離散數(shù)學(xué)ch8v0413

1、1第八章第八章 函數(shù)函數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容函數(shù)的定義與性質(zhì)函數(shù)的定義與性質(zhì)l 函數(shù)定義函數(shù)定義l 函數(shù)性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)函數(shù)運(yùn)算函數(shù)運(yùn)算l 函數(shù)的逆函數(shù)的逆l 函數(shù)的合成函數(shù)的合成雙射函數(shù)與集合的基數(shù)雙射函數(shù)與集合的基數(shù)28.1 函數(shù)的定義與性質(zhì)函數(shù)的定義與性質(zhì)主要內(nèi)容主要內(nèi)容函數(shù)定義與相關(guān)概念函數(shù)定義與相關(guān)概念l 函數(shù)定義函數(shù)定義l 函數(shù)相等函數(shù)相等l 從從A到到B的函數(shù)的函數(shù)f:ABl BAl 函數(shù)的像與完全原像函數(shù)的像與完全原像函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)l 單射、滿射、雙射函數(shù)的定義與實(shí)例單射、滿射、雙射函數(shù)的定義與實(shí)例l 構(gòu)造雙射函數(shù)構(gòu)造雙射函數(shù)某些重要的函數(shù)某些重要的函數(shù)3函數(shù)定義函數(shù)定義定義定義

2、8.1 設(shè)設(shè) F 為二元關(guān)系為二元關(guān)系, 若若 xdomF 都存在唯一的都存在唯一的yranF 使使 xFy 成立成立, 則稱則稱 F 為為函數(shù)函數(shù) 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)F, 如果有如果有 xFy, 則記作則記作 y=F(x), 并稱并稱 y 為為F 在在 x 的的值值. 例例 F1=, F2=, F1是函數(shù)是函數(shù), F2不是函數(shù)不是函數(shù) 定義定義8.2 設(shè)設(shè)F, G 為函數(shù)為函數(shù), 則則 F=G F GG F 如果兩個(gè)函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)F 和和 G 相等相等, 一定滿足下面兩個(gè)條件：一定滿足下面兩個(gè)條件： (1) domF=domG (2) xdomF=domG 都有都有F(x)=G(x) 函數(shù)函

3、數(shù)F(x)=(x2 1)/(x+1), G(x)=x 1不相等不相等, 因?yàn)橐驗(yàn)?domF domG.4從從A到到B的函數(shù)的函數(shù)定義定義8.3 設(shè)設(shè)A, B為集合為集合, 如果如果 f 為函數(shù)為函數(shù), domf=A, ranf B, 則稱則稱 f 為為從從A到到B的函數(shù)的函數(shù), 記作記作 f：AB.例例 f：NN, f(x)=2x 是從是從N到到N的函數(shù)的函數(shù), g：NN, g(x)=2 也是從也是從N到到N的函數(shù)的函數(shù). 定義定義8.4 所有從所有從A到到B的函數(shù)的集合記作的函數(shù)的集合記作BA, 符號(hào)化表示為符號(hào)化表示為 BA = f | f：AB |A|=m, |B|=n, 且且m, n0

4、, |BA|=nmA=, 則則BA=B=A且且B=, 則則BA=A= 5實(shí)例實(shí)例例例1 設(shè)設(shè)A=1,2,3, B=a,b, 求求BA.解解BA= f0, f1, , f7, 其中其中 f0 = , f1 = , f2 = , f3 = , f4 = , f5 = , f6 = , f7 = ,6函數(shù)的像和完全原像函數(shù)的像和完全原像定義定義8.5 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f：AB, A1 A, B1 B(1) A1在在 f 下的像下的像 f(A1) = f(x) | xA1, 函數(shù)的像函數(shù)的像 f(A) (2) B1在在 f 下的完全原像下的完全原像 f 1(B1)=x|xAf(x)B1注意：注意：l 函

5、數(shù)值與像的區(qū)別：函數(shù)值函數(shù)值與像的區(qū)別：函數(shù)值 f(x)B, 像像f(A1) Bl 一般說來一般說來 f 1(f(A1)A1, 但是但是A1 f 1(f(A1)例例 設(shè)設(shè) f：NN, 且且令令A(yù)=0,1, B=2, 那么有那么有 f(A) = f( 0,1) = f(0), f(1)=0,2 f 1(B) = f 1(2)=1,4 為奇數(shù)為奇數(shù)若若為偶數(shù)為偶數(shù)若若xxxxxf12/)(7函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)定義定義8.6 設(shè)設(shè) f：AB,(1) 若若 ranf=B, 則稱則稱 f:AB是是滿射滿射的的(2) 若若 yranf 都存在唯一的都存在唯一的 xA 使得使得 f(x)=y, 則稱則稱

6、f:AB 是是單射單射的的(3) 若若 f:AB 既是滿射又是單射的既是滿射又是單射的, 則稱則稱 f:AB是是雙射雙射的的例例2 判斷下面函數(shù)是否為單射判斷下面函數(shù)是否為單射, 滿射滿射, 雙射的雙射的, 為什么為什么?(1) f:RR, f(x) = x2+2x 1(2) f:Z+R, f(x) = lnx, Z+為正整數(shù)集為正整數(shù)集(3) f:RZ, f(x) = x (4) f:RR, f(x)=2x+1(5) f:R+R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中其中R+為正實(shí)數(shù)集為正實(shí)數(shù)集. 8例題解答例題解答解解(1) f:RR, f(x)= x2+2x 1 在在x=1取得極大值取得

