等腰三角形三線合一專題練習(xí)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上等腰三角形三線合一 專題訓(xùn)練1 例1：如圖，四邊形ABCD中，ABDC，BE、CE分別平分ABC、BCD，且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC。變1：如圖，ABCD，A90°，AB2，BC3，CD1，E是AD邊中點(diǎn)。求證：CEBE。 變2：如圖，四邊形ABCD中，ADBC，E是CD上一點(diǎn)，且AE、BE分別平分BAD、ABC. （1）求證：AEBE； （2）求證：E是CD的中點(diǎn)； （3）求證：AD+BC=AB.BCEAD 變3：ABC是等腰直角三角形 ，BAC=90°,AB=AC.若D為BC的中點(diǎn)，過(guò)D作DMDN分別交AB、AC于M、N，求證：（1

2、）DMDN。若DMDN分別和BA、AC延長(zhǎng)線交于M、N。問(wèn)DM和DN有何數(shù)量關(guān)系。(1) 已知：如圖，AB=AC，E為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE=CF，EF交BC于點(diǎn)D求證：DE=DF (2)已知：如圖，AB=AC，E為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，EF交BC于點(diǎn)D，且D為EF的中點(diǎn)求證：BE=CF 利用面積法證明線段之間的和差關(guān)系1、如圖，在ABC中，AB=AC，P為底邊BC上的一點(diǎn)，PDAB于D，PEAC于E，CFAB于F，那么PD+PE與CF相等嗎？ 變1：若P點(diǎn)在直線BC上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，則PD 、PE與CF的關(guān)系又怎樣，請(qǐng)你作圖，證明。1、已知等腰三角形的兩

3、邊長(zhǎng)分別為4、9，則它的周長(zhǎng)為（ ）A 17 B 22 C 17或22 D 13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)尋求規(guī)律例1在ABC中，AB=AC，1=ABC，2=ACB，BD與CE相交于點(diǎn)O，如圖，BOC的大小與A的大小有什么關(guān)系？ 若1=ABC，2=ACB，則BOC與A大小關(guān)系如何？若1=ABC，2=ACB，則BOC與A大小關(guān)系如何？例2如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)利用等腰三角形的性質(zhì)證線段相等例3如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ=60°，且BQ=BP，連結(jié)

4、CQ （1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷PQC的形狀，并說(shuō)明理由例1、等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm，腰上的中線把三角形周長(zhǎng)分為差是3cm的兩部分，則腰長(zhǎng)為（ ）A、2cm B、8cm C、2cm或8cm D、不能確定ABC例2、已知AD為ABC的高，AB=AC，ABC周長(zhǎng)為20cm，ADC的周長(zhǎng)為14cm，求AD的長(zhǎng)。例3、如圖，已知BC=3，ABC和ACB的平分線相交于點(diǎn)O，OEAB，OFAC，求OEF 的周長(zhǎng)。ABFCOE例4、如圖，已知等邊ABC中，D為AC上中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD，連接DE，試說(shuō)明DB=D

5、E。ABCDE例5、等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為450，則這個(gè)三角形是（ ）A、銳角三角形 B、鈍角三角形 C、等邊三角形 D、等腰直角三角形例6、（1）等腰三角形的腰長(zhǎng)為10，底邊上的高為6，則底邊的長(zhǎng)為 。 （2）直角三角形的周長(zhǎng)為12cm，斜邊的長(zhǎng)為5cm，則其面積為 ； （3）若直角三角形三邊為1，2，c，則c= 。例7、下列說(shuō)法：若在ABC中a2+b2c2，則ABC不是直角三角形；若ABC是直角三角形，C=900，則a2+b2=c2；若在ABC中，a2+b2=c2，則C=900；若兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，可以判定這個(gè)三角形是直角三角形。正確的有 （把你認(rèn)為正確的序號(hào)填在

6、橫線上）。例8、正三角形ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，使得PAB、PBC、PCA都是等腰三角形，則這樣的P點(diǎn)有（）（A）1個(gè)（B）4個(gè)（C）7個(gè)（D）10個(gè)例9. 四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90°，BEAD于點(diǎn)E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE=（）A2B3CD例10. 已知ABC為正三角形，P為其內(nèi)一點(diǎn)，且AP=4，BP=，CP=2，則ABC 的邊長(zhǎng)為 （ ）（A） （B） （C）4 （D）三鞏固練習(xí)1、已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于9，求它的周長(zhǎng)。2、在ABC中，AB=AC，B=400，則A= 。3、等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是700，則它的頂角為 。4、有

