、稱性 11201( )()NlX l XklN12101( )()NlXl X klN12( )( )( )y nx n x n若若10( ) ( )( )NnkNnY kDFS y ny n W則則傅里葉變換的幾種形式：傅里葉變換的幾種形式： 時間函數(shù)時間函數(shù) 頻率函數(shù)頻率函數(shù)v連續(xù)時間非周期連續(xù)時間非周期傅里葉變換（傅里葉變換（FTFT）v連續(xù)時間周期函數(shù)連續(xù)時間周期函數(shù)傅里葉級數(shù)（傅里葉級數(shù)（FSFS）v離散時間非周期離散時間非周期序列的傅里葉變換（序列的傅里葉變換（DTFTDTFT）v離散時間周期離散時間周期離散傅里葉級數(shù)（離散傅里葉級數(shù)（DFSDFS）3.5 離散傅里葉變換離散傅里葉

16、變換有限長序列的離散頻域表示有限長序列的離散頻域表示n在進行在進行DFSDFS分析時，時域、頻域序列都是無限分析時，時域、頻域序列都是無限長的周期序列長的周期序列n周期序列實際上只有有限個序列值有意義周期序列實際上只有有限個序列值有意義n長度為長度為N N的有限長序列可以看成周期為的有限長序列可以看成周期為N N的周期的周期序列的一個周期（主值序列）序列的一個周期（主值序列）n借助借助DFSDFS變換對，取時域、頻域的主值序列可變換對，取時域、頻域的主值序列可以得到一個新的變換以得到一個新的變換DFTDFT，即有限長序列的，即有限長序列的離散傅里葉變換離散傅里葉變換( )()rx nx nrN

17、( )( )( )Nx nx n Rn ( )( )Nx nNx n長度為的有限長序列周期為的周期序列( )x n的主值序列( )x n 的周期延拓另外一種寫法是Nnxnx)()(其中其中 表示對表示對 n 取模取模N 運算運算(或模或模 N的余數(shù)的余數(shù))。Nn)()()(1nxnx對周期信號而言對周期信號而言, , 或或 。NNnxnx)()(1ImNnnnmNnnN, 10)(111舉例：舉例：設(shè)周期為設(shè)周期為 N=6N=6。則有周期序列和求余運算：。則有周期序列和求余運算： 或或 這是因為：這是因為： (19=3(19=36+1)6+1) 同理同理 或或 這是因為：這是因為： (-2=-

18、1(-2=-16+4)6+4) ) 1 ()19(xx66)1()19(xx) 4() 2(xx66)4()2(xx( )( )NX kXk( )( )( )NX kX k Rk同樣：同樣：X(k)也是一個也是一個N點的有限長序列點的有限長序列有限長序列的有限長序列的DFTDFT定義式定義式10102)()()(NnknNNnknNjWnxenxkX10102)(1)(1)(NkknNNkknNjWkXNekXNnx 1, 0 :Nk 1, 0 :Nn)()(kXnx)()(nxDFTkX)()(kXIDFTnx10( )( )( )( )( )NnkNNNnX kx n WRkX k Rk或

19、 101( )( )( )( )( )NnkNNNkx nX k WRnx n RnN2jNNWe關(guān)于離散傅里葉變換關(guān)于離散傅里葉變換(DFT)：n序列序列x(n)在時域是有限長的在時域是有限長的(長度為長度為N)，它的離，它的離散傅里葉變換散傅里葉變換X(k)也是離散、有限長的也是離散、有限長的(長度也長度也為為N)。nn為時域變量，為時域變量，k為頻域變量。為頻域變量。n離散傅里葉變換與離散傅里葉級數(shù)沒有本質(zhì)區(qū)別，離散傅里葉變換與離散傅里葉級數(shù)沒有本質(zhì)區(qū)別，DFT實際上是離散傅里葉級數(shù)的主值，實際上是離散傅里葉級數(shù)的主值，DFT也隱也隱含有周期性。含有周期性。n離散傅里葉變換離散傅里葉變換

20、(DFT)具有唯一性。具有唯一性。nDFT的物理意義：序列的物理意義：序列x(n)的的Z變換在單位圓上變換在單位圓上的等角距取樣。的等角距取樣。x(n)的的N點點DFT是是 x(n)的的z變換在單位圓上的變換在單位圓上的N點等間隔抽樣；點等間隔抽樣； x(n)的的DTFT在區(qū)間在區(qū)間0,2上的上的N點等間隔抽樣。點等間隔抽樣。DFTz與序列的DTFT和 變換的關(guān)系：10( )( )NnnX zx n z10( )( )NnkNnX kx n W10()( )Njj nnX ex n e2()jkNX e2( )jkkNNz WeX z例例1 1、計算、計算 (N=12)(N=12)的的N N點

