曲線積分有曲面積分2ppt課件

1、2022-5-3一一. . 概念與性質(zhì)概念與性質(zhì)二二. . 計算法計算法三、應(yīng)用三、應(yīng)用2022-5-3一一.對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)引例引例 非均勻曲線形構(gòu)件的質(zhì)量非均勻曲線形構(gòu)件的質(zhì)量xyoABL),(yx 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)),(yx處的線密度為處的線密度為(1) 將曲線將曲線 L任意分割成任意分割成 n 小段，小段，), 2 , 1( niSi 每一小段依次記為每一小段依次記為（同時表示小弧段的長度）（同時表示小弧段的長度）, ),( )2(iiiS 任取點(diǎn)任取點(diǎn)iiiiSM ),( niiMM1 )3( iiniiS ),(1 ,max )4(1iniS 記記i

2、iniiSM ),(lim10 則則 Ldsyx),( 0M1M1 iMiM1 nMnMiS ),(ii 2022-5-3用點(diǎn)用點(diǎn)121, nMMM將將L任意分割成任意分割成n個小弧段個小弧段, 設(shè)第設(shè)第i個小弧段個小弧段的長度為的長度為), 2 , 1(niSi 任取點(diǎn)任取點(diǎn),),(iiiS ,max1iniS 記記若極限若極限iiniiSf ),(lim10 存在存在,定義定義 設(shè)設(shè)L為為xoy面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù)面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù)),(yxf在在L上有界上有界.則稱此則稱此極限值為函數(shù)極限值為函數(shù)),(yxf在曲線弧在曲線弧L上對弧長的曲線積分上對弧長的曲線積分.記作記作,

3、),( Ldsyxf即即iiniiLSfdsyxf ),(lim),(10 ),(yxf被積函數(shù)被積函數(shù)注注第一類曲線積分。第一類曲線積分。 L積分弧段積分弧段. ),(,),(一一定定存存在在則則上上連連續(xù)續(xù)在在若若 LdsyxfLyxf.),( , LdsyxfL則則記記作作是是封封閉閉曲曲線線若若無方向性無方向性2022-5-3性質(zhì)性質(zhì);),(),(),(),().1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf;),(),().2( LLdsyxfkdsyxkf構(gòu)構(gòu)成成，即即與與是是由由光光滑滑曲曲線線若若分分段段光光滑滑曲曲線線21).3(LLL 12),(),(),(LLLdsyx

4、fdsyxfdsyxf則則21LLL 2022-5-3二二. 對弧長曲線積分的計算法對弧長曲線積分的計算法定理定理 設(shè)曲線設(shè)曲線L的方程為的方程為)( )()( ttytx0)()(,)(),(22 tttt 上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且在在其其中中上上連連續(xù)續(xù)，則則在在函函數(shù)數(shù)Lyxf),(dtttttfdsyxfL )()()(),(),(22若曲線若曲線L由方程由方程)(),(bxaxy 給出給出,那么那么dxxxxfdsyxfbaL)(1)(,),(2 2022-5-3若曲線若曲線L由方程由方程)( , )(dycyx 給出給出,那么那么dyyyyfdsyxfdcL1)(),

5、(),(2 若空間曲線若空間曲線 由參數(shù)方程由參數(shù)方程)( , )()()( ttztytx給出給出,dtttttttfdszyxf )()()()(),(),( ),(222注注1、下限小于上限、下限小于上限.推廣：推廣：注注2、把曲線的方程帶入曲線積分、把曲線的方程帶入曲線積分2022-5-3例例1 計算計算 1 , 10 , 0 ,2到到點(diǎn)點(diǎn)上上由由點(diǎn)點(diǎn)是是拋拋物物線線其其中中xyLdsyL 的一段弧的一段弧.oxy(1,1) dsyLdxxx 1022)2(1dxxx 10241)41()41(81221102xdx 12155)41(12110232 x解解2022-5-3例例2)0

