材料力學課件第七章彎曲應力

1、1271 純彎曲純彎曲72 純彎曲純彎曲時的正應力時的正應力73 梁橫截面上的切應力梁橫截面上的切應力74 梁的正應力和切應力強度條件梁的正應力和切應力強度條件75 梁的合理截面梁的合理截面第七章第七章 彎曲應力彎曲應力 7 7 純彎曲純彎曲1、彎曲構件橫截面上的（內力）應力、彎曲構件橫截面上的（內力）應力內力剪力Q 切應力t t彎矩M 正應力s s平面彎曲時橫截面s 純彎曲梁(橫截面上只有M而無Q的情況)2、研究方法、研究方法縱向對稱面縱向對稱面P1P2例如：平面彎曲時橫截面t 橫力彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況) 某段梁的內力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。PPaa

2、ABQMxx純彎曲純彎曲(Pure Bending):7 72 2 純彎曲純彎曲時的正應力時的正應力1.純彎曲實驗 橫向線(a b、c d）變形后仍為直線，但有轉動；（一）梁的純彎曲實驗（一）梁的純彎曲實驗縱向對稱面縱向對稱面bdacabcdMM 縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸； 橫向線與縱向線變形后仍正交。橫截面高度不變?？v向纖維間無擠壓、只受軸向拉伸和壓縮。平面假設：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉動，距中性軸等高處，變形相等。2.推論3.兩個概念中性層：梁內一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應力和壓應力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層中性層縱向對稱面縱向

3、對稱面中性軸中性軸（橫截面上只有正應力）（二）（二） 幾何方程：(1) . yx abcdABz11111OOBAABABBAx) ) ) )OO1) )yyddd)(橫截面上任一點的縱向線應變與該點到中性層距離成正比（中性軸上應變?yōu)榱?，一側拉應變，一側壓應變）A1B1O1Od yy （三）物理關系：（三）物理關系：假設：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單項應力狀態(tài)。(2) . sEyExxs sxs sx（四）靜力學關系：（四）靜力學關系：0dddszAAAxESAyEAEyAN軸過截面形心中性)( 0zSz0dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM（ y 為對稱軸，自動滿足

4、）為對稱軸，自動滿足）zzxxIyMyEEszzEIM1 (3)EIz 桿的抗彎剛度。桿的抗彎剛度。(4) . zxIM y s s中性層曲率：中性層曲率：MEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22（五）最大正應力：（五）最大正應力：zWMmaxs (5)DdDda)1 (32 43maxaDyIWzz圓環(huán)bhmaxyI Wzz 抗彎截面模量?？箯澖孛婺Ａ?。d6212 23maxbhhbhyIWzz矩形322/64/ 34maxdddyIWzz圓形例例1 受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）11截面上1、2兩點的正應力；（2）此截面上的最大正應力；（3）全梁的最大正應力；（4）

5、已知E=200GPa，求11截面的曲率半徑。Q=60kN/mAB1m2m11x +M82qLM1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎矩kNm60)22(121xqxqLxM30Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zykNm5 .678/3608/22max qLM451233m10832. 5101218012012bhIz34m1048. 609. 0/zzIWMPa7 .6110832. 56060 5121zIyMss求應力18030 x +M82qLMPa6 .921048. 610006041max1zWMsm4 .194106010832. 510200

6、35911MEIzMPa2 .1041048. 610005 .674maxmaxzWMs求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax1212018030 x +M82qL7 73 3 梁橫截面上的切應力梁橫截面上的切應力一、一、 矩形截面矩形截面梁橫截面上的切應力梁橫截面上的切應力1、兩點假設： 切應力與剪力平行；矩中性軸等距離處，切應力 相等。2、研究方法：分離體平衡。 在梁上取微段如圖b；0)(112dxbNNXtdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx圖圖a圖圖bzs s1 1xys s2 2t t1 1t tb圖圖c在微段上取一塊如圖c，平衡

