數(shù)學美欣賞數(shù)學的簡潔性

1、數(shù)學美欣賞（內容選自數(shù)學美拾趣、數(shù)學聊齋和直觀幾何）課程簡介了解數(shù)學的趣味性，初步懂得數(shù)學在理論和實際中的應用，欣賞數(shù)學的絢麗多彩的藝術世界.學習要求1 .用U盤復制電子講稿，并打印.2 .課后認真閱讀講稿.3 .適當安排若干次課堂獨立作業(yè).做課堂作業(yè)時，允許參考本講稿，可以摘錄講稿內容.考核要求1 .進行期中考試和期末考試，均為開卷.2 .期末總評成績=期中考試成績X50%期末考試成績X50%3 .期中考試、期末考試和課堂獨立作業(yè)中沒有任何計算題和證明題，也沒有填空題和選擇題，題型均為問答題.第1講第1章數(shù)學的簡潔性序后著名科學家伽利略說過：“數(shù)學是上帝用來書寫宇宙的文字”.簡潔本身就是一種

2、美，而數(shù)學的首要特點在于它的簡渣.數(shù)學家莫德爾說：在數(shù)學美的各個屬性中、首先要推崇的大概是簡單性了.自然界原本就是簡潔的：光是沿直線方向傳播的一一這是光傳播的最捷路線.植物的葉序排布是植物葉子通風、采光最佳的布局.某些攀緣植物如藤類，它們繞著攀依物螺旋式的向上生長，它們所選的螺線形狀對于植物上攀路徑來講是最節(jié)省的.大雁遷徙時排成的人字形，一邊與其飛行方向夾角是5次4口從空氣動力學角度看，這個角度對于大雁隊伍飛行是最佳的，即阻力最小（順便一提：金剛石晶體中也蘊含這種角度）.在人體中，人的粗細血管直徑之比總是我1,這種比值的分支導流系統(tǒng)經流體動力學研究表明，它在輸導液體時能量消耗最少.生物學家和數(shù)

3、學家們（如著名科學家開普勒、數(shù)學家列厄木、柯尼希等）在研究蜂房構造時發(fā)現(xiàn)：在體積一定的條件下，蜂房的構造是最省材料的.這些最佳、最好、最省、的事實,來自生物的進化與自然選擇.然而它同時展現(xiàn)了自然界的簡潔.而且也展現(xiàn)了自然界的和諧.宇宙萬物如此.數(shù)學.它作為用來描述宇宙的文字和工具也應當是簡潔與和諧的.詩人但丁曾贊美道：“圓是最美的圖形:太陽是圓的、滿月是圓的、水珠看上去（投影）是圓的、，圓的線條明快、簡練、對稱.近代數(shù)學研究還發(fā)現(xiàn)圓的等周極值性質：在周長給定的封閉圖形中，圓所圍的面積最大.無論是古人，還是今人，人們對圓有著特殊親切的情感，都因為圓的簡潔美.數(shù)學中人們對于簡潔的追求是永無止境的：

4、建立公理體系時，人們試圖找出最少的幾條（拋棄任何多余的贅物）；對命題的證明，人們力求嚴謹、簡練（因而人們對某些命題的證明在不斷地改進）；對計算的方法，人們要求盡量便捷、明快（因而人們不斷地在探索計算方法的創(chuàng)新），數(shù)學拒絕繁冗.正如牛頓所說：數(shù)學家不但更容易接受漂亮的結果，不喜歡丑陋的結論，而且他們也非常推崇優(yōu)美與雅致的證明，而不喜歡笨拙與繁復的推理.數(shù)學大師歐拉曾研究過天平祛碼最優(yōu)（少）配置問題,并且證明了：若有1,2,22,23,，2n克的祛碼，只允許其放在天平的一端，利用它們可稱出12n*-1（=2n+2n+IH+22+2+1）之間的任何整數(shù)克重物體的重量.例如，當n=3時，我們有4個祛碼

5、：1克，2克，22克和23克,即1克，2克，4克和8克.利用它們，我們可稱出1克邛一1克（即15克）之間的任何整數(shù)克重物體的重量，即可稱出1克，2克,3克，15克的重量.這由下表可以明白重量（克）12345678祛碼組合121+241+42+41+2+48重量（克）9101112131415祛碼組合1+82+81+2+84+81+4+82+4+81+2+4+8這個問題其實與數(shù)的二進制有關.進而，歐拉還證明了（它與數(shù)的三進制有關）：有1,3,32,33,，3"克重的祛碼，允許其放在天平兩端，利用它們可以稱出1-除1（=3"+3"，+川+32+3+1）之間任何整數(shù)克重

