近世代數(shù)_楊子胥_第二版課后習(xí)題答案(最新發(fā)行版)

1、近世代數(shù)題解第一章基本概念§1.11.證任取AntBUC),QiJ工W-A且宜WUUU.從而若工&工?A門(mén)&從而xC<AQB)J<-ADO.因此An<bu<')<anuno,反之任取上W(ar»B)U(AC|G兒撚似可得疋EAnCBUO.故u<AO<?>An(BUO.因此>An(BUo=(AriB)u(zno,同理可得冊(cè)中另一等式.2. 若AHB-ApC.冋；是否B=c?把n改成u時(shí)又如何？鰭不一定有B-a例如A=“人=1,3,C=門(mén)，3把門(mén)改成U后也不一定有B=C.例如4一1,C-1,2.3-設(shè)

2、A是有限儀合，且|小二林證明仁證因?yàn)镮A丨一壯故A的含冷個(gè)元倉(cāng)的子集共有C：個(gè)，從而A共冇2"=(1十”一c：+L：；-+C：千于巣，即1PC人I=卽-4.證設(shè)IAI»»(|B=n*1ADB|=k,則顯然1AUB|=mH-nJt,曰此即得要還的菩式”5.證設(shè)jre(AUB>£PxAkJfJ.故工氐A(chǔ)且芒氐比從而工WA故工人5成從而(AUBTUA'riE：反推上去得人TiBJWURr.故得證.另一尊式可類(lèi)似證明.近世代數(shù)題解§1.2耦爭(zhēng)是映射，且是淆射，但不是單射.2.3./（B）fCCACTJ一C/（A）C1即爭(zhēng)是FTA到FEj的

3、一個(gè)映射.又類(lèi)似易知呻是單射和滿射*從麗是XX射.近世代數(shù)題解§1.31. 解1）與3）是代數(shù)運(yùn)算，2）不是代數(shù)運(yùn)算.2. 解這實(shí)際上就是M中n個(gè)元素可重復(fù)的全排列數(shù)nn.3. 解例如A：B=E與A:B=ABAB.4.解1丁£皿|-27,|5（M|=6乘法表從略.例如“1r：15.*1雯其余工X:錄1弓其余JT衛(wèi)七近世代數(shù)題解§1.41.解結(jié)合律利交換律都不滿足.例如（1-0.）-0=41-（Q-C）=2t故（1-0）-0!又12=2*01£故"工n.2.®O交換律滿足，但結(jié)合律不滿足.例如（】門(mén)廠0=心1-（1-0）一2.2）結(jié)合律

4、、交換律祁滿足*因?yàn)橐字猧sZOf與3"弋）都等于盤(pán)tbIfJQt>beac-ubc.3. 解1）略2）例如規(guī)定=ac*其中Ut>cE1V1T但互異.4.解口顯燃雄代數(shù)運(yùn)算且満足交換律.乂結(jié)合鋅也溺足，因?yàn)楦鶕?jù)最高公因式的性質(zhì)知*廣心5,D=<<川）=（廠百加，4. 略近世代數(shù)題解§1.51. 解1）是自同態(tài)映射，但非滿射和單射；2）是雙射，但不是自同構(gòu)映射3）是自同態(tài)映射,但非滿射和單射.4）是雙射，但非自同構(gòu)映射.2. 略3.購(gòu)例如”襯：產(chǎn)-2<V斗CQ）.顯.然"吧2袂康作倉(cāng)個(gè)北0及1朋村理敷后沖均為Q施非粗等自同構(gòu).4.解當(dāng)苗

5、滿足結(jié)合律時(shí)八不一定滿足.例如，M為整數(shù)集/滲運(yùn)算是減法（不滿星結(jié)合律“又兒代數(shù)運(yùn)算為乘法當(dāng)然満足結(jié)直律）但艮然<ptjr1（VjG是M列衍的同態(tài)滿射，故5.證"由IM】蘭51八設(shè)4n->CYaM；»昂其一同恂映射則<':v一亠,x£我中平.=q顯撚足A1,到M,的一卩冋構(gòu)映肘，故*2）同理由MjA1l，分別設(shè)宥同構(gòu)映射宀石Ra1ufh、rsh*"c*3'|r/y：ac是A4到的同構(gòu)映射»故M,=M,（應(yīng)注廷心不能焉成因?yàn)榇藭r(shí)k是無(wú)恵義妁.）§1.61.解J?是M的一個(gè)攤系.乂顯然満足對(duì)稱(chēng)性.但屋反鬲

