重慶中考復(fù)習(xí)：重慶中考幾何題分類匯編(含答案)

1、重慶中考幾何題分類匯編(含答案)類型1線段的倍分：要證線段倍與半，延長縮短去實驗例1如圖Z31，在ABC中，AB=AC,CMI平分/ACB交AB于M,在AC的延長線上截取CNBM,連接MN交BC于P,在CB的延長線截取BQ=CP連接MQ.求證：MQ=NP(2)求證：CN=2CP.針對訓(xùn)練：1. 如圖Z32,在？ABCD中，AC丄BC,點E、點F分別在ABBC上，且滿足AC=AE=CF,連接CEAF、EF.(1)若/ABC=35°,求/EAF的度數(shù)；若CELEF,求證：CE=2EF.學(xué)習(xí)必備歡迎下載2. 已知，在ABC中，AB=AC,/BAC=90°,E為邊AC任意一點，連接

2、BE.(1) 如圖，若/ABE=15°,0為BE中點，連接AQ且AO=1，求BC的長；如圖，F(xiàn)也為AC上一點，且滿足AE=CF,過A作ADLBE交BE于點H,交BC于點D,連接DF交BE1于點G,連接AG若AG平分/CAD求證：AH=2AC.BC3. 在ACB中，AB=AC,/BAC=90°，點D是AC上一點，連接BD過點A作AE!BD于E,交BC于F.(1) 女口圖，若AB=4,CD=1，求AE的長；(2) 如圖，點G是AE上一點，連接CG若BE=AE+AG求證：CG=2AE.4. 在等腰直角三角形ABC中，/BAC=90°,AB=AC,D是斜邊BC的中點，連接

3、AD.如圖，E是AC的中點，連接。巳將厶CDE沿CD翻折到CDE，連接AE，當(dāng)AD=6時，求AE的值.1(2) 如圖，在AC上取一點E,使得CE=3AC,連接DE將厶CDE沿CD翻折到CDE，連接AE交BC于點F,求證：DMCF.類型2線段的和差：要證線段和與差，截長補短去實驗例2如圖，在ABC中，/BAC=90°，在BC上截取BABA連接AD,在AD左側(cè)作/EAD=45°交BD于E.若AO3，貝UCE=(直接寫答案)；(2)如圖，MN分別為AB和AC上的點，且AM=AN,連接EMDN,若/AME-ZAND=180°，求證：DE=DN+ME如圖，過E作EF丄AE交

4、AD的延長線于F,在EC上選取一點H使得EH=BE,連接FH,在AC上選取一點G,使得AG=AB,連接BGFQ求證：FH=FG.針對訓(xùn)練:AA1.如圖Z3-7,在?ABCD中,AE!BC于E,AE=AD(1) 若BE=2ECAB=-13，求AD的長；(2) 求證：EG=BG+FC.EG!AB于G,延長GEDC交于點F,連接AF.學(xué)習(xí)必備歡迎下載2.如圖，在正方形ABCD中，點P為AD延長線上一點，連接ACCP,過點C作CF丄CP于點C,交AB于點F,過點B作BM丄CF于點N,交AC于點M.若AP=【AC,BC=4,求Sacp;8若CPBW2FN,求證：BC=MC.3.如圖，在厶ABC中，AB=

5、BC以AB為一邊向外作菱形ABDE連接DCEB并延長EB交AC于F,且CBLAE于G.(1)若/EBG=20°,求/AFE試問線段AEAF,CF之間的數(shù)量關(guān)系并證明.C學(xué)習(xí)必備歡迎下載類型3倍長中線：三角形中有中線，延長中線等中線例3如圖Z310，在RtAABC中，/ABC=90°,DE分別為斜邊AC上兩點，且AD=ABCE=CB連接BDBE.(1)求/EBD的度數(shù)；如圖Z310，過點D作FD丄BD于點D,交BE的延長線于點F,在AB上選取一點H,使得BH=BC,E在AD邊上，且/1=72.針對訓(xùn)練:1. 如圖，已知在?ABCD中,G為BC的中點，點求證：E是AD中點;(2

6、)若F為CD延長線上一點，連接BGC2. 如圖Z3-12,在菱形ABCD中,點E、F分別是BCCD上的點，連接AEAF,DEEF,/DAE=ZBAF.求證：CE=CF;若/ABC=120°,點G是線段AF的中點，連接3. 在RtABC中，/ACB=90°，點D與點B在AC同側(cè)，/ADC>ZBAC且DA=DC過點B作BE/DA交DC于點E，M為AB的中點，連接MDME.如圖，當(dāng)/ADC=90°時，線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系是;(2) 如圖，當(dāng)/ADC=60°時，試探究線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；ME(3) 如圖，當(dāng)/ADC=a時，求胡勺值