6、物體的重量.例如，當n=2時，我們有3個祛碼：1克，3克和32克，即1克,3克和9克.利用它們，我們可稱出1克切克（即13克）之間的任何整數(shù)克重物體的重量，即可稱出1克，2克，3克，,13克的重量.這由下表可以明白.重量（克）1234567祛碼組合13-131十39-1-39-31+9-3重量（克）8910111213祛碼組合9-191+93+9-13+91+3+9以上兩個事實是“以少應付多”的典范，這也是數(shù)學簡潔性使然.下面的所謂“省刻度尺問題”,盡管人們尚未對此得出一般結論，但目前僅有的結果也足以使人倍感興趣：一根6cm長的尺子，只須刻上兩個刻度（在icm和4cm處），就可量出icm6cm

7、之間任何整數(shù)厘米長的物體長，即可量出icm,2cm,3cm,4cm,5cm和6cm的長度（下簡稱“完全度量）Y6ITI01*4若用aTb表示從a量到b的話，那么具體度量如下：1（0Tl）,2（4t6）,3（1t4）,4（0t4）,5（1t6）,6（0t6）.一根13cm的尺子，只須在icm,4cm,5cm和11cm四處刻上刻度，便可完成113cm的完全度量.具體度量如下：1（0>1）,2（11>13）,3（1>4）,4（0>4）,5（0>5）,6（5>11）,7（4t11）,8（5t13）,9（4t13）,10（1t11）,11（0t11）,12（1t13）

8、,13（0T13）.卜”HI力）一ii對于22cm的尺子，只須刻上六個刻度，即在：1cm,2cm,3cm,8cm,13cm和18cm;或者icm,4cm,5cm,12cm,14cm和20cm處刻上刻度，可完成122cm的完全度量.I2381313»_1_ii1._1對于23cm的尺子來講，也只須六個刻度：1cm,4cm,10cm,16cm,18cm和21cm,便可完成123cm的完全度量.-i4而記根36cm的尺子，只須在1cm,3cm,6cm,13cm,20cm,27cm,31cm和35cm處刻上八個刻度，便可完成1cm36cm的完全度量.I3613X號3i.a&_,對于4

9、0cm的尺子，刻上九個刻度：1cm,2cm,3cm,4cm,10cm,17cm,24cm,29cm和35cm,即可完成140cm的完全度量.-723-1/O17商這類問題與應用數(shù)學中所謂最優(yōu)化方法有關，這門學科的核心是最省、最好（對效益講是最大）.用“少”去表現(xiàn)“多或者求極大、極小等，均是數(shù)學簡潔性的另類表現(xiàn).比如“植樹問題”.英國數(shù)學家、物理學家牛頓曾經很喜歡下面一類題目：9棵樹栽9行，每行栽3棵，如何栽？乍看此題似乎無解，其實不然，看了左下圖（圖中黑點表示樹的位置，下同），你會恍然大悟！?施樹我也AV7W7椽樹淄因）源/管顯M潞/竹牛頓還發(fā)現(xiàn)：9棵樹每行栽3棵，可栽行數(shù)的最大值不是9,而是

10、10,見右上圖.左下圖給出10棵樹，栽10行，每行栽3棵的栽法.I。卷樹其實，10棵樹，每行栽3棵，可栽的最多行數(shù)也不是10,而是12,見右上圖.英國數(shù)學家、邏輯學家道奇生在其童話名著艾麗絲漫游仙境中也提出下面一道植樹問題：10棵樹，栽成5行，每行栽4棵，如何栽？此題答案據說有300種之多，下面諸圖給出了其中的幾種.十九世紀末，英國的數(shù)學游戲大師杜登尼在其所著520個趣味數(shù)學難題中也提出了下面的問題：16棵樹，栽成15行,每行栽4棵，如何栽？杜登尼的答案見左下圖.美國趣味數(shù)學大師山姆洛伊德曾花費大量精力研究“20棵樹，每行栽4棵，至多可栽多少行”，他給出了可栽18行的答案，見右下圖b媚樹我4樨