6、性和傳罐性不滿足*例如L龍又顯魅4,3+1.41+?,但*4>3H-7,.即3RISR7r2. 解1）不是因?yàn)椴粷M足對(duì)稱(chēng)性；2）不是因?yàn)椴粷M足傳遞性；3）是等價(jià)關(guān)系；4）是等價(jià)關(guān)系.3. 解3）每個(gè)元素是一個(gè)類(lèi)，4）整個(gè)實(shí)數(shù)集作成一個(gè)類(lèi).4.解上血第2題中JJ與2屋符合本題題恵的兩個(gè)例子.乂設(shè)Q昂有理數(shù)集-規(guī)定uHb«J-h/03需WQ*則易知此關(guān)系不滿足反身性，但是卻滿足對(duì)稱(chēng)性和傳遞性（若把Q換成實(shí)數(shù)域的任一子域均可;實(shí)際上這個(gè)例子只有數(shù)0和0符合關(guān)系，此外任何二有理數(shù)都不符合關(guān)系）5.證若中二元素爼與片符含關(guān)系就記為現(xiàn)在一切這樣的抑作成的集合記為R它是尺的一個(gè)子集.反之設(shè)尺

7、me則規(guī)定皿與*符令關(guān)系當(dāng)且僅泮即R的子集可it定M的一個(gè)關(guān)系.4. 證1）略2）由1）及分配性以及習(xí)題1第E題可知（AUB）-（AnB）=（AUBjn（AnB）/=AUE）ncA'uJ又U52=（"再】A）=cAnsz>ubinr（AnBz）uf=3Uf»n（BUBnnrcAUA'jncAuEf）AUHmum由d）與（2>知#得證.7.證L）任取xea,則警丘吋a）從而護(hù)0A”*故A匚乎1）,若翠是窄肘!<任取*W護(hù)“（護(hù)"）兒必器0從而有氓找使?fàn)?=咄”但因申是單射，故”ygjL'EAt牛1A）內(nèi)此夕=2）任取審（平f

8、R、）*則有jrG1（B）使=卸工人但由于瓷J心兒故以JGE,即丫=以刃£3因此心5B）UE又當(dāng)護(hù)為滿射時(shí)，任取xrGB.則祁在hCX使裁（£=.二于是rt<<3）,於工>0砂卩一氣£）兒即,誓1ftBUpgv（B：>，ra此呂”8.證1>任取.ytp<AUB）t則存在工丘AUB*使了1護(hù).丹若八則型&如八幾丁&I亠護(hù)（工）E怦AM妒成乃）若xGB.則同理可得上式”因此<AUB）（A）U?>（B）-反之任収yW誓（八>U護(hù)（遲-不妨設(shè)*恥、于是行在j?W毘使_y=乎）.而fCAUALJH*因此$

9、=¥（龍WtpiAUB,從而A>U（B>C（AUB）.故護(hù)（A）U*（£】=（PAU母A2）任取y氐0AC幷八則有H使護(hù)5）由于jtCAQB>故jl-CA.jlCB,從而了=護(hù)（工>匕0A）=甲（工）丘護(hù)£3）,因此*朝J護(hù)tA摯（故護(hù)f八門(mén)E）匚爭(zhēng)I/O口密fRX證1）乘積"是集合.4到C的映射.諫，廠氐A(chǔ).且c弄%由十疔是單射，故口（上CJ（.工2）$又由于rJ&雎射，因此T（a（巧>>r（/T<2）*即Qb>】）/©ra）<r?）*故8建聚合A到C的單射，反之設(shè)e蜓A到V的單射

10、，則對(duì)A中任二不同元素刁，竝有（rrr>（jlx鼻（r）（一口），r_a（一了，>Hz£c匕業(yè)*從而以皿）=口（孔）*即er是A到R的單射*2）設(shè)口遼都是満肘，則任取疋。由于是滿射故存在6CB使rCb）=c.又由?afiA到U的滿射，故對(duì)于bB有“人使旅肚）=&（2）從而由（D,（2）得r<a）«r+Bp（raXa）=c,亦即桁是4到C的滿射*反上，設(shè)乘積“是a到u的滿射則任取t-ecT必有衛(wèi)WA便現(xiàn)令b二機(jī)QE好，則rC）=.Mr是集合H到匕的滿射.注應(yīng)注意當(dāng)巾是單射時(shí)山不一定是單射.例如A是正整數(shù)樂(lè)合任坊U都是雅數(shù)集含，又6A*E*a*a

