第四章不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和二維無旋流動(dòng)

1、第四章不可壓縮流體的有旋流 動(dòng)和二維無旋流動(dòng)第一節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析第二節(jié) 有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)第三節(jié) 無旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)第四節(jié) 二維平面流動(dòng)的流函數(shù)第五節(jié) 基本的平面有勢(shì)流動(dòng)第六節(jié) 平面勢(shì)流的疊加流動(dòng)歡迎進(jìn)入第四章的學(xué)習(xí) 流體由于具有易變形的特性（易流動(dòng)性），因此流體的運(yùn)動(dòng)要比工程力學(xué)中的剛體的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多。在流體運(yùn)動(dòng)中，有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的兩種類型。由流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析可知，有旋流動(dòng)是指流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度 的流動(dòng)，無旋流動(dòng)是指 的流動(dòng)。 實(shí)際上，黏性流體的流動(dòng)大多數(shù)是有旋流動(dòng)，而且有時(shí)是以明顯的旋渦形式出現(xiàn)的，如橋墩背流面的旋渦區(qū)，船只運(yùn)動(dòng)時(shí)船尾后形成的旋渦，大氣中形成的龍卷風(fēng)等等

2、。但在更多的情況下，流體運(yùn)動(dòng)的有旋性并不是一眼就能看得出來的，如當(dāng)流體繞流物體時(shí)，在物體表面附近形成的速度梯度很大的薄層內(nèi)，每一點(diǎn)都有旋渦，而這些旋渦肉眼卻是觀察不到的。至于工程中大量存在著的紊流運(yùn)動(dòng)，更是充滿著尺度不同的大小旋渦。 00 流體的無旋流動(dòng)雖然在工程上出現(xiàn)得較少，但無旋流動(dòng)比有旋流動(dòng)在數(shù)學(xué)處理上簡(jiǎn)單 得多，因此，對(duì)二維平面勢(shì)流在理論研究方面較成熟。對(duì)工程中的某些問題，在特定條件下對(duì)黏性較小的流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行無旋處理，用勢(shì)流理論去研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，特別是繞流物體的流動(dòng)規(guī)律，對(duì)工程實(shí)踐具有指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值。因此，本章先闡述有旋流動(dòng)的基本概念及基本性質(zhì)，然后再介紹二維平面勢(shì)流理論。 第一節(jié)

3、 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。流體與剛體的主要不同在于它具有流 動(dòng)性，極易變形。因此，任一流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中不但與剛體一樣可以移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。所以，在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)三部分。 一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式zzuyyuxxuuucdddzzvyyvxxvvvcdddzzwyywxxwwwcddd圖 4-1 分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)用圖 yyuxvzxwzuzxwzuyxvyuxxuuucd21d21d21d21dzzvywxyuxvzywzvxyuxvyvvvcd21d2

4、1d21d21dyxxwzuzzvywyzvywxzuxwzzwwwcd21d21d21d21d剪切變形速率 、 、 、 、 、 ，引入記號(hào)，并賦予運(yùn)動(dòng)特征名稱：線變形速率 、 、 ，xx、yy、zz，zwyvxuzzyyxx,xyyxyzzyxzzxxwzuzvywyuxvxzzxzyyzyxxy212121 （4-1） （4-2）于是可得到表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式為旋轉(zhuǎn)角速度 、 、 ，xyzyuxvxwzuzvywzyx212121 （4-3）xyyxzwwzxzxyvvyzzyxuuyxzyzxzzcxzyzyxyyczyxzxyxxcddddddddddddddd（4-4）

5、二、流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解二、流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解 為進(jìn)一步分析流體微團(tuán)的分解運(yùn)動(dòng)及其幾何特征，對(duì)式(4-4)有較深刻的理解，現(xiàn)在分別說明流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中所呈現(xiàn)出的平移運(yùn)動(dòng)、線變形運(yùn)動(dòng)、角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 為簡(jiǎn)化分析，僅討論在 平面上流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)。假設(shè)在時(shí)刻 ，流體微團(tuán)ABCD為矩形，其上各點(diǎn)的速度分量如圖4-2所示。由于微團(tuán)上各點(diǎn)的速度不同，經(jīng)過時(shí)間 ，勢(shì)必發(fā)生不同的運(yùn)動(dòng)，微團(tuán)的位置和形狀都將發(fā)生變化，現(xiàn)分析如下。xoyttd1平移運(yùn)動(dòng)圖 4-2 分析流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)用圖 a 2線變形運(yùn)動(dòng) b 圖4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(a)圖4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(b)圖4-3 流體微團(tuán)

6、平面運(yùn)動(dòng)的分解(c) 圖4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(d) 3角變形運(yùn)動(dòng) cyuxvtyxxy21d)/2dd(yuxvyxxy21zvywzyyz21xwzuxzzx21 4旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)d yuxvtz21dd-d21tdd/ )-d(21yuxvxwzuzvywzyx212121222zyx)(21Vkjizyxxy 綜上所述，在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)總是可以分解成：整體平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、線變形運(yùn)動(dòng)及角變形運(yùn)動(dòng)，與此相對(duì)應(yīng)的是平移速度、旋轉(zhuǎn)角速度、線變形速率和剪切變形速率。 第二節(jié) 有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)一、有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的定義一、有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的定義二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度二、速度

