指對數(shù)比較大小

1、全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）指對數(shù)比較大小在填空選擇題中我們會遇到一類比較大小的問題，通常是三個(gè)指數(shù)和對數(shù)混在一起，進(jìn)行排序。這類問題如果兩兩進(jìn)行比較，則花費(fèi)的時(shí)間較多，所以本講介紹處理此類問題的方法與技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判斷對數(shù)的符號？八字真言“同區(qū)間正，異區(qū)間負(fù)”，容我慢慢道來：判斷對數(shù)的符號，關(guān)鍵看底數(shù)和真數(shù)，區(qū)間分為（0,1）和（1,代）（1）如果底數(shù)和真數(shù)均在（0,1）中，或者均在（1,收）中，那么對數(shù)的值為正數(shù)（2）如果底數(shù)和真數(shù)一個(gè)在（0,1）中，一個(gè)在（1,收）中，那么對數(shù)的值為負(fù)數(shù)例如：10g30.5<0,log0.3>0,log2

2、3>0等2、要善于利用指對數(shù)圖像觀察指對數(shù)與特殊常數(shù)（如0,1）的大小關(guān)系，一作圖，自明了3、比較大小的兩個(gè)理念：（1）求同存異：如果兩個(gè)指數(shù)（或?qū)?shù)）的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出指數(shù)（或?qū)?shù)）的關(guān)系，所以要熟練運(yùn)用公式，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況111例如：33,44,52,比較時(shí)可進(jìn)行轉(zhuǎn)化，盡管底數(shù)難以轉(zhuǎn)化為同底，但指數(shù)可以變?yōu)橄嗤?1111133=（34戶,44=（43戶,52=（56戶,從而只需比較底數(shù)的大小即可全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）（2）利用特殊值作“中間量”：在指對數(shù)中通常可優(yōu)先選擇“0,1”對所比較的數(shù)進(jìn)行

3、劃分，然后再進(jìn)行比較，有時(shí)可以簡化比較的步驟（在兵法上可稱為“分割包圍，各個(gè)擊破”，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì)，例如10g23,可知1=log22<log23<log24=2,進(jìn)而可估計(jì)10g23是一個(gè)1點(diǎn)幾的數(shù)，從而便于比較4、常用的指對數(shù)變換公式:(1)(2)/m<a7MlogaMlogaN=1ogaMN1ogM-1Qig=laogN(3)1ogaNn=n1ogaNa0,a=1,N0(4)換底公式：1ogab=Q1ogca進(jìn)而有兩個(gè)推論：1ogab=-1一(令c=b)1ogamNn=1ogaNlogbam二、典型例題：例1:設(shè)a=1ogb,=1

4、2/gc3,1,og!®2,b,c的大小關(guān)系是思路：可先進(jìn)行0,1分堆，可判斷出a>1,0<b<1,0<c<1,從而a肯定最大，只需比較b,c即可，觀察到b,c有相同的結(jié)構(gòu)：真數(shù)均帶有根號，抓住這個(gè)特點(diǎn)，利用對數(shù)公式進(jìn)行變換：b=1og28=；1og23,c=1og3百=：1og32,從而可比較出10g32<1<1og23,所以c：二b答案：c:b:二a全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編(附詳解)1例2:設(shè)a=log32,b=ln2,c=5個(gè),則a,b,c的大小關(guān)系是思路：觀察發(fā)現(xiàn)a,b,c均在(0,1)內(nèi)，a,b的真數(shù)相同，進(jìn)而可通過比較

5、底數(shù)得到大小關(guān)系：a<b,在比較和c的大小，由于c是指數(shù)，很難直接與對數(shù)找到聯(lián)系，考慮估計(jì)a,b,c值得大?。篶msL'mE，可考慮以2為中間量，則a=log32log3V3=g,進(jìn)而agc,所以大小順序?yàn)閎ac答案：bac例3:設(shè)a=(,b=(,c=?,貝Ua,b,c的大小關(guān)系為(235A.abcB.acbC.bacD.bca思路：觀察到a,b,c都是以e為底的對數(shù)，所以將其系數(shù)“放”進(jìn)對數(shù)之中,111再進(jìn)行真數(shù)的比較。2=貶=m2'=恒=m3晨=皿=m55,發(fā)現(xiàn)真數(shù)的235底與指數(shù)也不相同，所以依然考慮“求同存異；讓三個(gè)真數(shù)的指數(shù)一致：11111122=(215孔33