7、極大值0. 既不是單射也不是滿射的既不是單射也不是滿射的(2) f:Z+R, f(x)=lnx 是單調(diào)上升的是單調(diào)上升的, 是單射的是單射的. 但不滿射但不滿射, ranf=ln1, ln2, .(3) f:RZ, f(x)= x 是滿射的是滿射的, 但不是單射的但不是單射的, 例如例如f(1.5)=f(1.2)=1(4) f:RR, f(x)=2x+1 是滿射、單射、雙射的是滿射、單射、雙射的, 因?yàn)樗菃握{(diào)函數(shù)并且因?yàn)樗菃握{(diào)函數(shù)并且ranf=R(5) f:R+R+, f(x)=(x2+1)/x 有極小值有極小值 f(1)=2. 該函數(shù)既不是單射的也不是滿射的該函數(shù)既不是單射的也不是滿射的

8、9實(shí)例實(shí)例例例3 對(duì)于給定的集合對(duì)于給定的集合A和和B構(gòu)造雙射函數(shù)構(gòu)造雙射函數(shù) f:AB(1) A=P(1,2,3), B=0,11,2,3(2) A=0,1, B=1/4,1/2(3) A=Z, B=N(4) , B= 1,123,2 A10解答解答(1) A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3. B=f0, f1, , f7, 其中其中 f0=, f1=, f2=, f3=,f4=, f5=,f6=, f7=,. 令令 f:AB, f()=f0, f(1)=f1, f(2)=f2, f(3)=f3, f(1,2)=f4, f(1,3)=f5, f(2,3)=f6, f(1,2

9、,3)=f711(2) 令令 f:0,11/4,1/2, f(x)=(x+1)/4 01202)(,NZxxxxff：(4) 令令 f: :/2,3/2 1,1 f(x) = sinx 解答解答(3) 將將Z中元素以下列順序排列并與中元素以下列順序排列并與N中元素對(duì)應(yīng)：中元素對(duì)應(yīng)：Z： 0 11 2 2 3 3 N： 0 1 2 3 4 5 6 這種對(duì)應(yīng)所表示的函數(shù)是：這種對(duì)應(yīng)所表示的函數(shù)是：12某些重要函數(shù)某些重要函數(shù)定義定義8.7 (1)設(shè)設(shè) f:AB, 如果存在如果存在cB使得對(duì)所有的使得對(duì)所有的 xA都有都有 f(x)=c, 則稱則稱 f:AB是是常函數(shù)常函數(shù).(2) 稱稱 A上的恒等

10、關(guān)系上的恒等關(guān)系IA為為A上的上的恒等函數(shù)恒等函數(shù), 對(duì)所有的對(duì)所有的xA都都 有有IA(x)=x.(3) 設(shè)設(shè), 為偏序集，為偏序集，f:AB，如果對(duì)任意的，如果對(duì)任意的 x1, x2A, x1 x2, 就有就有 f(x1) f(x2), 則稱則稱 f 為為單調(diào)遞增單調(diào)遞增的；的；如如 果對(duì)任意的果對(duì)任意的x1, x2A, x1 x2, 就有就有f(x1) f(x2), 則稱則稱 f 為為嚴(yán)嚴(yán) 格單調(diào)遞增格單調(diào)遞增的的. 類似的也可以定義單調(diào)遞減和嚴(yán)格單調(diào)遞類似的也可以定義單調(diào)遞減和嚴(yán)格單調(diào)遞 減的函數(shù)減的函數(shù)13(4) 設(shè)設(shè)A為集合為集合, 對(duì)于任意的對(duì)于任意的A A, A的的特征函數(shù)特征

11、函數(shù) A :A0,1定義為定義為 A(a)=1, aA A(a)=0, aA A(5) 設(shè)設(shè)R是是A上的等價(jià)關(guān)系上的等價(jià)關(guān)系, 令令 g:AA/R g(a)=a, aA稱稱 g 是從是從 A 到商集到商集 A/R 的的自然映射自然映射某些重要函數(shù)某些重要函數(shù)14實(shí)例實(shí)例例例4 (1) 偏序集偏序集, , R 為包含關(guān)系為包含關(guān)系, 為為一般的小于等于關(guān)系一般的小于等于關(guān)系, 令令 f:P(a,b)0,1, f()=f(a)=f(b)=0, f(a,b)=1, f 是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的, 但不是嚴(yán)格單調(diào)遞增的但不是嚴(yán)格單調(diào)遞增的(3) 不同的等價(jià)關(guān)系確定不同的自然映射不同的等價(jià)關(guān)系確定不同的

12、自然映射, 恒等關(guān)系確定的自恒等關(guān)系確定的自然映射是雙射然映射是雙射, 其他自然映射一般來說只是滿射其他自然映射一般來說只是滿射. 例如例如 A=1,2,3, R=,IA g: AA/R, g(1)=g(2)=1,2, g(3)=3(2) A的每一個(gè)子集的每一個(gè)子集 A都對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征函數(shù)都對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征函數(shù), 不同的子集對(duì)不同的子集對(duì) 應(yīng)于不同的特征函數(shù)應(yīng)于不同的特征函數(shù). 例如例如A=a,b,c, 則有則有 =,， a,b=,158.2 函數(shù)的復(fù)合與反函數(shù)函數(shù)的復(fù)合與反函數(shù) 主要內(nèi)容主要內(nèi)容l 復(fù)合函數(shù)基本定理復(fù)合函數(shù)基本定理l 函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算與函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算與函數(shù)性質(zhì)l 反函數(shù)的

