第七章正交小波基與多分辨分析

1、4 正交小波基與多分辨分析正交小波基與多分辨分析正交小波正交小波多分辨分析多分辨分析小波函數(shù)和小波空間小波函數(shù)和小波空間信號空間信號空間L2(R)的分解的分解雙尺度方程雙尺度方程標準正交小波基的構(gòu)造標準正交小波基的構(gòu)造濾波器系數(shù)濾波器系數(shù)h(k)和和g(k)的性質(zhì)的性質(zhì)Mallat快速算法快速算法緊支集正交小波的性質(zhì)緊支集正交小波的性質(zhì)正交小波正交小波 定義：定義：設(shè)有允許小波 ( ) t，記 2,( )2(2)jjj kttk，其中, j k為任意的整數(shù)。如果函數(shù)族,| )2(2)(2,Zkjkttjjkj構(gòu)成空間 2( )L R的標準正交基, 則稱 ( ) t是正交小波母函數(shù)或簡稱正交小波

2、 ,| ,j kj kZ稱為正交小波基。 函數(shù)族正交小波正交小波 對任意 )()(2RLtf，存在唯一的展式： kjkjkjtctf,)()(其中Zkjdtttfttfckjkjkj,)()()(),(,稱為 f的小波系數(shù)小波系數(shù)正交小波級數(shù)分解正交小波級數(shù)分解 小波系數(shù)實質(zhì)上是離散小波變換，前面所得的二進離散小波與連續(xù)小波雖不會損失信息，但會產(chǎn)生冗余，而正交小波則可以使變換后所產(chǎn)生的冗余消失。 正交小波正交小波 兩個正交小波的例：例例4.111,021 ( )1,120,th tt母函數(shù)其它經(jīng)過二進伸縮與平移可得到2,( )2(2),mmm nhthtnm nZ是 2( )L R的一個標準正

3、交基，但此小波基是一族階梯函數(shù)，連續(xù)性較差，不適合分析光滑性較好的信號。它的時間局部性非常好，但頻域局部性不好 Haar小波正交小波正交小波 Shannon小波 sin( )ttt( ) t的一切平移所生成的函數(shù)系 ()()tnnZ構(gòu)成了子空間 2 ( )( )|( )0,Sf tL Rf的一個標準正交基 尺度函數(shù)2, 0)(| )()(22mfRLtfSm令，則2mS具有標準正交基 .,)2(2)2(2sin2)2(222Znmntntntmmmmmmm例例4.2正交小波正交小波 且對任意 mStf2)(有 sin2(2)( )(2)2(2)mmmmmn Ztnf tfntn1222mmmS

4、V記在S中的正交補為，則22, 0)(| )()(122mmfRLtfVm或22( )mmL RV 于是正交小波正交小波 令11sin 2()sin()122( )2 (21)()12()2tttttt在時域，Shannon小波是無限次可微的，具有無窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。 它的整的平移族 ()|tnnZV是的標準正交基的標準正交基 對任意 2,2(2)|mmmZtkkZ2mV是222(2)|,( )mmtkm kZL R構(gòu)成的標準正交基Shannon小波基 多分辨率分析是指滿足下列性質(zhì)的一系列子空間,jVjZ1. 單調(diào)性：0

5、12VVV2. 逼近性：3. 伸縮性：4. 平移不變性：5. Riesz基存在性：20;()jjjZjZVVLR1( )(2 ),jjf tVftVjZ00( )(),f tVf tnVnZ 00, ()gVg tkV存在使得是 的Riesz基， 0 ()( )kk Zg t kVal Z2即生 成 ， 而 且 對 于 任 意 序 列均 有222()kkkk Zk Zk ZAaa g tkBakA Ba其中 , 為與無關(guān)的正數(shù)。( )g t此時還稱為該多分辨分析的尺度函數(shù)。多分辨分析多分辨分析參考子空間V2V1V0多分辨分析多分辨分析由條件(5)可證明如下定理)()2(21)(212gkgZk

