第二章 利息理論初步

1、1第二章 利息理論初步2主要內(nèi)容1. 累積函數(shù)與利率i2. 現(xiàn)值和貼現(xiàn)率3. 名義利率與名義貼現(xiàn)率4.利息力5.年金重點(diǎn)掌握各種形式的年金！ 3累積函數(shù)n累積函數(shù)是單位本金的累計(jì)額，以 表示。 n其中， ， 。)(ta)0()()(AtAta1)0(a)()0()(taAtA4累積函數(shù)a(t)01ta(t)01ta(t)01t 圖2-1 圖2-2 圖2-3na(t)通常為t 的連續(xù)函數(shù)，在坐標(biāo)平面上表現(xiàn)為通過(guò)（0，1）點(diǎn)的曲線，如圖2-1和圖2-2所示na(t)為增函數(shù)時(shí)才能保證總額函數(shù)的遞增性和存在正的利息。n有時(shí)，當(dāng)利息定期結(jié)算時(shí)，也表現(xiàn)為不連續(xù)的階梯函數(shù)，在定期內(nèi)，為常數(shù)，定期結(jié)算后，上

2、一個(gè)臺(tái)階，如圖2-3所示。5利息率n利息率l1年內(nèi)1單位本金的利息就是實(shí)際年利息率，表示資本的獲力水平或獲利能力 以 表示第n個(gè)基本計(jì)息時(shí)間單位的實(shí)際利率 ) 1() 1()(1)(nAnAnAnainni)0()0() 1 (1) 1 (1AAAai6單利和復(fù)利n單利單利：只在本金上生息n設(shè)第t年實(shí)際利率it，1年末的累積額為:n n第2年末的累積額為:n當(dāng)各年利率均為i時(shí)，有itta1)()1)(0()0()0() 1 (11iAiAAA1212(2)(0)(1)(0)(0)(1)AAiAiAii)1)(0()(itAtA7單利和復(fù)利n復(fù)利復(fù)利：在本金和利息上生息n設(shè)第t年實(shí)際利率it，1

3、年末的累積額為:n n第2年末的累積額為:n當(dāng)各年利率均為i時(shí)，有)1)(0()0()0() 1 (11iAiAAA)1)(1)(0()1)(0()1)(0()2(21211iiAiiAiAAniAnA)1)(0()(tita)1 ()(8現(xiàn)值和貼現(xiàn)率9現(xiàn)值和貼現(xiàn)率n在復(fù)利下，tti)1 (110現(xiàn)值和貼現(xiàn)率n在單利下，11現(xiàn)值和貼現(xiàn)率n貼現(xiàn)率：?jiǎn)挝回泿旁趩挝粫r(shí)間內(nèi)的貼現(xiàn)額，單位時(shí)間以年度衡量時(shí)，成為實(shí)際貼現(xiàn)率。 d表示一年的貼現(xiàn)率: dn表示第n年貼現(xiàn)率: iiiiaaAAAd1111) 1 (1) 1 () 1 ()0() 1 ()() 1()()() 1()(nanananAnAnAdn

4、12iiiiiaad111)1 () 1 (1) 1 (iiid11111ddi1可見， di現(xiàn)值和貼現(xiàn)率如，購(gòu)買面額為100元的一年期國(guó)債，現(xiàn)時(shí)支付90元就可買到，則本期國(guó)債的利息為10元，是在100元基礎(chǔ)上的減少額，而利息在購(gòu)買時(shí)就已獲得，10元為貼現(xiàn)額。13現(xiàn)值和貼現(xiàn)率14現(xiàn)值和貼現(xiàn)率15名義利率與名義貼現(xiàn)率n名義利率:一年結(jié)算多次的規(guī)定的年利率。 以 表示，m表示結(jié)算次數(shù)， )(mimmmii11)(設(shè)本金為1元，年利率為20，則年利息額為0.2元。若一年支付4次利息，則相當(dāng)于每次支付0.05元，即相當(dāng)于每次利率為20/45。而按復(fù)利計(jì)算，本利和為： ，一年總利息為0.2155元，于是

5、年實(shí)際利率為21.55,產(chǎn)生了利率的名不副實(shí)，與之對(duì)應(yīng)的實(shí)際年利率不再是20，此時(shí)，20稱為名義利率。2155. 1)4%201 (416名義利率與名義貼現(xiàn)率n名義貼現(xiàn)率:一年結(jié)算多次的規(guī)定的年貼現(xiàn)率。 以 表示，m表示結(jié)算次數(shù)， ()mdid111mmmdd1 1)(17利息力n利息力：衡量確切時(shí)點(diǎn)上利率水平的指標(biāo)。 定義利息力為：)1ln(11)1 (lim 11 lim1limlim11)()(imiimmmiimmmmmmmm1ln (1)lneiiv 故， e18年金n年金：每隔一個(gè)相等的時(shí)間間隔的一系列固定數(shù)額的收付款方式。 n期首付年金0 1 2 3 - n n+1 n+2- 1

6、 1 1 - 1 0 0- 1 1 1 - 1 0 0 0- 1 1 - 1 1 1- 1 1 1 - 1 1 1- 1 1 1 - 1 1 1- 期末付永久年金期末付永久年金期首付永久年金期首付永久年金期末付年金期末付年金期首付年金期首付年金19n年定期年金-期首付現(xiàn)值1321nna 11n=dn1=含義：期初投資 元，則之后的n年里，每年年初可得1元的收益。 | na 20n年定期年金-期末付現(xiàn)值nna321)1 (n=in1=21n年定期年金-期首付終值(1)(1)1nnnnsaiid22n年定期年金-期末付終值nnnias)1(nnii)1 (1iin1)1 (延期m年的n年定期年金n

