數(shù)學(xué)建模章紹輝版作業(yè)

1、第四章作業(yè)第二題：針對嚴(yán)重的交通情況，國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局發(fā)布的國家標(biāo)準(zhǔn)，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml為飲酒駕車，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml的為醉酒駕車。下面分別考慮大李在很短時(shí)間內(nèi)和較長時(shí)間內(nèi)（如2個(gè)小時(shí)）喝了三瓶啤酒，多長時(shí)間內(nèi)駕車就會(huì)違反新的國家標(biāo)準(zhǔn)。1、問題假設(shè)大李在短時(shí)間內(nèi)喝下三瓶啤酒后，酒精先從吸收室（腸胃）吸收進(jìn)中心室（血液和體液），然后從中心室向體外排除，忽略喝酒的時(shí)間，根據(jù)生理學(xué)知識(shí)，假設(shè)（1）吸收室在初始時(shí)刻t=0時(shí)，酒精量立即為也;在任意時(shí)刻，酒精從吸收室吸收進(jìn)中心2室的速率（吸收室在單位時(shí)間內(nèi)

2、酒精含量的減少量）與吸收室的酒精含量成正比，比例系數(shù)為k"（2）中心室的容積V保持不變；在初始時(shí)刻t=0時(shí)，中心室的酒精含量為0;在任意時(shí)刻,酒精從中心室向體外排除的速率（中心室在單位時(shí)間內(nèi)酒精含量的減少量）與中心室的酒精含量成正比，比例系數(shù)為k2；（3）在大李適度飲酒沒有酒精中毒的前提下，假設(shè)匕和心都是常量，與飲酒量無關(guān)。2、符號(hào)說明酒精量是指純酒精的質(zhì)量，單位是毫克；酒精含量是指純酒精的濃度，單位是毫克/百毫升；t-時(shí)刻（小時(shí)）；x（t）在時(shí)刻t吸收室（腸胃）內(nèi)的酒精量（毫克）；口。兩瓶酒的酒精量（毫克）；c（t）在時(shí)亥【Jt吸收室（血液和體液）的酒精含量（毫克/百毫升）；C2(

3、t)在時(shí)刻t中心室(血液和體液)的酒精含量(毫克/百毫升)；V中心室的容積(百毫升)；ki酒精從吸收室吸收進(jìn)中心室的速率系數(shù)(假設(shè)其為常數(shù)2.0079);k2酒精從中心室向體外排除的速率系數(shù)(假設(shè)其為常數(shù)0.1855);k3在短時(shí)間喝下三瓶酒的假設(shè)下是指短時(shí)間喝下的三瓶酒的酒精總量除以中心室體積，即3D0/2V；而在較長時(shí)間內(nèi)(2小時(shí)內(nèi))喝下三瓶酒的假設(shè)下就特指3D0/4V.3、模型建立和求解(1)酒是在很短時(shí)間內(nèi)喝的：記喝酒時(shí)刻為t0(小時(shí))，設(shè)c(0)0,可用C2(t)ek2tek1t來計(jì)算血液中的k1k2酒精含量，此時(shí)心k2為假設(shè)中所示的常數(shù)，而k3*“155.79.下面用MATLAB&

4、#174;序畫圖展示血液中酒精含量隨時(shí)間變化并且利用fzero函數(shù)和fminbnd函數(shù)來得到飲酒駕車醉酒駕車對應(yīng)的時(shí)間段，以及血液中酒精含量最高的時(shí)刻。MATLAB?序如下：k1=2.0079;k2=0.1855;k3=155.79;C=(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t);f=(t)c(t)-20;g=(t)c(t)-80;h=(t)-c(t);t1(1)=fzero(f,1);t1(2)=fzero(f,12),t2(1)=fzero(g,1);t2(2)=fzero(g,12)t3,c3=fminbnd(h,0,24)fplot(c

5、,0,20,'k')holdonplot(0,20,20,20,'k',0,20,80,80,'k')holdoffxlabel('時(shí)刻t(小時(shí))，從開始喝酒算起')ylabel('血液中的酒精含量(mg/100ml),)title('短時(shí)間喝下三瓶酒時(shí)，血液中酒精含量隨時(shí)間的變化過程')gtext('(0.06891,20)')gtext('(11.589,20)')gtext('(0.38052,80)')gtext('(4.1125,80)

6、9;)gtext('(1.307,122.25)')運(yùn)行結(jié)果如下：t1=0.0689111.589t2=0.380524.1125t3=1.307c3=-122.25所繪圖形如下：結(jié)果分析：所以，當(dāng)t0.06891,0.38052)(4.1125,11.589時(shí)，20c(t)80,屬飲酒駕車。當(dāng)t0.38052,4.1125時(shí)，屬醉酒駕駛；當(dāng)t1.307時(shí)，血液中的酒精含量最高為122.25毫克/百毫升。(2)酒是在2小時(shí)內(nèi)喝的：可假設(shè)三瓶啤酒是在2小時(shí)內(nèi)勻速喝的.同樣記喝酒時(shí)刻為t0(小時(shí))，設(shè)c(0)0,則吸收室的酒精量為滿足分段的初值問題解得于是中心室內(nèi)的酒精含量C2（t

