圖形的相似基礎測試題及答案解析

1、圖形的相似基礎測試題及答案解析ABC的內心，過點E作MNBC 6,則MN的長為(P BC交AB于點M ,交AC于點N ,若 )一、選擇題1.如圖，點E為AB 7 , AC 5 ,A. 3. 5【答案】B【解析】【分析】B. 4C.D. 5. 5連接ER EC,如圖，利用三角形內心的性質得到/1 = /2,利用平行線的性質得/2=/3,所以/ 1 = 73,則BM=ME,同理可得NC=NE,接著證明 祥MNsabC,所以MN 7 BM7c ,貝U BM=7- -MND5 八,同理可得CN=5 MND ,把兩式相加得到 MN的6ACB,方程，然后解方程即可.【詳解】連接ER EC,如圖，點E為AA

2、BC的內心，.EB平分/ABC, EC平分/1 = /2,MN II BC, / 2=7 3,1 = 7 3, .BM=ME, 同理可得NC=NE, MN II BC,AMNA ABC,MNAM口MN,即一BCAB6一 一一5同理可得CN=5MND67 BM,則 BM=7-7 MND , + 得 MN=12-2MN , .MN=4 .故選：B.【點睛】此題考查三角形的內切圓與內心，相似三角形的判定與性質，解題關鍵在于掌握與三角形 各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角 形叫做圓的外切三角形.三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點.2 .如圖，在 A

3、ABC中，Z A=75°, AB=6, AC= 8,將 BBC沿圖中的虛線剪開，剪下的陰 影三角形與原三角形不相似的是（）【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可.【詳解】A、根據(jù)平行線截得的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯 誤；B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤;G兩三角形對應邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤.D、兩三角形的對應邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確；故選：D.【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵.3 .如圖，點

4、E是YABCD的邊AD上一點，DE 2AE ,連接BE ,交AC邊于點F ,卜列結論中錯誤的是（）A. BC 3AEB. AC 4AFC. BF 3EFD. BC 2DE【答案】D【解析】【分析】由平行四邊形的性質和相似三角形的性質分別判斷即可.【詳解】解：. .在 YABCD 中，AD/BC, AD BC , VAEF : VCBF , ,AE _ AF _ EF"CB " CF - BF ,DE 2AE3BC= -DE = 3AE ,選項A正確，選項D錯誤,AFCFAC，選項AE AE 1 口.:=，即：CFCB 3AE 34AF ,B正確，EFAE AEBF CB 3

5、AE.選項C正確, 故選：D.【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質以及相似三角形的判定與性質，能熟練利用相似三角形 對應邊成比例是解題關鍵.4.如圖，在 GABC中，點D是邊AB上的一點，/ ADC= / ACB, AD=2, BD= 6,則邊 AC的長為（）【答案】B【解析】C. 6D. 8證明AADJ ACEI,根據(jù)相似三角形的性質可推導得出AC2=AD?AB,由此即可解決問題【詳解】. /A=/A, /ADC=/ ACB,.AD8 ACB,AC ADAB AC. .AC2=AD?AB=2X 8=16.AC>0,，AC=4,故選B.【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質、解題的關鍵

6、是正確尋找相似三角形解決問題5.如圖，在GABC中，A, B兩個頂點在x軸的上方，點 C的坐標是（-1, 0）.以點C為 位似中心，在x軸的下方作 AABC的位似圖形 AABC,使得AAEC的邊長是 小BC的邊長的2倍.設點B的橫坐標是-3,則點B'的橫坐標是（）了個AA. 2B, 3C. 4D, 5【答案】B【解析】【分析】作BDx軸于D, B'瓦x軸于E,根據(jù)位似圖形的性質得到B'邑2BC,再利用相似三角形的判定和性質計算即可.【詳解】解：作BD± x軸于D, B' Rx軸于E,則 BDE BE,由題意得CD= 2, B' & 2B

7、C, BD / BE, . BDM BEC,CD BC 1=-,CE B'C 2 .CE= 4,貝U OE= CE-OC= 3, 點B的橫坐標是3,故選：B.本題考查的是位似變換、相似三角形的判定和性質，掌握位似變換的概念是解題的關鍵.DE/ BC, EF/ AB,則下列結論正確的是6.如圖，在4ABC中,AD DEA. 一 一DB BC【答案】C【解析】 【分析】BF EFBBC ABAE DECEC FCEF BF D AB BC根據(jù)相似三角形的判定與性質逐項分析即可.由9DEs ABC,可判斷 A的正誤；由 ACEF“CAB,可判定B錯誤；由AADEEFC可判定 C正確；由4CE