7、環(huán)量和旋渦強(qiáng)度 一、有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的定義一、有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的定義 流體的流動(dòng)是有旋還是無旋，是由流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來決定的。流體在流動(dòng)中，如果流場(chǎng)中有若干處流體微團(tuán)具有繞通過其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為有旋流動(dòng)。如果在整個(gè)流場(chǎng)中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為無旋流動(dòng)。這里需要說明的是，判斷流體流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無旋流動(dòng)，僅僅由流體微團(tuán)本身是否繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來決定，而與流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)，在圖4-4(a)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓形，但由于微團(tuán)本身不旋轉(zhuǎn)，故它是無旋流動(dòng)；在圖4-4(b)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，但微團(tuán)繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，故它是有旋流動(dòng)。在

8、日常生活中也有類似的例子，例如兒童玩的活動(dòng)轉(zhuǎn)椅，當(dāng)轉(zhuǎn)輪繞水平軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，每個(gè)兒童坐的椅子都繞水平軸作圓周運(yùn)動(dòng)，但是每個(gè)兒童始終是頭向上，臉朝著一個(gè)方向，即兒童對(duì)地來說沒有旋轉(zhuǎn)。圖4-4 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)無旋流動(dòng)有旋流動(dòng)判斷流體微團(tuán)無旋流動(dòng)的條件是：流體中每一個(gè)流體微團(tuán)都滿足根據(jù)式（4-3），則有0zyx,zvyw,xwzuyuxv（4-8）二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度1速度環(huán)量 為了進(jìn)一步了解流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，引入流體力學(xué)中重要的基本概念之一速度環(huán)量。 在流場(chǎng)中任取封閉曲線k，如圖4-5所示。速度 沿該封閉曲線的線積分稱為速度沿封閉曲線k的環(huán)量，簡(jiǎn)稱速度環(huán)量，用 表示，即 式中 在封閉

9、曲線上的速度矢量； 速度與該點(diǎn)上切線之間的夾角。 速度環(huán)量是個(gè)標(biāo)量，但具有正負(fù)號(hào)。 VKKsvsVdcosdV圖4-5 沿封閉曲線的速度環(huán)量在封閉曲線k上的速度矢量 速度 與該點(diǎn)上切線之間的夾角 V 速度環(huán)量的正負(fù)不僅與速度方向有關(guān)，而且與積分時(shí)所取的繞行方向有關(guān)。通常規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)镵的正方向，即封閉曲線所包圍的面積總在前進(jìn)方向的左側(cè)，如圖4-5所示。當(dāng)沿順時(shí)針方向繞行時(shí)，式（4-9）應(yīng)加一負(fù)號(hào)。實(shí)際上，速度環(huán)量所表征的是流體質(zhì)點(diǎn)沿封閉曲線K運(yùn)動(dòng)的總的趨勢(shì)的大小，或者說所反映的是流體的有旋性。 由于和，則kwj vi uVkzj yi xsddddzwyvxusVdddd代入式（4-9），得

10、KKzwyvxusV)ddd(d（4-10）2旋渦強(qiáng)度沿封閉曲線的速度環(huán)量與有旋流動(dòng)之間有一個(gè)重要的關(guān)系，現(xiàn)僅以平面流動(dòng)為例找出這個(gè)關(guān)系。如圖4-6所示，在平面上取一微元矩形封閉曲線，其面積，流體在A點(diǎn)的速度分量為和，則B、C和D點(diǎn)的速度分量分別為：XOYyxAddduvxxuuudBxxvvvdByyuxxuuuddCyyvxxvvvddCyyuuudDyyvvvdD圖4-6 沿微元矩形的速度環(huán)量 xxuudxxvvdyyuxxuuddyyvxxvvddyyuudyyvvd于是，沿封閉曲線反時(shí)針方向ABCDA的速度環(huán)量將 、 、 、 和 、 、 、 各值代入上式，略去高于一階的無窮小各項(xiàng)，再

11、將式（4-3）的第三式代入后，得然后將式（4-11）對(duì)面積積分，得 yvvxuuyvvxuud2d2d2d2dADDCCBBAAuBuCuDuAvBvCvDvAyxyuxvzd2ddd （4-11）Azd2（4-12）于是得到速度環(huán)量與旋轉(zhuǎn)角速度之間關(guān)系的斯托克斯定理：沿封閉曲線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有的旋轉(zhuǎn)角速度的面積積分的二倍，稱之為旋渦強(qiáng)度I，即和式中 在微元面積 的外法線 上的分量。 AInd2dAInd2（4-13） nAdn 由式（4-11）可導(dǎo)出另一個(gè)表示有旋流動(dòng)的量，稱為渦量，以 表示之。它定義為單位面積上的速度環(huán)量，是一個(gè)矢量。它在Z軸方向的分量為 對(duì)于流體的空間流動(dòng)，