11、9;、riBC*bb9則易知讓積w足單射但壬不是單射.對(duì)滿射也可舉出類(lèi)個(gè)例子.10.證】）設(shè)比是單射，令R'hW擴(kuò)點(diǎn)穴AH,則B=*AU后J旦水A）門(mén)R'hQ現(xiàn)任取一固定uA.1由于是單射，故易知r：ba+當(dāng)&旗A）$E/,雪bfQB是樂(lè)合匕到A的一個(gè)映射貝對(duì)任意&WA都有（巾（ci）=a*即nr1a反之，若存在映射“BAfcfem=貝4戻1A是權(quán)射，斗然是單射故由上題知2是單射.少）設(shè)b是滿射，則任取hRf在A的子集b弋Q中任意取定一個(gè)元索s并令rt/?A«h*r=盤(pán)、其3于#顯然對(duì)枉意brB都有（口匚=”<r（6）>因此r?rljt&#

12、187;反之，巻存在映射tiB*A使x丄“則曲于足収射.當(dāng)然區(qū)滿射，故曲上瞞知y是潢射.11.證1）設(shè)Q是單射，且眄=ar?，其中ri雖祁是集合X到A的映射，則任取aX,有（errtXr!>=（OT）（口），機(jī)“3）=/（粒（口）*因?yàn)轲凼菃紊?，故g（a）從而rjra<反之，設(shè)對(duì)任意集合X3JA的任意映射cm,由如二佗可得T-72,511）（7必為單射.因若不然I在A中存在元素工仇，使a（u）=a（<iz）今取X=A并令?）:xaj與rs:x*a空（JO,則（ar,）（r）=rrfn（工）=疔（口1）*（tjr：）（x）=o（代（工）=（T他）.但因）=0（«2）&

13、#187;®<ffTi）（JT>=（"?Xjt），從而QTy6T2.一良由于Tj（文=°1工他=口（工），故T'TTi.這與假設(shè)矛盾因此（T必為單射.2）沒(méi)/為蒲射，且Ti（J=r,其中G,口是奠合8到集合y的關(guān)個(gè)映射肌對(duì)任意玨B冇&A使點(diǎn)小=札于是（口cj）（a）=（陀疔）（"），n（）r；SS此G3口*反之“設(shè)對(duì)E到任恿集合Y的任意映射n.rj有r-r?cr必有門(mén)尸空則”磁為滿射.固若不然則必E'=B（A）工0；再任図一個(gè)階不小于2的集合匕巫在V中任意取定元素了及Vi易知FljbN*Ml與r5:bV、K*Vi是B到

14、丫的兩個(gè)不同映射，其中辦Ea（AA且對(duì)集合A中任意元盍&都有Tj（”（日）m（Ty0）（0；=TgOf算）二frlg驗(yàn)仇但是嚴(yán)W*矛盾”因此2必為滿肘再12.證反還志假設(shè)P（A）與A之間存在雙射，令,4E=|/（M）|下面來(lái)考察f（A4若fmEASN根搖A,之定文兒中無(wú)jg、,矛盾孑若毎占則同樣根據(jù)島之覽義又有和AJEA也矛盾.因此,P<A）-MA乞間不存在取射.第二章群§2.1群的定義和初步性質(zhì)一、主要內(nèi)容1 群和半群的定義和例子特別是一船線性群、n次單位根群和四元數(shù)群等例子.2 群的初步性質(zhì)1）群中左單位元也是右單位元且惟一；2）群中每個(gè)元素的左逆元也是右逆元且惟一

15、：3）半群G是群二方程ax=d與ya=b在G中有解（-a,bG）.4）有限半群作成群兩個(gè)消去律成立.二、釋疑解難有資料指出，群有50多種不同的定義方法.但最常用的有以下四種：1）教材中的定義方法.簡(jiǎn)稱(chēng)為“左左定義法”；2）把左單位元換成有單位元，把左逆元換成右逆元（其余不動(dòng).簡(jiǎn)稱(chēng)為“右右定義法”；3）不分左右，把單位元和逆元都規(guī)定成雙邊的，此簡(jiǎn)稱(chēng)為“雙邊定義法”；4）半群G再加上方程ax=b與ya=b在G中有解（-a,bG）.此簡(jiǎn)稱(chēng)為“方程定義法”.“左左定義法”與“右右定義法”無(wú)甚差異，不再多說(shuō).“雙邊定義法”缺點(diǎn)是定義中條件不完全獨(dú)立，而且在驗(yàn)算一個(gè)群的實(shí)例時(shí)必須驗(yàn)證單位元和逆元都是雙邊的