7、.4. 如圖，等邊三角形ABC中，CE平分/ACBD為BC邊上一點，且DE=CD,連接BE.若CE=4,BC=63，求線段BE的長；如圖，取BE中點P,連接AP,PDAD,求證：AP丄PD且AAJ3PD;如圖，把圖Z314中的CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，然后連接BE,點P為BE中點，連接AP,PD,AD問第問中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.5. 在ABC中，以AB為斜邊，作直角三角形ABD使點D落在ABC內(nèi)，/ADB=90°.(1)如圖，若AB=AC,/BAD=30°,AD-6西，點P、M分別為BCAB邊的中點，連接PM求線段PM的長；如圖，若A

8、B=AC把厶ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到ACE連接ED并延長交BC于點P,求證：BP=CP;如圖，若AD=BD,過點D的直線交AC于點E,交BC于點F,EF丄AC且AE=EC,請直接寫出線段BF、FCAD之間的關(guān)系(不需要證明).類型4中位線：三角形中兩中點，連接則成中位線例42017河南如圖，在RtABC中，/A=90°,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上，AD=AE,連接DC點MP,N分別為DEDCBC的中點.(1)觀察猜想：圖中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是;探究證明：把ADE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖的位置，連接MNBDCE判斷APM”的形狀，并說明理

9、由；(3)拓展延伸針對訓(xùn)練：1. 如圖，在任意的三角形ABC中，分別以AB和AC為一邊作等腰三角形ABE和等腰三角形ACDAB=AE,AC=AD,且/BAEZCAD=180°,連接DE,延長CA交DE于F.(1)求證：ZCAB=ZAEDbZADE若ZACB=ZBAE=ZCAD=90°,如圖，求證：BC=2AF;若在ABC中，如圖所示，作等腰三角形ABE和等腰三角形ACDAB與DE交于點F,F為DE的中點，請問(2)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由.2. 如圖，在ABC和厶ADE中，AB=ACAD=AE,ZBAOZEAD=180°,連接BE

10、、CDF為BE的中點，連接AF.(2)如圖，當(dāng)/BAE=90°時，求證：CD=2AF;當(dāng)/BA字90°時，(1)的結(jié)論是否成立？請結(jié)合圖說明理由.ABC不動，ADE繞點A旋轉(zhuǎn),3. 如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,在底邊BC上取一點D,在邊AC上取一點E,使AE=AD,連接DE,在/ABD的內(nèi)部作/ABF=2/EDC交AD于點F.(1) 求證：ABF是等腰三角形；(2) 如圖，BF的延長交AC于點G.若/DAC=ZCBG延長AC至點M使GMkAB,連接BM點N是BG的中點，連接AN試判斷線段ANBM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.學(xué)習(xí)必備歡迎下載類型5角的和差倍分圖

11、中有角平分線，可向兩邊作垂線；也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn).角平分線平行線，等腰三角形來添角平分線加垂線，三線合一試試看.E,F,P分別在線段AB,AD,AC上，已知EP=FP=6,例5.如圖，把EFP放置在菱形ABCD中，使得頂點EF=63，/BA*60°，且AB>63.(1)求/EPF的大小；若AP=10,求AE+AF的值.針對訓(xùn)練：1.已知：如圖，AD平分/BAC/B+ZC=180°,/B=90°，易知：DB=DC.探究：如圖，AD平分ZBACZABDZACD=180°,/ABDc90°，求證：DB=DC.2.在ACB中，AB=A

12、C,/BAC=90°，點D是AC上一點，連接BD,過點A作AELBD于E,交BC于F.(1) 女口圖，若AB=4,CD=1，求AE的長；(2) 如圖，點P是AC上一點，連接FP,若AP=CD求證：/ADB=/CPF.BfC已知，在？ABCD中，/BAD=45°,AB=BD,E為BC上一點,于G,延長DG交BC于H.(1) 如圖，若點E與點C重合，且AF=5,求AD的長；(2) 如圖，連接FH,求證：/AFB=/HFB.連接AE交BD于F,過點D作DGLAE4. 如圖，將正方形紙片ABCD沿EF折疊(點E、F分別在邊ABCD上)，使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，M