6、從而可構(gòu)造正交尺度函數(shù) 0( ) tV使得2,( )2(2)|,jjj kjttkkZjZV 是的標準正交基 注：注：定理定理 ：正交基，事實上可取下式定義的函數(shù) ：存在函數(shù)0)(Vt ，使得 )(Zkkt構(gòu)成 0V的標準0V構(gòu)造的一個標準正交基 )(Zkkt由此說明可由 2( )L R的閉子空間0V的Riesz基 ()g tk kZ小波函數(shù)和小波空間)(,(tVZkk設(shè) 是正交多分辨分析，將 1kkVV在中的正交補子空間記作 kW，則 kkkWVV1從而得到2( )L R的一系列閉子空間 |kWkZ滿足： V2V1V0W2W1(1),jjWWjj2(2)0,( )jkk Zj ZWL RW

7、1(3),( )(2 )kkkZg tWgtW 0,2,( ) ();,;,( )j kjj kttkkZWjZkZWjZ kZLR(4)存在函數(shù)滿足允許條件且為空間的標準正交基,那么所有，為空間的標準正交基 整個集合構(gòu)成了的標準正交基。( ) t稱為小波函數(shù)，jW稱為尺度為j的小波空間(細節(jié)空間)信號空間L2(R)的分解jj,kW(t), kZ span1jmj 1j 2mVWWWj 則有：ji , WWji VWjjjj+1jjJmm JVVWVW2jjj Zj ZL (R)WV j 1jj+1VVV( ) t假設(shè)由母小波產(chǎn)生的小波函數(shù)2,( ): ,( )j ktj kZL R是空間的標

8、準正交基，令：j+1jj( )VVW ,( )( )( )( )f tf tftftftj+1,kj+1,kk Zj,kj,kj,kj,kk Zk Z設(shè)則=,細節(jié)分量近似分量HMHMHMH=M+MMMxHyMzM設(shè) 為Hilbert空間，為 的一個閉子空間，在 中的正交補空間為，即，且。則任意，都存在唯一的分解：x=y+z,其中，(t)()a,b(t)a,b()中心t00at0+b0/a有效寬度DtDaDtD/a使用db1小波對一維信號leleccum進行 3層分解，得到近似分量和細節(jié)分量，如圖示0200400600800100012001400160018002000200300400500

9、600原 始 信 號0200400600800100012001400160018002000-50005001000小 波 分 解 結(jié) 構(gòu)低 頻 系 數(shù) 和 高 頻 系 數(shù)圖4-1例例4.3雙尺度方程雙尺度方程010111,( )( )( )kVVWVttVt由于，所以，也屬于 空間，可以用來線性表示1,1,( )( )( )2( ) (2)( )( )( )2( ) (2)kkkkkkth kth ktktg ktg ktk1,1,( ),( ),kkh kg k 其中之間的內(nèi)在聯(lián)系。和的基函數(shù)和函數(shù)、相鄰尺度空間和相鄰尺度空間雙尺度方程描述了兩個kjkjkjjjjjWVVV, 111,0

10、1,01,( )( )( )( )( )( )jjkkjjkkth kttg kt雙尺度方程( )() ()22( )() ()22HG頻域表示( ),( )( ),( )Fouriertt其中為的變換標準正交小波基的構(gòu)造標準正交小波基的構(gòu)造尺度函數(shù)的性質(zhì)：-1 (t)dt1 、低通特性帶通特性比較 0t(t) - d低通濾波器帶通濾波器k -2 | (t)|1, (t-k)1 (a. e) 、jjj,kj,n-3 VW (t)(t)dt0、，即：j,mj,k-1, km4 (t)(t)dt0, km、01nnn Z-j nnn Z5 VV(t)2h(2t-n), h(t), (2t-n)h(

11、 )H() (), H( )e222、其中：0-1nnn Z-j nnn Z6 WV (t)2g(2t-n), g(t), (2t-n)g( )G() (), G( )e222、其中：標準正交小波基的構(gòu)造H()和()的關(guān)系：22kjkj 1( )H() ()22H()H() ()222H()()22kjkjjkj 1j 1j 1( )limH()()H()(0)H()2222標準正交小波基的構(gòu)造H()的條件：2j n2k Z(n)(t) (t-n)dt1|( )| ed21|(2 k)|1222|H()|H()|1222j n22k Zk Z|(2 k)| ed |H(k)| | (k)|12

