中考培優(yōu)競賽專題經(jīng)典講義第29講存在性問題之特殊四邊形

1、第29講 存在性問題之特殊四邊形菱形存在性問題，抓住鄰邊相等(即等腰三角形)和對角線垂直；矩形存在性問題，抓住內(nèi)角90°與對角線相等；正方形存在性問題，抓住等腰直角三角形的性質(zhì)即可？【例題講解】例題1做口圖，在RtAABC中，/C=90° AC=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向以2cm/s的速度向終點(diǎn) A運(yùn)動 侗時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度向終點(diǎn) B運(yùn)動，將ABPQ沿BC翻折，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn) 為點(diǎn)P', 設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動的時間t秒若四邊形QPB P'為菱形,求t的值？解:若四邊形QPBP為菱形,t=2秒理由如下：?C=90

2、6; AC=BC, AA ABC 是等腰直角三角形，？?/ ABC=45 ° ,?點(diǎn)P的速度是每秒2 cm,點(diǎn)Q的速度是每秒1cm,? BP= 2tcm,BQ=(6 t)cm,?四邊形 QPBP為菱形，? 2t X 2 3 4 = 6 上，解得:t=2; 22即若四邊形QPBP'為菱形的值為2秒.例題2珈圖，已知0(0,0),A(4,0),B(4,3).動點(diǎn)P從0點(diǎn)出發(fā),以每秒3個單位的速度,沿AOAB的邊0A、AB作 勻 速運(yùn)動；動直線I從AB位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度向x軸負(fù)方向作勻速平移運(yùn)動 潛它們同時出發(fā)，運(yùn)動的時 間為t秒,當(dāng)直線I運(yùn)動到0時，它們都停止運(yùn)動？當(dāng)

3、P在線段AB上運(yùn)動時，設(shè)直線I分別與0A、0B交于C、D,試 問：四邊形CPBD是否可能為菱形？若能，求出此時t的值;若不能，請說明理由，弁說明如何改變 直線I的出發(fā)時 間，使得四邊形CPBD會是菱形？一一2216 2 4 220CP =7AC2 AP2 J(6)( )6,因?yàn)镃PM BP,所以四邊形 CPBD不可能為菱形若要使四邊形 CPBD為菱形，設(shè)直線比P點(diǎn)遲x秒出發(fā)貝 U AC=t -x,AP=3t 4,BP=CP=7 3t,因?yàn)樗倪呅蜛C AP CPCPBD 為菱形，則 CP / OB,所以 ACPAOB,則,OA AB OB3t 4 t xt 41則 t x 3t 47 3t,34

4、 ,解得：24,0A AB 344解:四邊形CPBD不可能為菱形？如圖所示，根據(jù)題意可得,AC= t,AP=3t 4,BP=3 AP=7 3t,0C=4 t,因?yàn)?CD / AB,所以 A0CDsAOAB,所以 C CD ,即 CD ±，解得:CD = - (4t),因?yàn)镃D=BP,所以-(4 1)=7 3t,解得:t= 一，所以BP=5,在公ACP中,由勾股定理得493435 3t 47 3t5x 35245 即直線比P點(diǎn)遲 11秒出發(fā)時可使四邊形CPBD為菱形.243例題3珈圖,直線y= -x+3與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿BA邊向終點(diǎn)

5、A運(yùn)動，同時點(diǎn)Q以相同的速度從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)沿OB邊向終點(diǎn)B運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒. 求點(diǎn)A,B的坐標(biāo)； 在點(diǎn)P,Q運(yùn)動的過程中，是否存在點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A,P,Q,N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，求t的值弁直接 寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.3解：(1)對于直線 y= -x+3，令 x=0，得到 y=3,令 y=0 得到 x=4，二 A(0,3), B(4,0); 4(2)存在以點(diǎn)APQN為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如圖 2 所示，當(dāng)/ APQ=90 時，/ BPQ= / AOB=9O °BP t 4164 29由得:cos/ PBQ= BP,即t 4,解得:t= 16此時N

6、坐標(biāo)為(4 ,29)BQ 4 t 595 15 如果 / PAQ=90 /OAB 為銳角，/ PAQ</OAB,?不成立，/ PAQm90°如果/ AQP=90當(dāng)Q與O重合時,t=0,此時N坐標(biāo)為(4,3),4當(dāng)0<t W5寸如圖3所示過P作PM，x軸于點(diǎn)M.由得：MB = t,59-QM=OB OQ BM =4 t, 5?/AOQ= /QMP = / AQP=90 ? /OAQ=/MQP , ?RtAAOQ sRtAQMP 5 綜上所述：當(dāng)t的值為0,孑丁時.AO/N (MQ PM ,即4 9t 3t ,解得F此時N坐標(biāo)為9,打554 299 56以點(diǎn)APQN為頂點(diǎn)的四