21、點DFT.DFT.解：解： )(6cos)(nRnnxNknjnjnjnNnknNeeeWnxkX1221221221101021)()()(21)11(122110)1(122nkjnnkjee)11(122)11(2)1(122)1(211211121kjkjkjkjeeeekk其它,011, 1,6) 1(110Nk)(6cos)(12nRnnxN=120123111-1nkkkX其它, 011, 1, 6)(k01 231164( )( ),( )816DFTx nR nx n例：已知序列求的 點和點。 DTFTx n解：求的 jj nnX ex n e222222jjjjjjeeee

22、ee32sin 2sin/2je30j nne411jjee 8 8x nDFTN 求的 點 28jkX kX e32 42sin 281 2sin28jkkek38sin2sin8jkkek 16 16x nDFTN 求的點 216jkX kX e3 22 162sin 2161 2sin2 16jkkek316sin4sin16jkkekN=4點的點的DFT？3.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì)1、線性、線性, a b為任意常數(shù)這里，序列長度及這里，序列長度及DFT點數(shù)均為點數(shù)均為N若不等，分別為若不等，分別為N1，N2，則需補零使兩序列長度，則需補零使兩序列長度相等，均為相等

23、，均為N，且，且12max,NN N11( ) ( )X kDFT x n22( )( )XkDFT x n若若1212( )( )( )( )DFT ax nbx naX kbXk則則( ) ( ) ()x nx nx nm( )mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm2 2、圓周移位、圓周移位q從圖中兩虛線之間的從圖中兩虛線之間的主值序列的移位情況可主值序列的移位情況可以看出：以看出：q當主值序列左移當主值序列左移m m個個樣本時，從右邊會同時樣本時，從右邊會同時移進移進m m個樣本個樣本q好像是剛向左邊移出好像是剛向左邊移出的那些樣本又從右邊循的那些樣本又從右邊循環(huán)移了進來環(huán)移了進來q

24、因此取名因此取名“循環(huán)移循環(huán)移位位”。q顯然，循環(huán)移位不同顯然，循環(huán)移位不同于線性移位于線性移位 )()()(kXWnRmnxmkNNN)()()(kRlkXnxWNNnlNv 有限長序列的圓周移位導致頻譜線性相移，而有限長序列的圓周移位導致頻譜線性相移，而對頻譜幅度無影響。對頻譜幅度無影響。v時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位)()()(kXWmnxDFSmnxDFSmkNN)()()()(kRmnxDFSnRmnxDFTNNNN)()()(kXWkRkXWmkNNmkN)()()(kXkRkXN其中其中 ；同理可證另一公式。；同理可證另一公式。證：證：21

25、( )cos()()( )2NNNnlDFT x nXklXklRkN21( )sin()()( )2NNNnlDFT x nXklXklRkNj推論：推論：)()()()()(kRkNNxkRkNxnXDFTNNNN若若則則)()(kXnxDFT證：證：)()()()(KxNnXDFSKXnxDFS)()()()()()(kRkNxkRkxNnRnXDFTNNNN)()()()()(kRkNNxkRkNxnXDFTNNNN3 3、對偶性、對偶性4 4、圓周共軛對稱性、圓周共軛對稱性其中：*( )()1/2 ( )()oox nxnx nxn *1/2 ( )() NNx nxNn共軛反對稱分

26、量：*( )()1/2 ( )()eex nxnx nxn*1/2 ( )() NNx nxNn共軛對稱分量：( )( )( )eox nx nx n任意周期序列：定義：定義：( )( )( )epopx nxnxn則任意有限長序列：則任意有限長序列：( )( )( )opoNxnx n Rn *1/2 ( )() ( )NNNx nxNnRn圓周共軛反對稱序列：圓周共軛反對稱序列：( )( )( )epeNxnx n Rn *1/2 ( )() ( )NNNx nxNnRn圓周共軛對稱序列：圓周共軛對稱序列：設(shè)設(shè)N點復(fù)數(shù)序列點復(fù)數(shù)序列 )()(kXnx)()()()()(*kRkNXkRkX