13、存在條件反函數(shù)的存在條件l 反函數(shù)的性質(zhì)反函數(shù)的性質(zhì)16復(fù)合函數(shù)基本定理復(fù)合函數(shù)基本定理定理定理8.1 設(shè)設(shè)F, G是函數(shù)是函數(shù), 則則F G也是函數(shù)也是函數(shù), 且滿足且滿足(1) dom(F G)=x|xdomFF(x)domG(2) xdom(F G)有有F G(x)=G(F(x)證證 先證明先證明F G是函數(shù)是函數(shù). 因?yàn)橐驗(yàn)镕, G是關(guān)系是關(guān)系, 所以所以F G也是關(guān)系也是關(guān)系. 若對(duì)某個(gè)若對(duì)某個(gè)xdom(F G)有有xF Gy1和和 xF Gy2, 則則 F GF G t1(FG) t2(FG) t1 t2(t1=t2GG （F為函數(shù)）為函數(shù)） y1=y2 （G為函數(shù)）為函數(shù)）所以所

14、以 F G 為函數(shù)為函數(shù)17證明證明任取任取x, xdom(F G) t y(FG) t (xdomFt=F(x)tdomG) x x | xdomFF(x)domG 任取任取x, xdomFF(x)domG FG F G xdom(F G)F G(x)G(F(x)所以所以(1) 和和(2) 得證得證18推論推論推論推論1 設(shè)設(shè)F, G, H為函數(shù)為函數(shù), 則則(F G) H和和F (G H)都是函數(shù)都是函數(shù), 且且 (F G) H=F (G H)證證 由上述定理和運(yùn)算滿足結(jié)合律得證由上述定理和運(yùn)算滿足結(jié)合律得證.推論推論2 設(shè)設(shè) f:AB, g:BC, 則則 f g:AC, 且且 xA都有都

15、有 f g(x)=g(f(x)證證 由上述定理知由上述定理知 f g是函數(shù)是函數(shù), 且且 dom(f g)=x|xdomff(x)domg =x|xAf(x)B=A ran(f g) rang C因此因此 f g:AC, 且且 xA有有 f g(x)=g(f(x)19函數(shù)復(fù)合與函數(shù)性質(zhì)函數(shù)復(fù)合與函數(shù)性質(zhì)定理定理8.2 設(shè)設(shè)f:AB, g:BC (1) 如果如果 f:AB, g:BC是滿射的是滿射的, 則則 f g:AC也是滿射的也是滿射的(2) 如果如果 f:AB, g:BC是單射的是單射的, 則則 f g:AC也是單射的也是單射的 (3) 如果如果 f:AB, g:BC是雙射的是雙射的, 則

16、則 f g:AC也是雙射的也是雙射的 證證 (1) 任取任取cC, 由由g:BC的滿射性的滿射性, bB使得使得 g(b)=c. 對(duì)于這個(gè)對(duì)于這個(gè)b, 由由 f:AB的滿射性，的滿射性， aA使得使得 f(a)=b. 由合成定理有由合成定理有 f g(a) = g(f(a) = g(b) = c從而證明了從而證明了f g:AC是滿射的是滿射的20證明證明(2) 假設(shè)存在假設(shè)存在x1, x2A使得使得 f g(x1)=f g(x2)由合成定理有由合成定理有 g(f(x1)=g(f(x2)因?yàn)橐驗(yàn)間:BC是單射的是單射的, 故故 f(x1)=f(x2). 又由于又由于f:AB是單射的是單射的, 所

17、所以以x1=x2. 從而證明從而證明f g:AC是單射的是單射的.(3)由由(1)和和(2)得證得證.注意：定理逆命題不為真注意：定理逆命題不為真, 即如果即如果f g:AC是單射是單射(或滿射、雙或滿射、雙射射)的的, 不一定有不一定有 f:AB 和和 g:BC都是單射都是單射(或滿射、雙射或滿射、雙射)的的.定理定理8.3 設(shè)設(shè) f:AB, 則則 f = f IB = IA f （證明略）（證明略） 21實(shí)例實(shí)例考慮集合考慮集合A=a1,a2,a3, B=b1,b2,b3,b4, C=c1,c2,c3. 令令 f=, g=, f g=,那么那么 f:AB和和f g:AC是單射的是單射的,

18、但但g:BC不是單射的不是單射的. 考慮集合考慮集合A=a1,a2,a3, B=b1,b2,b3, C=c1,c2. 令令f=,g=,f g=,那么那么g:BC 和和 f g:AC是滿射的是滿射的, 但但 f:AB不是滿射的不是滿射的.22反函數(shù)反函數(shù)反函數(shù)存在的條件反函數(shù)存在的條件(1) 任給函數(shù)任給函數(shù)F, 它的逆它的逆F 1不一定是函數(shù)不一定是函數(shù), 只是一個(gè)二元關(guān)系只是一個(gè)二元關(guān)系.(2) 任給單射函數(shù)任給單射函數(shù) f:AB, 則則f 1是函數(shù)是函數(shù), 且是從且是從ranf 到到A的雙的雙 射函數(shù)射函數(shù), 但不一定是從但不一定是從B到到A的雙射函數(shù)的雙射函數(shù)(3) 對(duì)于雙射函數(shù)對(duì)于雙射

