第一節(jié)：多元函數(shù)的概念學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一節(jié)：多元第一節(jié)：多元(du yun)函數(shù)的概念函數(shù)的概念第一頁(yè)，共78頁(yè)。（1）鄰域(ln y)一、多元函數(shù)(hnsh)的概念第1頁(yè)/共77頁(yè)第二頁(yè)，共78頁(yè)。（2）區(qū)域(qy)例如(lr)，即為開集內(nèi)點(diǎn)：設(shè) E 是平面(pngmin)上的一個(gè)點(diǎn)集，P 是平面上的一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn) P 的某一鄰域則稱為的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)屬于如果點(diǎn)集的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱為開集第2頁(yè)/共77頁(yè)第三頁(yè)，共78頁(yè)。邊界點(diǎn)：外點(diǎn)：如果(rgu)存在 U( P ) , 使得則稱點(diǎn)P 為 E 的外點(diǎn)連通(lintng)集：連通(lintng)的開集稱為開區(qū)域，簡(jiǎn)稱區(qū)域第3頁(yè)/共77頁(yè)第四頁(yè)，共78頁(yè)。例如(lr)，xyo

2、例如(lr)，xyo第4頁(yè)/共77頁(yè)第五頁(yè)，共78頁(yè)。有界閉區(qū)域(qy)；無(wú)界開區(qū)域(qy)xyo例如(lr)，第5頁(yè)/共77頁(yè)第六頁(yè)，共78頁(yè)。（3）聚點(diǎn)I： 內(nèi)點(diǎn)一定(ydng)是聚點(diǎn)；如果對(duì)于(duy)任意的 0 , 點(diǎn) P 的去心鄰域內(nèi)總有 E 中的點(diǎn)，則稱點(diǎn) P 是點(diǎn)集 E 的聚點(diǎn)II： 在 內(nèi)，總有 E 的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)；),( PUIII： 點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于E第6頁(yè)/共77頁(yè)第七頁(yè)，共78頁(yè)。 E中任何(rnh)一點(diǎn)都是 E 的邊界點(diǎn)，又如,xy E 中的任何(rnh)一點(diǎn)都是 E 的聚點(diǎn)。思考題：邊界點(diǎn)是否(sh fu)一定是聚

3、點(diǎn)？反之，聚點(diǎn)是否(sh fu)一定是邊界點(diǎn)？第7頁(yè)/共77頁(yè)第八頁(yè)，共78頁(yè)。（4）n 維空間當(dāng) n = 3 時(shí)，( x , y , z ) 表示空間(kngjin)中的一個(gè)點(diǎn)或向量表示(biosh)空間中的全體點(diǎn)或全體向量。因此(ync)，我們也稱為中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè) n 維向量。第8頁(yè)/共77頁(yè)第九頁(yè)，共78頁(yè)。因此，我們也稱),(21nxxxx 為nR中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè) n 維向量。定義線性運(yùn)算(yn sun)如下：這樣定義了線性運(yùn)算的向量集合nR稱為 n 維空間第9頁(yè)/共77頁(yè)第十頁(yè)，共78頁(yè)。稱 ( x, y ) 為空間(kngjin)兩點(diǎn) x 和 y 之間的距離設(shè)中兩點(diǎn)間的距離公式n

4、R中變?cè)?x 的極限nR如果(rgu)則稱變?cè)?x 趨于固定(gdng)元 a , 記作第10頁(yè)/共77頁(yè)第十一頁(yè)，共78頁(yè)。類似地，內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域(qy)、聚點(diǎn)等概念也可定義中變?cè)?x 的極限nR,),(),(2121nnnRaaaaxxxx 設(shè)設(shè)如果, 0| ax則稱變?cè)?x 趨于固定元 a , 記作, ax結(jié)論(jiln)：中鄰域、區(qū)域等概念nR則稱 中的點(diǎn)集nR為 中點(diǎn) a 的 鄰域。nR第11頁(yè)/共77頁(yè)第十二頁(yè)，共78頁(yè)。二、多元(du yun)函數(shù)的概念 f 稱為對(duì)應(yīng)(duyng)規(guī)則或函數(shù)，f ( x , y ) 稱為 f 在點(diǎn) ( x , y )處的函數(shù)值。函數(shù)值的全體所