12、同樣可求得X和Y軸方向渦量的分量 和 。于是得即zzyuxvA2ddzzyyxxyuxvxwzuzvyw222V2（4-14） （4-15） 也就是說，在有旋流動(dòng)中，流體運(yùn)動(dòng)速度 的旋度稱為渦量。 由此可見，在流體流動(dòng)中，如果渦量的三個(gè)分量中有一個(gè)不等于零，即為有旋流動(dòng)。如果在一個(gè)流動(dòng)區(qū)域內(nèi)各處的渦量或它的分量都等于零，也就是沿任何封閉曲線的速度環(huán)量都等于零，則在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)一定是無旋流動(dòng)。 下面舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子來說明速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度的物理意義，以及有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的區(qū)別。V【例例4-1】 一個(gè)以角速度 按反時(shí)針方向作像剛體一樣的旋轉(zhuǎn)的流動(dòng)，如圖4-7所示。試求在這個(gè)流場(chǎng)中沿封閉曲線的

13、速度環(huán)量，并證明它是有旋流動(dòng) . (解)【例例4-2】 一個(gè)流體繞O點(diǎn)作同心圓的平面流動(dòng)，流場(chǎng)中各點(diǎn)的圓周速度的大小與該 點(diǎn)半徑成反比，即 ，其中C為常數(shù)，如圖4-8所示。試求在流場(chǎng)中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并分析它的流動(dòng)情況。(解)rCV 【解解】 在流場(chǎng)中對(duì)應(yīng)于任意兩個(gè)半徑 和 的圓周速度各為 和 ，沿圖中畫斜線扇形部分的周界ABCDA的速度環(huán)量 可見，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)是有旋流動(dòng)。又由于扇形面積 于是 上式正是斯托克斯定理的一個(gè)例證。 以上結(jié)論可推廣適用于圓內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)。1r2r11 rV22 rV)()(212211221122DACDBCABABCDArrrVrVrVrV)(2d212221

14、rrrrArrA2ABCDA圖4-7 有旋流動(dòng)中速度環(huán)量的計(jì)算圖4-8 無旋流動(dòng)中速度環(huán)量的計(jì)算 【解解】 沿扇形面積周界的速度環(huán)量 可見，在這區(qū)域內(nèi)是無旋流動(dòng)。這結(jié)論可推廣適用于任何不包圍圓心O的區(qū)域內(nèi)，例如 。若包有圓心( )，該處速度等于無限大，應(yīng)作例外來處理?，F(xiàn)在求沿半徑 的圓周封閉曲線的速度環(huán)量 上式說明，繞任何一個(gè)圓周的流場(chǎng)中，速度環(huán)量都不等于零，并保持一個(gè)常數(shù)，所以是有 旋流動(dòng)。但凡是繞不包括圓心在內(nèi)的任何圓周的速度環(huán)量必等于零，故在圓心O點(diǎn)處必有旋渦存在，圓心是一個(gè)孤立渦點(diǎn)，稱為奇點(diǎn)。01122DACDBCABABCDArrCrrCADCBA0r202d常數(shù)CrrC第三節(jié) 無旋

15、流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù) 如前所述，在流場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度 在任意時(shí)刻處處為零，即滿足 的流動(dòng)為無旋流動(dòng)，無旋流動(dòng)也稱為有勢(shì)流動(dòng)。 一、速度勢(shì)函數(shù)引入一、速度勢(shì)函數(shù)引入 二二、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)0 V 一、速度勢(shì)函數(shù)引入一、速度勢(shì)函數(shù)引入 由數(shù)學(xué)分析可知， 是 成為某一標(biāo)量函數(shù) 全微分的充分必要條件。則函數(shù) 稱為速度勢(shì)函數(shù)。因此，也可以說，存在速度勢(shì)函數(shù) 的流動(dòng)為有勢(shì)流動(dòng)，簡(jiǎn)稱勢(shì)流。根據(jù)全微分理論，勢(shì)函數(shù) 的全微分可寫成 于是得0 Vzwyvxuddd)(tzyx，zzyyxxddddzwyvxu，（4-16） 按矢量分析對(duì)于圓柱坐標(biāo)系，則有于是 從以上分析可知，不論是可壓縮流體

16、還是不可壓縮流體，也不論是定常流動(dòng)還是非定常流動(dòng)，只要滿足無旋流動(dòng)條件，必然存在速度勢(shì)函數(shù)。 gradkzjyixkwj viuVzvrvrvzr，1zvrvrvzrdddd（4-17） （4-18） 二、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)二、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì) （1）不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)中，勢(shì)函數(shù) 滿足拉普拉斯方程，勢(shì)函數(shù) 是調(diào)和函數(shù)。 將式（4-16）代入到不可壓縮流體的連續(xù)性方程（3-28）中，則有 式中 為拉普拉斯算子，式（4-19）稱為拉普拉 斯方程，所以在不可壓流體的有勢(shì)流動(dòng)中，速度勢(shì)必定滿足拉普拉斯方程，而凡是滿足拉普拉斯方程的函數(shù)，在數(shù)學(xué)分析中稱為調(diào)和函數(shù)，所以速度勢(shì)函數(shù)是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。0222