6、=(310儼,55=(56產(chǎn)，通過比較底數(shù)的大小可得:b>a>c答案：C小煉有話說：(1)本題的核心處理方式就是“求同存異”，將三個(gè)數(shù)變形為具備某相同的部分，從而轉(zhuǎn)換比較的對象，將“無法比較”轉(zhuǎn)變?yōu)椤翱梢员容^”(2)本題在比較指數(shù)屆時(shí)，底數(shù)的次數(shù)較高，計(jì)算起來比較麻煩。所以也可以考慮將這三個(gè)數(shù)兩兩進(jìn)行比較，從而減少底數(shù)的指數(shù)便于計(jì)1111算。例如可以先比較a,b:22=(23)6,3L(32F,從而a<b,同理再比較a,c或全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）b,c即可例4:設(shè)a=log36,b=logs10,c=log714,貝U（）A.cbaB.bcaC.acb

7、D.abc思路：觀察可發(fā)現(xiàn)：a=log332）=1log32,b=log552=1log52,c=log772=1log7210g32>log52>log72,所以可得：a>b>c答案：D232例5:設(shè)a=Ri，b=j,c=fi，則a,b,c的大小關(guān)系為（）555A.abcB.acbC.bacD.bca思路：觀察可發(fā)現(xiàn)b,c的底數(shù)相同，a,c的指數(shù)相同，進(jìn)而考慮先進(jìn)行這兩輪的比較。對于b,c,兩者底數(shù)在（0,1）,則指數(shù)越大，指數(shù)哥越小，所以可得b<c,再比較a,c,兩者指數(shù)相同，所以底數(shù)越大，則指數(shù)哥越大，所以ac,綜上：acb答案：B例6:已知三個(gè)數(shù)a=30.

8、5,b=log32,c=cos,則它們之間的大小關(guān)系是（）A.cb:aB.cabC.abcD.b:c二a思路：可先進(jìn)行0,1分組，a=30、1,0<b,c<1,所以只需比較b,c大小,兩者都介于0,1之間且一個(gè)是對數(shù)，一個(gè)是三角函數(shù)，無法找到之間的聯(lián)系。所以考慮尋找中間值作為橋梁。以cos且作為入手點(diǎn)。利用特殊2全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）角的余弦值估計(jì)其大小。3-cos-:cos=1,而10g3210g33=,2323221從而c<<b,大小順序?yàn)閏<b<a2答案：A小煉有話說：在尋找中間量時(shí)可以以其中一個(gè)為入手點(diǎn)，由于非特殊角的三角函數(shù)

9、值可用特殊角三角函數(shù)值估計(jì)值的大小，所以本題優(yōu)先選擇c作為研究對象。例7：（優(yōu)質(zhì)試題甘肅河西三校第一次聯(lián)考）設(shè)2=10937由=21.1儲=0.83,則（）A.b:a;cB.a:c:bC.c:b:aD.c:a二b思路：首先進(jìn)行0,1分組，可得c<1<a,b,下面比較a,b的大小，可以考慮以2作為中間量，b=21.1>2,a=log37<log39=2,所以a<2<b,從而c:a:b答案：D1b例8：設(shè)2力02%=1且X=1一，ay=log11：ab,z=1oga,貝Ux,y,z的大小關(guān)系是（A.yx:zC.yzxD.x:yz思路：由a>b>0,a

10、+b=1可得：0<b<：<a<1,先用0,1將x,y,z分堆，x>0,y,z<0,則x為最大，只需要比較y,z即可，由于y,z的底數(shù)與真數(shù)不同，考慮進(jìn)行適當(dāng)變形并尋找中間量。y=logq：ab=log£jbab=logab=-1,ababab全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編(附詳解)而z=log1a=logba,因?yàn)?<b<1,所以logba<logbb=1,z=logbaa1=y,b所以順序?yàn)閥:二z:二x答案：C例9:下列四個(gè)數(shù)：a=(ln22,b=ln(ln2)c=ln&,d=ln2的大小順序?yàn)槿珖８呖紨?shù)學(xué)復(fù)

11、習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）小煉有話說：本題也可用數(shù)形結(jié)合的方式比較大小，觀察發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)等式右側(cè)為y=logix的形式，而第三個(gè)等式也可變形為2=_10g2c=10glc,2從而可以考慮視a,b,c分別為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)xy=2,y=yX2，y2先作出y=logx圖像，再在這個(gè)坐標(biāo)系中作出2比較交點(diǎn)的位置即可思路：觀察發(fā)現(xiàn)b=ln(ln2)<0,其余均為正。所以只需比較a,c,d,考慮ln2w(0,1),所以a<d,而c=ln72=ln2<d,所以下一步比較a,c:ac=(ln2f；ln2=ln211n2J=ln2(ln2lnA)a0,所以a>c,綜上所述，大小順序?yàn)閎:二c：a:二d答案：b：c:二a:二d一一一0門rc例10:已知a,b,c均為正數(shù)，且2=log1a,.-=log1b,.=log2c,貝U2I*2/2I21()A.a:b二cB.c:b:aC.c二a:bD.b:a二c思路：本題要通過左右相等的條