27、nxDFTNNNN證明：證明：)()()()()()()()()(*1010*kRkNXkRkXkRWnxkRWnxnxDFTNNNNNnkNNnNnkNNn 則則 同理可證明：同理可證明：)()()(*kXnRnxDFTNN1*0()( )()( )NnkNNNNNnDFT xnRnxnRn W證：*10()NnkNNnxnW*10( )NmkNNmx mW *10NnkNNnxnWmn 令 *10NnkNnx n W序列序列 DFT共軛對稱性共軛對稱性( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )op

28、xnjX k序列序列 DFTRe ( )( )( )epx nXkX kIm ( )0( )0opjx nXk( )Re ( )epxnX k( )Im ( )opxnjX kRe ( ) 0( )0epx nXkIm ( )( )( )opjx nXkX k( )Re ( )epxnX k( )Im ( )opxnjX k實數(shù)序列實數(shù)序列的的共軛對稱性共軛對稱性純虛數(shù)序列純虛數(shù)序列的的共軛對稱性共軛對稱性 例：設(shè)例：設(shè)x1(n)和和x2(n)都是都是N點的實數(shù)序列，試用點的實數(shù)序列，試用一次一次N點點DFT運算來計算它們各自的運算來計算它們各自的DFT: 11( )( )DFT x nX k

29、22( )( )DFT x nXk解：利用兩序列構(gòu)成一個復(fù)序列12( )( )( )w nx njx n12( ) ( )( )( )W kDFT w nDFT x njx n則12( )( )DFT x njDFT x n12( )( )X kjXk1( )Re ( )x nw n由得11( )( )Re ( )( )epXkDFT x nDFTw nWk*1( )() ( )2NNNWkWNkRk2( )Im ( )x nw n由得221( )( )Im ( )( )opXkDFT x nDFTw nWkj*1( )() ( )2NNNWkWNkRkj五、五、Parseval Theory

30、1010*)()(1)()(NnNkkYkXNnynx210102)(1)(kXNnxNnNk若令若令 y(n) = x(n)表明序列時域、頻域能量相等表明序列時域、頻域能量相等六、圓周卷積和六、圓周卷積和圓周卷積圓周卷積A A：設(shè)設(shè))()()(kYkXkF)()(kFnf則則)()()()(10nRmnymxnfNNmN實際上，實際上，圓周卷積為周期卷積的主值序列圓周卷積為周期卷積的主值序列。即。即)()()()()()(nRnfnRnynxnfNN圓周卷積圓周卷積B B：設(shè)設(shè))()()(nynxnf)()(kFnf圓周卷積記為圓周卷積記為)()()(nynxnfN)()()()()(1)(

31、10kYkXkRlkYlXNkFNNlNN圓周卷積過程：1）補零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圓周移位5）相乘相加12( )( )x nx nN1120( )( )() ( )NNNmy nx m xnmRn1210( )() ( )NNNmx m xnmRn21( )( )x nx nN兩個兩個N N點序列的點序列的N N點圓周卷積得到點圓周卷積得到的結(jié)果仍為的結(jié)果仍為N N點點序列。序列。 圓周卷積圓周卷積)(nxn0 0N-1N-1)(nyn110 0N-1N-10 0N-1N-1)( my mn=0n=01)1(myn=1n=1)2(myn=2n=2)(nfmmn0 0N-1N-

32、1N-1N-10 00 0N-1N-12 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 3)(nfN=8N=8m N-m 1 N-1 2 N-2 N-3 討論討論1:1:圓周卷積的物理意義圖示說明圓周卷積的物理意義圖示說明討論討論2:2:圓周卷積與線性卷積：圓周卷積與線性卷積：1) 1) 設(shè)設(shè))10()(Nnnx)10()(MNny有限長有限長(N(N點點) )有限長有限長(M(M點點) )則線性卷積則線性卷積mmnymxnynxnf)()()()()(有限長有限長(N+M-1)(N+M-1)2) 2) 而作長度為而作長度為L L的圓周卷積的圓周卷積，即即)( )()()()(nRrLn

33、fnRnfnfLrLllLLlnynxnynxnf)()()()()( (周期卷積周期卷積) )其中其中)()()()()()(10nynxnRmnymxnfLLmLlL則則11, 020),()(LnMNMNnnfnfl)()()(nRnfnfLll1MNL1=N+M-1L=N+M-1。補L-N個零x(n)L點DFT補L-M個零h(n)L點DFTL點IDFTy(n)= x(n)*h(n) 物理意義不同，周期卷積是周期信號運算與物理意義不同，周期卷積是周期信號運算與DFSDFS系數(shù)運算的關(guān)系；圓周卷積是有限序列運系數(shù)運算的關(guān)系；圓周卷積是有限序列運算與算與DFTDFT變換結(jié)果運算的關(guān)系（后面將