7、dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx圖圖a圖圖bzzAzAIMSAyIMANdd11szzISMMN)d(:2同理zzzzbIQSbISxMdxbNNdd)(121t由切應力互等由切應力互等zzbIQSy1)(tttzs s1 1xys s2 2t t1 1t tb圖圖c橫力彎曲時,橫截面上切應力的計算公式.)4(2)2(22d22yhbyhbyhAyAyScAzzyS Sz z* *為面積為面積A A* *對橫截面中性軸的靜矩對橫截面中性軸的靜矩. .式中式中: Q-: Q-所求切應力面上的剪力所求切應力面上的剪力. .I IZ Z-整個截面對中性軸的慣性

8、矩整個截面對中性軸的慣性矩. .S Sz z* *-過所求應力點橫線以外部分面積對中性軸的靜矩過所求應力點橫線以外部分面積對中性軸的靜矩. .b-b-所求應力點處截面寬度所求應力點處截面寬度. .,:即隨高度變化變化只隨則一般也不變定，、則如截面確定公式中注意zzzSbIzQbIQSttyA*yc*18tt5 . 123maxAQ)()4(222為二次拋物線矩yhIQztQt t方向：與橫截面上剪力方向相同 (不考慮正負號不考慮正負號)；t t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植迹馗叨萮分布為拋物線。中性軸上有最大切應力. 為平均切應力的1.5倍。二、其它截面梁二、其它截面梁橫截面上的切應力橫截面上的切

9、應力1、研究方法與矩形截面同;切應力的計算公式亦為：zzbIQS1t其中Q為截面剪力；Sz 為y點以下部分面積對中性軸之靜矩；2、幾種常見截面的最大彎曲切應力 Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b 為y點處截面寬度。工字鋼截面：工字鋼截面：maxtmint結論：結論： 翼緣部分tmax腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。Af 腹板的面積。; maxA Qt tf腹板最大彎曲切應力:)/(maxmaxzzSIdQtd; maxA Qt tf 鉛垂切應力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字鋼最大切應力圓截面：tt3434maxAQ 薄壁圓環(huán)：tt22maxAQ槽鋼：exyzP

10、QRRzzbIQS，合力為腹板上; t。合力為翼緣上HzIQA; 21t0 xMRHhe QeQ ehHR7-4 梁的正應力和切應力強度條件梁的正應力和切應力強度條件 1 1、危險面與危險點分析：、危險面與危險點分析：一般截面，最大正應力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大切應力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。Qt ts ss ss sMt t2 2、正應力和切應力強度條件：、正應力和切應力強度條件：帶翼緣的薄壁截面，最大正應力與最大切應力的情況與上述相同；還有一個可能危險的點，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。（以后講） t tt t zzIbSQmaxmaxmax s ss

11、 s zWMmaxmax3 3、強度條件應用：依此強度準則可進行三種強度計算：、強度條件應用：依此強度準則可進行三種強度計算：t ts sQt ts sM4 4、需要校核切應力的幾種特殊情況：、需要校核切應力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應比值時，要校核切應力。梁的跨度較短，M 較小，而Q較大時，要校核切應力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應力。、校核強度：校核強度：設計截面尺寸：設計載荷： ;maxmaxttssmaxsMWz)( ;maxmaxMfPWMzs解：畫內力圖求危面內力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，

12、s=7MPa，t=0. 9 M Pa，試求最大正應力和最大切應力之比,并校核梁的強度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mABL=3mQ2qL2qL+xx +qL2/8M求最大應力并校核強度應力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMztsq=3.6kN/mQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttAQx +qL2/8My1y2GA1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危面

13、內力例例3 T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的sL=30MPa，sy=60 MPa，其截面形心位于G點，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上壓CM（上拉、下壓）kNm4BM4畫危面應力分布圖，找危險點P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx-4kNm2.5kNmM校核強度MPa2 .2810763885 . 2822zCLAIyMsMPa2 .2710763524813zBLAIyMsMPa2 .4610763884824zByAIyMsLLss2 .28