13、N與CD交于點P,連接EP.當(dāng)點M在邊AD上移動時，連接BMBP.求證：BM是/AMP的平分線；(2)PDM的周長是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.類型6旋轉(zhuǎn)型全等問題：圖中若有邊相等，可用旋轉(zhuǎn)做實驗例6.ABC中，/BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點（點D不與B,C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF連接CF.（1）觀察猜想：如圖，當(dāng)點D在線段BC上時，BC與CF的位置關(guān)系為：.BC,CDCF之間的數(shù)量關(guān)系為：;（將結(jié)論直接寫在橫線上）（2）數(shù)學(xué)思考：如圖Z3-25，當(dāng)點D在線段CB的延長線上時，結(jié)論，是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再

14、給予證明.拓展延伸：如圖Z325，當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G,連接GE.若已知AB1=22，CD=4BC,請求出GE的長.針對訓(xùn)練：1. 在四邊形ABCD中，/B+Z»180°，對角線AC平分/BAD.（1）如圖，若/DAB=120°，且/B=90°，試探究邊ADAB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.如圖，若將（1）中的條件“/B=90°”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由.如圖，若/DAB=90°，探究邊ADAB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.2.如圖，在正方形ABCD中，點E為邊BC上一點，將ABE

15、沿AE翻折得AHE延長EH交邊CD于F,連接AF.求證：/EAF=45°(2)延長AB,AD如圖，射線AEAF分別交正方形兩個外角的平分線于MN,連接MN若以BMDNMN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀，并證明你的結(jié)論.3. 如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點P,PA=5,PB=2,PC=1,求/BPC的度數(shù).【分析問題】根據(jù)已知條件比較分散的特點，我們可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是將BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到了BPA(如圖Z3-28)，然后連接PP.(1) 請你通過計算求出圖Z3-28中/BPC的度數(shù)；(2) 如圖，若在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一

16、點P,且PA=213,PB=4,PC=2.請求出/BPC的度數(shù).BCBCBC重慶中考幾何題分類匯編答案例1.證明：(1)TAB=AC,：/ABC=ZACB.'/ZMBQ-ZABC=180°,/AC聊/PCNk180°,：/MBQ=/PCN在厶QBM和厶卩?！爸?，QB=PC,$/MBQ=/PCN：QBIWPCN(SAS):MQ=NP.BM=CN過M作MG/AC交BC于G,/MG/AC,：/MGB=/ACB/MGC=/PCN：由(1)知，/ABC=/ACB：/ABC=/MGB:MB=MG/MB=CN:MG=。在厶MGFHANCP中,/MPG/CPN/MGC=/PCN,：

17、MGNCP(AAS)MG=NC:PG=CP,：CG=CNPG即CG=2CP.TCM平分/ACB：/BCM=/MCAtMG/AC：/MCA=/GMC:/BCM=/GMC:MG=CQ/MG=CN:CN=CQ:CN=2CP.針對訓(xùn)練1.解：(1)TACLBC,:/ACB=90°,又tACGCF,:ABC=35°,：/EAFG10°；證明：方法1:取CF的中點M連接EMAM1/CE1EF,:EM=CM=FM=尹，又ACGAE:AM為EC的中垂線，：/CAW/ACG90°又/EC/ACE=90°,：/CAM=/FCEACCE又/CEF=/ACIG90&#

18、176;,:ACMhCEF,:G,CMEFBACCE2又CFGAC=2CM:G=；,即CE=2EF;CMEF1方法2:延長FE至M使EF=EM連接CMCE1EF,：CMF為等腰三角形，又ACGAE=CF,且/ACE=/CFE易證)，:CMFACEA:FM=CE=2EF.2.解：(1)如圖，在AB上取一點M使得在RtABE中，/OB=OE:BE=2OA=2,/MB=ME:/MBG/MEG15°,：/AME=/MB-/MEG30°,設(shè)AE=x,貝UME=BM=2x,AM=3x,/aBAE"=bE,:(2x+V3x)2+x2=22,:x=6?，2(負(fù)根舍棄),BM=ME

19、連接O:AB=ACG(2+3)6；2,:BCG2ABg3+1.證明：如圖，作CPLAC交AD的延長線于P,GMLAC于M.tBELAP,：/AHG90°,：/ABF/BAH=90°,t/BAH+/PAC=90°,：/ABE=/PAC又AB=AC/BAB/ACP=90°,ABEACAPAE=CP=CF,/AEB=/P,在DCF和DCP中，CD=CDS/DCF=/DCPCF=CP,DCFADCP/DFC=/P,/GFB/GEFGBGF,/GMLEF,FWME：ABCF,AF=CE-AWCM在厶GAH和厶GAM中,VGAH=/GAMI13/AHG=/AMGAG

