量表的因子分析-8-3

1、因子分析（Fact Analysis）因子分析是多元統(tǒng)計(jì)技術(shù)的一個(gè)分支，其目的是濃縮數(shù)據(jù)。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個(gè)假想變量（公共因子）來表示基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這些假想變量能夠反映原來眾多的觀測變量所代表的主要信息，并解釋這些觀測變量之間的相互依存關(guān)系，將這些假想變量稱為基礎(chǔ)變量，即因子（Factors）。因子分析就是研究如何以最少的信息丟失把眾多的觀測變量濃縮為少數(shù)幾個(gè)因子的過程。兩個(gè)主兩個(gè)主要應(yīng)用要應(yīng)用尋求基本結(jié)構(gòu)、檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)效度尋求基本結(jié)構(gòu)、檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)效度在多元分析中，經(jīng)常碰到觀測變量很多且變量之間存在著較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系的情形，這不僅給問題的分析

2、和描述帶來一定困難，而且在使用某些統(tǒng)計(jì)方法時(shí)會(huì)出現(xiàn)問題。數(shù)據(jù)簡化數(shù)據(jù)簡化通過因子分析把一組觀測變量化為少數(shù)幾個(gè)因子后，可以進(jìn)一步將原始觀測變量的信息轉(zhuǎn)換成這些因子的因子值，然后用這些因子代替原來的觀測變量進(jìn)行其他統(tǒng)計(jì)分析，如回歸分析、路徑分析、判別分析和聚回歸分析、路徑分析、判別分析和聚類分析類分析，利用因子值也可以直接對樣本進(jìn)行分類和綜合評價(jià)。因子分析的基本假設(shè)，是因子隱含在許多可觀察的現(xiàn)實(shí)事物的背后。雖然難以直接測量，但是可以從復(fù)雜的外在現(xiàn)象中計(jì)算、估計(jì)。其數(shù)學(xué)原理的共變的抽取共變的抽取。也就是說，受到同一個(gè)因子影響的測量分?jǐn)?shù)，共同相關(guān)的部分就是因子所在的部分。因子的提取也是根據(jù)共同相關(guān)的

3、得分而決定。一般說來，研究者事先對觀測數(shù)據(jù)背后存在多少個(gè)因子、因子如何抽取、因子的內(nèi)容以及變量的分類等一無所知，未有任何事前的假定，而由因子分析的過程來決定。這種類型的應(yīng)用稱為探索性因子分析（EFA），因子分析的大部分應(yīng)用都屬于這種類型。探索性因子分析（探索性因子分析（Exploratory Factor Analysis ;EFA）有的情況下，研究者根據(jù)某些理論或其他先驗(yàn)知識可能對因子的個(gè)數(shù)根據(jù)某些理論或其他先驗(yàn)知識可能對因子的個(gè)數(shù)或因子的結(jié)構(gòu)作出假設(shè)或因子的結(jié)構(gòu)作出假設(shè)，因子分析也可以用來檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)，作為證實(shí)假設(shè)的工具，這種類型的應(yīng)用稱為證實(shí)性（CFA）因子分析。證實(shí)性因子分析（證實(shí)性因

4、子分析（Confirmatory Factor Analysis ;CFA）探索性因子分析步驟第一步：通過共變關(guān)系的分解，找出最低限度的主要成分（principal component）或共同因子（common factor）。第二步：探討這些主成分或共同因子與個(gè)別的變量的關(guān)系，找出觀測變量與其相對應(yīng)因子的強(qiáng)度，即因子負(fù)荷值或負(fù)載值（factor loading），以說明因子與所屬的觀察變量的關(guān)系與強(qiáng)度。第三步：決定因子的內(nèi)容，為因子取一個(gè)合適的名字。2ij因子分析的條件 因子分析的變量都必須是連續(xù)變量，符合線性相關(guān)的假設(shè)。 順序與類別變量不得使用因子分析簡化結(jié)構(gòu)。抽樣的過程必須具有隨機(jī)性，并