11、/彳幾年前人們借助于電子計算機給出了上述問題可栽20行的最佳方案，見左下圖.稍后曾見報載，國內有人給出可栽21行的方案（右上圖）,然而嚴格的驗證工作恐非易事一一這些點是否真的共線？既便結論無誤，但它是否是可栽的最多行數(shù)，人們尚不得而知.在英國數(shù)學家薛爾維斯特在臨終前幾年（1893年）提出了一個貌似簡單的問題：對于在平面上不全共線的任意n個點，總可以找到一條直線，使其僅過其中的兩個點.直到1933年，人們才找到一個繁瑣的證明.此后，1944年、1948年又先后有人給出了證明.1980年前后，美國科學新聞雜志重提舊事時，又一次向人們介紹了薛爾維斯特問題和凱利于1948年給出的證明.我們很容易體會到

12、：一個定理（或習題）證明（或解法）的簡化，將認為是做了一件漂亮的工作，即它是美妙的.由于簡潔，數(shù)學語言（包括圖形）不僅能描述世界上的萬物，而且也能為世界上所有文明社會所接受和理解，甚至還將成為與其它星球上的居民（如果存在的話）交流思想的工具.在為美國發(fā)射的在茫茫太空中去尋覓地球外文明的“先驅者號飛船”（探測器）征集所攜帶的禮物時，我國已故著名數(shù)學家華羅庚曾建議帶上數(shù)學中用以表示勾股定理（畢達哥拉斯定理）的簡單、明快的數(shù)形圖，它似乎應為宇宙所有文明生物所理解.數(shù)學中的簡潔性的例子是不勝枚舉的：比如三角形，盡管它有千姿百態(tài)，但人們卻可用S=3（a為底邊長，h為該邊上高）或海倫公式S7P（p-aXp

13、-bXpW（p為三角形半周長）去表達所有三角形的面積.數(shù)學的簡潔性系指其抽象，性、概括性和統(tǒng)一性.正是因為數(shù)學具有抽象性和統(tǒng)一性、因而其形式應當是簡單的.實現(xiàn)數(shù)學的簡單性（抽象、統(tǒng)一）的重要手段是使用數(shù)學符號.附錄有趣的數(shù)制十進制數(shù)809306=810000001000091000310001061543_210=810501049103310201016100.562.4=08父32>1父06100+2由0+4/0一+0父10+810310.特點：十進制數(shù)由十個數(shù)字0,1,2,34567,89組成.二進制數(shù)4321011011=1x2+1x2+0x2+1x2+1父2.1110.1101

14、=1父23+1父22+1父21+0父2°+1父2,+1父2/+0父2,+1父2工，特點：二進制數(shù)由兩個數(shù)字。和1組成.三進制數(shù)_4_3_2_1_0_q一二12101.221=1父34+2父33+1父32+0父31+1父30+2父3+2父3+1父3.特點：三進制數(shù)由兩個數(shù)字0,1和2組成.前面講過，利用四個祛碼：1g,2g,4g,8g,可以稱出1g-15g的整數(shù)克重量.把重量用二進制表示,可以得到相應的祛碼組合方式.用四個祛碼1g,2g,4g,8g可以稱出1g15g的整數(shù)克重量重量（克）12345678重量的二進制表不110111001011101111000祛碼組合122+144+1

15、4+24+2+18重量（克）9101112131415重量的二進制表不1001101010111100110111101111祛碼組合8+18+28+2+18+48+4+18+4+28+4+2+1前面還講過,利用二個祛碼：K,3g,9g,可以稱出1g13g的整數(shù)克重量（允許祛碼放在天平的兩個托盤中）.把重量用三進制表示，可以得到相應的祛碼組合方式.下表中加下標3的數(shù)（如1013）表示三進制數(shù),不加下標3的數(shù)為十進制數(shù)用二個祛碼1g,3g,9g可以稱出1g13g的整數(shù)克重量重量（克）13=123=2103=3113=4123=5203=62%=7湊數(shù)。3=013=1。3=0。3=0113=3+1