7、）滿足分段的初值問題解得其中因?yàn)閗13D0k3于kk3k1k2卜此k55k2,k7k3(e2k11)k8k4e2k1k§e2k2k6,k9k7k12.0079,k20.1855以及D0/V103.86,所以k377.896,k442.743,k5462.66,k74243.1,%101.43,k92328.3,k8e2k2k9e2(k2k1)%419.92k10207.82F面用MATLAB®序畫圖展示血液中酒精含量隨時(shí)間變化并且利用fzero函數(shù)和fminbnd函數(shù)來得到飲酒駕車醉酒駕車對應(yīng)的時(shí)間段，以及血液中酒精含量最高的時(shí)刻MATLAB?序如下：k1=2.0079;k

8、2=0.1855;k3=155.79;k4=42.743;k5=462.66;k6=419.92;k9=2328.3;k10=207.82;c1=(t)(k4.*exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t>=0&t<=2)+.(k10.*exp(-k2.*t)-k9.*exp(-k1.*t).*(t>2);f1=(t)c1(t)-20;g1=(t)c1(t)-80;h1=(t)-c1(t);t1(1)=fzero(f1,1);t1(2)=fzero(f1,12),t2(1)=fzero(g1,1);t2(2)=fzero(g1,12),t3

9、,c3=fminbnd(h1,0,20)fplot(c1,0,20,'k')holdonplot(0,20,20,20,'k',0,20,80,80,'k')holdoffxlabel('時(shí)刻t(小時(shí))，從開始喝酒算起')ylabel('血液中的酒精含量(mg/100ml),)title('短時(shí)間喝下三瓶酒時(shí)，血液中酒精含量隨時(shí)間的變化過程')gtext('(0.62321,20)')gtext('(12.62,20)')gtext('(1.6366,80)'

10、)gtext('(5.1412,80)')gtext('(2.6328,115.74)')運(yùn)行結(jié)果如下：t1=0.6232112.62t2=1.63665.1412t3=2.6328c3=-115.74所繪圖形如下：結(jié)果分析：所以，當(dāng)t0.62321,1.6366)(5.1412,12.62時(shí)，20c(t)80,屬飲酒駕車。當(dāng)t1.6366,5.1412時(shí)，屬醉酒駕駛；當(dāng)t2.6328時(shí)，血液中的酒精含量最高，為115.74毫克/百毫升.下面用圖形比較兩種不同假設(shè)下血液中酒精含量的變化過程。MATLAB?序如下：k1=2.0079;k2=0.1855;k3=15

11、5.79;k4=42.743;k5=462.66;k6=419.92;k9=2328.3;k10=207.82;c=(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t);c1=(t)(k4.*exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t>=0&t<=2)+.(k10.*exp(-k2.*t)-k9.*exp(-k1.*t).*(t>2);plot(0:0.01:20,c(0:0.01:20),'-k',0:0.01:20,c1(0:0.01:20),'k',2,c1(2)

12、,'.k')xlabel('時(shí)刻t(小時(shí))，從開始喝酒算起)ylabel('血液中的酒精含量(mg/100ml)')title('短時(shí)間喝下三瓶酒時(shí)，血液中酒精含量隨時(shí)間的變化過程')legend('很短時(shí)間內(nèi)喝三瓶啤酒,'兩小時(shí)內(nèi)勻速喝下三瓶啤酒,'函數(shù)的分段點(diǎn)')所繪圖形如下：第四題：研究將鹿群放入草場后，草和鹿兩個(gè)種群的相互作用，草的生長服從Logistic規(guī)律，年固有增長率0.8,最大密度為3000個(gè)密度單位，在草最茂盛時(shí)，每只鹿每年吃掉1.6個(gè)密度單位的草，若沒有草，鹿群的年死亡率高達(dá)0.9,而在

13、草最茂盛的時(shí)候草對鹿的死亡的補(bǔ)償率為1.5。1、建立差分方程組模型，比較將100只鹿放入密度為1000和密度為3000的兩種草場的情況下，草和鹿兩個(gè)種群的數(shù)量演變過程。(1)符號(hào)說明：xk第k年草場的密度單位yk第k年草場上鹿的數(shù)量r草場上草的年固有增長率a由于捕食導(dǎo)致的草的密度單位減少的速度大小d如果沒有草，鹿群的年死亡率b草對鹿群死亡的補(bǔ)償率N草的最大密度單位(2)模型的建立與求解：基于以上假設(shè)，由于草的生長服從Logistic模型，建立差分方程組模型如下所示：令XkiXkx,ykiyky,與上述方程組聯(lián)立得到平衡點(diǎn)為Po(0,0)>P(N,0)、dNrN(bd)P2(1)bab以下

