多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分

1、第第 14 講講多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分一一. 多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 多元連續(xù)函數(shù)具有類似一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。多元連續(xù)函數(shù)具有類似一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。1. 多元連續(xù)函數(shù)作有限次加、減、乘、除（分母不多元連續(xù)函數(shù)作有限次加、減、乘、除（分母不為零）及復(fù)合運(yùn)算為零）及復(fù)合運(yùn)算后所得函數(shù)仍然連續(xù)。后所得函數(shù)仍然連續(xù)。2. 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值。有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值。3. 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)能取得介于最大值和最有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)能取得介于最大值和最小值間的任何值。小值間的任何值。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxf在點在點),(0

2、00yxP的某鄰域內(nèi)有定的某鄰域內(nèi)有定義。義。0 xx 處可導(dǎo)處可導(dǎo),即有即有 . ),(00yxfx定義定義 1.二二. 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 若一元函數(shù)若一元函數(shù)),(0yxf在在則稱此導(dǎo)則稱此導(dǎo)數(shù)為數(shù)為),(yxf在點在點0P處關(guān)于處關(guān)于 x 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 記作記作xyxfyxxfyxfxx ),(), (lim ),(00000 00 . ),(),(lim0000 0 xxyxfyxfxx 此偏導(dǎo)數(shù)也記作此偏導(dǎo)數(shù)也記作.),(00yxxf 類似可定義關(guān)于類似可定義關(guān)于y 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).例例 1. 設(shè)設(shè)解：解： . 1 0) (0,),( , 0 0) (0,),

3、( , )2 sin( ) , (2233 yxyxyxyxyxf求求 . ) 0 , 0(xf . 0 , 0 0 , sin ) 0 , (23 xxxxxfxfxffxx)0 , 0()0 ,(lim )0 , 0(0 xxxx230 )(sinlim 類似可求類似可求 ) 0 , 0(yf . 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)) , (yxfz 內(nèi)任一點處都存在內(nèi)任一點處都存在則可得則可得的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),對對在區(qū)域在區(qū)域定義定義 2.D記作記作 ; ) , (yxfx . xzx ( 或或 y ) , (yxf的的對對 x ( 或或 y )偏導(dǎo)函數(shù)（簡稱偏導(dǎo)數(shù)）偏導(dǎo)函數(shù)（簡稱偏導(dǎo)數(shù)）,例例 2. 設(shè)

4、設(shè) ,2),(223yyxxyxf 求求解：解： ).0 , 1 ( ,xyff . 2 22yxfy x將將視為常數(shù)，視為常數(shù)，y對對求導(dǎo)得求導(dǎo)得 . 4 32yxxfx y將將視為常數(shù)，視為常數(shù)，x對對求導(dǎo)得求導(dǎo)得 . 3) 0 , 1 ( xf練習(xí)練習(xí). 設(shè)設(shè) ),sin(),(2zeyxzyxu 求求 ).0 , 1 , 0( ,zuyu 答：答： ),cos(22zeyxyyu . 1) 0 , 1 , 0( zu例例 3. 設(shè)設(shè)解：解： , 0 0) (0,),( , 0 0) (0,),( , )ln( ) , (22 yxyxyxxyxf求求 . ) ,(yxfy , )0 ,

5、 0(),( yx若若則則 , 2) , (22yxyxyxfy , )0 , 0(),( yx若若則則yfyffyy) 0 , 0(), 0( lim ) 0 , 0(0 因此因此 0) (0,),( , 0 0) (0,),( , 2 ) , (22 yxyxyxx yyxf多元函數(shù)多元函數(shù)f的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為的二階的二階的二階偏導(dǎo)數(shù)有四種：的二階偏導(dǎo)數(shù)有四種：定義定義 3.三三. 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)。),(yxfxfx f二元函數(shù)二元函數(shù)yfx xyyfxf yyyfyf xxf , 22 xf yxf , 2 yxf , 2 xyf . 22 y

6、f 其中其中類似可定義更高階偏導(dǎo)數(shù)。類似可定義更高階偏導(dǎo)數(shù)。 yxf和和 xyf稱為混合偏導(dǎo)數(shù)。稱為混合偏導(dǎo)數(shù)。例例 4. 設(shè)設(shè) , 2yxez 求求解：解： . , , yxxxyyxzzz , 22yxxez )( yxyxzz . 22yxe , 2yxyez )( xyxyzz . 22yxe )(xyxyxxzz . 42yxe 例例 5. 設(shè)設(shè)解：解： . y 0) (0,),( , 0 0) (0,),( , ) , (2222 yxyxyxyxx yyxf求求. ) 0 , 0(xyf ) , 0(yfx22220 limyxyxyx )0 , 0(xyf . 1 xyfyxf

7、x) , 0(),(lim 0 0 d), 0( d yxyyf例例 6. 設(shè)設(shè)解：解： 0) (0,),( , 0 0) (0,),( , ) , (2222 yxyxyxyxx yyxf求求. ) 0 , 0(yxf . x )0 ,(xfy22220 limyxyxxy )0 , 0(yxf . 1 yxfyxfy)0 ,(),(lim 0 0 d)0 ,( d xyxxf可見可見 yxf和和 xyf未必相等未必相等. .定理：定理： 若若 yxf和和 xyf都在點都在點 ),(00yx處連續(xù)處連續(xù), ,則則 . ),( ),(00 00 yxfyxfxyyx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz

8、 在點在點),(000yxP的某鄰域的某鄰域內(nèi)有定義。內(nèi)有定義?？梢员硎緸榭梢员硎緸?,() , ( 0000yxfyyxxfz 定義定義 4.四四. 偏導(dǎo)數(shù)和可微性偏導(dǎo)數(shù)和可微性 若對任意若對任意函數(shù)函數(shù)在點在點0P處的全增量處的全增量, )( oyBxAz 其中其中A, B 是只與是只與,) () (22yx 則稱則稱)(0PU , )() , ( 000PUyyxxP 0P有關(guān)的常數(shù)，有關(guān)的常數(shù)，),(yxf在在 0P處處可微可微。 稱稱 yBxA 為為),(yxf在在 0P處的處的全微分全微分，記作記作 . d0yBxAzP 考慮考慮 A, ,B 是否與偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)。是否與偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)。若

9、函數(shù)若函數(shù)),(yxfz 在點在點),(000yxP則在某則在某可微可微 ,令令 . )( ),() , ( 0000 oyBxAyxfyyxxfz 內(nèi)有內(nèi)有, 0 y 則上式成為則上式成為)(0PU由此得由此得 . ) | | ( ),(), ( 0000 xoxAyxfyxxfz , ),(), (lim00000 Axyxfyxxfx 即即. ) ,(00Ayxfx 類似可得類似可得. ) ,(00Byxfy 因此有因此有定理：定理： 若函數(shù)若函數(shù)),(yxfz 在點在點),(000yxP則在則在可微可微 ,在一階偏導(dǎo)數(shù)在一階偏導(dǎo)數(shù),0P存存且且 . ) ( ) ( d000yPfxPf

10、zyxP 上式也習(xí)慣地寫成上式也習(xí)慣地寫成 . d ) ( d ) ( d000yPfxPfzyxP 例例 7. 求求 )sin(yxz 在點在點解：解：) 0 , 0( , )cos(yxzx , 1)0 , 0( xz ), cos(yxzy 處的全微分。處的全微分。 , 1)0 , 0( yz因此因此 . d d d)0 , 0(yxz 例例 8. 求求 ),(yxyxf 在點在點解：解：) 0 , 0( ) 0 , 0() 0 ,(lim) 0 , 0(0 xfxffxx , 0 處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù), 并討論并討論f在該點的可微性。在該點的可微性。 . 0)0 , 0( yf)0 ,

11、 0() , ( fyxfz . yx ), ) 0 , 0( ) 0 , 0( yfxfzhyx 類似可得類似可得但若取但若取 , yx 則則 , xh f在原點可微，在原點可微，設(shè)設(shè)令令,) () (22yx 則由定理有則由定理有 . )( oh , 2x . 022 2 limlim0 0 xxhx 與假設(shè)矛盾。與假設(shè)矛盾。因此因此 f 在原點不可微。在原點不可微。函數(shù)在一點處可微，則在該點處偏導(dǎo)數(shù)一定存在，函數(shù)在一點處可微，則在該點處偏導(dǎo)數(shù)一定存在，定理：定理： 若函數(shù)若函數(shù)f在點在點 0P的某鄰域內(nèi)存在一階偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)存在一階偏導(dǎo)數(shù) ,反之不然。反之不然。則則f在在 0P可微可微

12、 。處連續(xù)處連續(xù), 0P且偏導(dǎo)數(shù)在且偏導(dǎo)數(shù)在練習(xí)練習(xí). 考慮考慮 0) (0,),( , 0 0) (0,),( , 1sin ) () , (2222 yxyxyxyxyxf在原點的可微性及偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。在原點的可微性及偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。答：答：可微，偏導(dǎo)數(shù)存在但不連續(xù)?？晌ⅲ珜?dǎo)數(shù)存在但不連續(xù)。函數(shù)在一點處可微，則在該點處偏導(dǎo)數(shù)一定存在，函數(shù)在一點處可微，則在該點處偏導(dǎo)數(shù)一定存在，定理：定理： 若函數(shù)若函數(shù)f在點在點 0P的某鄰域內(nèi)存在一階偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)存在一階偏導(dǎo)數(shù) ,反之不然。反之不然。則則f在在 0P可微可微 。處連續(xù)處連續(xù), 0P且偏導(dǎo)數(shù)在且偏導(dǎo)數(shù)在上述關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)、可微的概念和結(jié)

13、論也可以推廣到上述關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)、可微的概念和結(jié)論也可以推廣到n 元函數(shù)。元函數(shù)。) , , (21nxxxfz n 元函數(shù)元函數(shù)在點在點) , , (21nxxx處的全微分為處的全微分為 , ddd d2211nnxfxfxfz 其中其中 . ) , , ,(21nxixxxffi 五五. 連續(xù)、可微與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系連續(xù)、可微與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系 一元函數(shù)：一元函數(shù)：可導(dǎo)可導(dǎo)可微可微連續(xù)連續(xù)多元函數(shù)：多元函數(shù)：若若),(yxfz 在點在點),(000yxP則在某則在某可微可微 , ),() , ( 0000yxfyyxxfz 內(nèi)有內(nèi)有)(0PU . )( ) ,( ) ,(0000 oyyxfxyxfyx 當(dāng)當(dāng) 0 時時, 上式右端趨于上式右端趨于 0 , 即函數(shù)在該點即函數(shù)在該點連續(xù)連續(xù)。各偏導(dǎo)數(shù)存在各偏導(dǎo)數(shù)存在可微可微連續(xù)連續(xù)?五五. 連續(xù)、可微與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系連續(xù)、可微與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系 函數(shù)函數(shù) 0) (0,),( , 0 0) (0,),( , ) , (22 yxy