7、一個(gè)內(nèi)角為40°的等腰三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為 .140°呢 DCBA5、如圖，在RtABC中，C105o，直線BD交AC于D，把直角三角形沿著直線BD翻折，點(diǎn)C恰好落在斜邊AB上，如果ABD是等腰三角形，那么A等于 （ ）(A)40o (B) 30o (C) 25o (D )15o6、若ABC三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，則ABC的形狀為（ ）（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等邊三角形7、判定兩個(gè)等腰三角形全等的條件可以是 （ ）。A、有一腰和一角對(duì)應(yīng)相等 B、有兩邊對(duì)應(yīng)相等 C、有頂角和一個(gè)底

8、角對(duì)應(yīng)相等 D、有兩角對(duì)應(yīng)相等8、等腰三角形一腰上的高線與底邊的夾角等于（ ）A、頂角 B、底角 C、頂角的一半 D、底角的一半9、在等腰三角形ABC中，A與B度數(shù)之比為52，則A的度數(shù)是（ ）A、100° B、75° C、150° D、75°或100°10、如圖，P、Q是ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且QCAPAQBPPQ，則BAC（ ）A、1250 B、1300 C、900 D、120011、如圖，ABC中，ABAC，BD、CE為中線，圖中共有等腰三角形（ ）個(gè)。10題圖11題圖12題圖A、4個(gè) B、6個(gè) C、3個(gè) D、5個(gè) 12、如圖，ABAC，

9、AEEC，ACE280，則B的度數(shù)是（ ） A、600 B、700 C、760 D、45013、如圖是一個(gè)等邊三角形木框，甲蟲(chóng)P在邊框AC上（端點(diǎn)A、C除外），設(shè)甲蟲(chóng)P到另外兩邊距離之和為d，等邊三角形ABC的高為h，則d與h的大小關(guān)系是（ ） 【解題方法指導(dǎo)】 例1. 已知，如圖，ABACCD，求證：B2D 例2. 已知，如圖，ABC是等邊三角形，AD/BC，ADBD，BC6，求AD的長(zhǎng)。 【考點(diǎn)指要】 等腰三角形、等邊三角形及含30°角的直角三角形是應(yīng)用非常廣泛的圖形，因此，在中考試題中經(jīng)常以證明題或計(jì)算題頻頻出現(xiàn)，而且經(jīng)常把它們結(jié)合在一道題中加以應(yīng)用，雖然題目的難度不是很大，但

10、也要善于分析，找出圖形中有關(guān)的性質(zhì)?！镜湫屠}分析】 例1. （2005年 蘇州） 如圖，等腰三角形ABC的頂角為120°，腰長(zhǎng)為10，則底邊上的高AD_。 例2. 已知，如圖，ABC中，C90°，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，AD8，A30°，求CD的長(zhǎng)。 例3. 已知，如圖，ABC是等邊三角形，E是AB上一點(diǎn)，D是AC上一點(diǎn)，且AECD，又BD與CE交于點(diǎn)F，試求BFE的度數(shù)?！揪C合測(cè)試】 1. 已知，如圖，ABAC，ABDACD，求證：DBDC 2. 已知，如圖，D、E是BC上兩點(diǎn)，ABAC，ADAE，求證：BDCE 3. 已知，如圖，ABC中，D

11、E/BC，ABAC，求證：ADAE 4. 已知，如圖，ABC中，ABAC，D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交BC于F，又BDCE，求證：DFEF 5. 已知，如圖，D是BC上一點(diǎn)，ABC、BDE都是等邊三角形，求證：ADCE 6. 已知，如圖，ABC中，B90°，AC的垂直平分線交AC于D，交BC于E，又C15°，EC10，求AB的長(zhǎng)。例6、如圖11，在ABC中，A90°，ABAC，D為BC邊中點(diǎn)，E、F分別在AB、AC上，且DEDF，求證：AEAF是一個(gè)定值.證明：連接AD， ABAC，D為BC中點(diǎn)，ADBC，BAC90°，ABAC， BC4

12、5°，BAD45°，CAD45°，ADBDCD，EDF90°，EDAADF90°，又由ADBC得BDEADE90°，BDEADF，在BDE和ADF中，BDAF，BDAD，BDEADF，BDEADF，BEAF，AEAFAEBEAB（定值）.思考：四邊形AEDF的面積是否也是定值呢？為什么？例4、如圖9，已知AD為ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F，且有BFAC，F(xiàn)DCD，你認(rèn)為BE與AC之間有怎樣的位置關(guān)系?你能證明它嗎？證明：線段BEAC，理由如下：ADBC，ADBADC90°，F(xiàn)BDBFD90°， 在Rt

13、BDF和RtADC中，BFAC，F(xiàn)DCD，RtBDFRtADC，BFDC，F(xiàn)BDC90°，BEC180°（FBDC）180°90°90°，即BEAC.例5、如圖10，在ABC中，ACB90°，ACBC，M是AB上一點(diǎn)，求證：.證明：過(guò)C作CDAB于點(diǎn)D，ACB90°，ACBC，CDAB，AB45°，ACDBCD45°，AACD，BBCD，ADBD，BDCD，即ADBDCD，CDAB，.思考：請(qǐng)同學(xué)們?cè)囋囉昧硗獾姆椒▉?lái)證明本題.例1、如圖5，在ABC中，ABAC，點(diǎn)O在ABC內(nèi)，OBOC，求證：AOBC.證