19、函數(shù) f:AB, f 1:BA是從是從B到到A的雙射函數(shù)的雙射函數(shù). 定理定理8.4 設(shè)設(shè) f:AB是雙射的是雙射的, 則則f 1:BA也是雙射的也是雙射的.證明思路：證明思路：先證明先證明 f 1:BA，即，即f 1是函數(shù)，且是函數(shù)，且domf 1=B, ranf 1=A. 再證明再證明f 1:BA的雙射性質(zhì)的雙射性質(zhì). 23證明證明證證 因?yàn)橐驗(yàn)?f 是函數(shù)是函數(shù), 所以所以 f 1是關(guān)系是關(guān)系, 且且 dom f 1 = ranf = B , ran f 1 = domf = A對(duì)于任意的對(duì)于任意的 xB = dom f 1, 假設(shè)有假設(shè)有y1, y2A使得使得 f 1f 1成立成立,

20、則由逆的定義有則由逆的定義有 ff根據(jù)根據(jù) f 的單射性可得的單射性可得y1=y2, 從而證明了從而證明了f 1是函數(shù)，且是滿射的是函數(shù)，且是滿射的. 若存在若存在x1, x2B使得使得f 1 (x1)= f 1 (x2)=y, 從而有從而有 f 1f 1 ff x1=x2 對(duì)于雙射函數(shù)對(duì)于雙射函數(shù)f:AB, 稱稱 f 1:BA是它的是它的反函數(shù)反函數(shù). 24反函數(shù)的性質(zhì)反函數(shù)的性質(zhì)定理定理8.5 (1) 設(shè)設(shè) f:AB是雙射的是雙射的, 則則 f 1 f = IB, f f 1 = IA(2) 對(duì)于雙射函數(shù)對(duì)于雙射函數(shù) f:AA, 有有 f 1 f = f f 1 = IA 證明思路：證明思

21、路：根據(jù)定理可知根據(jù)定理可知 f 1:BA也是雙射的也是雙射的, 由合成基本定理可知由合成基本定理可知 f 1 f:BB, f f 1:AA，且它們都是恒等函數(shù)，且它們都是恒等函數(shù). 例例5 設(shè)設(shè) 求求 f g, g f. 如果如果f 和和 g 存在反函數(shù)存在反函數(shù), 求出它們的反函數(shù)求出它們的反函數(shù).2)(323)(RR:,RR:2 xxgxxxxfgf25解解 121)2()(RR:3032)(RR:22xxxxfgfgxxxxgfgff:RR不是雙射的不是雙射的, 不存在反函數(shù)不存在反函數(shù). g:RR是雙射的是雙射的, 它的反函數(shù)是它的反函數(shù)是g 1:RR, g 1(x)=x 2求解求解

22、268.3 雙射函數(shù)與集合的基數(shù)雙射函數(shù)與集合的基數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容l 集合的等勢及其性質(zhì)集合的等勢及其性質(zhì)l 重要的等勢或不等勢的結(jié)果重要的等勢或不等勢的結(jié)果l 集合的優(yōu)勢及其性質(zhì)集合的優(yōu)勢及其性質(zhì)l 集合的基數(shù)集合的基數(shù)l 可數(shù)集可數(shù)集27 01202)(,NZ:xxxxxff則則 f 是是Z到到N的雙射函數(shù)的雙射函數(shù). 從而證明了從而證明了ZN.集合的等勢集合的等勢集合等勢的實(shí)例集合等勢的實(shí)例例例6 (1) ZN. 定義定義8.8 設(shè)設(shè)A, B是集合是集合, 如果存在著從如果存在著從A到到B的雙射函數(shù)的雙射函數(shù), 就稱就稱A和和B是是等勢等勢的的, 記作記作AB. 如果如果A不與不與B

23、等勢等勢, 則記作則記作A B.28mnmnmnmff 2)(1(),(,NNN:集合等勢的實(shí)例集合等勢的實(shí)例: NNNNNN. NN中所有的元素排成有序圖形中所有的元素排成有序圖形29-2/1-2/155-1/1-1/144-3/1-3/118182/12/110103/13/111110/10/1001/11/111-2/2-2/2-1/2-1/233-3/2-3/217172/22/23/23/212120/20/21/21/222-2/3-2/366-1/3-1/377-3/3-3/32/32/3993/33/30/30/31/31/388-2/4-2/4-1/4-1/41515-3/

24、4-3/416162/42/43/43/413130/40/41/41/41414PLAYNQ. 雙射函數(shù)雙射函數(shù) f:NQ, 其中其中f(n)是是n下方的有理數(shù)下方的有理數(shù). 集合等勢的實(shí)例集合等勢的實(shí)例: NQ30212tan)(,R)1 , 0(: xxff xxnxxxxfnn其它,.2 ,1,2/12/112/102/1)(22(6) 對(duì)任何對(duì)任何a, bR, ab, 0,1a,b，雙射函數(shù)雙射函數(shù) f:0,1a,b, f(x)=(b a)x+a類似地可以證明類似地可以證明, 對(duì)任何對(duì)任何a, bR, ab, 有有(0,1)(a,b).(4) (0,1)R. 其中實(shí)數(shù)區(qū)間其中實(shí)數(shù)區(qū)間

25、 (0,1)=x| xR0 x1. 令令(5) 0,1(0,1). 其中其中(0,1)和和0,1分別為實(shí)數(shù)開區(qū)間和閉區(qū)間分別為實(shí)數(shù)開區(qū)間和閉區(qū)間. 令令 f : 0,1(0,1)實(shí)數(shù)集合的等勢實(shí)數(shù)集合的等勢31實(shí)例實(shí)例例例7 設(shè)設(shè)A為任意集合為任意集合, 則則P(A)0,1A.證證 如下構(gòu)造從如下構(gòu)造從P(A) 到到 0,1A 的函數(shù)的函數(shù) f:P(A)0,1A, f(A)= A, AP(A).其中其中 A是集合是集合A的特征函數(shù)的特征函數(shù). 易證易證 f 是單射的是單射的. 對(duì)于任意的對(duì)于任意的 g0,1A, 那么有那么有 g:A0,1. 令令 B= x| xAg(x)=1則則B A, 且且