6、( 2 , 2222 aaxyxLdsyxL為為圓圓周周計計算算將曲線將曲線L化為參數(shù)式方程化為參數(shù)式方程: )20( sincos ayaax22yx a Ldsyx22 ada )cos1(2202 022cos4da28a 解解xyo yxM,a da 2cos2202 2022-5-3例例3 計算計算2 ,xyxyLxdsL 及及拋拋物物線線為為由由直直線線其其中中所圍區(qū)域所圍區(qū)域的整個邊界的整個邊界.xyo(1,1)11L2L解解21LLL 21LLLxdsxdsxdsdxxxdxx 10210)2(1210232)41(328122x )12655(121 2022-5-3例例4

7、計算計算)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,)(BAOLdsyxL為以為以其中其中 為頂點(diǎn)的為頂點(diǎn)的三角形周界三角形周界.解解 ABOBOALdsyxdsyxdsyxdsyx)()( )()( 10 xdxdx 102 10ydy21 oABxy1 yx2022-5-3例例5 計算計算 ,)(222dszyxIL 其中其中L為螺旋線為螺旋線)20( ,sin,cos tktztaytax解解22222222)cos()sin(kaktatazyx 2022222222)sincos(dtkatktataI 2022222)(dttkaka 20322223 tktaka)43(32

8、22222kaka 2022-5-3三、類似于二、三重積分中求薄片及物體的重心和轉(zhuǎn)動慣量，三、類似于二、三重積分中求薄片及物體的重心和轉(zhuǎn)動慣量，則則L的重心和對的重心和對x軸及軸及y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為：軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為： LdsyxxMx,1 LdsyxyMy,1 LxdsyxyI,2 設(shè)設(shè)xoy面上的曲線弧面上的曲線弧 L在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)處的線密度為處的線密度為 , yx LydsyxxM, LxdsyxyM, 靜距為：靜距為： LydsyxxI,2 LdsyxM, 曲線弧的的質(zhì)量為：曲線弧的的質(zhì)量為：L對對x軸及軸及y軸轉(zhuǎn)動慣量分別為：軸轉(zhuǎn)動慣量分別為：2022-5-3 dszyxxM

9、x,1 dszyxyMy,1 dszyxzyIx,22 dszyxzxIy,22設(shè)空間上的的曲線弧設(shè)空間上的的曲線弧 ,zyx 在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y,z)處的線密度為處的線密度為 的重心和對的重心和對x軸、軸、y軸及軸及z軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為：軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為：那么那么 dszyxyxIz,22 dszyxzMz,1推廣：推廣： dszyxxMx, dszyxyMy,靜距為：靜距為： dszyxzMz,L對對x軸、軸、y軸及軸及z軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為：軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為： dszyxM,曲線弧的的質(zhì)量為：曲線弧的的質(zhì)量為：2022-5-3例例6 計算半徑為計算半徑為 R, 中心角為中心角為 2的圓弧

10、的圓弧L的重心及對于其對稱軸的重心及對于其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量)1( 建立坐標(biāo)系如右圖所示建立坐標(biāo)系如右圖所示:xyoR LL的參數(shù)式方程為的參數(shù)式方程為:)( sincos RyRx(1) 重心重心: 由對稱性知由對稱性知0 y LLdsxdsx RxdsL2 dRRRR22)cos()sin(cos21 dRcos2 sinR dsyILx 2 ).2( RdR 22sin)cossin(22sin303 RR解解2022-5-3一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) yxozS),(zyx is ),(iii 01( , , ) slim(,)niiiii

11、f x y z dfs 二、二、 對面積的曲面積分的計算法對面積的曲面積分的計算法 22( , , ) s , , ( , ) 1xyDzzf x y z df x y z x ydxdyxy2022-5-3一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量曲面形構(gòu)件的質(zhì)量.yxozS),(zyx 1).將曲面將曲面S任意分割成任意分割成n小塊小塊:.,21nissss ( 也表其面積也表其面積)is is ),(iii 2).任取點(diǎn)任取點(diǎn),),(iiiis ), 2 , 1( ,),(nisMiiiii 3).作和作和 niiMM1 iiiniis )