20、KmAGM-AH=AM=CM=qAC.AG=AG3.解：（1）TAB=4,AC=AB=4./CD=1,AD=AC-CD=3.在RtABD中，/BAC=90°, BD=AB"+AD=5,11SABD=gAEBDAE=2.4.（2）證明：如圖，在線段EB上截取EH=AE,并連接/AE±BD,EH=AE,AH=2AE./BE=AE+AG-BH=BEHE=AG./BAD=/BEA=90°, /ABE+/BAE=/CAGF/BAE=90°, /ABE=/CAG./BA=AC,ABHmCAGCG=AH=2AE.4. 解：（1）I/BAC=90°,

21、AB=AC,D是斜邊BC的中點， /ADC=90°,/ACD=45°.在RtADC中,AC=A»sin45°=23.1/E是AC的中點，CE=?AC=,3.將CDE沿CD翻折到CDE,CE=CE=3,/ACE=90°由勾股定理，得AE'=弋CE2+AC=V?5.證明：如圖，過B作AE'的垂線交AD于點G,交AC于點H./ABH+/BAF=90°,/CAH/BAF=90°,/ABH=/CAF.又AB=AC/BAH=/ACE=90°,ABHACAE.-1AH=CE=CE,/CE=-ACAH=HE=CE.

22、3/D是BC中點，DE/BH,G是AD中點.在厶ABG和厶CAF中：AB=AC/BAD=/ACD=45°,/ABH=/CAF111 ABGACAF.AG=CF.tAG=AD,CF=-AD=CD.DF=CF.222類型2線段的和差：要證線段和與差，截長補短去實驗例2:解：(1)3(2)證明：延長DN到K,使得NK=ME連接AK如圖,因為/1+/3=180°,/1+/2=180°,/2=/3.學(xué)習(xí)必備歡迎下載在厶AMEAANK中,AM=ANBEDC2=Z3,AM»ANI(SAS).二AE=AK/4=Z5,ME=NK/4+ZEAC=90°,./5+/

23、EAC=90°,即/EAK=90°,/EAD=45°,/KAD=/EAK-/EAD=90°-45°=45°/EAD=/KAD在厶EADmKAD中,EA=KA/EAD=/KADEADAKADSAS),AD=ADED=KD/DK=DI+KNED=Dh+KN又NK=ME-ED=Dt+ME證明：延長AE到J,使得EJ=AE,連接JH,JF.如圖，在厶ABE和厶JHE中，-AE=JE,3/AEB=/JEHABEAJHE(SAS),、BE=HE, JH=AB,/1=/2,/AB=AG-JH=AG/AE=EJ,EF±AJ,AF=JF,/J

24、AF=/AJF=45°,即/2+/3=45°,T/BAG=90°,/1+/EADF/4=90°, /1+/4=90°-/EAD=90°-45°=45°,/1=/2,/3=/4,在厶JHF和AAGF中，JH=AG 3=/4,JHFAAGF(SAS),FH=FG.JF=AF,針對訓(xùn)練：1. 解：(1)四邊形ABGD是平行四邊形，AD=BG./BE=2EG設(shè)GE=x,BE=2x,BC=AD=AE=3x.又EGLAB/AEB=90°,AB"=aE+BE2,即13=9x2+4x2,-x=1,-AD=3x=

25、3.證明：如圖，過G作GHLAB于H,則四邊形CHGF為矩形. CF=HG/CHB=90°,GF=CH./AELBG,EG丄AB,/AEB=/GHB=90°,/BCF+/B=90°,/BAE+/B=90°,/BGH=/BAE.又AE=BCAGEAGHB-GE=BH,AG=GF, GE=BH=BG+GH=BG+GF.2. 解：(1)T四邊形ABGD是正方形，BC=4,AB=AD=GD=BC=4,/ADC=/ABC=90°t在RtABC中，AC=AB+BC=42, AP=7AC=7.2, -Saacf=APCD=72.四邊形ABCD是正方形，AB=

26、BC=DC,/ABC=ZBCD-/ADC=90°./BCD=90°,CF丄CP,/1+/DCF=/2+ZDCF=90°,r/FBC=/3,/1=/2,v在厶FBC和厶PDC中，$BC=DC/1=/2,FBCAPDC(ASA),CF=CP,/CP2FN-BMCFFK=BM即CK=BM/FBC=90°,BMLCF,1+/NBC=/4+ZNBC=90°,fAB=BC,1=/4,在ABM和厶BCK中，丿/4=/1,BM=CKABMABCK(SAS),/7=/6./BMLCF,NK=NF,BF=BK,/BF=BKBMLCF,/4=/5,./4+/7=/5

