多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)(2)

1、整理課件1整理課件2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z=f(u)可微，可微，u=g(x,y) 偏導(dǎo)數(shù)存在，偏導(dǎo)數(shù)存在， xz)(uf ),(yxgx xududz 函數(shù)關(guān)系圖函數(shù)關(guān)系圖zuxy問題：設(shè)函數(shù)問題：設(shè)函數(shù) z=f(u,v)可微，可微，)(xu 與與 導(dǎo)數(shù)存在，導(dǎo)數(shù)存在，)(xv uxzv dxdzy uzdxdu vzdxdv整理課件3定理定理 若函數(shù)若函數(shù) 及及 都在點(diǎn)都在點(diǎn)x可導(dǎo)，可導(dǎo)，)(xu )(xv 函數(shù)函數(shù)z=f (u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)可微可微，則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)x 可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且)(),(xxfz dxdz uzdxdu vzdxdvuvxz整理課件4，)(

2、)(xxxu ，xxxxdxdux )()(lim0，)()(xxxv ，xxxxdxdvx )()(lim0),( ovvzuuzz22)()(vu ,)(xoxvvzxuuzxz ,)(limlimlimlim0000 xoxvvzxuuzxzxxxx dxdvvzdxduuzdxdz 整理課件5解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例1 設(shè)設(shè) ，而，而 u = xy，v = x+y， vezusin yzxz ，uvxzy求求整理課件6例例2 設(shè)設(shè)

3、,arctanvuyvuxyxz 驗(yàn)證驗(yàn)證22vuvuvzuz zxyuv2)(11yxuz y1 2)(11yx )(2yx 22yxxy 2)(11yxvz y1 2)(11yx )(2yx 22yxyx vzuz 222yxy )(2)(222vuvu 22vuvu 1 1 1 )1( 整理課件7例例3 設(shè)設(shè)z = f(u,v) ，而，而 u = x2siny，v=2x+y 求求 ,xz 解解 xz uf2xsiny vf21sin2fyx 22 f yz yz uf x2cosy vf112cosfyx 2f 記記,1fuf 2fvf 整理課件8例例4 設(shè)設(shè) 求求),(xyzxyxfu

4、 zuyuxu ,xyzsxyt ,解解 設(shè)設(shè) xuxf yzfyff 321 yuyttu xzfxf 32 zuzssu xyf 3xttu xssu yssu uxstzyx整理課件9練習(xí)題練習(xí)題 1.設(shè)設(shè) ),arctan(vuz ,yxu ,xyv 求求 xz 2. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(u,v) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且),(sin,2(2xyyxfz 求求 xz 3.過點(diǎn)過點(diǎn)(1,3,2) 且與直線且與直線 6252zyxzyx平行的直線為平行的直線為_.整理課件10解解xw 1f )1()2(xyz zxw2)(21fyzfz )(21fyzzzf 11f 例例5 設(shè)設(shè)w = f

5、 ( x+y+z, xyz )，f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) zxw 22f w( f ) 2f y 1(21fyz22f 求求1 yz zfyzf yzf 221)(1f 12f 1 xy )xy )(2f 整理課件11練習(xí)題練習(xí)題),(yxxyfz yxz 2 2. 求過點(diǎn)求過點(diǎn)(0,3,2) 且與且與z軸相交成軸相交成 角的直線方程角的直線方程6 1. 設(shè)設(shè) 求求作業(yè)：作業(yè)：P82 :T4,T6,T8(1)(2),T12(2)整理課件12 無論無論 z 是自變量是自變量u,v 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量u,v 的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)：全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)：dvvzduuzdz 則：則：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f (u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)),(),(yxvyxu dyyzdxxzdz 則則：dvvzduuzdz （u,v為自變量）為自變量）（u,v為中間變量）為中間變量）整理課件13dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 整理課件14解解, 0)2( zxyezed, 0)2( zxydezdde)()2(ydxxdyedzexyz dye