一元四次方程的求根公式黃之

1、 一元四次方程的根式解 上海 黃之關(guān)于代數(shù)方程的求根公式的歷史，本文就不多說了，四次方程的求根公式應(yīng)該屬于費(fèi)拉里的。一，首先，想重復(fù)一次三次方程的求根公式，即的零點(diǎn)，首先將g(x)寫成： 在形式上，使二次項(xiàng)消失。然后令,計(jì)算后可得： 則有： 若方程系數(shù)都為實(shí)數(shù)，則時(shí)g(x)有一個(gè)實(shí)零點(diǎn)和一對(duì)共軛虛零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，g(x)有一個(gè)重根，當(dāng)時(shí)，g(x)有三個(gè)不相等的實(shí)零點(diǎn)：其中也許值得一提的是，實(shí)系數(shù)方程的根全部都是實(shí)數(shù)的充分必要條件是：這表明，三個(gè)實(shí)數(shù)r,s,t，則關(guān)于復(fù)數(shù)的方程組：的解都是實(shí)數(shù)的等價(jià)條件為： 上式等號(hào)成立，等價(jià)于中有某兩個(gè)數(shù)相等.二，現(xiàn)在開始考慮四次方程的求根公式.首先考慮缺三次項(xiàng)的

2、四次方程. 即的根，將方程變形，引入一個(gè)參數(shù)y： 上式左邊是一個(gè)平方式，期待右邊也是平方式，故而需要：上述關(guān)于y的方程即：，以本文開頭的三次方程的求根公式解之，令，此時(shí)還不需要去簡化.則得到（只需要取該關(guān)于y的方程的一個(gè)實(shí)根即可，事實(shí)上任何一個(gè)根都可以.）： 將上面的其中一個(gè)y代入，即得到： 則原方程可以化為兩個(gè)二次方程： 由此，可以得到的根： 三，那么最后，來考慮的零點(diǎn)，先將f(x)寫成：形式上使三次項(xiàng)消失，這可以通過考慮f(x)在某個(gè)待定點(diǎn)附近的泰勒展開式做到. 用剛才缺三次項(xiàng)的四次方程的求根公式解之，令：簡化上述p,q的表達(dá)式： 而,其對(duì)應(yīng)的y為： 事實(shí)上只需要取一個(gè)實(shí)值的y即可.然后由第二段的缺三次項(xiàng)的四次方程的求根公式就得到最后的解，為了表達(dá)簡潔，再令：（只需要取實(shí)值，事實(shí)上都可以，只需要取其中一個(gè).）故而的四個(gè)零點(diǎn)是：可得：而從整個(gè)過程不難討論f(x)的零點(diǎn)情況，不再繼續(xù).四， 事實(shí)上在第一段中，把三次方程歸結(jié)為了形式：，在這種情況下，只需作變換：即可將其歸結(jié)到二次方程，所以得到第一段的解法.提出一些問題供練習(xí):1， 求出一個(gè)等腰三角形，使得它三個(gè)內(nèi)角的正弦值之和等于它們的余弦值之和.2， 實(shí)數(shù)