7、邊形是矩形，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為(4,3) (, 29 ), ( 9 ,)5 155 15例題4珈圖，拋物線y=/+bx+c與x軸交于A( 1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是 M'.(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在過A,B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q,使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此 拋物線的解析式；若不存在，請說明理由？解。)根據(jù)題意，拋物線 y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn) A( 1,0),B(3,0),則將點(diǎn) A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式可得b c+3 X得：12+4c=0,解得c= 3,代入得b= 2,故原方程組的解為3b c的表達(dá)式為y= x

8、 2 1 2A、B兩點(diǎn)的拋物線y= (x- 1)2+2或丫= (x- 1)2 2,其頂點(diǎn)P關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為 2使得四邊形APBQ是正方形？【鞏固訓(xùn)練】1則圖，在Rt A ABC中，/C=90 °AC=BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向以每秒.2 cm的速度向終點(diǎn) A運(yùn)動；同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動將ABPQ沿BC翻折，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為 點(diǎn)P', 設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動的時間t秒,若四邊形QPBP'為菱形,則t的值為 2x 3.存在飲口圖所示，四邊形APBQ是正方形煙為四邊形APBQ是正方形，所以該拋物線頂點(diǎn)肯定在 AB的中垂 線 上，且AB

9、=PQ,AB與PQ相互垂直平分，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1,2)或P(1, 2).當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為P(1,2)時,設(shè)拋物 線 解析式為y=a(x - 1)2+2?因?yàn)閽佄锞€過 A、B兩點(diǎn)，所以將點(diǎn)A坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得a( 1 1)2+2=0，解得1a= 2,1故拋物線的解析式為：y= (x- 1)2+2。2當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為P(1, 2)時，設(shè)拋物線解析式為y=a'(x - 1)2 2。因?yàn)閽佄锞€過 A、B點(diǎn)，所以將點(diǎn)坐標(biāo)代入1函數(shù)解析式得a'( 1 1)2 2=0，解得a'= ,21故拋物線的解析式為y=2(x- 1)2-2Q,綜上所述：存在過BC2領(lǐng)口圖，在平面直角坐標(biāo)系中,二次

10、函數(shù)y=/+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)，與y軸交 于C(0,3),點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的動點(diǎn)？(1)求二次函數(shù)解析式；連接P0、PC,弁將APOC沿y軸對折，得到四邊形P0P'C,那么是否存在點(diǎn) P,使得四邊形P0P'C為菱形？ 若存 在，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；3 .如圖，矩形0ABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,4), 一次函數(shù)y -x b的3圖象與邊OC、AB分別交于點(diǎn)D、E,弁且滿足OD BE ?點(diǎn) M是線段DE上的一個動點(diǎn).(1)求b的值；(2)連結(jié)0M,若三角形ODM的面積與四邊形 O

11、AEM的面積之比為1:3,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3) 設(shè)點(diǎn)N是x軸上方平面內(nèi)的一點(diǎn)，以 0、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)N的坐標(biāo).(3)如圖2,將AQM沿AD翻折，得SD0AKM ,請問是否存在某時刻 t,使四邊形AQMK為正方形？說督用國4 .如圖1,已知Rt ABC中，C 90 , AC 8cm , BC 6cm .點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn) A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它們的速度均為 2cm/s .以AQ、PQ為邊作平行 四邊形AQPD，連接DQ,交AB于點(diǎn)E .設(shè)運(yùn)動的時間為t (單位：s)(0制t 4).解答下列問題：(1)用含有t的代數(shù)式表示 AE .(

12、2)當(dāng)t為何值時，平行四邊形 AQPD為矩形.(3)如圖2,當(dāng)t為何值時，平行四邊形 AQPD為菱形.5項圖1,在直角梯形ABCD中，AD/BC , ADC 90 , AD CD 4 , BC 3 .點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)以 每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動.同時，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn) C運(yùn) 動.其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.過點(diǎn)N作NP AD于點(diǎn)P .連接AC交NP于點(diǎn)Q,連接MQ .設(shè)運(yùn)動時間為t秒.(1)填空：AM ; AP .(用含t的代數(shù)式表示)(2) t取何值時，梯形 ABNM面積等于梯形 ABCD面積的】；明理由.6.如圖，二次函數(shù)y x2 x

13、 c的圖象與x軸分別交于 A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是 M(1)若A( 4,0),求二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)在(1)的條件下，求四邊形 AMBM的面積；(3) 是否存在拋物線 y x2 x c,使得四邊形 AMBM為正方形？若存在，請求出此拋物線的函數(shù)關(guān)系7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別相交于點(diǎn) A(6,0)、B(0,8).點(diǎn)C(0,m)是線段OB上動點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE AB于點(diǎn)E,點(diǎn)D為x軸上一動點(diǎn)，連結(jié) CD、DE,以CD、DE為邊作YCDEF .(1)求CE的長(用含m的代數(shù)式表示);(2) 當(dāng)m 3時，是否存在點(diǎn) D,使YCDEF得頂點(diǎn)F恰好落在y軸上？若存