17、2222zyx2222222zyx0zwyvxu 從上可見，在不可壓流體的有勢(shì)流動(dòng)中，拉普拉斯方程實(shí)質(zhì)是連續(xù)方程的一種特殊形 式，這樣把求解無旋流動(dòng)的問題，就變?yōu)榍蠼鉂M足一定邊界條件下的拉普拉斯方程的問題。 （2）任意曲線上的速度環(huán)量等于曲線兩端點(diǎn)上速度勢(shì)函數(shù) 值之差。而與曲線的形狀無關(guān)。 根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿任意曲線AB的線積分 這樣，將求環(huán)量問題，變?yōu)榍笏俣葎?shì)函數(shù)值之差的問題。對(duì)于任意封閉曲線，若A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，速度勢(shì)函數(shù)是單值且連續(xù)的，則流場(chǎng)中沿任一條封閉曲線的速度環(huán)量等于零，即 。ABBABABAABdwdzvdyudxsdV)(0AB第四節(jié) 二維平面流動(dòng)的流函數(shù) 一、流函數(shù)的引入一

18、、流函數(shù)的引入 對(duì)于流體的平面流動(dòng)，其流線的微分方程為 ,將其改寫成下列形式 （4-20） 在不可壓縮流體的平面流動(dòng)中，速度場(chǎng)必須滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程，即 或 （4-21） 由數(shù)學(xué)分析可知，式（4-21）是（ ）成為某函數(shù)全微分的充分必要條件，以 表示該函數(shù)，則有 （4-22）函數(shù)稱為流場(chǎng)的流函數(shù)。由式（4-22）可得 （4-23）vyuxdd0ddyuxv0yvxuyvxuyuxvdd yuxvyyxxddddd），（yxxvyu， 由式(4-22)，令 ，即 常數(shù)，可得流線微分方程式(4-20)。由此可見, 常數(shù)的曲線即為流線，若給定一組常數(shù)值，就可得到流線簇?；蛘哒f，只要給定流場(chǎng)

19、中某一固定點(diǎn)的坐標(biāo)（ ）代入流函數(shù) ，便可得到一條過該點(diǎn)的確定的流線。因此，借助流函數(shù)可以形象地描述不可壓縮平面流場(chǎng)。 對(duì)于極坐標(biāo)系，可寫成 （4-24） （4-25） 在已知速度分布的情況下，流函數(shù)的求法與速度勢(shì)函數(shù)一樣，可由曲線積分得出。 至此可看到，在不可壓縮平面流動(dòng)中，只要求出了流函數(shù) ，由式（4-23）或式（4-24）就可求出速度分布。反之，只要流動(dòng)滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程，不論流場(chǎng)是否有旋，流動(dòng)是否定常，流體是理想流體還是黏性流體，必然存在流函數(shù) 。 這里需說明，等流函數(shù)線與流線等同，僅在平面流動(dòng)時(shí)成立。對(duì)于三維流動(dòng)，不存在流函數(shù)，也就不存在等流函數(shù)線，但流線還是存在的。 0d

20、），（yx00yx ，rvr1rvdddrvrvr），（yx 二、流函數(shù)的性質(zhì)二、流函數(shù)的性質(zhì) （1）對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng)，流函數(shù) 永遠(yuǎn) 滿足連續(xù)性方程。 將式（4-23）代入式（4-21）得 即流函數(shù)永遠(yuǎn)滿足連續(xù)性方程。 （2）對(duì)于不可壓縮流體的平面勢(shì)流，流函數(shù) 滿足拉普 拉斯方程，流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。 對(duì)于平面無旋流動(dòng)， ，則 將式（4-23）代入上式 因此，不可壓縮流體平面無旋流動(dòng)的流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程，也是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。 因此，在平面不可壓縮流體的有勢(shì)流場(chǎng)中的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)滿足邊界條件的 的拉普拉斯方程.yxxy220z0yuxv022222yx （3）平面流動(dòng)

21、中，通過兩條流線間任一曲線單位厚度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差。這就是流函數(shù) 的物理意義。 如圖4-9所示，在兩流線間任一曲線AB，則通過單位厚度的體積流量為 （4-26）由式（4-26）可知，平面流動(dòng)中兩條流線間通過的流量等于這兩條流線上的流函數(shù)之差。圖4-9 說明流函數(shù)物理意義用圖21212121dd)d(dxxyyxxyyVxxyyxvyuq12,),(2211dyxyx三、三、 和和 的關(guān)系的關(guān)系 （1）滿足柯西-黎曼條件 如果是不可壓縮流體的平面無旋流動(dòng)，必然同時(shí)存在著速度勢(shì)和流函數(shù)，比較式（4-16）和式（4-23），可得到速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)之間存在的如下關(guān)系 （4-27）