12、22222m Zm Z|H(2m )| | (2m )|H(2m )| | (2m )|1222222 |H()|H( )|1標準正交小波基的構(gòu)造G()的條件：(t)(t-n)利用與的正交性同理可得：H()與G()的聯(lián)合條件：(t)(t)利用與的正交性同理可得：22 |G ()|G ()|1 H( )G( )H()G()0標準正交小波基的構(gòu)造兩尺度序列hn的條件：Znnj -n2h) H( ),2()2H()(e其中：k - (t-k)1 (a. e) )()( -kjk-e-(t)dt1 1 H(0) 1(0) 2h kk0) H( Zm0 0,)(2mkkk0h(-1) 標準正交小波基的構(gòu)

13、造hn和gn的關(guān)系：nn1-nnn1-n 2Ng(-1) hg(-1) h2222 |H()|H( )|1|G( )|G()|1 H( )G( )H()G()0G()eH()22-j /2 標準正交小波基的構(gòu)造標準正交小波基的構(gòu)造22kkkkk |H()|H( )|1h2(-1) h0j tjjj 1j 11( )H()(t)H()ed222j /2nn Z( ) G() ()eH() ()2222 (t)2g(2t-n)或者1、選擇滿足條件的兩尺度序列hn2、計算尺度函數(shù)(t)3、計算母小波(t)濾波器系數(shù)濾波器系數(shù)h(k)和和g(k)的性質(zhì)的性質(zhì)1.( )2,( )0kkh kg k2.(

14、0)1,(0)0( )( )HGHG ，相當于低通濾波器，相當于高通濾波器。123.( )(),( )()()222jjjjHGH遞推關(guān)系(2 ), (2 )()4.(2 ), (2 )()(2 ), (2 )0h nkh nlklg nkg nlklh nkg nl正交關(guān)系2222( )()15.( )()1( ) ( )() ()0HHGGHGHG頻域關(guān)系-j16.( 1), ( )-e()kkkghGH Mallat快速算法快速算法/2,/2,( ),( )( )2(2)( ),( )( )2(2)jjj kj kRjjj kj kRcf ttf ttk dtdf ttf ttk dt,

15、+1,+1,(2 )(2 )j kjmmj kjmmcch mkdcg mkMallat塔式快速分解算法+1,(2 )(2 )jkj mj mmmcch kmdg kmMallat塔式快速重構(gòu)算法Mallat算法結(jié)構(gòu)示意圖CM+2CMCM+1dM+1dM+2CM+2CMCM+1dM+1dM+2(a)分解(b)重建Mallat快速算法快速算法Mallat快速算法快速算法 初始系數(shù)的選取/2,( /2 )2( )NNN kCmf kmt dt其中首先根據(jù)實際信號( )f t，確定逼近空間NV，然后選取,NNNfVff使最小，即NNffV是 在中的最佳逼近。初始函數(shù)的選取，本質(zhì)上是系數(shù), n kC的

16、選取1、小波變換法2、直接選取法3、取樣函數(shù)法1,1()2LNkNjjkCfj其中尺度函數(shù)的支撐區(qū)間是0,L，且尺度函數(shù)連續(xù)只作不同頻帶的信號分解時可用該法，不適于提取分形指數(shù)和作時頻分析,()2NkNnnCfnk其中( )sinc() ()mttm dt Mallat快速算法快速算法 邊界效應(yīng) 實際的數(shù)字信號總是有限長序列，而大多數(shù)小波濾波器的長度都大于1，所以mallat算法在信號的邊界上必然將濾波器強行截去一部分后再作用于這個有限長序列來實現(xiàn)小波分解。這樣，經(jīng)過后續(xù)處理后重構(gòu)得到的信號與原始信號不可避免的在邊界上產(chǎn)生較大的誤差。 邊界延拓 設(shè)實際的數(shù)字信號長度為N，即c=c0,c1,cN