14、maxyyss2 .46maxT字頭在上面合理。y1y2GA1A2y1y2GA3A4x-4kNm2.5kNmMA3A4（一）矩形木梁的合理高寬比（一）矩形木梁的合理高寬比R北宋李誡于1100年著營造法式 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲學與機械技術講義 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比 為剛度最大。時強度最大時, 3 ;, 2bhbhbh7-5 梁的合理截面梁的合理截面AQ3433. 1mmaxtt 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1tt)2/( ;,41221 DRaaD時當1 1、在面

15、積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面強度：正應力：切應力： sszWM ttzzbIQS* (二二) 其它材料與其它截面形狀梁的合理截面其它材料與其它截面形狀梁的合理截面zDzaamtt2max143375. 2 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 . 0(4 DDDDD時當1121212,24 DaaD時當1312467. 1 646zzWabhWmtt5 . 1maxzD0.8Da12a1z)(= 3 . 2mmaxfAQtt工字形截面與框形截面類似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024

16、DaaaD時當0.8a2a21.6a22a2z 對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險截面處又上側受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：2 2、根據材料特性選擇截面形狀、根據材料特性選擇截面形狀s sGz（三）采用變截面梁（三）采用變截面梁 ，如下圖：，如下圖：最好是等強度梁，即6/)()()()()(2maxssxbhxMxWxMx若為等強度矩形截面，則高為)(6)(sbxMxh同時)(5 . 1maxttxbhQ5 . 1)(tbQxhPx5-5 非對稱截面梁的平面彎曲非對稱截面梁的平面彎曲 開口薄壁截面的彎曲中

17、心開口薄壁截面的彎曲中心軸過形心中性 )( z 0 zS0dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM0dd)d(szAAAESAyEAEyAN外力要與主軸共線。軸必須為截面主慣性軸、, 0zyIyz幾何方程與物理方程不變。PxyzOMEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22exdAMAx軸到桿軸的距離依此確定力臂, 0)d(t依此確定正應力計算公式。切應力研究方法與公式形式不變。彎曲中心(剪力中心)：使桿不發(fā)生扭轉的橫向力作用點。 （如前述坐標原點O）PxyzO槽鋼：非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用在主慣性面非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用在主慣性面內，

18、中性軸為形心主軸，內，中性軸為形心主軸，, ,若是橫向力，還必須過彎曲中心。若是橫向力，還必須過彎曲中心。exyzPPs sMQRRzzbIQS，合力為腹板上; t。合力為翼緣上HzIQA; 21t0)d(AxdAM力臂tRHhe Qe zzbIQS : :求求任任意意一一點點剪剪應應力力彎曲中心的確定彎曲中心的確定: :ACdAM力臂向形心簡化)d(:t(1)雙對稱軸截面，彎心與形心重合。(2)反對稱截面，彎心與反對稱中心重合。(3)若截面由兩個狹長矩形組成，彎心與兩矩形長中線交點重合。(4)求彎心的普遍方法：yCeQMe :求彎心到形心距離CCCQyeCs sss ss5-6 考慮材料塑性時的極限彎矩考慮材料塑性時的極限彎矩（一）物理關系為：（一）物理關系為：sxss全面屈服后,平面假設不再成立;仍做縱向纖維互不擠壓假設。s s s sss ss理想彈塑性材料的理想彈塑性材料的s s 圖圖s sss ss彈性極限彈性極限分布圖分布圖塑性極限塑性極限分布圖分布圖（二）靜力學關系：（二）靜力學關系：)( 依此確定中性軸的位置CSAA 0)(dd)(dCSsAsAsAAAAAANSCssss)( 軸的位置依此確定 yCySySS0)(dd)()d(c