7、現(xiàn)值現(xiàn)值n 終值終值|11|nmmnmnmmmnmavaavvva |2|)1 ()1 ()1 (nnnmsiiis 24等額確定年金的終值和現(xiàn)值n年定期的每年1單位元期首付年金、期末付年金的現(xiàn)值和終值間關(guān)系圖 25一年多次收付的年金對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金現(xiàn)值，以 表示，()1/2/(1) (1)/1/()11111111mmmnmmnnmnmammmmmd )(mna 26一年多次收付的年金 對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金現(xiàn)值以 表示，)(mna()1/2/()1111mmmnnnmammmi27一年多次收付的年金 對(duì)于n 年定期，每

8、年收付m次，每次1/m 元的期首付年金在n 年末的終值為，()()1nmmnsd28一年多次收付的年金 對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金在n 年末的終值為，()()1nmmnsi29永續(xù)年金 定義：收付時(shí)期沒有限制，每隔一個(gè)間隔永遠(yuǎn)連續(xù)收付的年金，相當(dāng)于前面定期年金當(dāng)時(shí)期n趨于無(wú)窮大時(shí)的值。 每年一元期末付永續(xù)年金現(xiàn)值為， iaann1lim含義：若期初投資1/i元，則每年期末可獲得1元的收益30永續(xù)年金daann1lim )()(1mmia )()(1mmda 其他永續(xù)年金現(xiàn)值為： 31nn年定期年金n現(xiàn)值n終值nntnvdtva10|0|)1 (1)1 ()1 (n

9、nnntnnaiidtis連續(xù)型年金32變額年金變額年金是每次收付額不等的年金常見的有，n每次收付額等差遞增或遞減n每次收付額等比遞增33變額遞增年金如果在n年定期內(nèi)，第一年末收付1單位元，第2年末收付2單位元，以后每次比上一次遞增1單位元的期末付年金現(xiàn)值以 表示。 （nIa)23()23nnIan 34變額遞增年金21(1) ()1 23nniIan 21()1nnnnniIanan inaIannn )(dnaaInnn )(兩者相減后得代入上式后得 上述年金期首付時(shí)，年金現(xiàn)值為35變額遞減年金當(dāng)?shù)谝荒晔崭秐元，以后每隔一年收付額減少一單位元的n年定期遞減的期末付年金為， ianDann)

10、(上述定期遞減年金在期首付時(shí)，為 iainaDnn )1 ()( 變額年金的終值是相應(yīng)年金現(xiàn)值與利率累積系數(shù)之積 36等比遞增年金對(duì)等比遞增的年金，如果第一年1單位元，以后收付額每年遞增j比例，n年定期的年金現(xiàn)值為：2211211(1)(1)(1)(1)11111nnnnPVjjjjPVdiijdiij 設(shè)， 上 式 成 為 ：其 中 ，37等額分期償還n等額分期償還債務(wù)的方法是在規(guī)定的還款期內(nèi)每次償還相等數(shù)額的還款方式。n每次償還金額為n第k 期末的未償還本金余額 貸款本金是B0 ，是Bk,還款期限為n 年，每年末還款，年實(shí)際利率為i 38等額分期償還表 時(shí)期時(shí)期 付款金額付款金額 支付利息

11、支付利息 償還本金償還本金 未償還貸款未償還貸款余額余額 0 1 R R(1-vn)Rvnk R R(1-vn-k+1) Rvn-k+1 n R R(1-v) Rv0 總計(jì)總計(jì) nR innRRainRa1inRain kRa0inRaB39變額分期償還n變額分期償還指每期償還的金額不等的還款方式。 原始貸款金額為B0 ，第k 期償還的金額為Rk （k=1，2， ,n）40例 2.1一筆金額為nR 元的貸款，年利率為i ，期限為n 年，每年償還R 元本金，其分期償還表如下： 時(shí)期時(shí)期 付款金額付款金額 支付利息支付利息 償還本金償還本金 未償還貸款未償還貸款余額余額 0 nR1 R (1+in

12、)inRR(n-1)Rk R 1+i(n-k+1) i(n-k+1)R R(n-k)R n R (1+i)iR R0 總計(jì)總計(jì) nR +i n(n+1)/2 i n(n+1)/2 nR41 一項(xiàng)年金在20年內(nèi)每半年末付500元，設(shè)年名義利率為9%，求此項(xiàng)年金的現(xiàn)時(shí)值。例2.2400.045500500 18.40169200.8a42 某人以名義利率5.58%從銀行貸款30萬(wàn)元，計(jì)劃在15年里每月末等額償還。問(wèn)：（1）他每月等額還款額等于多少？（2）假如他想在第五年末提前還完貸款，問(wèn)除了該月等額還款額之外他還需一次性付給銀行多少錢？例2.343（1）（2）2464300000%465.01215RRa04.22621500465. 130000004.226215%465. 0606060%465. 012060RsPVRaPV或者例2.344 有一企業(yè)想在一學(xué)校設(shè)立一永久獎(jiǎng)學(xué)金，假如每年末發(fā)出5萬(wàn)元獎(jiǎng)金，問(wèn)：在年實(shí)際利率為20%的情況下，該獎(jiǎng)學(xué)金基金的本金至少為多少？0.255250.2Pa例2.445 A留下一筆100000元的遺產(chǎn)。這筆財(cái)產(chǎn)頭10年的利息付給受益人B，第2個(gè)10年的利息付給受益人C，此后的利息都付給慈善機(jī)構(gòu)D。若此項(xiàng)財(cái)產(chǎn)的年實(shí)際利率為7%，試確定B，C，D在此筆財(cái)產(chǎn)中各占多少份額？例2.54625842)(7000:249