14、在，求出點(diǎn) D的坐標(biāo)；若不 存在，請說明理由；(3) 點(diǎn)D在整個運(yùn)動過程中，若存在唯一的位置，使得 YCDEF為矩形，請求出所有滿足條件的m的值.(3)如圖2,將AQM沿AD翻折，得 AKM ,請問是否存在某時刻 t,使四邊形AQMK為正方形？說參考答案1?答案：22?解:(1)將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入y=/+bx+c ,得9 3b c,3b c，將代入，得b= 2.3c故二次函數(shù)的解析式為 豪一2x 3.如圖1所示,假設(shè)拋物線上存在點(diǎn) P,使四邊形POP'C為形，連接PP交CO于點(diǎn)E,因?yàn)樗倪呅蜳OP'C為菱33形，所以PC=PO,PE，CO.故OE = EC=,即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

15、2222 10十、412 G o 3 和 210 T 210 業(yè) 2 10 口丑BC 下萬，由 x2 2x 3=,得 x=2 或 x=，當(dāng) x= 時，點(diǎn)P不在直線故舍去 做存在這樣吊點(diǎn)，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為,(2 103)3.解:(1) y中，令x 0,解得D的坐標(biāo)是(0,b),ODQODBE ,BE的坐標(biāo)是(3,4 b),把E 白解 得：勺坐標(biāo)代 入b 3;(2)竊邊形OAEDOD AEQ三角形ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1:3 ,設(shè)M的橫坐標(biāo)是3a1?5 ,解得：a 1 ,把x a 1代入則M的坐標(biāo)是7(1,3)(3)當(dāng)四邊形OMDN是蕤夔,如圖(1),M的縱坐標(biāo)是-223x 3,

16、乙，9解得：x 9則M的坐標(biāo)是(9 , 3)，4則N的坐標(biāo)是(-42當(dāng)四邊形OMND是菱形時，如圖(2) OM OD 3 ,設(shè)M的橫坐標(biāo)是 m,則縱坐標(biāo)是-m 3 ,3則m22-m 3)239,解得：m 36或0 （舍去）13則M的坐標(biāo)是（竺，蘭）.1313則DM的中點(diǎn)是（蘭，空）13 ?則N的坐標(biāo)是（竺,13139故N的坐標(biāo)是（一，|脛口,m44.解：(1) Q Rt ABC 中， C 0 , AC 8cm , BC6cm.由勾股定理得：AB 10cm ,Q點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，速度均為2 cm/ sBP 2tcm ,AP AB BP 10 2t ,Q四邊形AQPD為平行四邊

17、形，1AE AP 5 t - 2(2)當(dāng)YAQPD是矩形時，PQ AC ,PQ/BC ,APQ s ABCQA AC AP AB即旦空10 2t 10解之t 209YAQPD是矩形;(3) 當(dāng)YAQPD是菱形時，DQ AP貝 V COS BACAE ACAQ AB2t 5解之t25兀時，YAQPD是菱形.5.解：(1)如圖 1. Q DM 2tAM AD DM 4 2tQ 在直角梯形 ABCD 中,AD/BC , ADC 90 , NP AD 于點(diǎn) P ,四邊形CNPD為矩形，DP CN BC BN 3 t ,AP AD DP 4 (3 t) 1 t ;11(2)如圖1 . Q梯形ABNM的面

18、積等于梯形 ABCD面積的111 1-(t 4 2t) 4(3 4) 4,23 2解得t -.351當(dāng)t時，梯形ABNM面積等于梯形 ABCD面積的-;33(3) 存在時刻t 1 ,能夠使四邊形 AQMK為正方形.理由如下:2Q ADC 90 , AD CDCAD 45Q將AQM沿AD翻折，得AKM ,QM KM , AQ AK , KAQ 2 CAD 90若四邊形AQMK為正方形，則AQ MQQ NP MA ,MP AP ,AM 2AP ,4 2t 2(1 t),1當(dāng)t時，四邊形 AQMK為正方形.2故答案為：4 2t ; 1 t .圖】 /即26.解：(1) Q A( 4,0)在二次函數(shù)y

19、 x x c的圖象上，2 ( 4) c 0解得c 20 ,2二次函數(shù)的關(guān)系式為 y x x 20(2) Q y x2 x 20 (x ±)2 81 , 24181頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(一，一)， 241Q A( 4,0),對稱軸為x -, 2點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),AB 5( 4)5 4,c181 72 S ABM 248Q頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是 M ,c7272S四邊形2s ABM 2;AMBM843(3)存在拋物線y x2 x ,使得四邊形AMBM為正方形.4理由如下：令y 0,則x2 x c 0,設(shè)點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為 A(x , 0) , B(X2, 0),所以，AB(N X2)2 4X1X21 4c點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：4ac b 24aQ頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是4c 1M,四邊形AMBM為正方形,4c 11 4c 2 -4整理得，16c2 8c 3 0 ,解得 c1 1, c2344又拋物線與X軸有兩個交點(diǎn),2 2 1 b 4ac ( 1)4