第6講--分形幾何學(xué)

1、第6講分形幾何學(xué)主要內(nèi)容：一、概述二、分維的測(cè)定方法（重點(diǎn)內(nèi)容）三、分維應(yīng)用實(shí)例（重點(diǎn)內(nèi)容）四、問題討論一、概述分形幾何的概念是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特（）1975年首先提出的，被譽(yù)為大自然的幾何學(xué)，它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支，但其本質(zhì)卻是一種新的世界觀和方法論。分形理論與動(dòng)力系統(tǒng)的混沌理論交叉結(jié)合，相輔相成。分形理論是用來研究自然界中沒有特征長(zhǎng)度但又具有自相似性的圖形和現(xiàn)象。自然界的許多事物和現(xiàn)象均表現(xiàn)出極為復(fù)雜的形態(tài)，并非是一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分形，而是具有統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性。分形幾何學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、地質(zhì)、材料、工程技術(shù)等學(xué)科中得到廣泛的應(yīng)用。近

2、年來，對(duì)分形幾何的研究發(fā)展很快，在些前沿課題上取得了較大的進(jìn)展。1、基本概念（1）整數(shù)維與分?jǐn)?shù)維“維”（dimension）是幾何學(xué)及空間理論的基本概念，是能有效度量幾何物體的標(biāo)準(zhǔn)體所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目，是表示幾何體形狀與分布特征的重要參數(shù)。在拓樸學(xué)和歐幾里得幾何學(xué)中，維數(shù)只能是整數(shù)。如直線是一維的，平面是二維的，普通空間是三維的。如果在三維空間中引入直角坐標(biāo)，就可用三個(gè)實(shí)數(shù)（x,y,Z）代表空間的一點(diǎn)：n維空間的一點(diǎn)一般可用n個(gè)實(shí)數(shù)（x1，x2,，xn）來表示。在相對(duì)論中，所討論的時(shí)空是四維空間，時(shí)空的點(diǎn)，可用坐標(biāo)（x，y，z,t）來表示，其中t表示時(shí)間?？梢姇r(shí)空空間的維數(shù)也是整數(shù)。然而，

3、歐氏空間只是對(duì)現(xiàn)實(shí)空間的一個(gè)最簡(jiǎn)單的近似描述。正如BBMandelbrot在其1982年出版的自然分形幾何學(xué)一書中所說：“山峰并不是圓錐形，海岸線不是圓弧形，閃電的傳播也不是直線的”。為了更確切地描述自然界的無規(guī)則現(xiàn)象，法國(guó)數(shù)學(xué)家BenoitBMandelbrot于1977年首次提出了不是整數(shù)的維數(shù)分?jǐn)?shù)維（fractaldimension）的新例如,英國(guó)海岸線的維數(shù)D為1.25，宇宙中物質(zhì)分布的D為1.2。研究表明，凡是可用分?jǐn)?shù)維描述的幾何對(duì)象，都具有自相似性。（2）自相似性與無標(biāo)度區(qū)所謂自相似性（self-similarity），是指事物或現(xiàn)象中局部與整體在形態(tài)、功能和信息等方面具有統(tǒng)計(jì)意義

4、上的相似性。自然界中的許多客體，如云朵、山脈、海岸線、樹、肺臟，甚至描述經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的圖形，都具有“自相似性”，即局部與整體的形狀相似，局部的局部也與整體相似。例如，一段用放大的比例尺畫出來的海岸線與整條海岸線形狀是相似的；一棵樹干分為二支，每支又分為二支這棵樹的局部與整體的形狀相似。事實(shí)上，地質(zhì)體大多具有自相似性，一條斷層可能以不同比例尺存在，而其外表卻十分相像。因此，地質(zhì)學(xué)家長(zhǎng)期以來憑直覺認(rèn)識(shí)到了這一基本事實(shí)，從而形成了一個(gè)不言而喻卻是不可改變的原則，即任何地質(zhì)體的照片必須附上一個(gè)比例尺參照物，在野外拍攝的地質(zhì)照片中通常附上已知尺寸的某種普通物品，例如鉛筆、地質(zhì)錘或人體。自然界事物自相似性只在