26、 B=g, 即即 BP(A), f(B)=g. 從而證明了從而證明了f 是滿射是滿射的的. 由等勢定義得由等勢定義得 P(A)0,1A.32等勢的性質(zhì)等勢的性質(zhì)定理定理8.6 設(shè)設(shè)A, B,C是任意集合，是任意集合，(1) AA(2) 若若AB，則，則BA(3) 若若AB，BC，則，則AC.證明思路：利用等勢的等義證明思路：利用等勢的等義. (1) IA是從是從A到到A的雙射的雙射(2) 若若 f:AB是雙射，則是雙射，則f 1:BA是從是從B到到A的雙射的雙射.(3) 若若 f:AB，g:BC是雙射，則是雙射，則f g:AC是從是從A到到C的雙射的雙射 33有關(guān)勢的重要結(jié)果有關(guān)勢的重要結(jié)果等

27、勢結(jié)果等勢結(jié)果l N Z Q NNl 任何實(shí)數(shù)區(qū)間都與實(shí)數(shù)集合任何實(shí)數(shù)區(qū)間都與實(shí)數(shù)集合R等勢等勢不等勢的結(jié)果不等勢的結(jié)果: 定理定理8.7 (康托定理康托定理)(1) N R； (2) 對(duì)任意集合對(duì)任意集合A都有都有A P(A)證明思路：證明思路：(1) 只需證明任何函數(shù)只需證明任何函數(shù) f:N0,1都不是滿射的都不是滿射的. 任取函數(shù)任取函數(shù) f:N0,1, 列出列出 f 的所有函數(shù)值，然后構(gòu)造一個(gè)的所有函數(shù)值，然后構(gòu)造一個(gè)0,1區(qū)間的小數(shù)區(qū)間的小數(shù)b，使得，使得b與所有的函數(shù)值都不相等與所有的函數(shù)值都不相等. (2) 任取函數(shù)任取函數(shù) f:AP(A)，構(gòu)造，構(gòu)造B P(A)，使得，使得B與

28、與 f 的任何函的任何函 數(shù)值都不等數(shù)值都不等. 34Cantor定理的證明定理的證明證證 (1) 規(guī)定規(guī)定0,1中數(shù)的表示中數(shù)的表示. 對(duì)任意的對(duì)任意的x0,1, 令令 x = 0. x1 x2 , 0 xi 9規(guī)定在規(guī)定在 x 的表示式中不允許在某位后有無數(shù)個(gè)的表示式中不允許在某位后有無數(shù)個(gè)1的情況的情況. 設(shè)設(shè) f: N0,1是任何函數(shù)，列出是任何函數(shù)，列出 f 的所有函數(shù)值：的所有函數(shù)值： f(0) = 0.a1(1)a2(1) f(1) = 0.a1(2)a2(2) f(n 1) = 0.a1(n)a2(n) 令令 y 的表示式為的表示式為0.b1b2, 并且滿足并且滿足bi ai(

29、i), i=1,2, 那么那么y 0,1, 且且y與上面列出的任何函數(shù)值都不相等與上面列出的任何函數(shù)值都不相等. 這就推出這就推出y ranf, 即即 f 不是滿射的不是滿射的.35(2) 我們將證明任何函數(shù)我們將證明任何函數(shù) g:AP(A)都不是滿射的都不是滿射的. 設(shè)設(shè) g:AP(A)是從是從A到到P(A)的函數(shù)的函數(shù), 如下構(gòu)造集合如下構(gòu)造集合B： B=x| xAx g(x)則則BP(A), 但對(duì)任意但對(duì)任意xA都有都有 xB x g(x)從而證明了對(duì)任意的從而證明了對(duì)任意的 xA都有都有 Bg(x). 即即B rang. 注意：根據(jù)注意：根據(jù)Cantor定理可以知道定理可以知道N P(

30、N)，N 0,1N.Cantor定理的證明定理的證明36集合的優(yōu)勢集合的優(yōu)勢定義定義8.9 (1) 設(shè)設(shè)A, B是集合是集合, 如果存在從如果存在從A到到B的單射函數(shù)的單射函數(shù), 就就稱稱B優(yōu)勢于優(yōu)勢于A, 記作記作A B. 如果如果B不是優(yōu)勢于不是優(yōu)勢于A, 則記作則記作A B.(2) 設(shè)設(shè)A, B是集合是集合, 若若A B 且且 A B, 則稱則稱 B 真優(yōu)勢于真優(yōu)勢于A, 記作記作 A B. 如果如果 B 不是真優(yōu)勢于不是真優(yōu)勢于A, 則記作則記作A B. 實(shí)例實(shí)例 N N, N R, A P(A), R N N R, A P(A), 但但N N定理定理8.8 設(shè)設(shè) A, B, C是任意