22、（4-28） 這是一對(duì)非常重要的關(guān)系式，在高等數(shù)學(xué)中稱作柯西-黎曼條件。因此， 和 互為共軛調(diào)和函數(shù)，這就有可能使我們利用復(fù)變函數(shù)這樣一種有力的工具求解此類問題。 當(dāng)勢(shì)函數(shù) 和 流函數(shù)二者知其一時(shí)，另一個(gè)則可利用式（4-27）的關(guān)系求出，而至多相差一任意常數(shù)。xyyx，0yyxx（2）流線與等勢(shì)線正交。 式（4-28）是等勢(shì)線簇 常數(shù)和流線簇 常數(shù)互相正交的條件，若在同一流場(chǎng)中繪出相應(yīng)的一系列流線和等勢(shì)線，則它們必然構(gòu)成正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)，如圖4-10所示。 ），（yx），（yx 圖4-10 流網(wǎng)0yyxx 【例例4-3】 有一不可壓流體平面流動(dòng)的速度分布為 。該平面流動(dòng)是否存在流函數(shù)和速度勢(shì)

23、函數(shù)；若存在，試求出其表達(dá)式；若在流場(chǎng)中A（1m，1m）處的絕對(duì)壓強(qiáng)為1.4105Pa，流體的密度1.2kg/m3，則B（2m，5m）處的絕對(duì)壓強(qiáng)是多少？ 【解解】 （1）由不可壓流體平面流動(dòng)的連續(xù)性方程該流動(dòng)滿足連續(xù)性方程，流動(dòng)是存在的，存在流函數(shù)。 由于是平面流動(dòng) 該流動(dòng)無旋，存在速度勢(shì)函數(shù)。 yvxu44，0)4()4(yyxxyvxu0yx 0442121yxxyyuxvz（2）由流函數(shù)的全微分得：積分 由速度勢(shì)函數(shù)的全微分得：積分 （3）由于 ，因此，A和B處的速度分別為 由伯努里方程可得yxxyyuxvyyxxd4d4dddddCxy 4yyxxyvxuyyxxd4d4dddddC

24、yx)( 222222vuV)(32) 14() 14(22222AsmV)(464) 54() 24(22222BsmV2BB2AA2121VpVp)(8 .139740)46432(2 . 121104 . 1)(2152B2AABPaVVpp第五節(jié) 基本的平面有勢(shì)流動(dòng) 流體的平面有勢(shì)流動(dòng)是相當(dāng)復(fù)雜的，很多復(fù)雜的平面有勢(shì)流動(dòng)可以由一些簡(jiǎn)單的有勢(shì) 流動(dòng)疊加而成。所以，我們首先介紹幾種基本的平面有勢(shì)流動(dòng)，它包括均勻直線流動(dòng)，點(diǎn)源和點(diǎn)匯、點(diǎn)渦等 一、均勻直線流動(dòng)一、均勻直線流動(dòng) 流體作均勻直線流動(dòng)時(shí)，流場(chǎng)中各點(diǎn)速度的大小相等，方向相同，即 和 。由 式（4-16）和式（4-23），得 于是速度勢(shì)

25、和流函數(shù)各為以上兩式中的積分常數(shù) 和 可以任意選取，而不影響流體的流動(dòng)圖形（稱為流譜）。 0uu 0vv 00,vxyvuyxu10000ddddCyvxuyvxuyyxx20000d)d(ddCyuxvyuxvyyxx1C2C若令 ，即得均勻直線流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù)各為 （4-29） （4-30） 由式（4-29）和式（4-30）可知，等勢(shì)線簇（ 常數(shù)）和流線簇（ =常數(shù)）互相垂直，如圖4-11所示。各流線與軸的夾角等于 。由于流場(chǎng)中各點(diǎn)的速度都相等，根據(jù)伯努里方程（3-41），得 常數(shù)如果均勻直線流動(dòng)在水平面上，或流體為氣體，一般可以忽略重力的影響，于是 常數(shù) 即流場(chǎng)中壓強(qiáng)處處相等。021

26、 CCyvxu00yuxv00yvxu00yuxv00001 -tguvgpzp圖4-11 均勻直線流的流譜 二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯 如果在無限平面上流體不斷從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向各方流出，則這種流動(dòng)稱為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn)（圖4-12，a）；若流體不斷沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)，則這種流動(dòng)稱為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)（圖4-12，b）。顯然，這兩種流動(dòng)的流線都是從原點(diǎn) O發(fā)出的放射線，即從源點(diǎn)流出和向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度 。現(xiàn)將極坐標(biāo)的原點(diǎn)作為源點(diǎn)或匯點(diǎn)，則rvrrv0vrvrdd圖4-12 點(diǎn)源和點(diǎn)匯的流譜點(diǎn)源點(diǎn)匯back 根據(jù)流動(dòng)的連續(xù)性條件，流體每秒通過任一半徑為 的