17、-1，又設(shè)濾波器的長度為m。進行小波分解時只需要在信號的兩端個延拓L個元素即可，其中L為m/2的上整數(shù)(大于m/2的最小整數(shù))。Mallat快速算法快速算法 零延拓 簡單的周期延拓：N長序列以N為周期進行延拓缺點：若輸入信號在邊界點的值與零有很大的差別，補零 在邊界處產(chǎn)生很大的階躍變化，從而給這一局部引 入大量的高頻成分；數(shù)據(jù)量增加缺點：當信號序列的兩端邊界值相差很大時，延拓后的信 號將存在周期性的劇烈突變，在邊界附近引入高頻 成分Mallat快速算法快速算法 以邊界點為對稱中心的周期延拓( ),0,.,1( )(22),.,230,s nnNs nsNnnNN其它 延拓后信號一個周期內(nèi)有兩個

18、對稱中心。 當采用有限長濾波器c(n)對延拓后的信號進行濾波時，輸出信號也是周期為2N-2的周期序列。 如果c(n)不具有任何對稱性，那么輸出信號將沒有輸入信號那樣的對稱性，為了完全重構(gòu)，必須取一個完整的長度2N-2的主周期，然后下采樣，使計算量增大了幾乎一倍。 1. 將信號延拓為( )s n( )s n2. 將( )s n作以2N-2的周期延拓Mallat快速算法快速算法()( )(1)(1)xn = x nx Nn = x N+ n 以及但濾波器有對稱性，輸出序列具有對稱性。此時為了完全重構(gòu)，只需保留0,N-1的數(shù)據(jù)，不需要保留整周期的數(shù)據(jù)。此時輸出序列以-0.5和N-1.5為對稱中心，也

19、可只取0,N-1的數(shù)據(jù)()(1)(1)(2)xnx nx Nnx N+ n 以及若濾波器的長度為偶數(shù)時，輸出序列具有如下的對稱性：若濾波器的長度為奇數(shù)時，輸出序列具有如下的對稱性：Mallat快速算法快速算法 邊界值重復的周期延拓()( )()()xnx nx Nnx Nn 以及( 1)( )(1)()xn = x nx Nnx Nn 以及采用偶數(shù)長的對稱濾波器時，輸出序列的對稱關(guān)系為：可只取半個主周期0,N-1的數(shù)據(jù)，然后下采樣(丟棄獨立的樣本值x(N)，但并不影響下采樣)采用奇數(shù)長的對稱濾波器時，輸出序列的對稱性為：此時輸入序列是以-0.5和N-0.5為對稱中心的偶對稱序列 與前面方法不同

20、的是，在作對稱延拓時重復原信號的邊界值，使得s(n)成為一個長度為2N的對稱序列設(shè)三個頻率為4Hz，6Hz，29Hz的正弦波疊加為f tttt( )=sin(8)+sin(12)+sin(58) 設(shè)采樣區(qū)間為0,1，采樣間隔為2-8秒，采樣點數(shù)為256， 所得離散信號為F(k)=f0,f1,f255，其中fk=f(k/256) 由于28=256，可取c8,kmf(k/28)， 由于重構(gòu)時還需要除以m，所以可取c8,kf(k/28) 采用簡單的周期延拓 采取db4小波要求對信號分解與濾波，從中濾去29Hz的成分315,0kkc315,0kkd636,0kkc636,0kkd1277,0k kc1

21、277,0kkd2558,0kkc例例4.4解： 重構(gòu)過程也進行周期延拓12763317,06,05,031316363635,05,06,06,06,01271271272557,07,07,08,0cccccckkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkdddddd重構(gòu)算法中，令，為零，利用重構(gòu)公式由和求出；再由和求出 ；最后由 和求出，利用db5小波對一維信號leleccum進行3層多尺度分解和重構(gòu)。例例4.5原始信號、近似信號、細節(jié)信號及重構(gòu)信號的圖形見圖4-2、4-3、4-4。解：重構(gòu)后的誤差為 err = 1.6717e-0090500100015002000250030003

22、500400005001000原 始 信 號020040060080010001200140016001800200005001000ca1近 似 信 號 ca101002003004005006007008009001000010002000ca2近 似 信 號 ca2圖 4-20200400600800100012001400160018002000-40-2002040cd1細 節(jié) 信 號 cd101002003004005006007008009001000-50050cd2細 節(jié) 信 號 cd2圖4-3050010001500200025003000350040000200400600原 始 信 號05001000150