5、具有一定的規(guī)模。 如果研究的總體具有較高的同質(zhì)性（如學(xué)生樣本），變量數(shù)目不多，樣本數(shù)可以介于100200之間；Gorsuch（1983）建議樣本數(shù)最少為變量數(shù)的5倍，且大于100。因子分析的原理1.因子分析模型imimiiiiUFaFaFaFaX332211因子分析模型在形式上和多元回歸模型相似，每個(gè)觀測變量由一組因子的線性組合來表示。上式中，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)m叫公共因子（Common factors），它們是各個(gè)觀測變量所共有的因子，解釋了變量之間的相關(guān)。Ui稱為特殊因子(Unique factor)，它是每個(gè)觀測變量所特有的因子，相當(dāng)于多元回歸中的殘差項(xiàng)，表示該變量不能被公共因子所解釋的部分

6、。aim稱為因子負(fù)載(Factor loading)，它是第i個(gè)變量在m個(gè)公共因子上的負(fù)載，相當(dāng)于多元回歸分析中的標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)。相相 關(guān)關(guān) 矩矩 陣陣1.000.293.462.409.291.136.445.477.337.370.2931.00.347.200.621.284.279.300.465.263.462.3471.000.474.359.182.495.461.341.353.409.200.4741.00.201.036.508.447.301.346.291.621.359.2011.000.363.332.333.553.275.136.284.182.036.3631.

7、00.096.137.250.092.445.279.495.508.332.0961.000.584.378.412.477.300.461.447.333.137.5841.000.338.452.337.465.341.301.553.250.378.3381.000.325.370.263.353.346.275.092.412.452.3251.000大體來說，我對我自己十分滿意(X1)有時(shí)我會(huì)覺得自己一無是處(X2)我覺得自己有許多優(yōu)點(diǎn)(X3)我自信我可以和別人表現(xiàn)得一樣好(X4)有時(shí)候我的確感到自己沒有什麼用處(X5)我時(shí)常覺得自己沒有什麼好驕傲的(X6)我覺得自己和別人一樣有價(jià)

8、值(X7)我十分地看重自己(X8)我常會(huì)覺得自己是一個(gè)失敗者(X9)我對我自己抱持積極的態(tài)度(X10)相關(guān)X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10因子分析的數(shù)學(xué)原理（相關(guān)矩陣）因子分析的基礎(chǔ)是變量之間的相關(guān)。分析相關(guān)矩陣代表的意義。如果“自尊”用Y來表示，其他10個(gè)選項(xiàng)的分?jǐn)?shù)以X1到X10表示，則Y的得分可以用以下數(shù)學(xué)模型預(yù)測得到：Y =b1X1 + b2X2 + b3X 3 + + b10X10 + U因子分析中的因子負(fù)載（負(fù)荷）因子負(fù)荷是因子分析中的最重要的統(tǒng)計(jì)量，它是連接觀測變量和公共因子之間的紐帶。因子負(fù)荷不僅表示觀測變量如何由因子線性表示的，而且也反映了因子和變量之間的相關(guān)關(guān)系。假

9、如我們得到了5個(gè)觀測變量、2個(gè)公共因子的情形： X1=0.9562F1+0.2012F2+0.2126U1 X2=0.8735F1+0.2896F2+0.3913U2 X3=0.1744F1+0.8972F2+0.4057U3 X4=0.5675F1+0.7586F2+0.3202U4 X5=0.8562F1+0.3315F2+0.3962U5可以看出，公共因子F1與變量X1、X2、X4、X5關(guān)系密切，它主要代表了這些變量的信息。F2與變量X3、X4關(guān)系密切，它主要代表了這兩個(gè)變量的信息。 F1 F2 hi2X1 0.9562 0.2012 0.9548X2 0.8735 0.2896 0.8

10、469X3 0.1744 0.8972 0.8354X4 0.5675 0.7586 0.8975X5 0.8562 0.3315 0.8430hi2=ai12+ai22+aim2（i=1,2,p）表明F1和F2兩個(gè)因子解釋了X1變量信息的95.48%。公共因子方差（Communality），或共同度指觀測變量方差中由公共因子決定的比例。變量的方差由兩部分組成，一部分由公共因子決定，一部分由特殊因子決定（即殘差）。公共因子方差表示原始變量方差能被公共因子所解釋的部分，共同度越大，變量能被因子說明的程度越高。一個(gè)原始變量的共同度等于因子負(fù)荷矩陣中該變量所在行的所有元素的平方和。對上例，計(jì)算出每個(gè)