5、構(gòu)成的集合(jh)稱為函數(shù) f 的值域，記作函數(shù)與選用的記號(hào)無(wú)關(guān)，如則稱 f 是 D 上的二元函數(shù), 記為 第12頁(yè)/共77頁(yè)第十三頁(yè)，共78頁(yè)。類似地可定義三元及三元以上(yshng)函數(shù) n 元函數(shù)(hnsh)通常記為或簡(jiǎn)記(jin j)為第13頁(yè)/共77頁(yè)第十四頁(yè)，共78頁(yè)。一元函數(shù)與多元函數(shù)的概念(ginin)比較 一 元函數(shù)(hnsh) y = f (x): 二元函數(shù)(hnsh) y = f (x, y): ,:RDf n 元函數(shù),:RDf第14頁(yè)/共77頁(yè)第十五頁(yè)，共78頁(yè)。例1 求 的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解所求定義域?yàn)?yx 第15頁(yè)/共77頁(yè)第十

6、六頁(yè)，共78頁(yè)。二元函數(shù) 的圖形),(yxfz （如下(rxi)頁(yè)圖）當(dāng) P ( x, y ) 取遍 D 上一切(yqi)點(diǎn)時(shí), 得到空間點(diǎn)集第16頁(yè)/共77頁(yè)第十七頁(yè)，共78頁(yè)。二元函數(shù)的圖形(txng)通常是一張曲面.第17頁(yè)/共77頁(yè)第十八頁(yè)，共78頁(yè)。xyzo例如(lr),單值分支:第18頁(yè)/共77頁(yè)第十九頁(yè)，共78頁(yè)。一元函數(shù)極限(jxin)回顧：如果在 的過(guò)程中，0 xx f (x) 無(wú)限接近(jijn)一個(gè)確定常數(shù) A ，就稱 A 是 f (x) 當(dāng) 時(shí)的極限，記為0 xx 二元函數(shù)的極限：如果在 的過(guò)程中),(),(00yxPyxP f (x, y ) 無(wú)限接近一個(gè)確定常數(shù) A

7、 ，就稱 A 是 f (x, y ) 當(dāng) 時(shí)的極限，記為),(),(00yxPyxP第19頁(yè)/共77頁(yè)第二十頁(yè)，共78頁(yè)。都有第20頁(yè)/共77頁(yè)第二十一頁(yè)，共78頁(yè)。說(shuō)明(shumng)：（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則(fz)與一元函數(shù)類似（1）定義中 的方式比 的方式復(fù)雜的多0PP 0 xx o 0 x第21頁(yè)/共77頁(yè)第二十二頁(yè)，共78頁(yè)。例2 求證(qizhng) 證當(dāng) 時(shí)， 22)0()0(0yx原結(jié)論(jiln)成立第22頁(yè)/共77頁(yè)第二十三頁(yè)，共78頁(yè)。例3 求極限(jxin) 解其中(qzhng)yxu2 第23頁(yè)/共

8、77頁(yè)第二十四頁(yè)，共78頁(yè)。證例4 證明 不存在 26300limyxyxyx （2）取此時(shí)，仍不能確定極限是否(sh fu)存在（1） P ( x , y ) 沿 x 軸趨于 ( 0 , 0 )，此時(shí)(c sh) y = 0 , x 0 xyo第24頁(yè)/共77頁(yè)第二十五頁(yè)，共78頁(yè)。例4 證明(zhngmng) 不存在 證（3）取26300limyxyxyx 極限值隨 k 的不同(b tn)而變化，故極限(jxin)不存在 xyo第25頁(yè)/共77頁(yè)第二十六頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察(gunch)第26頁(yè)/共77頁(yè)第二十七頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察(gunch)2630