16、，多了一層手續(xù)（雖然這層手續(xù)一般是比較容易的）；優(yōu)點(diǎn)是：不用再去證明左單位元也是右單位元，左逆元也是右逆元；從群定義本身的條件直接體現(xiàn)了左與右的對(duì)稱(chēng)性.征數(shù)的運(yùn)算中，如果UJCb3工0兒則工=，體現(xiàn)了徃數(shù)中可M施行除迭運(yùn)算，即乘法的逆運(yùn)算.如果我們把群的運(yùn)算也叫做“弟法J那么在樣中方裡b5是群中任意元塞，無(wú)任何限制有解記為工=三實(shí)為k'b、同時(shí)方程ya=6也有螂.也暫時(shí)記為$=必實(shí)為也'）當(dāng)燃，由于機(jī)乘袪”不一定可換嚴(yán)勺b/u（即Q5與加-J不定相等.但無(wú)論如何這體現(xiàn)了幺群中可以施行“除法運(yùn)算”，即“乘法”的逆運(yùn)算.因此，群的方程定義法”直接體現(xiàn)了在群中可以施行“乘法與除法”運(yùn)

17、算.于是簡(jiǎn)言之，可以施行乘法與除法運(yùn)算的半群就是群.為了開(kāi)闊視野，再給出以下群的另一定義.定義一個(gè)半群G如果滿足以下條件則稱(chēng)為一個(gè)群：對(duì)G中任意元素a,在G中都存在元素a4，對(duì)G中任意元素b都有4-1a（ab）=（ba）a=b.這個(gè)定義與前面4種定義的等價(jià)性留給讀者作為練習(xí).2在群的“方程定義法”中，要求方程ax=b與ya=b都有解缺一不可即其中一個(gè)方程有解并不能保證另一個(gè)方程也有解4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法

18、表來(lái)研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑i是左單位元，而ei與e2都有右逆元且均為ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性而在這些具有對(duì)稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)

19、出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度

20、的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單

21、位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切

22、相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變

23、換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)

24、稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒

25、等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律

26、是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移

27、變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成

28、是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為

29、ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換

30、一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)

31、研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)

32、出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度

33、的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單

34、位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切

35、相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變

36、換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)

37、稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒

38、等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律

39、是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移

40、變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成

41、是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為

42、ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換

43、一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)

44、研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)

45、出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度

46、的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單

47、位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切

48、相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變

49、換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)

50、稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒

51、等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律

52、是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移

53、變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成

54、是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為

55、ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合），總存在若干個(gè)非恒等對(duì)稱(chēng)變換和恒等變換

56、一起構(gòu)成該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.反之，如果一個(gè)圖形存在著非平凡的對(duì)稱(chēng)變換，則該圖形就是對(duì)稱(chēng)圖形.不是對(duì)稱(chēng)的圖形，就不能有非恒等的對(duì)稱(chēng)變換.顯然，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)程度越高，則該圖形的對(duì)稱(chēng)變換就越多.也就是說(shuō)它的完全對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)就越高，即圖形對(duì)稱(chēng)程度的高低與其對(duì)稱(chēng)群的階數(shù)密切相關(guān).因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對(duì)稱(chēng)圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對(duì)稱(chēng).所以人們就把群論說(shuō)成是研究對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)理論.4關(guān)于結(jié)合律若代數(shù)運(yùn)算不是普通的運(yùn)算（例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項(xiàng)式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換的普通加法或乘法），則在一般情況下，驗(yàn)算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來(lái)

57、研究檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立的方法但無(wú)論哪種方法，一般都不是太簡(jiǎn)單5關(guān)于消去律根據(jù)教材推論2，對(duì)有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因?yàn)橹灰朔ū碇忻啃泻兔苛兄械脑鼗ギ惣纯?在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個(gè)元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閑1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為ei.但G并不是群.7群與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系1）世界萬(wàn)物，形態(tài)各異.但其中有無(wú)數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對(duì)稱(chēng)性.而在這些具有對(duì)稱(chēng)性的萬(wàn)事萬(wàn)物中，左右對(duì)稱(chēng)又是最為常見(jiàn)的.由群的定義本身可知，從代數(shù)運(yùn)算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)屬性.2）幾何對(duì)稱(chēng).設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對(duì)稱(chēng)變換（即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱(chēng)），則此對(duì)稱(chēng)變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為該圖形的完全對(duì)稱(chēng)群.這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)性和它的完全對(duì)稱(chēng)群是密切相關(guān)的.凡對(duì)稱(chēng)圖形（