31、的集合是任意的集合, 則則(1) A A(2) 若若A B且且B A, 則則AB(3) 若若A B且且B C, 則則A C 37應(yīng)用：證明等勢應(yīng)用：證明等勢證證 設(shè)設(shè)x 0,1), 0. x1x2 是是 x 的二進(jìn)制表示的二進(jìn)制表示. 規(guī)定表示式中不規(guī)定表示式中不允許出現(xiàn)連續(xù)無數(shù)個(gè)允許出現(xiàn)連續(xù)無數(shù)個(gè)1. 對(duì)于對(duì)于x，如下定義，如下定義 f:0,1)0,1N, f(x) = tx, 且且 tx:N0,1, tx(n) = xn+1, n = 0,1,2,例如例如 x = 0.1 0 1 1 0 1 0 0, 則對(duì)應(yīng)于則對(duì)應(yīng)于x 的函數(shù)的函數(shù) tx是：是： n 0 1 2 3 4 5 6 7 tx

32、(n) 1 0 1 1 0 1 0 0 tx0,1N, 且對(duì)于且對(duì)于x,y0,1), xy, 必有必有txty, 即即 f(x)f(y). 這就證明了這就證明了f:0,1)0,1N是單射的是單射的.例例8 證明證明 0,1N0,1).38考慮考慮 t0,1N, 其中其中 t(0)=0, t(n)=1, n=1, 2, . 按照按照 f 的定義的定義, 只有只有 x = 0.011 才能滿足才能滿足 f(x)=t. 但根據(jù)規(guī)定但根據(jù)規(guī)定, 這個(gè)數(shù)這個(gè)數(shù) x 記為記為0.100, 所以根本不存在所以根本不存在 x0,1), 滿足滿足 f(x)=t.定義函數(shù)定義函數(shù) g:0,1N0,1). g的映射

33、法則恰好與的映射法則恰好與 f 相反相反. 即即 t0,1N, t：N0,1, g(t)=0. x1x2, 其中其中xn+1=t(n). 將將0. x1x2 看作數(shù)看作數(shù) x 的十進(jìn)制表示的十進(jìn)制表示. 這樣就避免了形如這樣就避免了形如 0.0111和和0.1000.在二進(jìn)制表示中對(duì)應(yīng)了同一個(gè)數(shù)的情在二進(jìn)制表示中對(duì)應(yīng)了同一個(gè)數(shù)的情況，從而保證了況，從而保證了g的單射性的單射性.根據(jù)定理有根據(jù)定理有0,1N0,1). 再使用等勢的傳遞性得再使用等勢的傳遞性得0,1NR.構(gòu)造另一個(gè)單射構(gòu)造另一個(gè)單射39自然數(shù)的集合定義自然數(shù)的集合定義 定義定義8.10 設(shè)設(shè)a為集合為集合, 稱稱aa為為a的的后繼

34、后繼, 記作記作a+, 即即 a+=aa.如下定義自然數(shù)：如下定義自然數(shù)： 0= 1=0+=+ = =0 2=1+= + = =,=0,1 3=2+=,+= ,= 0,1,2 n=0, 1, , n 1 自然數(shù)的相等與大小，即對(duì)任何自然數(shù)自然數(shù)的相等與大小，即對(duì)任何自然數(shù) n和和m，有有 m=n m n ， mn m n40有窮集和無窮集有窮集和無窮集定義定義8.11 (1) 一個(gè)集合是一個(gè)集合是有窮有窮的當(dāng)且僅當(dāng)它與某個(gè)自然數(shù)等勢；的當(dāng)且僅當(dāng)它與某個(gè)自然數(shù)等勢；(2) 如果一個(gè)集合不是有窮的如果一個(gè)集合不是有窮的, 就稱作就稱作無窮集無窮集.實(shí)例：實(shí)例：(1) a,b,c是有窮集是有窮集,

35、因?yàn)橐驗(yàn)?=0,1,2, 且且 a,b,c0,1,2=3(2) N和和R都是無窮集都是無窮集, 因?yàn)闆]有自然數(shù)與因?yàn)闆]有自然數(shù)與N和和R等勢等勢利用自然數(shù)的性質(zhì)可以證明：任何有窮集只與惟一的自然數(shù)利用自然數(shù)的性質(zhì)可以證明：任何有窮集只與惟一的自然數(shù)等勢等勢. 41集合基數(shù)的定義集合基數(shù)的定義定義定義8.12(1) 對(duì)于有窮集合對(duì)于有窮集合A, 稱與稱與A等勢的那個(gè)惟一的自然數(shù)為等勢的那個(gè)惟一的自然數(shù)為A的的基基數(shù)數(shù), 記作記作cardA (也可以記作也可以記作|A|) cardA = n A n (2) 自然數(shù)集合自然數(shù)集合N的基數(shù)記作的基數(shù)記作0, 即即 cardN =0(3) 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集

36、R的基數(shù)記作的基數(shù)記作, 即即 cardR =42基數(shù)的相等和大小基數(shù)的相等和大小定義定義8.13 設(shè)設(shè)A, B為集合為集合, 則則(1) cardA=cardB AB(2) cardAcardB A B(3) cardAcardB cardAcardBcardAcardB根據(jù)上一節(jié)關(guān)于勢的討論不難得到：根據(jù)上一節(jié)關(guān)于勢的討論不難得到： card Z = card Q = card NN =0 card P(N) = card 2N = card a,b = card (c,d) = 0 card Acard P(A)其中其中2N = 0,1N43基數(shù)的大小基數(shù)的大小不存在最大的基數(shù)不存在最大