12、,(1 4).取極限取極限.令令max1的直徑的直徑inis niiiiisM10),(lim Sdszyx),( 2022-5-3設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxf在光滑曲面在光滑曲面 上有界上有界,任取點(diǎn)任取點(diǎn),),(iiiis 作作;),(1iiiniisf 記記max1的直徑的直徑inis , 若極限若極限iiiniisf ),(lim10 存在存在,則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù)),(zyxf在曲面在曲面 上對面積的曲面上對面積的曲面積分積分(或第一類曲面積分或第一類曲面積分). 記作記作 dszyxf),(即即iiniiisfdszyxf ),(lim),(10 假設(shè)假設(shè) 為封閉曲面

13、為封閉曲面,記作記作 dszyxf),(當(dāng)當(dāng)在在。上上連連續(xù)續(xù)時時，曲曲面面積積分分存存在在光光滑滑曲曲面面 ),(zyxf性質(zhì)性質(zhì) 具有與對弧長的曲線積分相似的性質(zhì)具有與對弧長的曲線積分相似的性質(zhì).定義定義), 2 , 1(nisi (同時用同時用is 表示第表示第i小塊曲面的面積小塊曲面的面積); 任意分割成任意分割成n小小把把塊塊2022-5-3二、二、 對面積的曲面積分的計算法對面積的曲面積分的計算法定理定理 設(shè)光滑曲面設(shè)光滑曲面; ),(:xyDxoyyxzz面面投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉樵谠?那么那么dxdyyzxzyxzyxfdszyxfxyD221),(,),( xyz),(:yxz

14、z xyDi is dyzxzsii 221iiiyiixzz ),(),(122 函數(shù)函數(shù) 在在),(zyxf上連續(xù)，上連續(xù)，xyD上有一階連續(xù)偏導(dǎo)上有一階連續(xù)偏導(dǎo).),(yxzz 在在iiniiisfdszyxf ),(lim),(10 二重積分的中值定理二重積分的中值定理2022-5-3 dszyxf),(iiiniisf ),(lim10 iiiyiixiiiniizzzf ),(),(1),(,lim2210 dyxzyxzyxzyxfyxDxy),(),(1),(,22 假設(shè)假設(shè)),(:zyxx 假設(shè)假設(shè)),(:zxyy yzDzydydzxxzyzyxfdszyxf221,),(

15、),( dxdzyyzzxyxfdszyxfxzDzx 221),(,),( 2022-5-3解解xyDxyz2222:hayxDxy zdsdxdyyzxzyxaxyD 2222211dxdyyxaayxaxyD2222221 xyDyxadxdya222drrardaha 2202220 22022)ln(212haraa haa ln2 計算計算)0(,2222ahhzazyxzds 被被平平面面是是球球面面 截出的頂部截出的頂部.例例12022-5-3例例2 計算計算2 1 ,)(22 zzyxzdszyx及及界界于于平平面面是是錐錐面面 之間的部分之間的部分.zxy解解41:22 y

16、xDxy221yxzz 2222221yxyyxx 2 dszyx)(dxdyyxyxxyD 2)(22dxdyyxxyD 222 21202rrdrd 3214 2022-5-3例例3 計算計算1, 0, 0, 0 , zyxzyxxyzds由由平平面面 所圍所圍四面體的整個邊界曲面四面體的整個邊界曲面.設(shè)設(shè)在平面在平面分別表示分別表示 ,4321 , 0, 0 yx.1, 0上的部分上的部分 zyxz4321 xyzds 4321 xyzdsxyzdsxyzdsxyzds 4 xyzds,1:4yxz 1010:xxyDxyxyo11 xyzds 4 xyzdsdxdyyxxyxyD 3)1( xdyyxyxdx1010)1(31203 xyz1 2 3 4 解解2022-5-3解解,:22yxz axyxDxy2:22 221 yzxz2222221yxyyxx 2 dxdyyxxyxyxyIxyD2)(2222 dxdyyxxD 12222(因因 關(guān)于關(guān)于x 軸對稱軸對稱)xyD cos2020cos22ardrrrd da 2044cos416cos223524284 a415264a xyz例例4 被被柱柱面面為為錐