14、明：延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，ABAC，OBOC，OAOA，ABOACO，BAOCAO，即BADCAD，ADBC，即AOBC.例2、如圖6，在等邊ABC中，D、E分別在邊BC、BA的延長(zhǎng)線上，且AEBD，求證：CEDE.證明：過(guò)E作EFCD于點(diǎn)F，ABC是等邊三角形，B60°，BEF30°，BE2BF，即BAAEBCBD2BCCD2（BCCF），CD2CF， CFDF，在CEF和DEF中，CFDF，CFEDFE90°，EFEF，CEFDEF，CEDE.例3、如圖7，已知在ABC中，ABAC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，PDAB于點(diǎn)D，PEAC于點(diǎn)E，求證：PDPE是一個(gè)定

15、值.解：連接AP，過(guò)點(diǎn)C作CFAB于點(diǎn)F，由，得：，即，（定值）.說(shuō)明：本例的結(jié)論可用文字語(yǔ)言敘述為：等腰三角形底邊上一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于腰上的高.拓展：如果點(diǎn)P不是在邊BC上，而是在BC的延長(zhǎng)線上，其它條件保持不變，那么PD與PE之間又有怎樣的關(guān)系呢？解：連接AP，過(guò)點(diǎn)C作CFAB于點(diǎn)F，（如圖8）由，得：，即,（定值）.即，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，PD與PE之差為一定值.基礎(chǔ)訓(xùn)練：1、填空題：（1）等腰三角形中，如果底邊長(zhǎng)為6，一腰長(zhǎng)為8，那么周長(zhǎng)是 。（2）如果等腰三角形有一邊長(zhǎng)是6，另一邊長(zhǎng)是8，那么它的周長(zhǎng)是 ；如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4、8，那么它的周長(zhǎng)是 。（3）等腰三角

16、形的對(duì)稱軸最多有 條。2、填空題：（1）如果ABC是等腰三角形，那么它的邊長(zhǎng)（或周長(zhǎng)）可以是（ ）A、三條邊長(zhǎng)分別是5，5，11 B、三條邊長(zhǎng)分別是4，4，8C、周長(zhǎng)為14，其中兩邊長(zhǎng)分別是4，5 D、周長(zhǎng)為24，其中兩邊長(zhǎng)分別是6，12（2）等腰三角形一邊長(zhǎng)為2，周長(zhǎng)為5，那么它的腰長(zhǎng)為（ ）A、3 B、2 C、1.5 D、2或1.53、已知等腰三角形的腰長(zhǎng)是底邊的3倍，周長(zhǎng)為35cm，求等腰三角形各邊的長(zhǎng)。4、已知：如圖，AD平分BAC，AB=AC，請(qǐng)你說(shuō)明DBC是等腰三角形。ABCDx+2y=43x+y=75、已知等腰三角形的底邊和一腰長(zhǎng)是方程組 的解，求這個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)。（1）等腰三

17、角形的頂角平分線、 、 互相重合。（2）等腰三角形有一個(gè)角是120°，那么其他兩個(gè)角的度數(shù)是 和 。（3）ABC中，A=B=2C，那么C= 。（4）在等腰三角形中，設(shè)底角為x°，頂角為y°，則用含x的代數(shù)式表示y，得y= ；用含y的代數(shù)式表示x，得x= 。 2、選擇題：（1）等腰三角形的一個(gè)外角為140°，那么底角等于（ ）A、40° B、100° C、70° D、40°或70°（2）等腰三角形一腰上的高線與底邊的夾角等于（ ）A、頂角 B、底角 C、頂角的一半 D、底角的一半（3）在等腰三角形ABC中，

18、A與B度數(shù)之比為52，則A的度數(shù)是（ ）A、100° B、75° C、150° D、75°或100°（4）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分線，則“ADBC，BD=DC，B=C，BAD=CAD”中，結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）A、4 B、3 C、2 D、13、如圖，已知ABC中，D在BC上，AB=AD=DC，C=20°，求BAD。ABCDABCDE4、如圖，已知ABC中，點(diǎn)D、E在BC上，AB=AC，AD=AE。請(qǐng)說(shuō)明BD=CE的理由。1、填空題：（1）在ABC中，A的相鄰?fù)饨鞘?10°，要使ABC是等腰三角形，則B= 。（2）在一個(gè)三角形中，等角對(duì) ；等邊對(duì) 。（3）如果等腰三角形底邊上的高線和腰上的高線相等