5、一定尺度范圍內(nèi)才能出現(xiàn)，這個(gè)具有自相似性的范圍叫做無標(biāo)度區(qū)。在無標(biāo)度區(qū)內(nèi)，放大或縮小幾何對(duì)象的尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)并不改變，即其形狀與標(biāo)度無關(guān)。在無標(biāo)度區(qū)外，自相似現(xiàn)象不存在。（3）分形與分形幾何學(xué)分形是指具有自相似性或自相似結(jié)構(gòu)的幾何對(duì)象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈、粗糙不平的斷面、變化無常的浮云、九曲回腸的河流、縱橫交錯(cuò)的血管，令人眼花燎亂的滿天繁星,它們的共同特點(diǎn)是極不規(guī)則或極不光滑，然而放大或縮小若干倍后其結(jié)構(gòu)與功能又具相似性，因此，這些現(xiàn)象都是分形。同樣，地質(zhì)現(xiàn)象中的自相似現(xiàn)象也十分普遍。例如地殼的變形是一自相似過程，變形過程中構(gòu)造事件的空間分布以及變形后構(gòu)造帶中不均勻體的分布

6、常常是分形的；巖石的破壞也是一自相似過程，破壞過程中的微破裂事件的空間分布以及破壞后斷裂帶中不均勻體的分布也常常是分形。因?yàn)榉中味季哂袠O不規(guī)則的復(fù)雜形狀，因而用整數(shù)維的概念很難對(duì)它們進(jìn)行定量描述。然而，根據(jù)分形的觀點(diǎn)，卻可以從中找到自相似結(jié)構(gòu)，并用分維對(duì)其形狀進(jìn)行描述。1982年由創(chuàng)立的分形幾何學(xué)就是研究無規(guī)則現(xiàn)象或分形的數(shù)學(xué)方法。它既是數(shù)學(xué)的最新研究領(lǐng)域之一，又是國(guó)內(nèi)外地學(xué)研究的前沿課題。2、分維的定義和分類對(duì)于D維規(guī)則圖形，把圖形的每一個(gè)界面分成b份，則圖形被分成N=6份，自相似維數(shù)為:以上定義只適用于具有嚴(yán)格自相似性的圖形。為了能夠適用于包括隨機(jī)圖形在內(nèi)的任意圖形，人們給分維引入了多種定

7、義。在地學(xué)研究中，一般用下列3種定義：(1) 容量維(Dk)若N(d)是能夠覆蓋住一個(gè)點(diǎn)集的直徑為d的小球的最小數(shù)目，則該點(diǎn)集的容量維定義為：(2) 信息維(Di)在容量維的定義中，只考慮了直徑為d的小球數(shù)目與d之間的關(guān)系，而未考慮研究對(duì)象因此，對(duì)于非確定性的研究對(duì)象，這種定義仍不實(shí)用。于是，引入了信息維的定義:其中，pi(d)為研究對(duì)象落在第i個(gè)球中的概率。若概率分布均勻，則Pi(d)=1/N，D=D。般情況下，D<Q可見信息維是容量維的一種推廣(3) 相似維(Ds)相似維是應(yīng)用最多的一種分維。對(duì)于某一具有自相似性的研究對(duì)象，若其可以被分為N個(gè)單元(N隨相似比r變化)，且每一單元按相似

8、比r與整體相似，則定義：分維的上述定義在數(shù)學(xué)上都是很嚴(yán)密的。但在實(shí)際問題及實(shí)驗(yàn)測(cè)定中。長(zhǎng)度是有界限的通常，如果N(r)隨r的變化存在以下關(guān)系:則D就是該圖形的分維3、分維在地質(zhì)學(xué)上的應(yīng)用作為表征研究對(duì)象幾何復(fù)雜程度和幾何分布關(guān)系的參數(shù)。分維在地學(xué)，尤其是工程地質(zhì)、環(huán)境地質(zhì)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，在處理過去難以解釋或難以解決的復(fù)雜問題方面顯示了具大威力，得到了一系列準(zhǔn)確的解釋和定量結(jié)果。（1）地質(zhì)體結(jié)構(gòu)的分形研究 巖石結(jié)構(gòu)面幾何特征巖石結(jié)構(gòu)面是指存在于巖體內(nèi)的面、縫、層、帶狀地質(zhì)界面。結(jié)構(gòu)面不僅破壞了巖體的完整性，直接影響巖體的力學(xué)性質(zhì)和應(yīng)力分布狀態(tài)，而且很大程度上影響著巖體的滲流途徑和破壞方式。因此