27、單位長(zhǎng)度圓柱面上的流量 都應(yīng)該相等，即 常數(shù)由此得 （4-31）式中 是點(diǎn)源或點(diǎn)匯在每秒內(nèi)流出或流入的流量，稱為點(diǎn)源強(qiáng)度或點(diǎn)匯強(qiáng)度。對(duì)于點(diǎn)源， 與 同向， 取正號(hào)；對(duì)于點(diǎn)匯， 與異向， 取負(fù)號(hào)，于是積分得 式中積分常數(shù) 是任意給定的，現(xiàn)令 。又由于 ，于是得速度勢(shì) （4-32）當(dāng) 時(shí)，速度勢(shì) 和 速度都變成無窮大，源點(diǎn)和匯點(diǎn)都是奇點(diǎn)。所以速度勢(shì) 和速度 的表達(dá)式（4-31）和式（4-32）只有在源點(diǎn)和匯點(diǎn)以外才能應(yīng)用。rVqVrqrv12rqvVr2VqrvrvrrVqVqrrqVd2dCrqVln2C0C22yxr22ln2ln2yxqrqVV0rrvrv 現(xiàn)在求流函數(shù)，由式（4-25）積分

28、得(令式中的積分常數(shù)為零) （4-33） 等勢(shì)線簇（ 常數(shù)，即 常數(shù)）是同心圓簇（在圖4-12中用虛線表示）與流線簇（ 常數(shù)，即 常數(shù)）成正交。而且除源點(diǎn)或匯點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)。如果 平面是無限水平面，則根據(jù)伯努里方程（341）式中 為 在處的流體壓強(qiáng)，該處的速度為零。 將式（4-31）代入上式，得 （4-34）由式（4-34）可知，壓強(qiáng) 隨著半徑 的減小而降低。當(dāng) 時(shí)， 。圖4-13表示當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)匯沿半徑 的壓強(qiáng)分布。 d2ddddVrrqrvrvrvxyqqVV1-tg22rXOYgpgvgpr22pr22218rqppVpr2/ 1220)8/(pqrrV rr00pr圖4-1

29、3 點(diǎn)匯沿半徑的壓強(qiáng)分布三、點(diǎn)渦三、點(diǎn)渦 設(shè)有一旋渦強(qiáng)度為 的無限長(zhǎng)直線渦束，該渦束以等角速度 繞自身軸旋轉(zhuǎn)，并帶動(dòng)渦束周圍的流體繞其環(huán)流。由于直線渦束為無限長(zhǎng)，所以可以認(rèn)為與渦束垂直的所有平面上的流動(dòng)情況都一樣。也就是說，這種繞無限長(zhǎng)直線渦束的流動(dòng)可以作為平面流動(dòng)來處理。由渦束所誘導(dǎo)出的環(huán)流的流線是許多同心圓，如圖4-14所示。根據(jù)斯托克斯定理可知，沿任一同心圓周流線的速度環(huán)量等于渦束的旋渦強(qiáng)度，即 常數(shù)于是 （4-35）因此渦束外的速度與半徑成反比。若渦束的半徑 ，則成為一條渦線，這樣的流動(dòng)稱為點(diǎn)渦，又稱為純環(huán)流。但當(dāng) 時(shí)， ，所以渦點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)。IIrv202rvrv，00r00rv圖4

30、-14 點(diǎn)渦的流譜 現(xiàn)在求點(diǎn)渦的速度勢(shì)和流函數(shù)。由于由 積分后得速度勢(shì) （4-36）又由于 由 積分后得流函數(shù) （4-37）當(dāng) 時(shí)，環(huán)流為反時(shí)針方向，如圖4-14所示；當(dāng) 時(shí)，環(huán)流為順時(shí)針方向。 由式（4-36）和式（4-37）可知，點(diǎn)渦的等勢(shì)線簇是經(jīng)過渦點(diǎn)的放射線，而流線簇是同心圓。而且除渦點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)。 rrvrvr210，d2d1ddrrrrxy1-tg22rrvrvr201，rrrrrrd2d1ddrln200 設(shè)渦束的半徑為 ，渦束邊緣上的速度為 ，壓強(qiáng)為 ； 時(shí)的速度顯然為零，而壓強(qiáng)為 。代入伯努里方程（3-41），得渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為 （4-38）由式（4-

31、38）可知，在渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低，渦束外緣上的壓強(qiáng)為 或 （4-39）所以渦束外區(qū)域內(nèi)從渦束邊緣到無窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)降是一個(gè)常數(shù)。又由式（4-38）可知，在 處，壓強(qiáng) ，顯然這是不可能的。所以在渦束內(nèi)確實(shí)存在如同剛體一樣以等角速度旋轉(zhuǎn)的旋渦區(qū)域，稱為渦核區(qū)。由式（4-39）可得渦核的半徑0r002 rv0prp2222182rpvpp2022200182rpvpp20222001821rvpp0rp常數(shù)gVgpz22由于渦核內(nèi)是有旋流動(dòng)，故流體的壓強(qiáng)可以根據(jù)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程求得。平面定常流動(dòng)的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為將渦核內(nèi)任一點(diǎn)的速度 和 代入上兩式，得以 和 分別乘以上兩式，然后