27、+/6,T/8=/4+/7,/8=/MBCBC=MC.解：方法二：如圖，延長BM交AD于點G,過A作AELBG于E先證AEBABNC(AAS),AE=BN,又證AEGABNF(AAS),E*NF,再證四邊形BCPG為平行四邊形，B*CP,/CPBM=2FN,BG-BM=2EGMG2EQ.點E為MG中點,/AELMGEM=EGAM=AG,/3=/4,/2=/3,/1=/4,/1=/2,BC=MC.3. 解：(1)/EB&20°,CB丄AE, /BE*70o,/CBF=/EB&20°,四邊形ABDE是菱形,/ABE=/BE&70°, /ABd5

28、0°,/AB=BC,/FCB=25°, /AFE=/CBF+/FCB=45°(2)AE,AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系是AF2+cF=2AE2,證明如下：連接DF,四邊形ABDE是菱形,AB=DB/DBE=/ABE/DBF=/ABF,/BF=BF,DBFAABF(SAS), DF=AF,/BDF=/BAF,t/BCF=/BAF,/BCF=/BDF/CB丄AE,AE/DBDB丄CB,CB=AB=BD,DBC是等腰直角三角形， DC=2BD=2AE,/DPB=/CPF/CFP=/DBP=90°,dF+cF=DC,即有：AF2+CF=2AE2.C類型3倍長中線：三角

29、形中有中線，延長中線等中線例3解：(1)設(shè)/BEC=a,/BD=3,貝U/C=180°2a,/A=180°23.在RtABC中,/ABC=90°, /A+/C=90°,即180°2a+180°23=90°, a+3=135°,/EBD=45°.證明：法一：如圖，延長BD至點B',使得DB=DB,連接FB'、GBfGD=CD在厶GDB和厶CDB中，GDB=ZCDB、B'D=BD,GDBCDB/.GB=BC=BH/GBD=ZCBD./FD丄BD,B»DB，/FB=FB'

30、;./FB'G=45°/GBD,/HBF=90°45°/CBD=45°/CBDFB'G=/HBF.HB=GB,在厶FHB和厶FGB中，/HBF=/GBF,BF=B'F,FHBAFGB，/HF=GF.法二：如圖，延長FD至點F'，使得DFBF.先證DGFADCF,再證BHFABCF, HF=GF針對訓(xùn)練1. 證明：(1)四邊形ABCDI平行四邊形, AB=CDAD=BC/A=/C.又/1=/2,ABEACDGASA)，/AE=CG1G為BC中點，CG=2BC11 AE=CG=尹0=2AD E是AD中點.(2)如圖，延長BE,

31、CD交于點H.四邊形ABCD是平行四邊形， AB綊CD/A=/ADH/1=/4,又/1=/2,/3=/2, /1=/2=/3=/4,二FH=FB.由(1),E是AD中點，AE=DE ABEADHE(AAS) AB=DH, CD=AB=DH=DF+FH=DF+BF,即CD=BF+DF.2. 證明：(1)在菱形ABCD中,AB=BC=CD=AD/DAE=/BAF, /DAE-/EAF=/BAF/EAF,即/DAF=/BAE. DAFABAEBE=DF.又BC=CDCE=CF如圖，延長DG交AB于H,連接EH,BGC/ADF=/ABE在菱形ABCD中,AB/CD/DFA=/GAH./G為AF中點，A

32、G=GF.又/DGF=ZAGHDGFAHGA.DG=GHAH=DF.又AB=CD-BH=CF.又AB/CD/ABC=120°,C=60°.又CPCF,CEF為等邊三角形，CF=EF,/CFE=60°,EF=BH,/DFE=ZABC=120°又BE=DF,EFDAHBEHE=ED,又HG=DG-DGLGE.3. 解：(1)MD=ME2)MD=3ME.理由如下：如圖，延長EM交DA于點F./BE/DAFAMkZEBM.又AMkBM/AMF=ZBMEAMFABME-AF=BEMF=ME./DA=DC,/ADC=60°,BED=ZADC=60°