37、的基數(shù). 將已知的基數(shù)按從小到大的順序排列就將已知的基數(shù)按從小到大的順序排列就得到：得到： 0, 1, 2, , n, , 0, , 其中：其中： 0, 1, 2, n, 是全體自然數(shù)是全體自然數(shù), 是有窮基數(shù)是有窮基數(shù). 0, , 是無窮基數(shù)是無窮基數(shù), 0是最小的無窮基數(shù)是最小的無窮基數(shù), 后面還后面還有更大的基數(shù)有更大的基數(shù), 如如cardP(R)等等. 44可數(shù)集可數(shù)集定義定義8.14 設(shè)設(shè)A為集合為集合, 若若cardA0, 則稱則稱A為為可數(shù)集可數(shù)集或或可列集可列集.實(shí)例：實(shí)例：a,b,c, 5, 整數(shù)集整數(shù)集Z, 有理數(shù)集有理數(shù)集Q, NN等都是可數(shù)集等都是可數(shù)集, 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集

38、 R不是可數(shù)集不是可數(shù)集, 與與R等勢的集合也不是可數(shù)集等勢的集合也不是可數(shù)集. 對(duì)于任何的可數(shù)集對(duì)于任何的可數(shù)集, 它的元素都可以排列成一個(gè)有序圖形它的元素都可以排列成一個(gè)有序圖形. 換換句話說句話說, 都可以找到一個(gè)都可以找到一個(gè)“數(shù)遍數(shù)遍”集合中全體元素的順序集合中全體元素的順序. 可數(shù)集的性質(zhì)：可數(shù)集的性質(zhì)：l 可數(shù)集的任何子集都是可數(shù)集可數(shù)集的任何子集都是可數(shù)集.l 兩個(gè)可數(shù)集的并是可數(shù)集兩個(gè)可數(shù)集的并是可數(shù)集.l 兩個(gè)可數(shù)集的笛卡兒積是可數(shù)集兩個(gè)可數(shù)集的笛卡兒積是可數(shù)集.l 可數(shù)個(gè)可數(shù)集的笛卡兒積仍是可數(shù)集可數(shù)個(gè)可數(shù)集的笛卡兒積仍是可數(shù)集.l 無窮集無窮集A的冪集的冪集P(A)不是

39、可數(shù)集不是可數(shù)集45實(shí)例實(shí)例解解 (1) 由由T=B, A, S, E, L知知 cardT=5(2) 由由B=, 可知可知 cardB=0.(3) 由由|A|=4 可知可知 cardC=cardP(A)=|P(A)|=24=16.例例9 求下列集合的基數(shù)求下列集合的基數(shù)(1) T=x | x是單詞是單詞“BASEBALL”中的字母中的字母(2) B=x | xRx2=92x=8(3) C=P(A), A=1, 3, 7, 1146例例10 設(shè)設(shè)A, B為集合為集合, 且且 cardA=0, cardB=n, n是自然數(shù)是自然數(shù), n0. 求求card AB.實(shí)例實(shí)例解解 方法一方法一 構(gòu)造雙

40、射函數(shù)構(gòu)造雙射函數(shù)由由cardA=0, cardB=n, 可知可知 A, B都是可數(shù)集都是可數(shù)集. 令令 A=a0,a1,a2, B=b0,b1,b2,bn 1 對(duì)任意的對(duì)任意的, AB有有 = i=kj=l 定義函數(shù)定義函數(shù) f :ABN f()=in+j, i=0,1, j=0,1,n 1易見易見f是是AB到到N的雙射函數(shù)的雙射函數(shù), 所以所以 card AB=card N = 047方法二方法二 直接使用可數(shù)集的性質(zhì)求解直接使用可數(shù)集的性質(zhì)求解. 因?yàn)橐驗(yàn)?card A=0, card B=n, 所以所以A, B都是可數(shù)集都是可數(shù)集.根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)(3) 可知可知 AB也是可數(shù)集也是可

41、數(shù)集, 所以所以 card AB0 顯然當(dāng)顯然當(dāng) B時(shí)時(shí), card A card AB, 這就推出這就推出 0 card AB綜合上述得到綜合上述得到 card AB=0. 實(shí)例實(shí)例48第八章第八章 習(xí)題課習(xí)題課主要內(nèi)容主要內(nèi)容l 函數(shù)，函數(shù)，從從A到到B的函數(shù)的函數(shù) f:AB，BA，函數(shù)的像與完全原像，函數(shù)的像與完全原像l 函數(shù)的性質(zhì)：單射、滿射、雙射函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：單射、滿射、雙射函數(shù)l 重要函數(shù)：恒等函數(shù)、常函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、集合的特征函重要函數(shù)：恒等函數(shù)、常函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、集合的特征函 數(shù)、自然映射數(shù)、自然映射l 集合等勢的定義與性質(zhì)集合等勢的定義與性質(zhì)l 集合優(yōu)勢的定義與性質(zhì)集合優(yōu)勢

42、的定義與性質(zhì)l 重要的集合等勢以及優(yōu)勢的結(jié)果重要的集合等勢以及優(yōu)勢的結(jié)果l 可數(shù)集與不可數(shù)集可數(shù)集與不可數(shù)集l 集合基數(shù)的定義集合基數(shù)的定義49基本要求基本要求l 給定給定 f, A, B, 判別判別 f 是否為從是否為從A到到B的函數(shù)的函數(shù)l 判別函數(shù)判別函數(shù) f:AB的性質(zhì)（單射、滿射、雙射）的性質(zhì)（單射、滿射、雙射）l 熟練計(jì)算函數(shù)的值、像、復(fù)合以及反函數(shù)熟練計(jì)算函數(shù)的值、像、復(fù)合以及反函數(shù)l 證明函數(shù)證明函數(shù) f:AB的性質(zhì)（單射、滿射、雙射）的性質(zhì)（單射、滿射、雙射）l 給定集合給定集合A, B，構(gòu)造雙射函數(shù)，構(gòu)造雙射函數(shù) f:AB l 能夠證明兩個(gè)集合等勢能夠證明兩個(gè)集合等勢l 能