9、在巖石力學(xué)、水文地質(zhì)與工程地質(zhì)學(xué)領(lǐng)域都非常重視巖石結(jié)構(gòu)面研究。巖石結(jié)構(gòu)面的幾何特征包括結(jié)構(gòu)面的方位、形態(tài)、規(guī)模、間距或密度、隙寬、粗糙度、璧面強(qiáng)度和充填性等。由于結(jié)構(gòu)面空間形態(tài)的不規(guī)則性、組成結(jié)構(gòu)面網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，阻礙了人們對(duì)它的深入認(rèn)識(shí)。運(yùn)用分形幾何學(xué)研究結(jié)構(gòu)面幾何特征及其組成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，可以得到許多非常有意義的結(jié)論。 巖土結(jié)構(gòu)有人對(duì)巖石顆粒和土顆粒的粒度分布、巖石空隙和土粒間孔隙的大小分布、顆粒表面形態(tài)等進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)它們均符合分形分布規(guī)律。 礦物晶體結(jié)構(gòu)傳統(tǒng)的晶體結(jié)構(gòu)模型是以歐幾里德空間為基礎(chǔ)建立起來的?，F(xiàn)在有人提出用分形空間建立晶體結(jié)構(gòu)模型，并有人用計(jì)算機(jī)模擬出一些理想的分形晶體模型。（

10、2）地震學(xué)中的分形研究 地震強(qiáng)度的自相似性地震震級(jí)（M）與地震頻度（N）有以下關(guān)系：lgN=a-bM震級(jí)與地震波能量（E）的關(guān)系為：LgE=A+1.5M由以上兩式可得： 地震的時(shí)間分維有人通過研究發(fā)現(xiàn)，在適當(dāng)?shù)亩ㄩL(zhǎng)時(shí)間段內(nèi)有震的時(shí)段數(shù)與時(shí)間間隔符合分形分布關(guān)系。 地震的空間分維地震震中的分布具有某種程度的自相似性。（3）地貌學(xué)中的分形研究地表的起伏形態(tài)可用分維描述。在一個(gè)流域內(nèi)，水道的數(shù)目、長(zhǎng)度、縱比降、流域面積等均具有自相似性。(4) 巖石斷裂與破碎利用分維可以很好地描述巖石斷裂面的粗糙不平，綜合反映巖石材料的微結(jié)構(gòu)、組構(gòu)演化、變形和破壞性質(zhì)，把宏觀力學(xué)性質(zhì)與微觀結(jié)構(gòu)定量地聯(lián)系起來。在研究一

11、個(gè)區(qū)域的斷裂構(gòu)造分布時(shí)，可分別研究斷層幾何結(jié)構(gòu)的分維和斷層空間分布的分維。在這種情況下，斷層分維是斷層數(shù)量、規(guī)模、組合形式、水平延伸長(zhǎng)度以及分布不均勻性的綜合體現(xiàn)，可以作為研究區(qū)斷裂構(gòu)造復(fù)雜程度的量化指標(biāo)。(5) 地學(xué)數(shù)據(jù)的分維處理地學(xué)數(shù)據(jù)在坐標(biāo)圖上表現(xiàn)為幾何點(diǎn)或幾何曲線，對(duì)這些點(diǎn)的分布特征和曲線的幾何特征進(jìn)行分維分析，就可以間接地分析這些數(shù)據(jù)的時(shí)空特征。二、分維的測(cè)定方法分形研究中，已提出許多不同的分維測(cè)定方法，可以根據(jù)不同的研究對(duì)象和不同的研究目的選用不同的測(cè)定方法。下面只介紹四種基本方法。1、碼尺法取長(zhǎng)度為r的碼尺逐一覆蓋曲線(斷層跡線、地表面或巖石破裂面等與一垂直切面的交線)，以所需碼

12、尺總數(shù)N(r)乘以碼尺長(zhǎng)度r得到該曲線的近似長(zhǎng)度L(r)；隨著r的縮小，L(r)將增大，具有：丄/jf-*kf在實(shí)際應(yīng)用碼尺法測(cè)定分維時(shí)，將一組碼尺長(zhǎng)度ri及與其對(duì)應(yīng)的一組斷層長(zhǎng)度L(ri)標(biāo)在InL(r)-lnr雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上(i=1,2，n),便可用一元線性回歸方法擬合出一條直線：InL(r)=a+bLnr式中，a是常數(shù)，b是直線的斜率。L苦*J廠I亠D實(shí)際上，由式可得：LnL(r)=lnA+(1-D)lnr令：a=LnA,b=1-D，即可得到式InL(r)=a+bLnr。該曲線的分維：D=1-b。在對(duì)不同的曲線進(jìn)行比較研究時(shí)，常以擬合直線斜率的絕對(duì)值作為曲線的相似維。2、圓覆蓋法一條斷裂