11、變量的公共因子方差為：共同度這個(gè)指標(biāo)以觀測量為中心，其意義在于說明如果用公共共同度這個(gè)指標(biāo)以觀測量為中心，其意義在于說明如果用公共因子替代觀測變量后，原來的每個(gè)變量的信息被保留的程度。因子替代觀測變量后，原來的每個(gè)變量的信息被保留的程度。因子貢獻(xiàn)（因子貢獻(xiàn)（Contributions）特征值（特征值（eigenvalue）一個(gè)因子的特征值等于因子負(fù)荷矩陣中該變量所在列的所有元素的平方和，表表示該因子所能解釋的方差。示該因子所能解釋的方差。因子Fj所能解釋的方差所占的比例叫做該因子的貢獻(xiàn)率。其計(jì)算公式為： F1 F2 hi2X1 0.9562 0.2012 0.9548X2 0.8735 0.2

12、896 0.8469X3 0.1744 0.8972 0.8354X4 0.5675 0.7586 0.8975X5 0.8562 0.3315 0.8430特征值： 2.7628 1.614684 Fj貢獻(xiàn)率： 0.552 0.323 表明第一個(gè)因子F1解釋了所有變量總方差的55%，第二個(gè)變量解釋了上述總方差的32%，兩個(gè)因子一共解釋了總方差的87%。 ), 2 , 1(/22221mjpaaaFpjjjj）（的貢獻(xiàn)率因子分析的主要步驟：第一步：計(jì)算所有變量的相關(guān)矩陣。相關(guān)矩陣是因子分析直接要用的數(shù)據(jù)，根據(jù)相關(guān)矩陣還應(yīng)該進(jìn)一步判斷應(yīng)用因子分析方法是否合適。第二步：提取因子。這一步是確定因子的

13、個(gè)數(shù)和求因子解的方法。第三步：是進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)。這一步的目的是通過坐標(biāo)軸變換使因子解的實(shí)際意義更容易解釋。第四步：計(jì)算因子值。因子值是各個(gè)因子在每個(gè)觀測量上的得分，有了因子值可以在其他的分析中使用這些因子。前提是觀測變量之間應(yīng)該有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。如果變量之間的相關(guān)程度很小的話，他們不可能共享因子。所以，計(jì)算出相關(guān)矩陣后，應(yīng)對相關(guān)矩陣進(jìn)行檢驗(yàn)，如果相關(guān)矩陣的大部分相關(guān)系數(shù)都小于0.3，則不適合做因子分析。SPSS提供了三個(gè)統(tǒng)計(jì)量幫助判斷觀測數(shù)據(jù)是否適合做因子分析。1.反映象相關(guān)矩陣（ Anti-image correlation matrix）其元素等于負(fù)的偏相關(guān)系數(shù)。偏相關(guān)是控制其他變量不變，一

14、個(gè)自變量對因變量的獨(dú)特解釋作用。如果數(shù)據(jù)中確實(shí)存在公共因子，變量之間的偏相關(guān)系數(shù)應(yīng)該很小，因?yàn)樗c其他變量重疊的解釋影響被扣除掉了。所以如果反映象相關(guān)矩陣中很多元素的值比較大，應(yīng)該考慮該觀測數(shù)據(jù)不適合做因子分析。K KM MO O與與 B Ba ar rt tl le et tt t檢檢 定定.8795569.70345.000Kaiser-Meyer-Olkin 取樣適切性量數(shù)。近似卡方分配自由度顯著性Bartlett 球形檢定Barlett球形球形檢驗(yàn)呈現(xiàn)顯著檢驗(yàn)呈現(xiàn)顯著表示表示相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)足以足以作為作為因子因子分析抽取之用分析抽取之用2.巴特勒球形檢驗(yàn)（Bartletts test

