多元復合函數(shù)求導法則的解題思路及方法

1、整理課件1第四節(jié)第四節(jié) 多元復合函數(shù)求導法則多元復合函數(shù)求導法則一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則二、多元復合函數(shù)的全微分二、多元復合函數(shù)的全微分整理課件2一、鏈式法則一、鏈式法則定理定理 dtdvvzdtduuzdtdz 且其導數(shù)可用下列公式計算且其導數(shù)可用下列公式計算 ( ),( )zftt t則復合函數(shù)則復合函數(shù)在對應點在對應點可導，可導，),(vufz ),(vu函數(shù)函數(shù)在對應點在對應點具有連續(xù)偏導數(shù)，具有連續(xù)偏導數(shù)，可導，可導， ( )ut )(tv t如果函數(shù)如果函數(shù)及及都在點都在點一元復合函數(shù)一元復合函數(shù)( ),( )yf uux 求導法則求導法則ddd

2、dddyyuxuxuvtz整理課件3( ),zzzuvouv ( )zzuzvotutvtt dudtd vd t證證()( ),uttt 則則);()(tttv tt 設設 有有增增量量，0lim.tdzzz duz dvdttu dtv dt 22()() )uv () o 22()() uvtt 0t0 時時, ,取取“”號號0t 當當時時， 由于函數(shù)由于函數(shù)),(vufz 在點在點故可微，即故可微，即),(vu有連續(xù)偏導數(shù)，有連續(xù)偏導數(shù)，整理課件4例例1 設設 而而2,xyze ( )yt sin ,xt 其中其中 可導，求可導，求( ) t .dzdtxytzdzz dxz dydt

3、x dty dt 解解z dxz dyx dty dt 22cos( 2)( )xyxyetet 2cos2( )xyett 整理課件51.1.上定理的結論可推廣到上定理的結論可推廣到dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導數(shù)以上公式中的導數(shù) 稱為稱為dtdz推廣推廣)(),(),(tttfz 中間變量多于兩個的情況中間變量多于兩個的情況: :整理課件6,zzuzvxu xvx yvvzyuuzyz ),(yx的兩個偏導數(shù)存在的兩個偏導數(shù)存在, ,且可用下列公式計算且可用下列公式計算: : ( , )ux y ),(yxv ),(yx如果如果及及都在點都在點),(

4、vufz 具有對具有對x和和y 的偏導數(shù)，且函數(shù)的偏導數(shù)，且函數(shù) ( , ), ( , )zfx yx y 則復合函數(shù)則復合函數(shù)在對應點在對應點),(vu在對應點在對應點具有連續(xù)偏導數(shù)，具有連續(xù)偏導數(shù)， 2.2.上定理還可推廣到上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：而是多元函數(shù)的情況：整理課件7uvxzy復合結構如圖示復合結構如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv ( , ), ( , )zfx yx y 鏈式法則的規(guī)律：鏈式法則的規(guī)律：“連線相乘，分線相加連線相乘，分線相加”整理課件8解解 xz uzxu vzxv 1cossin

5、 veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu uvxzy整理課件9zwvuyxxwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz ( , ), ( , ), ( , )zfx yx yx y ( , ), ( , ), ( , )zfx yx yx y ),(yx在對應點在對應點的兩個偏導數(shù)存在，且可用下列公式計算的兩個偏導數(shù)存在，且可用下列公式計算鏈式法則的規(guī)律：鏈式法則的規(guī)律： “連線相乘，分線相加連線相乘，分線相加”( , ),vx y ( , ),ux y ( , )wx y 設設),(yx都

6、在點都在點具有偏導數(shù)，具有偏導數(shù)，( , ,)zf u v w 在在則復合函數(shù)則復合函數(shù)對應點對應點( , ,)u v w具有連續(xù)偏導數(shù)，具有連續(xù)偏導數(shù)，整理課件10),(yxufz ( , )ux y 即即 ( , ), , ,zfx yx y ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別yyxzxu區(qū)別類似區(qū)別類似3.3.中間變量即有一元函數(shù)中間變量即有一元函數(shù), ,也有多元函數(shù)的情況：也有多元函數(shù)的情況：整理課件11解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet uvtzt整

7、理課件12解解令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff xwxvvfxuuf ;21fyzf zywxvu整理課件13 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 12wfyzfx zywxvu,21ff 整理課件14 設設函函數(shù)數(shù)),(vufz 具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，則則有有全全微微分分dvvzduuzdz ;當當)

8、,(yxu 、),(yxv 時時，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不變性的實質：全微分形式不變性的實質： 無論無論z是自變量是自變量x,y的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量u,v 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性整理課件15dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 整理課件16例例5 設設 而而cos ,uzev ,uxy vxy ,.zzxy求求解解(cos )udzd ev cos( sin )uuevduev dv (),dud

9、 xyydxxdy (),dvd xydx dy ( cossin )( cossin )uuuudzev y ev dxev x ev dy dyyzdxxzdz cos() sin()xyeyxyxy dx cos()sin()xyexxyxy dy 比較比較整理課件171 1、鏈式法則（連線相乘，分線相加）、鏈式法則（連線相乘，分線相加）2 2、全微分形式不變性、全微分形式不變性（特別注意特殊情況：函數(shù)的復合結構的層次）（特別注意特殊情況：函數(shù)的復合結構的層次）小結zzdzdudvuv 整理課件18思考題思考題),(xvufz ( ),ux )(xv 設設，而，而.dzdx求求xfdxdvvfdxduufdxdz dxdzxf 試問試問與與是否相同？為什么？是否相同？為什么？uzvxx整理課件19 xxv