33、;,/ACD=60°/ACB=90°,ECB=30°,/EBC=30°,CE=BE,AF=EC,DF=DEDMLEF,DM平分/ADC/MDE=30°在RtMDE中,tan/MDE=世亠壬MD3MD=3ME.如圖，延長EM交DA于點F,/BE/DA,/FAMhZEBM又AM=BM/AMF=ZBME AMFABMEAF=BE,MF=ME.延長BE交AC于點N,:丄BNG=ZDAC./DA=DC,/DCA=ZDAC /BNC=ZDCA/ACB=90°,/ECB=ZEBC CE=BE,AF=CE. DF=DE,DMLEF,DM平分/ADC/

34、ADC=a,/MDE=-2.在RtMDE中,md=tan/MDE=tan.4.解：如圖，作EHLBC于點H.ABC是等邊三角形，/ACB=60°.1/CE平分/ACB/ECH=§/ACB=30°,/EC=4,/ECH=30°,EH=2,HC=23./BC=63,BH=6,323=4,3.在RtBHE中,BE=(4,3)2+22=52,BE=213.如圖，延長DP至M使DP=PM連接BMAM'PD=pm在厶PDEmPMB,/EPD=ZBPMPE=PBPDEAPMI(SAS).BM=DE/1=Z2. BM/DE/MBD-ZBDE=180°.

35、/CE平分/ACBDE=CDBDE=30°+30°=60°/MB=120°.ABC是等邊三角形，/ABC=60°,/3=60°./BM=DEDE=CD-BM=CD入*AC在厶ABMmACC中,律3=ZACD,BM=CD ABM2AACDSAS).AD=AM/4=Z5.PD=PM-APIPD4=Z5,/BAI+Z5=/4+ZBAD=60°,即Z1 ZPAD=2ZMA=30°.v在RtAPD中,tan30°60°,MA960°.AD-AP=.3PD理由如下：如圖，延長DP至N,第問中的結(jié)論

36、成立，使DP=PN連接BNAN,取BE、AC交于點O在PDE和厶PNB中,卩D=PIN(ZEPD=ZBPNPDEAPNB(SAS).BN=DE,Z1=Z2.吟PB,/DE=CDBN=CD.vZAOB=ZEOC Z1+Z3+ZBAO=Z2+Z4+ZDE(+ZDCE.vZBAO=60°,ZDEC=ZDCE=30°,1+Z3=Z2+Z4, Z3=Z4.在厶ABN和厶ACD中，"AB=AC,(Z3=Z4,ABNAACD(SAS).5=Z6,AN=AD.lBN=CD,/PD=PIN-APIPD.vZNAC+Z5=60°,/NAOZ6=60°,即/NA36

37、0°./PAB2/NAD30°,在RtAPD中，tan/PAD=器AP=3PD.5.解：(1)vZAD=90°,ZBAD=30°,AD=6,3,cosZBAD=AD子-AB=12.又vA*AC-AC=12,PMABC的中位線，PM=2aC=6.證明：方法一：如圖，在截取ED上截取EQ=PD,vZADB=90°, Z1+Z2=90°,又vAD=AEZ2=Z3,又vZ3+Z4=90°, Z1=Z4.在厶BDP和厶CEQ中，PD=QEZ1=Z4,BD=CEBDPACEQ.BP=CQ/DBP=ZQCE又/5=Z1+ZDBP/6=Z4

38、+ZQCE5=Z6, PC=CQ BP=CP.方法二：如圖，過點EP于點N./ADB=90°,./1+Z2=90°,又AD=AE2=Z3,又/3+Z4=90°,./在厶BMDDCNE中，/1=74,/BMD=ZCNE= BMDACNE. BM=CN.在厶BMP和厶CNP中，/5=/6,/BM=/CNP BMPCNP BP=CP.B作EP的垂線交EP的延長線于點1=Z4,90°,BD=CEBM=CN方法三：如圖，過點略證BMPCEPBF=CPB作BM/CE交EP的延長線于點BF2+FC2=2AD2類型4中位線：三角形中兩中點，連接則成中位線例4:解：(1)

39、PM=PN;PMLPN(2)PMN為等腰直角三角形，理由如下：由題意知厶ABC和厶ADE均為等腰直角三角形， AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE=90°, /BAD/DAC=/CAEF/DAC/BAD=/CAE BADACAE/ABD=/ACEBD=CE.又MP、N分別是DECDBC的中點，PM>CDE的中位線,1 PM/CE且PM=-CE/MPD=/ECD=/ACDF/ACE.21同理,PN/BD且PN=?BD,/DBC=/PNC又BD=CE/ABD=/ACEPM=PN, /MPN=/MPD/DPN=/ECD/DCNF/CNP=/ACDF/ACEF/DCNF/CBD=