43、夠證明一個(gè)集合優(yōu)勢于另一個(gè)集合能夠證明一個(gè)集合優(yōu)勢于另一個(gè)集合l 知道什么是可數(shù)集與不可數(shù)集知道什么是可數(shù)集與不可數(shù)集l 會(huì)求一個(gè)簡單集合的基數(shù)會(huì)求一個(gè)簡單集合的基數(shù)50練習(xí)練習(xí)11給定給定A, B 和和 f, 判斷是否構(gòu)成函數(shù)判斷是否構(gòu)成函數(shù) f:AB. 如果是如果是, 說明該說明該 函數(shù)是否為單射、滿射、雙射的函數(shù)是否為單射、滿射、雙射的. 并根據(jù)要求進(jìn)行計(jì)算并根據(jù)要求進(jìn)行計(jì)算.(1) A=1,2,3,4,5, B=6,7,8,9,10, f=,.(2) A,B同同(1), f=,.(3) A,B同同(1), f=,.(4) A=B=R, f(x)=x3(5) A=B=R+, f(x)=x

44、/(x2+1).(6) A=B=RR, f()=, 令令 L=|x,yRy=x+1, 計(jì)算計(jì)算 f(L).(7) A=NN, B=N, f()=|x2 y2|. 計(jì)算計(jì)算f(N0), f 1(0)51解解答解答(1) 能構(gòu)成能構(gòu)成 f:AB, f:AB既不是單射也不是滿射既不是單射也不是滿射, 因?yàn)橐驗(yàn)?f(3)=f(5)=9, 且且7 ranf.(2) 不構(gòu)成不構(gòu)成 f:AB, 因?yàn)橐驗(yàn)?f 不是函數(shù)不是函數(shù). f 且且f, 與函與函 數(shù)定義矛盾數(shù)定義矛盾(3) 不構(gòu)成不構(gòu)成 f:AB, 因?yàn)橐驗(yàn)閐om f = 1,2,3,4 A(4) 能構(gòu)成能構(gòu)成 f:AB, 且且 f:AB是雙射的是雙射

45、的(5) 能構(gòu)成能構(gòu)成 f:AB, f:AB既不是單射的也不是滿射的既不是單射的也不是滿射的. 因?yàn)樵撘驗(yàn)樵?函數(shù)在函數(shù)在 x=1取極大值取極大值 f(1)=1/2. 函數(shù)不是單調(diào)的函數(shù)不是單調(diào)的,且且ranfR+.(6) 能構(gòu)成能構(gòu)成 f:AB, 且且 f:AB是雙射的是雙射的. f(L) = |xR=R 1(7) 能構(gòu)成能構(gòu)成 f:AB, f:AB既不是單射的也不是滿射的既不是單射的也不是滿射的. 因?yàn)橐驗(yàn)?f()=f()=0, 2 ranf. f(N0) = n2 02|nN = n2|nN f 1(0) = |nN521)(, 1, 1)(,)(,0, 10, 1)(4321 xfZx

46、Zxxfxxfxxxf練習(xí)練習(xí)22. 設(shè)設(shè) f1, f2, f3, f4 RR，且，且令令Ei 是由是由 fi 導(dǎo)出的等價(jià)關(guān)系，導(dǎo)出的等價(jià)關(guān)系，i=1,2,3,4，即，即 xEiy fi(x)=fi(y) (1) 畫出偏序集畫出偏序集的哈斯圖，其中的哈斯圖，其中T 是加細(xì)關(guān)系：是加細(xì)關(guān)系： T x(x R/Eiy(y R/Ej x y) (2) gi:RR/Ei 是自然映射，求是自然映射，求gi(0), i=1,2,3,4.(3) 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè)i, 說明說明 gi 的性質(zhì)（單射、滿射、雙射）的性質(zhì)（單射、滿射、雙射）.53(1) 哈斯圖如下哈斯圖如下(2) g1(0) = x | x R x

47、0, g2(0)=0, g3(0)=Z, g4(0)=R(3) g1, g3, g4是滿射的；是滿射的；g2是雙射的是雙射的. 解圖1解答解答54練習(xí)練習(xí)33對(duì)于以下集合對(duì)于以下集合A和和B，構(gòu)造從，構(gòu)造從A到到B的雙射函數(shù)的雙射函數(shù) f:AB(1) A=1,2,3，B=a, b, c(2) A=(0,1)，B=(0,2)(3) A=x| x Zx0，B=N (4) A=R，B=R+ 解解 (1) f=, , (2) f:AB, f(x)=2x(3) f:AB, f(x)= x 1(4) f:AB, f(x)=ex 554.4.設(shè)設(shè) 證明證明 f 既是滿射的，也是單射的既是滿射的，也是單射的. yxyxyxff,),(,RRRR: 2,2vuvu vuvuvuf,)2,2( vuyxvyuxvuyxvuyxvuvuyxyxvufyxf,),(),(證證 任取任取 R R，存在，存在使得使得 練習(xí)練習(xí)4因此因此 f 是滿射的是滿射的對(duì)于任意的對(duì)于任意的 , R R, 有有因此因此 f 是單射的是單射的.56證明方法證明方法1. 證明證明 f:AB是滿射的方法是滿射的方法: 任取任取 y B, 找到找到 x (即給出即給出x的的表示表示)或者證明存在或者證明存在x A，使得，使得f(x)=y. 2.