9、0limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第27頁(yè)/共77頁(yè)第二十八頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第28頁(yè)/共77頁(yè)第二十九頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第29頁(yè)/共77頁(yè)第三十頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第30頁(yè)/共77頁(yè)第三十一頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第31頁(yè)

10、/共77頁(yè)第三十二頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第32頁(yè)/共77頁(yè)第三十三頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第33頁(yè)/共77頁(yè)第三十四頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第34頁(yè)/共77頁(yè)第三十五頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第35頁(yè)/共77頁(yè)第三十六頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察

11、(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第36頁(yè)/共77頁(yè)第三十七頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第37頁(yè)/共77頁(yè)第三十八頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第38頁(yè)/共77頁(yè)第三十九頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察(gunch)26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第39頁(yè)/共77頁(yè)第四十頁(yè)，共78頁(yè)。確定極限不存在的常用(chn yn)方法：第40頁(yè)/共77頁(yè)第四十一頁(yè)，共78頁(yè)。

12、求二元函數(shù)的極限(jxin)常用的方法：（1）用定義驗(yàn)證(ynzhng)其存在或不存在；（2）利用變量代換(di hun)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限，再用一元函數(shù)中已有的方法；（3）消去分子分母中極限為 0 的因子；（4）利用極限運(yùn)算性質(zhì)（與一元函數(shù)相似）；（5）利用函數(shù)的連續(xù)性；第41頁(yè)/共77頁(yè)第四十二頁(yè)，共78頁(yè)。解：例5：求極限(jxin)第42頁(yè)/共77頁(yè)第四十三頁(yè)，共78頁(yè)。解：例6：求極限(jxin)第43頁(yè)/共77頁(yè)第四十四頁(yè)，共78頁(yè)。解：例7：求極限(jxin)42lim00 yxyxyx第44頁(yè)/共77頁(yè)第四十五頁(yè)，共78頁(yè)。, 0, 0 第45頁(yè)/共77頁(yè)第四十六頁(yè)，共78頁(yè)

13、。一元函數(shù)連續(xù)性回顧(hug)：二元函數(shù)(hnsh)的連續(xù)性第46頁(yè)/共77頁(yè)第四十七頁(yè)，共78頁(yè)。 如果(rgu)函數(shù) f ( x, y ) 在 D 的每一點(diǎn)都連續(xù)， 二元函數(shù)連續(xù)(linx)的三個(gè)要素則稱函數(shù)(hnsh) f ( x, y ) 在 D 上連續(xù)，或者稱 f ( x, y ) 是 D 上的連續(xù)函數(shù)。第47頁(yè)/共77頁(yè)第四十八頁(yè)，共78頁(yè)。 二元函數(shù)間斷(jindun)的情形比一元函數(shù)要復(fù)雜的多因?yàn)?yn wi)當(dāng) f ( x , y ) 無(wú)定義(dngy)，所以在整個(gè)圓周 f ( x , y ) 間斷。第48頁(yè)/共77頁(yè)第四十九頁(yè)，共78頁(yè)。例8 證明(zhngmng)函數(shù)在(

14、0,0)處連續(xù)(linx)解取xyo , 0 故函數(shù)(hnsh)在(0,0)處連續(xù).第49頁(yè)/共77頁(yè)第五十頁(yè)，共78頁(yè)。例9 討論(toln)函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性解取其值隨k的不同(b tn)而變化，極限(jxin)不存在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù))0 , 0(),(),( ,0 xkxyxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)?0頁(yè)/共77頁(yè)第五十一頁(yè)，共78頁(yè)。定義(dngy)3 如果函數(shù) f ( P ) 在 D 的每一點(diǎn)都連續(xù)(linx)，則稱函數(shù) f ( P ) 在 D 上連續(xù)(linx)，或者稱 f ( P ) 是 D 上的連續(xù)(linx)函數(shù)。 n 元函數(shù)(hnsh)的連續(xù)性第51頁(yè)/共77頁(yè)第五十二