40、/ACDF/DCNF/ABDF/CBD=/ACBF/ABC=90°, PMLPN,PMN為等腰直角三角形；49(3)PMI面積的最大值為專9.提示：在旋轉(zhuǎn)的過程中,由(2)中的結(jié)論知PMN為等腰直角三角形,Sapmn=1PN=尹D,當(dāng)&pmn有最大值時，貝UBD的值最大，由三角形三邊關(guān)系可推斷出當(dāng)B、AD三點共線時，BD如圖，延長DA至M點，使AM=DA連接EMZBAEFZCA=180°,ZCADFZCAM=180°,ZBAE=ZCAMZBAEFZCA(=ZCAZEAC即ZBAC=ZCAM成立證明如下:1 21149的值最大，其最大值為14，此時SPMN=

41、fPN=BD=X14X14=.2 882針對訓(xùn)練：1.解：證明：延長DA交BE于G點./BAEFzICAD=180°,即ZEAGFzIGAB-zICAD=180°,/GAB-zIBAICAD=180°,ZEAGpzICABZEAGzIAEDFzIADEZCAB=zIAEDFzIADE證明：如圖，過E點作DA延長線的垂線，垂足為H/AHE=ZAC=90°,由(1)可知，/EAH=ZBAC又AE=AB AHEAACB EH=BC,AH=ACAC=ADAH=AD/EHA=ZFAD=90°,AF/EH/A為DH中點, AF%ADHE中位線，EH=2AF

42、,BC=2AF/AM=AD,AD=AC-AM=AC又AB=AE/BAC=ZEAM BACAEAM BC=EM/F、A分別為DEDM中點, AF%ADEM中位線， EM=2AF,BC=2AF2. 解：(1)證明：I/BAOZEAD=180°,/BAE=90°,/DAC=90°,在厶ABE與厶ACD中，AE=AD,/BAE=/CAD=90°,AB=AC,ABEAACD(SAS)CD=BE,在RtABE中，F(xiàn)為BE的中點，BE=2AF,CD=2AF.成立，證明：如圖，延長EA交BC于G,在AG上截取AH=AD,/BAOZEAD=180°, /EABZ

43、DAC=180°,/EA聊ZBAH=180°,/DAC=ZBAH在ABH與ACD中，AH=AD,/BAH=ZCADAB=AC, ABHACD(SAS) BH=DC,/AD=AE,AH=AD,AE=AH,DBGGCBD/EF=FB,BH=2AF,CD=2AF.3. 解：(1)證明：TAB=AC,/ABD=ZACD/AE=AD,./ADE=ZAED/BADZABD=ZADEFZEDC/EDO/ACD=ZAED/BAD=2/EDC/ABM2/EDCBAD=ZABF,ABF是等腰三角形；方法一：如圖，延長CA至點H,使AG=AH連接BH1點N是BG的中點，AN=2BH/BAD=ZA

44、B,ZDAC=ZCBGCAB=ZCBAABC是等邊三角形.AB=BC=AC,/BAC=ZBCA=60°,/GMkAB,AB=AC,CMkAQAH=CM,fB=BC在厶BAH和厶BCM中，/BAH=ZBCM=120°,AH=CM BAHABCM(SAS)BH=BM1 AN=qBM方法二：如圖，延長AN至K使N2AN連接同方法一，先證ABC是等邊三角形，再證ANG2AKNBSAS),所以BK=AG=CM然后可以證得ZABK=ZBCN=120°,最后證ABKABCI(SAS),所以BM=AK=2AN類型5角的和差倍分例5:解：(1)如圖，過點P作PGLEF于G.PE=P

45、F=6,EF=63,FG=EG=33,ZFPG=ZEPG=2ZEPF.在RtFPG中, ZFPG=60°, ZEPF=2ZFPG=120°如圖，作PMLAB于MPN!AD于NAC為菱形ABCD勺對角線， ZDA=ZBACAM=ANPM=PN在RtPM囲RtPNF中,PM=PNPE=PF, RtPM星RtPNF NF=ME又AP=10,ZPAM=2zDAB=30KBEBDAM=AN=ARos30=102?=5.3.AE+AF=(AWME+(AN-NF=A船AN=10心針對訓(xùn)練：1.證明：如圖，過D作DELAB于E,過D作DF丄AC于F,/DA平分/BACDELABDFLACD