15、 of sphericity）該統(tǒng)計(jì)量從檢驗(yàn)整個(gè)相關(guān)矩陣出發(fā)，其零假設(shè)為相關(guān)矩陣是單位陣相關(guān)矩陣是單位陣（我們一般將對角元素為1，其余元素為0的矩陣稱為單位陣）。如果檢驗(yàn)的結(jié)果無法拒絕零假設(shè)，那么，因子分析的使用就可能是不適當(dāng)?shù)?，?yīng)該重新考慮。另外，需要注意的是，隨著樣本量的增加，巴特勒球形檢驗(yàn)對檢驗(yàn)出變量間的相關(guān)也會(huì)變得更為敏感。KMO統(tǒng)計(jì)量因子分析適合性0.90以上極佳0.80以上良好0.70以上中度0.60以上平庸0.50以上可悲0.50以下無法接受K KM MO O與與 B Ba ar rt tl le et tt t檢檢 定定.8795569.70345.000Kaiser-Meye

16、r-Olkin 取樣適切性量數(shù)。近似卡方分配自由度顯著性Bartlett 球形檢定3.KMO(kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy)測度該測度從比較觀測變量之間的簡單相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)的相對大小出發(fā)，其值的變化范圍從01。當(dāng)所有變量之間的偏相關(guān)系數(shù)的平方和，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于簡單相關(guān)系數(shù)的平方和時(shí)，KMO值接近1。KMO值較小時(shí)，表明觀測變量不適合做因子分析。通常按以下標(biāo)準(zhǔn)解釋該指標(biāo)的大小：因子抽取的目的在于決定測量變量中，存在著多少個(gè)潛在的成分或因子。因子的抽取(Factor extraction)方法方法一類是基于主成分分析模型的主成分法主

17、成分分析模型的主成分法。在因子分析著占重要地位。一類是基于公共因子模型的公因子法，包括主軸因子法、極大似然法、最小二乘法、alpha法等。主成分法（主成分法（Principal components analysis）是一種數(shù)學(xué)變換方法，它把給定的一組（如k個(gè)）相關(guān)變量通過線性變換成另一組不相關(guān)的變量，這些新的變量按照方差依次遞減的順序排列新的變量按照方差依次遞減的順序排列。在數(shù)學(xué)變換中保持變量的總方差不變，使第一個(gè)變量具有最大的方差，稱為第一主成分使第一個(gè)變量具有最大的方差，稱為第一主成分，第二個(gè)變量的方差次之，并且和第一個(gè)變量不相關(guān)，稱為第二主成分，依次類推，k個(gè)變量就有k個(gè)主成分，最后一

18、個(gè)主成分具有的方差最小，且和前面的主成分都不相關(guān)。因子數(shù)的確定因子數(shù)的確定有k個(gè)變量就有k個(gè)成分，但是因子分析的目的是為了簡化數(shù)據(jù)。于是，提取前幾個(gè)主成分作為初始因子，需要幾個(gè)因子能代表原來數(shù)據(jù)中的主要信息呢？目前沒有精確的定量方法，實(shí)際應(yīng)用中借助一些準(zhǔn)則類判斷：1.特征值準(zhǔn)則取特征值大于取特征值大于1的主成分作為初始因子的主成分作為初始因子，放棄特征值小于1的主成分。因?yàn)槊總€(gè)變量的方差為1，該準(zhǔn)則認(rèn)為每個(gè)保留下來的因子至少應(yīng)該能解釋一個(gè)變量的方差，否則達(dá)不到精簡的目的。2.碎石檢驗(yàn)準(zhǔn)則（Scree Test Criterion）按照因子被提取的順序，畫出因子的特征值隨因子個(gè)數(shù)變化的散點(diǎn)圖，根據(jù)圖的形狀來判斷因子的個(gè)數(shù)。該圖像一個(gè)山峰，從第一個(gè)因子開始，曲線迅速下降，然后下降邊得平緩，最后變成近似一條直線。曲線變平開始曲線變平開始的前一個(gè)點(diǎn)認(rèn)為是提取的最大因子數(shù)，的前一個(gè)點(diǎn)認(rèn)為是提取的最大因子數(shù)，因?yàn)楹竺娴纳Ⅻc(diǎn)就像山腳下的碎石，舍去這些“碎石”并不損失很多信息。因子因子特征值特征值占總體的百分比（占總體的百分比（%）累積百分比（累積百分比（%）123453.251.220.240.180.1065.024.45.03.62.065.089.494.498.0100.0因子累積解釋方差的比例也是確定因子個(gè)數(shù)時(shí)