13、帶往往由方向、長(zhǎng)度、幾何形態(tài)不同的多條斷層斜列而成。對(duì)于類似斷裂帶的研究對(duì)象，不能用碼尺法，而要用圓覆蓋法。圓覆蓋法與碼尺法類似。但用不同半徑(ri，i=1，2,，n,)的圓去覆蓋斷裂帶，斷裂帶的長(zhǎng)度L(ri)與圓的半徑(ri)有如下關(guān)系：L(ri)=2ri.N(rJ式中，N(rJ為覆蓋斷裂帶所需半徑為ri圓的最小數(shù)目。將ri和L(ri)(i=1，2，n)兩組數(shù)據(jù)標(biāo)在雙對(duì)數(shù)圖Inr-lnL(r)上，可得到一條斜率hhL*=6,1Ocm為b的直線，則其分維數(shù)為：D=1-b。a=4cmg-2cmh-1cmL*=6,75cmL*=6,75cm2r-0.70cjnL*圖圓覆蓋法測(cè)宦斷層長(zhǎng)度示意圖3、網(wǎng)

14、絡(luò)覆蓋法網(wǎng)絡(luò)覆蓋法一般用于研究一個(gè)區(qū)域內(nèi)某種幾何對(duì)象(點(diǎn)、線)的分形結(jié)構(gòu)。將研究區(qū)分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為r的正方形格子，數(shù)出有點(diǎn)或線進(jìn)入的格子數(shù)N(r);按1/2的倍率縮小r，并數(shù)出相對(duì)應(yīng)的格子數(shù)N(r)，并以此類推。如果研究區(qū)內(nèi)幾何對(duì)象具自相似結(jié)構(gòu)，則有：式中，Ds為相似維。這種方法又稱為數(shù)盒子法。將“數(shù)盒子”所得數(shù)據(jù)標(biāo)繪在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖LnN(r)-lnr上,可擬合一條直線：LnN(r)=a+Lnr其斜率b即為研究對(duì)象的分維。20km(b)圖a為日本板田地區(qū)的斷層系(圖中所示斷層是對(duì)“日本活斷層圖”中I到II級(jí)信度活動(dòng)斷層繪制而成)。將該區(qū)域每邊近2n(n=1,2,n)逐級(jí)等分，則可依次數(shù)出有斷層

15、線進(jìn)入的盒子數(shù)。為清晰起見，僅在圖中的一角畫出了逐漸變細(xì)的分割。圖b為有斷層線進(jìn)入的盒子數(shù)與沿網(wǎng)絡(luò)一邊盒子數(shù)的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，其分維為1.60+0.10。4、康托塵集法康托塵集法是分析某種事件沿測(cè)量方向出現(xiàn)非均勻性或概率的情況，可描述該事件分布的不均勻性和各向異性特征。以斷裂分維測(cè)定為例，用幾條平行的測(cè)線覆蓋斷裂圖象，然后將測(cè)線分為長(zhǎng)度為r的一些測(cè)量單元，數(shù)出含有斷裂交叉點(diǎn)的測(cè)量單元的個(gè)數(shù)n與測(cè)量單元總數(shù)N的比值p。改變測(cè)量單元的長(zhǎng)度r，可獲得相應(yīng)的n、N及p值。在Lnp-lnr坐標(biāo)系中，可得到pi與ri（i=1,2，,n）的最佳回歸直線，其斜率即為該測(cè)線方向上的分維值。改變測(cè)線方向重復(fù)上述操作