32、相加，得或積分得xpyuvxuu1ypyvvxvu1yuxvxpx12ypy12xdydyypxxpyyxxdd1)dd(2pyxd1d2222）（CvCrCyxp222222212121）（在 處， ，代入上式，得最后得渦核區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為 （4-40）或 （4-40a）于是渦核中心的壓強(qiáng) 而渦核邊緣的壓強(qiáng) 所以 可見，渦核內(nèi)、外的壓強(qiáng)降相等，都等于用渦核邊緣速度計(jì)算的動(dòng)壓頭。渦核內(nèi)、外的速度分布和壓強(qiáng)分布如圖4-15所示。 0rr 00vvpp、20202002002121vpvvpvpC22021vvpp2220221rrpp20220rpvppc2022002121rpvpp2022

33、000212121rvppppppcc）（圖5-14 渦流中渦核內(nèi)、外的速度和壓強(qiáng)分布第六節(jié) 平面勢(shì)流的疊加流動(dòng) 從上節(jié)可以看到，只有對(duì)一些簡(jiǎn)單的有勢(shì)流動(dòng)，才能求出它們流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)，但當(dāng)流動(dòng)較復(fù)雜時(shí)，根據(jù)流動(dòng)直接求解流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)往往十分困難。我們可以將一些簡(jiǎn)單有勢(shì)流動(dòng)進(jìn)行疊加，得到較復(fù)雜的流動(dòng)，這樣一來，為求解流動(dòng)復(fù)雜的流場(chǎng)提供了一個(gè)有力的工具。因此，本節(jié)先介紹勢(shì)流的疊加原理，然后再介紹幾種典型的有實(shí)際意義的疊加流動(dòng)。 一、勢(shì)流疊加原理一、勢(shì)流疊加原理 前面我們知道，速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都滿足拉普拉斯方程。凡是滿足拉普拉斯方程的函數(shù)，在數(shù)學(xué)分析上都稱為調(diào)和函數(shù)，所以速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都是調(diào)和

34、函數(shù)。根據(jù)調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)，即若干個(gè)調(diào)和函數(shù)的線性組合仍然是調(diào)和函數(shù)，可將若干個(gè)速度勢(shì)函數(shù)(或流函數(shù))線性組合成一個(gè)代表某一有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)(或流函數(shù))?，F(xiàn)將若干個(gè)速度勢(shì)函數(shù) 、 、 、疊加，得 （4-41）而 （4-42）顯然，疊加后新的速度勢(shì)函數(shù)也滿足拉普拉斯方程。同樣，疊加后新的流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程，即 （4-43） 1233210)(3222123212203222122 這個(gè)疊加原理方法簡(jiǎn)單，在實(shí)際應(yīng)用上有很大意義，可以應(yīng)用這個(gè)原理把上一節(jié)所討論的幾個(gè)簡(jiǎn)單的基本平面有勢(shì)流動(dòng)疊加成所需要的復(fù)雜有勢(shì)流動(dòng)。 將新的速度勢(shì)函數(shù) 分別對(duì) 、 和 取偏導(dǎo)數(shù)，就等于新的有勢(shì)流動(dòng)的速度分別在

35、、 和 軸方向上的分量： （4-44）或 （4-45）即 （4-46）xyzzzzzyyyyxxxx321321321321321321wwwwvvvvuuuuXYZ321VVVV 由此可見，疊加后所得的復(fù)雜有勢(shì)流動(dòng)的速度為疊加前原來的有勢(shì)流動(dòng)速度的矢量和。 由此，可得出一個(gè)重要結(jié)論：疊加兩個(gè)或多個(gè)不可壓平面勢(shì)流流動(dòng)組成一個(gè)新的復(fù)合流動(dòng)，只要把各原始流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)簡(jiǎn)單地代數(shù)相加，就可得到該復(fù)合流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)。該結(jié)論稱為勢(shì)流的疊加原理。 二、螺旋流二、螺旋流 螺旋流是點(diǎn)渦和點(diǎn)匯的疊加。將式（4-36）和式（4-32）相加以及將式（4-37）和式（4-33）相加即得新的有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)

36、和流函數(shù) （4-47） （4-48）式中 取反時(shí)針方向?yàn)檎?。于是得等?shì)線方程 常數(shù)或 （4-49）流線方程為 常數(shù)或 （4-50）顯然，等勢(shì)線簇和流線簇是兩組互相正交的對(duì)數(shù)螺旋線簇（圖4-16），稱為螺旋流。流體從四周向中心流動(dòng)。）（rqVln21）（Vqrln21rqVlnVqCre1VqrlnqVCre2圖4-16 螺旋流的流譜 研究螺旋流在工程上有重要意義。例如旋流燃燒室、旋風(fēng)除塵設(shè)備及多級(jí)離心泵反導(dǎo)葉中的旋轉(zhuǎn)氣流即可看成是這種螺旋流。螺旋流的速度分布為 （4-51） （4-52） （4-53）代入伯努里方程（3-41），得流場(chǎng)的壓強(qiáng)分布 （4-54） rrv21rqrvVr222222