8、叱 CAB,可判定 D錯 誤.【詳解】解：如圖所示:/DE/ BC, ./ ADE= / B, / AED= / C, . ADEs ABC,DE AD AD, , , BC AB DB 答案A錯舍去； EF/ AB, . CEF CAB,CF EF BFBC AB BC，答案B舍去 . / ADE= / B, / CF巳 / B, . / ADE= / CFE又. / AED= / C, . ADE AEFCAE DEEC FC又 EF/ AB, ./ CEF= / A, / CFE= / B, . CES CAB,EF CE FC BF , , , AB AC BC BC .答案D錯舍去；

9、故選C.【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質，熟練掌握兩平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 或兩邊延長線相交，所構成的三角形與原三角形相似是解題的關鍵.7.如圖，在矩形 ABCD中，AB 1 ,在BC上取一點E ,沿AE將 ABE向上折疊，使ADftCA. 2B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD的長為（）15C.2【答案】D【解析】【分析】EFDC與矩形ABCD相似，根據(jù)相似多邊形對應邊的比相等列出比FE=1,可設AD=x,由四邊形例式，求解即可.【詳解】解：: AB 1 ,設 AD=x,貝U FD=x-1,四邊形EFDC與矩形ABCD相似,EF AD 1 X一

10、=一，即,DF AB解得：x1 15, x2 1,5 （不合題意，舍去）一一 15經檢驗x 1,是原方程的解.2AD =1+ 52故選：D.EFDC本題考查了翻折變換（折疊問題），相似多邊形的性質，本題的關鍵是根據(jù)四邊形 與矩形ABCD相似得到比例式.8.矩形ABCO如圖擺放，點B在y軸上，點C在反比例函數(shù)y -(x> 0)上,xOA= 2, ABA. 4B. 6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質得到/OB OA2 AB232C.542 D. 5A=/AOC=90, OC=AB,根據(jù)勾股定理得到2遙，過C作CD±x軸于D,根據(jù)相似三角形的性質得到容求得C （哈第）于是得到

11、結論.解：.四邊形 ABCO是矩形，. ./A= / AOC= 90°, OC= AB, . OA=2, AB=4, 過C作CD,x軸于D,/ CDO= Z A=90°, / COD+Z COB= / COB+/ AOB= 90°, ./ COD= / AOB, . AOBs DOC,OB AB OAOC CD OD2 .5424 CD ODCD 81, OD 4_J,55.C（謔，述），55325，故選：C.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)的性質，矩形的性質，相似三角 形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵.CD ,過點D作DE

12、AB于點9 .如圖，四邊形 ABCD內接于eO, AB為直徑，ADE ,連接AC交DE于點F若sinCAB則AB的長為（DB. 12A. 10【答案】D【解析】【分析】C.16D. 20連接BD ,如圖，先利用圓周角定理證明 弦的定義計算出 EF 3 ,則AE 4,ADEDE8,DAC 得到 FD FA 接著證明 ADEs DBE ,5 ,再根據(jù)正利用相似比得到 BE 16 ,所以 AB 20.解：連接BD ,如圖,Q AB為直徑，ADB ACB 90 ,Q AD CD, DAC DCA , 而 DCA ABD ,DAC ABD ,DE ± AB , ABD BDE 90 , 而 A

13、DE BDE 90 ,ABD ADE,ADE DAC ,FD FA 5 ,EF 3在 Rt AEF 中，Q sin CAB AF 5 'EF 3 ,AE 5T7 4，DE 5 3 8,Q ADE DBE , AED BED , ADEs DBE ,DE ：BE AE : DE ,即 8： BE 4:8 ,BE 16 ,AB 4 16 20.故選：D.【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑.也考查了解直角三角形.10 .如圖，小明在地面上放了一個平面鏡，選

14、擇合適的位置，剛好在平面鏡中看到旗桿的頂部，此時小明與平面鏡的水平距離為2米，旗桿底部與平面鏡的水平距離為12米，若小明的眼晴與地面的距離為 1.5米，則旗桿的高度為（）口rZ, 1A. 9B. 12C. 14D. 18【答案】A【解析】【分析】如圖，BC= 2m, C± 12m, AB=1.5m,利用題意得/ ACB= / DCE 則可判斷 ZCEIA DCE然后利用相似比計算出 DE的長.【詳解】解：如圖，BC= 2m, CE= 12m, AB= 1.5m, 由題意得/ ACB= /DCE, / ABC= / DEC . ACN DCE, ,AB BC . 1.5 DEDE CE