34、說明這變換結(jié)果運算的關(guān)系（后面將說明這是有限序列運算與對應(yīng)的頻譜運算的關(guān)系）。是有限序列運算與對應(yīng)的頻譜運算的關(guān)系）。 七、線性相關(guān)與圓周相關(guān)七、線性相關(guān)與圓周相關(guān)*( )( )()xynrmx n y nm*()( )nx nm y n線性相關(guān)：線性相關(guān)：*( )( )()xxnrmx n x nm*()( )()xxnx nm x nrm自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：*( )( )()xyyxxyrmrmrm相關(guān)函數(shù)不滿足交換率：相關(guān)函數(shù)不滿足交換率：*( )( )()yxnrmy n x nm*( ) ()kx k y km*( ) ()kx k y km *( )()kx k y km *(

35、)xyrm*( )( )()xynrmx n y nm相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的z變換：變換：*1( )( )()xyRzX z Yz( )( )mxyxymRzrm z*( )()mmnx n y nm z *( )()mnmx ny nm z*()( )( )k nnkx ny k z*( )( )nknkx n zy k z*1( )()X z Yz*()()()jjjxyReX eYe2()()jjxxReX e相關(guān)函數(shù)的頻譜：相關(guān)函數(shù)的頻譜：圓周相關(guān)定理圓周相關(guān)定理 ()( )xyxyrmIDFT Rk則1*0( )()( )NNNnx n ynmRn* ( )( )( )xyRkX kY

36、k若1*0( ) ()( )NNNny n x nmRn121NNN當當 時，時，圓周相關(guān)可完全代表線性相關(guān)圓周相關(guān)可完全代表線性相關(guān)類似于線性卷積與圓周卷積之間的關(guān)系類似于線性卷積與圓周卷積之間的關(guān)系作作 業(yè)業(yè)nP207: 3.3,3.4,nP208: 3.5(1)(2)(3)3.7 抽樣抽樣z變換變換頻域抽樣理論頻域抽樣理論時域抽樣定理：在滿足奈奎斯特定理條件下，時域抽樣信號可以不失真地還原原連續(xù)信號。頻域抽樣呢？抽樣條件？內(nèi)插公式？( ) ( )( )( )kNnkNz WnX zNX kX zx n W對在單位圓上 點等間隔抽樣，得周期序列：( )z( )( )nnx nX zx n

37、z任意絕對可和的非周期序列，其 變換： nx(n)為無限長序列為無限長序列混疊失真混疊失真nx(n)為有限長序列，長度為為有限長序列，長度為M由頻域抽樣序列 還原得到的周期序列是原非周期序列 的周期延拓序列，其周期為頻域抽樣點數(shù)N。所以：時域抽樣造成頻域周期延拓同樣，頻域抽樣造成時域周期延拓 kX nx1 NM），不失真2NM），混疊失真頻率采樣定理頻率采樣定理若序列長度為M，則只有當頻域采樣點數(shù):時，才有即可由頻域采樣 不失真地恢復(fù)原信號 ，否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。NM( )( )( )( )( )NNNxn RnIDFS X k Rnx n kX nx七七 、用、用DFT對模擬信號作頻譜分析

38、對模擬信號作頻譜分析信號的頻譜分析：計算信號的傅里葉變換信號的頻譜分析：計算信號的傅里葉變換00shTfTFNf時域采樣間隔時域采樣頻率信號記錄長度（頻率分辨率）頻域采樣間隔采樣點數(shù)信號最高頻率00sTfNTF1/sfT2shff001/TF0sfNF0TNT對連續(xù)時間非周期信號的DFT逼近()( )j tX jx t edt 1( )2j tx tXjed()( )()j tj nTnX jx t edtx nT eT ntnTdtTdtT1）將 在 軸上等間隔（T）分段( )x tt2）將 截短成有限長序列( )x n00 tTN， 個時域抽樣點N-10()()j nTnX jTx nT e 002 F 0k 210( )NjnkNnTx n e3）頻域抽樣：一個周期分N段，采樣間隔 ，時域周期延拓， 周期為0F001/TF0N-100()()jknTnX jkTx nT e002/2/sTFfN ( )T DFT x n002 F 3）頻域抽樣：一個周期分N段，采樣間隔 ，時域周期延拓， 周期為0F001/TF01()()2sj nTx nTX jed010001()2NjknTkX jke0100Nkdd