14、用MATLAB；現(xiàn)差分方程組模型。MATLABS序如下：n=20;r=0.8;a=1.6;b=1.5;d=0.9;N=3000;t=1:n+1;x1(1)=1000;y1(1)=100;fork=1:nx1(k+1)=x1(k)+r*x1(k)*(1-x1(k)/N)-a*x1(k)*y1(k)/Ny1(k+1)=y1(k)-d*y1(k)+b*x1(k)*y1(k)/Nendsubplot(2,2,1),plot(t,x1,'k”t,y1,'kv'),axis(-1,21,0,3000),xlabel('第k年'),ylabel('數(shù)量'

15、;),gtext('草密度'),gtext('鹿數(shù)量'),title(1草和鹿隨時(shí)間的演變,);subplot(2,2,2),plot(x1,y1,'ko'),axis(1000,3000,0,1000),xlabel('草密度'),ylabel('鹿數(shù)量'),title('相平面圖');x2(1)=3000;y2(1)=100;fork=1:nx2(k+1)=x2(k)+r*x2(k)*(1-x2(k)/N)-a*x2(k)*y2(k)/Ny2(k+1)=y2(k)-d*y2(k)+b*x2(k)

16、*y2(k)/Nendsubplot(2,2,3),plot(t,x2,'kA',t,y2,'kv'),axis(-1,21,0,3000),xlabel('第k年'),ylabel('數(shù)量'),gtext('草密度'),gtext('鹿數(shù)量'),title(1草和鹿隨時(shí)間的演變,);subplot(2,2,4),plot(x2,y2,'ko'),axis(1000,3000,0,1000),xlabel('草密度'),ylabel('鹿數(shù)量'),ti

17、tle('相平面圖');運(yùn)行結(jié)果如下：x1=Columns1through8100014802032.52502.32759.32824.52787.32692.5Columns9through162548.52355.92126.11889.91692.91574.915501604.8Columns17through211708.61823.11912.71955.11946.9y1=Columns1through81006050.456.2676.015112.48170.09254.06Columns9through16367.44504.94645.29750.517

18、84.23742.22658.68576.34Columns17through21520.09496.32502.04530.32571.45x2=Columns1through8300028402718.825702378.221491910.41707.1Columns9through161580.61547.61596.616981813.619071954.21950.1Columns17through211905.91841.91779.71736.41720.3y2=Columns1through8100160243.2354.93491.58633.7744.29785.37Co

19、lumns9through16748.9666.76582.61523.37496.69500.06526.81567.43Columns17through21610.02642.33655.79649.15628.5所繪圖像如下：由圖像中可以看出P2(dN,rN(bd)為漸進(jìn)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。bab2、建立常微分方程組模型，重做以上問題。記草和鹿在第t年的數(shù)量分別記為xx(t)和yy(t),其余的符號(hào)假設(shè)與(1)相同，建立常微分方程組模型為：令rx(1)axy0且dykbxy0,得到常微分方程組的臨界點(diǎn)為Po(0,0)、Pi(N,0)、NNNP2(dN,rN(bd),以下運(yùn)用數(shù)值解，方向場和特征

20、線等技巧，用matlab繪制常微分方程組bab的解曲線圖，并加以分析。為了消去方程中的參數(shù)t,將兩式相除，得到：dyNdybxydxrx(Nx)axy當(dāng)將100頭鹿放入密度為1000與密度為3000的草場中，初始值分別為x(0)1000,y(0)100與x(0)3000,y(0)100.利用matlab實(shí)現(xiàn)上述過程的源程序與運(yùn)行結(jié)果如下:函數(shù)m文件：functiondx=fun(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*0.8*(1-x(1)/3000)-1.6*x(1)*x(2)/3000;dx(2)=-0.9*x(2)+1.5*x(1)*x(2)/3000;主程序：t1,x

21、1=ode45('fun',0:20,1000100);t1,x1subplot(2,2,1)plot(t1,x1(:,1),'.-k',t1,x1(:,2),'.-k'),gridonaxis(02003000)title('草和鹿隨時(shí)的演變(x_0=1000)')gtext('草密度'),gtext('鹿數(shù)量')xlabel('第k年'),ylabel('數(shù)量')subplot(2,2,2)plot(x1(:,1),x1(:,2),'.-k'),g

22、ridonaxis(100030000800)title('相平面圖(x_0=1000)')xlabel('草密度'),ylabel('鹿數(shù)量')t2,x2=ode45('fun',0:20,3000100);t2,x2subplot(2,2,3)plot(t2,x2(:,1),'.-k',t2,x2(:,2),'.-k'),gridonaxis(02003000)title（'草和鹿隨時(shí)的演變（x_0=3000）'）gtext('草密度'),gtext('鹿數(shù)量')xlabel('第k年'),ylabel('數(shù)量')subplot(2,2,4)plot(x2(:,1),x2(:,2),'.-k'),gridonaxis(10003000