16、，即可得到不同方向上的斷裂分維值。三、分維應(yīng)用實(shí)例1、巖石斷裂面粗糙度分形研究（徐志斌等，佃98）巖石斷裂面粗糙度（JRC）是一個(gè)重要的幾何參數(shù)，對(duì)巖石強(qiáng)度、剛度、斷層地震行為、斷層帶中斷層泥和碎裂巖的形式等都具有重要影響，因此，精確估算JRC值一直是一項(xiàng)重要的研究課題。Barton等在100多條人工拉斷節(jié)理試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，確定了10條典型的JRC變程曲線，JRC的變化范圍為020。Lee等采用碼尺法實(shí)測(cè)了這10條JRC變程曲線的分維值D,并建立了JRC與D的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式。jRC=一Ch87804+茁.7844?二一16-930彳；二10.oio丨a.DioI這樣，一旦確定了斷裂面的分維，就可估算

17、出其JRC值，進(jìn)而對(duì)斷裂面的剪切破壞強(qiáng)度進(jìn)行預(yù)測(cè)。2、巖石結(jié)構(gòu)分形在巖體質(zhì)量評(píng)價(jià)中的應(yīng)用(丁多文，佃93)巖體在長(zhǎng)期的成巖及變形過程中形成了它們的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)面和結(jié)構(gòu)體是其基本要素。由于地質(zhì)歷史的漫長(zhǎng)，使不同時(shí)期、不同種類、不同空間的巖體結(jié)構(gòu)復(fù)合、演化，從而使巖體結(jié)構(gòu)復(fù)雜化。在這種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)中，巖體結(jié)構(gòu)面的分布存在一定方向的優(yōu)勢(shì)性一一優(yōu)勢(shì)面，即巖體結(jié)構(gòu)面在空間、時(shí)間的分布呈現(xiàn)出某一方面的統(tǒng)計(jì)優(yōu)勢(shì)面和地質(zhì)優(yōu)勢(shì)面，而巖體結(jié)構(gòu)面的分布分形分維(用數(shù)盒子法求得)正能極好地反映優(yōu)勢(shì)面在空間分布的優(yōu)勢(shì)程度及范圍。因此，巖體結(jié)構(gòu)面分布分形維數(shù)的大小可以從一個(gè)方面反映巖體質(zhì)量的好壞程度。結(jié)構(gòu)面分布分維(Dpf)

18、越小，結(jié)構(gòu)面分布越呈現(xiàn)出單一方向分布的優(yōu)勢(shì)；結(jié)構(gòu)面分布分維越大，結(jié)構(gòu)面分布越呈現(xiàn)出多個(gè)方向，結(jié)構(gòu)面分布就越復(fù)雜，巖體質(zhì)量就越差。結(jié)構(gòu)體分布分維(若Lnri與LnN(ri)線性相關(guān)，其直線斜率DVf即為其分維。其中，ri為特征尺度,N(ri)為大于ri的巖塊數(shù)目)則反映結(jié)構(gòu)體大小分布狀況。當(dāng)6>3時(shí)，大的巖體結(jié)構(gòu)體占絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)；Df一般處于23之間，大的結(jié)構(gòu)體所占比例將隨Dvf的減小而降低，巖體質(zhì)量隨Dvf變小而變壞。結(jié)構(gòu)面及結(jié)構(gòu)體分布分維反映巖體結(jié)構(gòu)的兩個(gè)方面，為此引入巖體質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)D=Dvf-Dpf,并根據(jù)D值大小將巖體質(zhì)量分為5級(jí)。巖體質(zhì)量評(píng)價(jià)表DOO.40.40.80.81.21

19、.21.6>1.6巖體質(zhì)量很差差一般好很好3、四川盆地油氣田空間分布的分形特征（施澤進(jìn)等，1995）選取四川盆地勘探項(xiàng)目部署總圖為底圖，將油氣田標(biāo)繪其上，利用數(shù)盒子法求得分維值D為1.308，相關(guān)系數(shù)為0.999，表明四川盆地油氣田的空間分布具有分維結(jié)構(gòu)。將四川盆地分為川東南、川中和川西三個(gè)分區(qū)，分別計(jì)算出油氣田空間分布的分維為：1.387，1.401，1.078，分維值的總體變化趨勢(shì)由東南向西北降低，正好反映油氣田在東南部較密，西北部較稀疏的特點(diǎn)。這說明，分維與油氣田總面積呈正相關(guān)關(guān)系，油氣田分布面積總和越大的區(qū)域，其分維值越大。另一方面，油氣田空間分布的均勻程度也影響分維。在油氣田總