15、 212.DE=9.即旗桿的高度為9m.故選A.E CE【點睛】本題考查了相似三角形的應用：借助標桿或直尺測量物體的高度.利用桿或直尺測量物體 的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，用相似三角形對應邊的比相等的性 質求物體的高度.11 .兩個相似三角形的對應邊分別是15cm和23cm,它們的周長相差 40cm,則這兩個三角形的周長分別是（）A. 45cm , 85cmB. 60cm, 100cm C. 75cm, 115cm D. 85cm, 125cm【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的周長的比等于相似比列出方程，解方程即可.【詳解】設小三角形的周長為 xcm,則大三角形的周

16、長為（x+40） cm,15523由題意得，而匚解得，x=75, 則 x+40=115, 故選C.，一 一一， 18，一一一，一12 .如圖，點A, B是雙曲線y 圖象上的兩點，連接 AB,線段AB經過點。，點一k一 一 一C為雙曲線y 在第二象限的分支上一點，當 VABC滿足AC BC且 xAC: AB 13: 24 時，k 的值為（【解析】【分析】C.25D.25如圖作 AE，x軸于E, CF，x軸于F.連接OC.首先證明 CF8 OEA,推出ScOF ,OC、2 (),因為 CA: AB= 13: 24, A0= OB,推出 CA: OA= 13: 12,推出 CO: OA=S aoe

17、OAScof ,OC、225 i255: 12,可得出二(-) =，因為Smoe= 9,可得Sacof=，再根據(jù)反比例函S aoe OA 14416數(shù)的幾何意義即可解決問題.【詳解】連接0C. AC= BC, OA= OB,/.OCX AB,/ CFO= / COA= / AEO= 90°,/ CO斗 / AOE= 90°, / AOE+ / EAO= 90°,/ COF= / OAE, . CFM OEA,S COF (OC )2 S AOE (OA) ' . CA: AB= 13: 24, AO= OB, .CA: OA= 13: 12, .CO: O

18、A= 5: 12,S COF (OC)2 _ 25 slOTqa; = 144'SAAOE= 9 , . Q 25 szCO ,16 .k<0,.,25 k 8故選：B.【點睛】 本題主要考查反比例函數(shù)圖象上的點的特征、等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性 質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，根據(jù)相似三角形解決問題，屬于中考選擇 題中的壓軸題.13 .在相同時刻，物高與影長成正比，如果高為1米的標桿影長為2米，那么影長為30米的旗桿的高為（）A. 20米B. 18米C. 16米D. 15米【答案】D【解析】【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，

19、經過物體頂部的太陽光線三者構成的兩個直角三角形相似，利用標桿的高：標桿影長=旗桿的高：旗桿的影長，列出方程，求解即可得出旗桿的高度.【詳解】解：根據(jù)題意解：標桿的高：標桿影長= 旗桿的高：旗桿的影長，即1:2=旗桿高：30 ,1 30旗桿的圖=15米.2故選：D .【點睛】本題主要考察的是相似三角形的應用，正確列出方程是解決本題的關鍵.ABC14 .已知的三邊長分別為 J2, J6 , 2, ABC的兩邊長分別是1和J3,如果與 A B C相似，那么 ABC的第三邊長應該是（）A.五B.叵C.叵D.立223【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)先計算出兩相似三角形的相似比，則第三邊長可求. 【

20、詳解】解：根據(jù)題意，易證ABCs A BC ,且相似比為： J2：1, ABC的第三邊長應該是J2 .故選：A .【點睛】本題考查了相似三角形的性質：相似三角形的對應邊成比例，關鍵就是要清楚對應邊是 誰.15.如圖，在正方形 ABCD中，E為AB的中點，G, F分別為AD、BC邊上的點，若AG=1, BF=2, / GEF=90°,則 GF 的長為（）A. 2B, 3C. 4D, 5【答案】B【解析】 四邊形ABCD是正方形，A=Z B=90° , / AGE+-Z AEG=90 , / BFE+Z FEB=90 , . / GEF=90, / GEA+-Z FEB=90

