數(shù)學(xué)建模雪堆融化時(shí)間

1、半球體雪堆融化時(shí)間系別：土木建筑工程學(xué)院專業(yè)：土木（1）班姓名：何澤波學(xué)號(hào)：201140610161一、摘要：一個(gè)半球體狀的雪堆，在陽(yáng)光下慢慢融化，過(guò)程中雪堆始終保持著半球體狀，利用微分知識(shí)來(lái)解決雪堆融化的時(shí)間問(wèn)題，并展開假設(shè)，當(dāng)雪堆融化時(shí)保持錐形等其它形狀，再次求解。關(guān)鍵詞半徑，半圓面積，半圓體積，常數(shù)，常微分、提出問(wèn)題：一個(gè)半球體狀的雪堆，具體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例系數(shù)K>0o假設(shè)在融化過(guò)程中雪堆始終保持著半球體狀，已知半徑為r。的雪堆在開始融化的3小時(shí)內(nèi)，融化了其體積的-,問(wèn)雪8堆全部融化需要多少小時(shí)？三、問(wèn)題分析：在融化過(guò)程，根據(jù)“一個(gè)半球體狀的雪堆，其體積融化的

2、速率與半球面面積S成正比，比例系數(shù)K>0”的條件，我們可以列得方程也0=-KS(t),顯dt然這里為常微分方程。即可得到基本思路就是：先找到V(t)與S(t)的關(guān)系，將S(t)替換V(t)的代數(shù)式，再利用已知條件“半徑為ro的雪堆在開始融化的3小時(shí)內(nèi)，融化了其體積的-,8一201則V(0)="o3,V(3)=nr。3”解出V(t)的具體表達(dá)式，而雪堆全部融化所用312的時(shí)間，為滿足V(n)=0的n值，解出n即為所求。四、建模過(guò)程1、模型假設(shè)：在融化過(guò)程中雪堆始終保持著半球體狀；外界因素基本保持不變，即不影響計(jì)算結(jié)果。2、符號(hào)說(shuō)明：tt小時(shí)，t>0S(t)t時(shí)刻半球狀球體表

3、面面積V(t)t時(shí)刻半球狀球體體積r(t)t時(shí)刻半球狀球體半徑C常數(shù)C3、模型的建立:(1) .一個(gè)半球體狀的雪堆，具體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例系數(shù)K>0.即dV(t)=KS(t)。dt2cc(2) .雪堆始終保持著半球體狀，則有V(t)=nr因?yàn)橛钟蠽(0)=nr。3代入：(t),S(t)=2nr2(t)。3(3) .半徑為r°的雪堆在開始融化的3小時(shí)內(nèi)，融化了其體積的-,則82313V(0)=nr。,V(3)=叮。312(4) .雪堆全部融化所用的時(shí)間，為滿足”)=0的口值。4、模型的求解：因?yàn)橛薪獬鲫P(guān)系：S(t)=2r(t)V(t)=|nr3(t)1 1二幽

4、3V32 .I2二22S(t)=2n答T=卜2nj2213V(t)32二_2二1221=(18冗pV(t)3=NV(t)3(其中令N=(16j3)由"KS(t)得:絲9=-KS(t尸-K-NV(t)3dt求解常微分方程：2V(t)飛dV(t)=-K割幻t(方程左右兩邊求積)13V(t“=C1-KN士V(t)JK飄1gV(t)=C-t,3323V(0)=C=:r03i2"3解出常數(shù)C:C2n：甑【3廣常數(shù)C代入，/2，K割范v(t)=-n航tQI3/3因?yàn)橛钟蠽(3)=1叮03,代入解出K值：12K-1_rK-r06代回解得V(t):最后將V(n)=0代入則:i3/21_1'3nJ*。Gr°(37印=011.二23所以(小時(shí))18二3"=一二答：雪堆全部融化需要6小時(shí).參考文獻(xiàn)：大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)清華出版社姜啟源邢文訓(xùn)謝金星楊頂輝編著總結(jié)：雪堆融化過(guò)程中