16、103=3103=3前兩數(shù)之和13=1103=3103=3113=3+11003=91003=91013=9+1祛碼組合13-133+19-3-19-39+1-3重量（克）223=81003=91013=101023=111103=121113=13湊數(shù)13=1。3=0。3=013=1。3=0。3=0前兩數(shù)之和1003=91003=91013=9+11103=9+31103=9+31113=9+3+1祛碼組合9-199+19+3-19+39+3+11.1數(shù)學符號人總想給客觀事物賦予某種意義和價值，利用符號認識新事物，研究新問題，從而使客觀世界秩序化，這便創(chuàng)造了科學、技術、文化、藝術、.符號就是

17、某種事物的代號，人們總是探索用簡單的記號去表現(xiàn)復雜的事物，符號也正是這樣產生的.文字是表達事物的符號，一個語種就是一個“符號系統(tǒng)”.這些符號的組合便是語言.人們試圖用“精密”的方法研究藝術，這在很大程度上依靠符號.符號對于數(shù)學的發(fā)展來講更是極為重要的.它可使人們擺脫數(shù)學自身的抽象與約束，集中精力于主要環(huán)節(jié)，這在事實上增加了人們的思維能力.沒有符號去表示數(shù)及其運算，數(shù)學的發(fā)展是不可想象的.數(shù)學語言是困難的，但又是永恒的（紐曼語）.數(shù)是數(shù)學乃至科學的語言，符號則是記錄、表達這些語言的文字.正如沒有文字，語言也難以發(fā)展一樣，幾乎每一個數(shù)學分支都是靠一種符號語言而生存，數(shù)學符號是貫穿于數(shù)學全部的支古代

18、數(shù)學的漫長歷程，今日數(shù)學的飛速發(fā)展，十七世紀、十八世紀歐洲數(shù)學的興起，我國幾千年數(shù)學發(fā)展講程的緩慢，這些在某種程度匕都歸咎于數(shù)學符號的運用得當與否簡練、方便的數(shù)學符號對于書寫、運算、推理來講.是何等重要！反之.沒有符號或符號不恰當、不簡練,勢必影響到數(shù)學的推理和演算.然而，數(shù)學符號的產生、使用和流傳卻經歷了一個十分漫長的過程.在這個過程中，始終貫穿著人們對于自然、和諧與美的追求.古埃及和我國一樣，是世界上四大文明古國之一.早在四千多年以前，埃及人已懂得了數(shù)學，在數(shù)的計算方面還會使用分數(shù)，不過，他們用的是“單位分數(shù)”（分子是1的分數(shù)）.此外，他們還能計算直線形和圓的面積.他們知道了圓周率1000

19、001000000約為3.16,同時也懂得了棱臺和球的體積計算等.可是，他們卻是用下面的符號記數(shù)的：IneJy110100100010000這樣書寫和運算起來都不方便，比如寫數(shù)2314,就要用門rccnwi表示.后來他們把符號作了簡化而成為|UI”一W：；二Hv八十£A123456789102030古代巴比倫人（巴比倫即當今希臘一帶地方）計數(shù)使用的是六十進制，當然它也有其優(yōu)點，因為60有約數(shù)2,3,4,5,6,10,12,15,30,60等，這樣，在計算分數(shù)時會帶來某種方便（現(xiàn)在時間上的小時、分、秒制及角度制，仍是六十進制）.巴比倫人已經研究了二次方程和某些三次方程的解法，他們在公元

20、前2000年就開始將楔形線條組成符號（稱為楔形文字），且將它們刻在泥板上，然后放到烈日下曬干以備保存.同樣，他們也是用楔形文字來表示數(shù)，無論是用來記錄還是運算，都相對來說方便了許多.Tf/Torun110060421=8160，+。+22=3622我國在紙張沒有發(fā)明以前，已經開始用算籌進行記數(shù)和運算了.算籌是指計算時使用的小竹棍（或木棍、骨棍），這也是世界上最早的計算工具.用算籌表示數(shù)的方法是：麒（i;Id|ll|HHIT（lmin/修大一二三三SJ-s韭123456789記數(shù)時，個位用縱式，其余位縱橫相間，故有“一縱十橫，百立千僵”之說.數(shù)字中有0時，將其位置空出，比如86021可表示為：I