46、E=DF,/B+ZACD-180。，/ACDHZFC*180/B=ZFCD在厶DFCDEB中VF=ZDEB«ZFCD-ZB,QF=DBDFCADEB-DC=DB2.解：（1）TAC=AB=4,且CD=1, AD=ACCD=3.在RtABD中，ZBAD=90°, bd=Jab+aD=5,11TSabd=ABAD=：AEBD22:.AE=24（2）證明：如圖，取BC的中點M連接AM交BD于點N.tZBAC=90°,AB=AC點M為BC的中點， AM=BM=CMAMLBCZNA=ZFCP=45°, ZAM=ZBM=90°.tAE!BD,aZMA+ZA

47、NE=ZMB+ZBNI=90°,又ZANE=ZBNMMA=ZMBN AM3ABMNMF=MN AM-MNhCM-MF即ANhCFtAP=Cd ACCd=AC-AP即AD-CP ADNACPF ZADB=ZCPF3.解：（1）tAB=BDZBAD-45°, ZBDA=45°,即ZABD-90°.t四邊形ABCDi平行四邊形，11 當(dāng)EC重合時，BF=尹d=2ABT在RtABF中, （2BFf+bF=（訴）2, BF=1,AB=2.在RtABD中,Ad=.AB+bD=2AB=22.證明：如圖，在AF上截取AK=HD連接BK.TZAFD=ZABF+Z2=ZFG

48、+Z3且ZABF=ZFGD=90°,rAB=BD,Z2=Z3.在厶ABK與ADBH中，Z2=Z3,ADSHECiAK=HDABQADBH二BK=BH/6=75.四邊形ABCD是平行四邊形， AD/BC,/5=74=45°,.76=75=45°,77=7ABD-76=45°=75.在厶BFK與厶BFH中，BK=BHK7=75,BFZABFH.BF=BF, 7BFK=7BFH即7AFB=7HFB.4. 解：證明：由折疊知7EMI=7ABC=90°,BE=EM7EMB=7EBM 7EMN-7EM=7ABC-7EBM即7BM=7MBC.在正方形ABCD

49、中,AD/BC, 7AMB=7MBC 7AMB=7BMP BM是7AMP的平分線.PDM勺周長沒有發(fā)生變化證明如下：如圖，過B作BQLMP于Q7A=90°,且由知BM是7AMP的平分線，BA=BQ°7A=7MQ=90°,7AM=7BMPMB=MB AMBAQM(AAS).MA=MQ BA=BC,BQ=BC又BQP=90°=7C,BF=BR RtBPCRtBPQHIL).PC=PQ PDIM勺周長=MDFMPFDP=MDFMQQPFPD=MDbMAfP3PD=amDC=2ADPDM勺周長沒有發(fā)生變化.類型6旋轉(zhuǎn)型全等問題：圖中若有邊相等，可用旋轉(zhuǎn)做實驗例6

50、:解：四邊形ADEF是正方形，AD=AF,AB=AC, 7BAC=7DAF=90°,/BAD=7CAF DABAFAC,/B=7ACF 7ACB+7ACF=90°,即CF丄BQDABAFAC,CF=BD,/BC=BDFCD,BC=CFFCD.結(jié)論成立，結(jié)論不成立四邊形ADEF是正方形，AD=AF,AB=AC. 7BAC=7DAF=90°,/BAD=7CAF DABAFAC,/ABD=7ACFCF=BD, 7BCF=7ACF-7ACB=7ABD-7ACB=90°,即CF丄BC/BC=CD-BDBC=CD-CF.如圖，過A作AHLBC于H,過E作EMLBD于

51、MENLCF于N,BHCDM1 7BAC=90°,AB=ACBC=2AB=4,AH=CH=2BC=2,1 CD=4BO1,DH=3,同證得BADACAF 7ABD=7ACF=45°,/BC=7ACB-7AC=90°, BCLCF,CF=BD=5.四邊形ADEF!正方形，AD=DE7ADE=90°, BCLCF,EMLBDENLCF,四邊形CMEN!矩形, NE=CMEM=C|/AH=7ADE=7EM=90°, 7ADHF7EDM=7EDIM-7DEI=90°,/ADH=ZDEMAADHADEMEM=DH=3,DM=AH=2,.CN=EM=3,EN=CM=3,/ABC=45°,./BGG45°,BCG!等腰直角三角形,CG=BC=4,GN=1,.EG=GN+eN=10.針對訓(xùn)練：1.解：(1)AC=AD+AB證明如下:B+ZD=180°,/B=90°,./D=90°.DAB=120°,AC平分ZDABDAC=ZBAC=60°,/ZB=90°,.AB=同理AD-*ACAC=AD+AB(1)中的結(jié)論成立，理由如下：如圖，以C為頂點，AC為一邊作ZACE=60°,ZACE的另一邊