20、面積基本相同的情況下，油氣田分布愈不均勻，其分維反而愈低。4、渭河盆地地質(zhì)災(zāi)害的分形自組織結(jié)構(gòu)（彭建兵等，1992）地震活動(dòng)的時(shí)空分維研究的時(shí)間范圍為公元前280公元1976年，時(shí)間跨度T=2256年。研究對(duì)象是震級(jí)M>2以上的地震。以tn=2n年（也可以是天、小時(shí)、分鐘，n=0,1,2，）為時(shí)間標(biāo)尺，將時(shí)間跨度T劃分成N個(gè)時(shí)段。當(dāng)tn定時(shí)，數(shù)出曾有地震發(fā)生的時(shí)段個(gè)數(shù)，記為m,有震時(shí)段的比例：Xn=mn/Nn統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，LnX與LnTn呈顯著的線性相關(guān)，相關(guān)系數(shù)達(dá)0.9976。由直線斜率k=1-Dk,求得容量維Dk=0.552。LnXnLntn之間的關(guān)系實(shí)際上反映了有震時(shí)段與無震時(shí)段相

21、互關(guān)系隨時(shí)間標(biāo)尺變化的規(guī)律性。例如，當(dāng)時(shí)間標(biāo)尺tn=26年=64年時(shí)，Xn=0.9561，即有震時(shí)段占時(shí)段總數(shù)的比例為95.61%，無震時(shí)段只占4.39%。這表明，以64年為時(shí)間尺度，渭河盆地M>2.0的發(fā)震可能性為95.61。由這種方法揭示的分形結(jié)構(gòu)特征是對(duì)渭河盆地2256年時(shí)段內(nèi)地震在時(shí)間域上活躍與平靜復(fù)雜性的一個(gè)概括。將渭河盆地MS>2的地震震中位置標(biāo)繪在區(qū)域平面圖上，用數(shù)盒子法求得相應(yīng)的容量維0=1.212，相關(guān)系數(shù)達(dá)0.9828，同樣證明了地震空間分布具有分形結(jié)構(gòu)。D是渭河盆地地震空間分布密集與稀疏復(fù)雜性的定量指標(biāo)?；拢ɑ┖偷卣馂?zāi)害的分布分維將滑坡（滑塌）分布點(diǎn)看作

22、與震中分布點(diǎn)相似，地裂縫與斷層相似，在小比例尺圖上近似一個(gè)點(diǎn)，也將其視作震中分布點(diǎn)。因此，將這兩種地質(zhì)災(zāi)害的空間分布當(dāng)作震中分布一樣進(jìn)行處理，同樣可測(cè)算出它們空間分布的容量維。渭河盆地滑坡的空間分布容量維為1.041，地裂縫的空間分布容量維是1.001。將渭河盆地分為東、西兩區(qū)分別研究各種地質(zhì)災(zāi)害分布分維，結(jié)果見下表。從中反映出一個(gè)共同特點(diǎn)：渭河盆地東區(qū)的地質(zhì)災(zāi)害較西區(qū)多些。渭河盆地地質(zhì)災(zāi)害的空間分維地質(zhì)災(zāi)害渭河盆地盆地東區(qū)盆地西區(qū)地震(Ms>2)1.2121.3311.116滑坡(滑塌)1.0411.0541.033地裂縫1.0011.0130.842四、問題討論1、自相似結(jié)構(gòu)和無標(biāo)度

23、區(qū)的判定分形是具有自相似性的幾何對(duì)象，所以研究對(duì)象具有自相似性是正確測(cè)定其分維的必要條件。以數(shù)盒子法為例，如果研究對(duì)象具分形結(jié)構(gòu)(即自相似性)，則LnN(rJ與lnri(i=1,2,，n)將呈現(xiàn)出顯著的線性相關(guān)，否則，就可判定該研究對(duì)象不具有分形結(jié)構(gòu)。另一方面，研究對(duì)象的自相似性一般只存在于一定的尺度范圍內(nèi)，該范圍稱為無標(biāo)度區(qū)。當(dāng)我們將LnN(r)-Inr數(shù)據(jù)對(duì)標(biāo)繪在直角坐標(biāo)系中時(shí)，如果只有當(dāng)r>a，r<b(b>a)時(shí)，點(diǎn)(Lnri,LnN(rJ)(i=1,2,n)近似地分布在一條直線上。而當(dāng)r<a或r>b時(shí)，點(diǎn)(Lnri,lnN(r)偏離直線，則無標(biāo)度區(qū)即為(a,b)區(qū)間