21、H1二I在甲骨文中，數(shù)字是用下面的符號表示的（形象、自如）:二三三二八十）（41下7%12345678910100100010000阿拉伯數(shù)字未流行之前，我國商業(yè)上還通用所謂“蘇州碼”的記數(shù)方法（方便、明快）：Ihhix4/x+、,+h。123456789101001000100000它在計數(shù)和運算上已帶來較大方便.在計數(shù)上歐洲人開始使用的是羅馬數(shù)字：I口,迎17VVIVI%12345678IXxLCPM910501005001000阿拉伯數(shù)字據說是印度人發(fā)明的，后傳入阿拉伯國家，經阿拉伯人改進、使用，因其簡便性而傳遍整個世界，成為通用的記數(shù)符號.J23又qG、8Q015世紀阿拉伯數(shù)字寫法我們

22、再來看看方程用符號表示的歷史（代數(shù)學的產生與方程研究關系甚密）.在埃及出土的3600年前的萊因特紙草上有下面一串符號：它既不是什么繪畫藝術，也不是什么裝飾圖案，它表達的是一個代數(shù)方程式，用今天的符號表示，即x|1；1=37.327宋、元時期我國也開始了相當于現(xiàn)代方程論的研究，當時記數(shù)仍使用算籌.在那時出現(xiàn)的數(shù)學著作中，就是用下圖中的記號來表示二次三項式412x2-x+136的，其中，x的系數(shù)旁邊注以“元”字，常數(shù)項注以“太”字，籌上畫斜線表示“負數(shù)”到了十六世紀，數(shù)學家卡爾達諾、韋達等人對方程符號有了改進.直到笛卡兒才第一個提倡用x、y和Z表示未知數(shù),他曾用xxx-9xx26x-一24

23、7;0表示x3-9x2+26x-24=0,這與現(xiàn)在的方程寫法幾乎一致.其實，數(shù)學表達式的演變正是人們追求數(shù)學的和諧、簡潔、方便和明晰的審美過程.笛卡兒的符號已接近現(xiàn)代通用的記號，直到1693年，沃利斯創(chuàng)造了現(xiàn)在人們仍在使用的記號：4,32x+bx+cx+dx+e=0.韋達是第一個引進字母系數(shù)的人，但他仍用希臘人的齊次原則、拉丁記號plano和solido分別表示平面數(shù)和立體數(shù)；用aequtur表示等于，in表示乘號，quad和cub分別表示平方和立方，這顯然不簡便.笛卡兒的符號已有較大程度的簡化.我們還想指出一點：數(shù)及其運算只有用符號去表示，才能更加確切和明了.隨著數(shù)學的發(fā)展，隨著人們對于數(shù)的

24、認識的深化，用原有符號去表示新的概念，有時竟會感到無能為力（沒有根號如何表示某些無理數(shù)？），這需要創(chuàng)新.圓周率（圓的周長與直徑的比）是一個常數(shù)，但它又是無限不循環(huán)小數(shù).1737年歐拉首先倡導用希臘字母"來表示它（早在1600年英國數(shù)學家奧特雷德曾用幾作為圓周長的符號），且通用于全世界.用e表示特殊的無理常數(shù)（也是超越數(shù)）一一歐拉常數(shù)1nlim1-=2.71828182845904511n：二n的也是歐拉.我們知道，要具體寫出圓周率或歐拉常數(shù)，這是根本不可能的（它們無限且不循環(huán)），然而用數(shù)學符號卻可精確地表示它們（正像不能寫完忘=1.41421356川，但我們卻可用我表達一樣）.虛數(shù)單

25、位G用符號i表示，還是數(shù)學家歐拉于1777年首創(chuàng)的（這也使我們想到：歐拉的成就與他對數(shù)學符號的創(chuàng)造不無關系）.在奇妙的等式爐+1=0中，所出現(xiàn)的五個數(shù)中的三個符號都是出自數(shù)學大師歐拉之手！從上面的例子我們可以看到：數(shù)學符號的重要在于它有無限的力量和手段來協(xié)助直覺，把社會和自然乃至宇宙中的數(shù)學關系聯(lián)系起來，去解答一些已知或未知的問題，去創(chuàng)造更深、更新白思維形式.說到數(shù)學符號，我們當然還不應忘記圖形.點、線、面、體的產牛正是人們對客觀事物的抽象和概括.歐幾里得幾何、非歐幾何、解析幾何正是研究這些圖形的分支.除此之外，還有許多精彩的例子.首先我們會想到“哥尼斯堡七橋問題”.布勒格爾河流經哥尼斯堡市區(qū)