21、,/ AGE=/ FEB, / AEG=/ EFR AEG BFE,AE AG，BF BE又 AE=BE，AE2=AG?BF=2，AE=J2 (舍負)，GF2=gE?+eF?=AG2+AE2+bE2+BF2=1+2+2+4=9,.GF的長為3,故選B.【點睛】本題考查了相似三角形的性質的應用，利用勾股定理即可得解，解題的關鍵是證明 AAEM BFE12 _16.如圖，AAOB是直角三角形，/ AOB= 90, AAOB的兩邊分別與函數(shù) y -, y 的 xx圖象交于B、A兩點，則一等于()OA'2一我1A. B.-【答案】A【解析】【分析】過點A,B作ACJ_ x軸,BDU x軸,垂足

22、分別為數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得出S-OBD (OS AOC (的平方得出°旦OA 2【詳解】. / AOB= 90°, / AOC+Z BOD= / AOC+Z CAO= 90°,/ CAO= / BOD,.AC8 BDO,C. 1D.叵43C,D根據(jù)條件得到AACAODB.根據(jù)反比例函)B c11 入,-)2 = 2 =-利用相似三角形面積比等于相似比)A；2.S OBD (OB)2, S AOC Oa '.o1一 S AAOC= X 圭 1 , SBOD =2. /OB一( OA1 12)=2 =2.OBOA故選A.1 尸一2D【點睛】此題考查了反比例

23、函數(shù)圖象上點的坐標特征和相似三角形的判定與性質，解題關鍵在于做 輔助線，然后得到相似三角形再進行求解17.如圖，AABC中，/ BAC= 45 °, Z ACB= 30 °,將AABC繞點A順時針旋轉得到 AABiQi, MCiC當點G、B1、C三點共線時，旋轉角為電連接BB1,交AC于點D,下列結論:C.D.Da =75°CA= CBi,其中正確的是（【答案】B【解析】 【分析】將"BC繞點A順時針旋轉得到 那B1C1,得到 “88AB1C1,根據(jù)全等三角形的性質得到 AC仁AC,于是得到 祥。C為等腰三角形；故 正確；根據(jù)等腰三角形的性質得到/C仁/

24、ACO=30°,由三角形的內角和得到/ C1AC=120°,得到/ B1AB=120°,根據(jù)等腰三角形的性質 得到/ AB1B=30°=/ACB,于是得到ZB1DA BCD;故 正確；由旋轉角 a =120,。故 錯 誤；根據(jù)旋轉的性質得到/C1AB1 = Z BAC=45°,推出/ BAC=/ AB1C,于是得到 CA=CB ；故正確.【詳解】解：將那BC繞點A順時針旋轉得到 那BQ,ABCA AB。，AG = AC,AGC為等腰三角形；故正確；，AG=AC,Q = Z ACQ = 30 ,QAC=120 , Z BiAB=120 ,-ABi

25、 = AB, / ABiB=30 =Z ACB,Z ADBi=Z BDC,ABiDABCD;故 正確；;旋轉角為a,. . a=120°,故錯誤； / QABi=Z BAC= 45°, Z BiAC= 75°,'Z AB1C1 = Z BAC= 105 , Z ABiC= 75 , Z BiAC= Z AB1C,1. CA= CBi；故 正確.故選：B.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，旋轉的性質，正確的識 別圖形是解題的關鍵.18.如圖，頂角為36°的等腰三角形，其底邊與腰之比等工這樣的三角形稱為黃金三角形，已知

26、腰AB=1, ABC為第一個黃金三角形，BCD為第二個黃金三角形，CDE為第三個黃金三角形以此類推，第2020個黃金三角形的周長()2018.2018_. 2019Kci 2019/cA. kB. kC. D. k (2 k)2 k【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形對應角相等，對應邊成比例，求出前幾個三角形的周長，進而找出規(guī)律：第n個黃金三角形的周長為 kn-1 (2+k),從而得出答案.【詳解】解：AB=AC=1,.ABC的周長為2+k；BCD的周長為 k+k+k2=k (2+k);CDE的周長為 k2+k2+k3=k2 (2+k)；依此類推，第2020個黃金三角形的周長為 k2019 (2+k).故選：D.【點睛】此題考查黃金分割，相似三角形的性質，找出各個三角形周長之間的關系，得出規(guī)律是解 題的關鍵.19.如圖，點 D在9BC的邊AC上，要判斷祥DB與祥BC相似，