37、224rqvvVVr222122221118rrqppV）（ 三、偶極流三、偶極流 將流量各為 的點(diǎn)源和 的點(diǎn)匯相距2a距離放在X軸上，疊加后的流動(dòng)圖形如圖4-17所示，它的速度勢(shì)和流函數(shù)各為 （4-55） （4-56） 由流線方程（4-56） 常數(shù)，得 常數(shù)，所以流線是經(jīng)過源點(diǎn)A和匯點(diǎn)B的圓簇，而且從源點(diǎn)流出的流量全部流入?yún)R點(diǎn)。 222221lnln2lnln2yaxyaxqrrqVV）（）（）（2222ln4yaxyaxqV）（）（2221VVqq）（VqVq圖4-17 點(diǎn)源和點(diǎn)匯的疊加 常數(shù) 現(xiàn)在分析一種在點(diǎn)源和點(diǎn)匯無限接近的同時(shí)，流量無限增大（即 ），以至使 保持一個(gè)有限常數(shù)值 的極限

38、情況。在這種極限情況下的流動(dòng)稱為偶極流， 稱為偶極矩或偶極強(qiáng)度。偶極流是有方向的，一般規(guī)定由點(diǎn)源指向點(diǎn)匯的方向?yàn)檎?。如圖4-18所示，偶極流指向 軸方向，這時(shí)的偶極矩 取正值。 偶極流的速度勢(shì)可由式（4-55）根據(jù)上述極限條件求得，將式（4-55）改寫成Vqa，02Vaq2MMMX22121211ln2ln2lnln2rrrqrrqrrqVVV）（ 常數(shù) 常數(shù)圖4-18 偶極流的流譜 從圖4-19中可知，當(dāng)A點(diǎn)和B點(diǎn)向原點(diǎn)O無限接近時(shí)， ，而且當(dāng) ， 時(shí) ， ， ，又由于當(dāng) 為無窮小時(shí)，可以略去高階項(xiàng)，得 。因此，偶極流的速度勢(shì)或 （4-57）121cos2arr02 aVqMaqV2rrr

39、210214321ln432）（ )1ln(21022102cos22limcos21ln2limraqraqVqaVqaVV2cos22cosrrMrM22222yxxMrxM 圖4-19 推導(dǎo)偶極流用圖 在圖4-19中，BC為從B點(diǎn)向AP所作的垂線，則又當(dāng) ， ， ，所以 ，代入式（4-56）得偶極流的流函數(shù)或 （4-58）令式（4-58）等于常數(shù) ，于是得流線方程 （4-59）即流線簇是半徑為 、圓心為（0， ），且與軸在原點(diǎn)相切的圓簇，如圖4-18中實(shí)線所示。 又令式（4-57）等于常數(shù)，得等勢(shì)線方程 （4-60）即等勢(shì)線簇是半徑為 、圓心為（ ，0）且與軸在原點(diǎn)相切的圓簇，如圖4-1

40、8中虛線所示。12sin2sinBCar02 a0asinsin2ar20202sin2sin22lim2limrrMraqqVqaVqaVV22222yxyMryM1C2121244CMCMyx14 CM14 CM2222244CMyCMx24 CM24 CM 四、繞圓柱體無環(huán)量流動(dòng)四、繞圓柱體無環(huán)量流動(dòng) 將均勻直線流與偶極流疊加，可以得到繞圓柱體無環(huán)量流動(dòng)。設(shè)有一在無窮遠(yuǎn)處速度 為 、平行于X軸、由左向右流的均勻直線流，與在坐標(biāo)原點(diǎn)O上偶極矩為M、方向與X軸相反的偶極流疊加，如圖4-20所示，組合流動(dòng)的流函數(shù)為 （4-61）流線方程 （4-62）選取不同的常數(shù)值 ，可得到如圖4-20所示的

41、流動(dòng)圖形。對(duì) 的所謂零流線的方程為或 ， V22221212yxVMyVyxyMyVCyxyMyV222C0 C012122yxVMyV0yVMyx222圖4-20 均勻流繞圓柱體無環(huán)量流動(dòng)由此可知，零流線是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑 的圓周與正負(fù)X軸 和 所構(gòu)成的圖形。該流線到A點(diǎn)處分為兩段，沿上、下兩個(gè)半圓周流到B點(diǎn)，又重新匯合。這個(gè)平面組合流動(dòng)的流函數(shù)為 (4-63)同樣，也可得到它的速度勢(shì) (4-64)以上兩式中， ，這是因?yàn)?的圓柱體內(nèi)的流動(dòng)沒有實(shí)際意義。 VMr20BB AA sin112202220rrrVyxryV22202212yxrxVyxxMxVcos1220rrrVr0r0rr 流場(chǎng)中任一點(diǎn)的速度分量為 (4-65)在 ， 處， ， 。這表示，在離開圓柱體無窮遠(yuǎn)處是速度為 的均勻直線流動(dòng)。在圖4-20中的A點(diǎn)（ ，0）和B點(diǎn)( ，0)處， ，A點(diǎn)為前駐點(diǎn)，B點(diǎn)為后駐點(diǎn)。 用極坐標(biāo)表示的速度分量為 （4-66） 2sin)(