26、，河中有兩個河心島，它們之間以及它們與河岸之間共有七座橋連接.當?shù)鼐用裨灰粋€問題搞得百思不得其解，這個問題是：你能否無遺漏又不重復地走遍七座橋而回到出發(fā)地？人們在不停地走著、試著，卻無一人成功.數(shù)學大師歐拉接觸此問題后，他巧妙地用數(shù)學手段將問題轉化、化簡，并成功地解決了這個難題.首先，他將問題抽象成圖形：用點代表河岸和小島，用線代表橋（注意上面兩個圖中的A,B,C,D的對應），于是得到右上圖這個簡單的圖形，同時問題相應地改為：能否一筆畫出這個圖形？為了解決這個問題，我們首先明確：一筆畫就是從圖形上某點出發(fā).筆不離開紙,并且每條線都只畫一次不重復.其次，我們定義：若從圖中某點出發(fā)的線的條數(shù)是偶

27、數(shù)，則稱該點為偶£；若從圖中某點出發(fā)的線的條數(shù)是奇數(shù)，則稱該點為奇點.在左圖中，從每一點出發(fā)都有兩條線.因此，這四個點都是偶點.在右圖中有4個點，從、兩點出發(fā)的線有2條，故、是偶點；從、兩點出發(fā)的線有3條，故這兩個點是奇點.一個圖形能否一筆畫成，關鍵在于圖中的奇點的個數(shù).歐拉發(fā)現(xiàn)了一個圖形可以一筆畫成的判定準則：一個圖形能一筆畫成。一圖中的奇點的個數(shù)為0或2.奇點在一筆畫中只能作為起點或終點.在上述哥尼斯堡七橋問題中，所有的點都是奇點，因此，要想一筆畫出下圖是不可能的，也就是說，要想不重復地走過哥尼斯堡的七座橋,那是不可能的.歐拉的這項研究導致了拓撲學這門數(shù)學分支的誕生很大程度上講，

28、這也促進了圖論這門學科的創(chuàng)立).例下面的圖形能一筆畫成嗎？答第1圖可以一筆畫成.P在第2圖中，e點是偶點，其它點是奇點，所以第2圖不能一筆畫成.第3圖可以一筆畫成.很難想象，如果歐拉不是運用了圖形符號而是用河、橋去探討這個問題，結果將會是怎樣？那樣的話，解決問題的難度要變得很大，更談不上新的數(shù)學分支的誕生.運用類似的方法，歐拉還證明了著名的關于多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F之間的關系式歐拉公式：VE+F=2.由此人們發(fā)現(xiàn)了正多面體僅有五種：正四面體、正六面體（立方體）、正八面體、正十二面體和正二十面體.關于歐拉公式，我們可以用四面體和六面體來驗證.VEFV-E+F四面體4642六面體ED81

29、262六人相識問題:在任何6個人中，必可從中找出3個人,使得他們要么彼此都相識，要么彼此都不相識.把這個抽象的問題轉化成“點”與“染色直線；從而巧妙地解答它，這不能不說是符號的一大功勞（要知道，6人之間的相互關系的可能情況有2c2=215=32768種）.把六個人用點A、B、C、D、E和F表示.若兩個人相識,則用紅線連接相應的點，若兩人不相識，則用黑線連接相應的點.點A與B、C、D、E和F的連線（5條）中，必有三條線的顏色相同,不妨設AB、AC和AD為紅色.再考慮B、C、D三點間的連線.若它們全為黑色，則B、C、D三點為所求（左上圖，它們代表的三個人彼此都不相識）；若三點間的連線至少有一條為紅色，設它為BC,這時A、B、C三點為所求（右上圖，它們代表的三個人彼此都相識）.我們還可以有進一步的結論：上述（彼此都相識或都不相識的）“三人組”在六個人中至少存在兩組（證明見本節(jié)末附錄）.順便講一句：若要求彼此相識或不相識的人數(shù)是4,則總人數(shù)要增至18；若要求彼此相識或不相識的人數(shù)是5（這時有1產種組合方式），則總人數(shù)要增至43人一一49人之間（具體人數(shù)至今不詳）；若要求彼此相識或不相識的人數(shù)是6,則總人數(shù)要增至102人一165