15、頁(yè)，共78頁(yè)。（2）多元初等(chdng)函數(shù)：由常數(shù)及不同自變量表達(dá)的一元基本初等(chdng)函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示的多元函數(shù)叫多元初等(chdng)函數(shù)（3）一切多元初等(chdng)函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域(qy)是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域(qy)或閉區(qū)域(qy)關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)性的幾點(diǎn)說(shuō)明（1）一切一元基本初等函數(shù)，作為一個(gè)二元或二元以上的多元函數(shù)時(shí)，在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。 不同自變量表達(dá)的一元基本初等函數(shù)第52頁(yè)/共77頁(yè)第五十三頁(yè)，共78頁(yè)。（4）利用多元函數(shù)的連續(xù)性可以計(jì)算(j sun)在其連續(xù)點(diǎn)處的極限。例解第53頁(yè)/共77頁(yè)第五

16、十四頁(yè)，共78頁(yè)。閉區(qū)域(qy)上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域(qy) D 上的多元連續(xù)函數(shù)，在 D 上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即（一）有界性及最大值和最小值定理(dngl)（2）至少存在兩點(diǎn)（1）存在正數(shù) M ，使得對(duì)于任意的點(diǎn) P D ，均有第54頁(yè)/共77頁(yè)第五十五頁(yè)，共78頁(yè)。（二）介值定理(dngl) 在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)的多元(du yun)函數(shù) f ( P ) ，必取得介于最小值 m 和最大值 M 之間的任何值。即對(duì)任意(rny)的 c , m c M ,至少存在一點(diǎn) P D ,使得：第55頁(yè)/共77頁(yè)第五十六頁(yè)，共78頁(yè)。多元(du yun)函數(shù)極限的概念多元

17、函數(shù)連續(xù)(linx)的概念閉區(qū)域(qy)上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）多元函數(shù)的定義第56頁(yè)/共77頁(yè)第五十七頁(yè)，共78頁(yè)。習(xí)題(xt)91: 4(3, 5), 5(2, 4, 6), 6(1), 8 第八章作業(yè)(zuy)第一節(jié)：多元(du yun)函數(shù)的基本概念第57頁(yè)/共77頁(yè)第五十八頁(yè)，共78頁(yè)。答案：121(1),(2),0(3)6(4)4e第58頁(yè)/共77頁(yè)第五十九頁(yè)，共78頁(yè)。思考題第59頁(yè)/共77頁(yè)第六十頁(yè)，共78頁(yè)。思考題解答(jid)不能.例取但是 不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx因?yàn)?yn wi)若取第60頁(yè)/共77頁(yè)第六十一頁(yè)，共78頁(yè)。練 習(xí) 題

18、第61頁(yè)/共77頁(yè)第六十二頁(yè)，共78頁(yè)。第62頁(yè)/共77頁(yè)第六十三頁(yè)，共78頁(yè)。第63頁(yè)/共77頁(yè)第六十四頁(yè)，共78頁(yè)。練習(xí)題答案(d n)第64頁(yè)/共77頁(yè)第六十五頁(yè)，共78頁(yè)。不存在(cnzi).觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 第65頁(yè)/共77頁(yè)第六十六頁(yè)，共78頁(yè)。觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在(cnzi).第66頁(yè)/共77頁(yè)第六十七頁(yè)，共78頁(yè)。觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在(cnzi).第67頁(yè)/共77頁(yè)第六十八頁(yè)，共78頁(yè)。觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在(cnzi).第68頁(yè)/共77頁(yè)第六十九頁(yè)，共78頁(yè)。觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在(cnzi).第69頁(yè)/共77頁(yè)第七十頁(yè)，共78頁(yè)。觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在(cnzi